Применение окружности Аполлония в погони на местности
Управление образования
Кировского района г. Екатеринбурга
Муниципальное Образовательное Учреждение лицей №88
Образовательная область: математика
Предмет: геометрия
Окружность Аполлония и её практическое применение
Исполнители: Кувшинов М.В., Хасимьянов Д.Р.
9 класс
МОУ лицей № 88
Руководитель: Трубаева Н.В.,
учитель математики высшей категории
МОУ лицей № 88
г. Екатеринбург
2011 г.
Содержание
Введение
Основная часть
1. Теоретическая часть
1.1 Историческая справка
1.2. Окружность Аполлония и её
свойства
1.3. Окружность Аполлония в
2. Практическая часть
Заключение
Список литературы
Приложения
Введение
Когда то давно, ещё во времена пиратов, крестовых походов и т.д. не было никаких систем коммуникаций, электронных карт, GPS, спутников и прочего.
Но как тогда пираты, ну или флибустьеры, нападали на корабли? Они ведь точно знали, где нужно встретиться, или где подождать.
Эти флибустьеры были очень умными – они знали, что такое окружность Аполлония и знали, как ее строить, и пользоваться.
Сейчас этим почти не занимаются из-за ненадобности.
Цель работы: рассмотреть окружность Аполлония, её свойства. Применить теоретический материал при решение практических задач в современной жизни.
Объект – раздел геометрии.
Предмет – окружность Аполлония и её свойства.
Гипотеза: возможность использования окружности Аполлония в современное время в погоне на местности.
Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:
- Изучить и проанализировать теоретический материал, связанный с окружностью Аполлония.
- Выделить особенности её построения.
- Рассмотреть свойства окружности Аполлония.
- Рассмотреть различные варианты использования окружности Аполлония в современной жизни.
1. Теоретическая часть
1.1. Историческая справка
Аполлоний Пергский (ок.
262–170 до н. э.) завоевал среди современников
титул Великого Геометра. Он обучался
в Александрии у последователей
Евклида, имена которых не сохранились,
и стал последним великим
Благодаря позднейшим комментаторам и реставрациям, которыми много занимались в 16-18 вв., мы знаем и о содержании шести других геометрических работ Аполлония. В одной из них появляется так называемая «окружность Аполлония». В другой, изданной Виетом, работе «О касании» рассматривается следующая задача: построить циркулем и линейкой окружность, касающуюся трех данных окружностей. Решение самого Аполлония не сохранилось, но предпринятые многими авторами попытки его восстановления и, конечно, привлекательная формулировка, сделали эту задачу очень популярной.
1.2. Окружность Аполлония и её свойства
Окружность Аполлония —
Свойства
Радиус окружности Аполлония равен
Отрезок PC между точкой на окружности и точкой пересечения ее с прямой AB является биссектрисой самого угла или угла, смежного с ним
Примером использования
Флибустьеры с острова Ямайка узнали, что на якоре перед Пуэрто-Бельо стоит испанский галион, груженый золотом. Как только закончится шторм, галион выйдет в карибское море и возьмет курс на пролив между островом Гаити и Пуэрто-Рико (Приложение 1). Флибустьеры тоже ждут конца шторма, поэтому выйти из Кингстона они могут лишь одновременно с испанцами. Какой курс следует взять флибустьерам, чтобы не разминуться с испанцами, если скорость флибустьерского судна вдвое меньше скорости галиона? (Здесь, конечно, мы упускаем существенный момент: во времена флибустьеров ходили под парусом, поэтому скорость движения существенно зависела от направления ветра. Мы сознательно упрощаем задачу и, погрешив против истории, предполагаем, что оба корабля снабжены двигателями. Впрочем, если угодно, можно считать, что после шторма наступил полный штиль и корабли вынуждены идти на веслах.)
Задача решается следующим образом. Флибустьеры при всех своих отрицательных качествах были непревзойденными мастерами в навигации. Поэтому они рассуждали так. Прежде всего нужно найти все точки, в которые их корабль и галион могут попасть одновременно. Скорость их корабля вдвое меньше, чем испанского. Поэтому путь, который они пройдут до момента встречи, также вдвое меньше пути, пройденного испанцами. Значит, все возможные точки встречи лежат на окружности Аполлония, определяемой равенством :=2, где М — точка встречи, а точки А и В соответствуют Кингстону и Пуэрто-Бельо. Начертив на карте эту окружность, флибустьеры увидят, что курс галиона пересекает ее в двух точках. Поэтому, взяв курс на любую из них, они наверняка встретятся с испанцами, если, конечно, испанцев не перехватит кто-нибудь другой. Из этих последних соображений флибустьеры предпочтут ту из двух точек, которая ближе к Пуэрто-Бельо.
Итак, мы решили задачу. Испанцам в ней не повезло. Могло бы, однако, случиться (при других условиях задачи), что нарисованная на карте окружность Аполлония не пересекает курс галиона и даже не касается его. Какой бы вывод сделали флибустьеры в этом случае? Им пришлось бы признать, что догнать испанцев они не могут! Чтобы понять, почему это так, надо более обстоятельно изучить свойства окружностей Аполлония.
Прежде всего из определения окружности Аполлония, очевидно, следует, что для заданных точек А и В никакие две из окружностей Аполлония не могут иметь общих точек. Значит, либо одна из них лежит внутри другой, либо они лежат вне друг друга. Выясним, какому соотношению между числами k1 и k 2, определяющими окружности, соответствует тот или иной случай.
Если оба числа kl и k2 больше 1, то каждая из соответствующих им окружностей охватывает точку А. Следовательно, лежать вне друг друга они не могут. Значит, одна из них — та, у которой радиус меньше, — лежит внутри другой. Но R=, поэтому, чем больше k, тем меньше радиус. Таким образом, если, например, k1 < k2, то окружность, определяемая числом k2, лежит внутри окружности, определяемой числом k1.
Из этого можно сделать важный вывод: множество всех
точек М, определяемых неравенством > к > 1, представляет собой внутренность круга, ограниченного соответствующей окружностью Аполлония (Приложение 2а). Следовательно, множество точек, для которых < k — внешняя часть этого круга.
Из соображений симметрии получим, что в случае k1 < 1 и k2 < 1 картина аналогичная. Но только в этом случае радиус окружности Аполлония тем больше, чем больше k, и, следовательно, внутри другой лежит та окружность, для которой число k меньше (Приложение 2б).
Наконец, если одно из чисел k 1 или k2 больше 1, а другое меньше 1, то соответствующие им окружности Аполлония лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра отрезка АВ и, следовательно, вне друг друга. Эти выводы иллюстрирует также рисунок (Приложение 3).
Теперь нам ясны рассуждения флибустьеров. Действительно, если курс галиона не имеет общих точек с окружностью Аполлония, для которой k = 2, то для любой точки М курса > 2. Значит, догнать галион нельзя.
Рассмотрим еще одно свойство окружностей Аполлония, не связанное непосредственно с проблемами флибустьеров. Возьмем окружность Аполлония с центром O1 соответствующую какому-то числу k, и найдем степень середины отрезка АВ, т. е. точки О относительно этой окружности. Согласно определению степени имеем:
12- R2 =
Мы видим, что величина не зависит от k! Таким образом, степень точки О относительно всех окружностей Аполлония одна и та же. Следовательно, серединный перпендикуляр к отрезку АВ является радикальной осью любых двух из них. Иными словами, все окружности Аполлония имеют общую радикальную ось — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Из этого свойства, в свою очередь, вытекает еще одно. Рассмотрим какую- нибудь окружность Аполлония с центром O1 и из произвольной ее точки М, не лежащей на прямой АВ, проведем к ней касательную (Приложение 4). Пусть С — точка пересечения этой касательной с серединным перпендикуляром к отрезку АВ. Точка С лежит на радикальной оси нашей окружности и точек А и В (рассматриваемых как окружности Аполлония нулевого радиуса). Следовательно, степени точки С относительно этих окружностей равны, т. е. ОС2 - ОМ2 = АС2 = ВС2, откуда следует, что АС = ВС = МС. Поэтому окружность с центром С радиуса АС проходит через точки А, В и М. По построению МС перпендикуляр. МО1. Таким образом, касательные к нашим окружностям в точке М их пересечения взаимно перпендикулярны. Обычно в таком случае говорят так: окружности пересекаются под прямым углом. Итак, мы установили еще одно замечательное свойство окружностей Аполлония:
любая окружность Аполлония пересекается с любой окружностью, проходящей через точки А и В, под прямым углом (Приложение 4)
1.3. Окружность Аполлония в
Задача 1. Даны две точки А и В и положительное число k ≠ 1. Доказать, что множество таких точек М прямой АВ, для которых ВМ/АМ= k, состоит из двух точек, одна из которых лежит на отрезке АВ, а другая — вне этого отрезка.
Решение. Рассмотрим сначала случай k > 1. Пусть для
точки М прямой АВ выполнено равенство ВМ/АМ= k. Тогда AM < ВМ, и, следовательно, точки А и М лежат по одну сторону от середины отрезка АВ Возможны два случая:
Точка М лежит,на отрезке АВ.
Точка М лежит вне отрезка АВ (Приложение 7)
Рассмотрим эти случаи отдельно.
Имеем АМ+ВМ=АВ, ВМ = k*АМ, откуда АМ=АВ/ k+1.
Итак, если на отрезке АВ имеется точка М, удовлетворяющая условию ВМ/АМ=k, то она находится на вполне определенном расстоянии от точки А, и, значит, на отрезке АВ может быть только одна такая точка М. Нетрудно убедиться в том, что точка М, расположенная на отрезке АВ так, что AM=АВ/(k+1 )действительно удовлетворяет условию ВМ/АМ=k. В самом деле,
ВМ = АВ - AM =(k/ k+1)* АВ, и, следовательно, ВМ/АМ=k/
Имеем АМ+АВ=ВМ, ВМ= k*АМ, откуда АМ=АВ/ k-1.
Таким же образом, как и в случае 1, можно убедиться в том, что точка М, расположенная на продолжении отрезка АВ за точку А так, что AM= удовлетворяет условию = k, причем вне
отрезка АВ такая точка только одна. Итак, в случае k > 1 утверждение доказано.
Если 0 < k < 1, то k’ = > 1, а условие = k можно записать в виде = k' > 1. Тем самым этот случай сводится к предыдущему, только точки А и B меняются ролями. Перейдем теперь к решению основной задачи этого пункта.
Задача 2. Найти множество всех точек, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек равно данному числу.
Решение. Пусть А и В — данные точки. Требуется найти множество всех таких точек М, дли которых -= k, где k — данное число. Ясно, что если k=1, то искомое множество представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Рассмотрим случай k ≠ 1.
Как следует из предыдущей задачи,на прямой АВ существуют ровно две точки, принадлежащие искомому множеству. Обозначим ту из них, которая лежит вне отрезка АВ, буквой P, а лежащую на отрезке АВ — буквой Q. Итак,
Пусть М — какая-либо точка, принадлежащая искомому множеству и не лежащая на прямой АВ. Проведем биссектрису ММ1 треугольника ABM(Приложение 8). По теореме о биссектрисе треугольника = k. Согласно задаче 1 точки М1 и Q совпадают. Аналогично проведем биссектрису ММ2 внешнего угла треугольника АВМ (М2 — точка пересечения этой биссектрисы с прямой АВ). По теореме о биссектрисе внешнего угла треугольника == k
Согласно задаче 1 точки М2 и Р совпадают.
Итак, MQ — биссектриса треугольника АВМ, a MP — биссектриса внешнего угла этого треугольника. Поэтому MP перпендикулярен MQ. Но это означает, что отрезок PQ виден из точки М под прямым углом, и, значит, точка М лежит на окружности с диаметром PQ.
Мы доказали, что любая точка искомого множества лежит на окружности с диаметром PQ. Рассмотрим теперь любую точку М этой окружности, отличную от Р и Q, и убедимся в том, что она принадлежит искомому множеству точек. Проведем отрезок МА1 так, чтобы отрезок MQ был биссектрисой треугольника А1МВ. Тогда MP — биссектриса внешнего угла этого треугольника. Докажем, что точки А и А1 совпадают. По теоремам о биссектрисе треугольника и биссектрисе внешнего угла треугольника имеем:
откуда =, или = . Но из равенства (1) следует, что
= Тем самым точки А и Ах лежат на отрезке PQ и делят его в одинаковом отношении: =. Следовательно, точки А и А1 совпадают. Поэтому первую из пропорций (2) можно записать так:=, а поскольку = k(1), то и = k, т. е. точка М принадлежит искомому множеству.
Итак, искомое множество точек в случае k≠1 — окружность с диаметром PQ.
Радиус этой окружности выражается формулой R =, ее центр 01 лежит на прямой АВ, причем OO1 = где О — середина отрезка АВ. При k > 1 окружности Аполлония расположены по ту же сторону от серединного перпендикуляра к отрезку АВ, что и точка А, а при 0 < к < 1 — по ту же сторону, что и точка В. (Приложение 3).
Окружности, соответствующие для данных точек А и В различным значениям к≠1), рассматривались еще во II в. до н. э. древнегреческим математиком Аполлонием в его трактате «О кругах». Поэтому их называют окружностями Аполлония.
Задача 3.
Даны две точки А, В и прямая l, не перпендикулярная к прямой АВ. Для каждой точки М прямой l составим отношение . Построить те точки, в которых это отношение принимает наибольшее и наименьшее значения.
Решение. Сначала проанализируем условие задачи. Рассмотрим какую-нибудь точку Му прямой l, не лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. Вычислим отношение k = и рассмотрим окружность Аполлония, определяемую этим числом. Если прямая l и эта окружность пересекаются (приложение 9а), то точки прямой l, лежащие по одну сторону от М1 (а именно на хорде окружности), находятся внутри окружности, а лежащие по другую сторону от М1 — вне этой окружности. Следовательно, для точек, лежащих по одну сторону от M1 отношение больше k, а по другую сторону — меньше k. Поэтому отношение не может принимать в точке М1 ни наибольшего, ни наименьшего значения. Ясно также, что аналогичная ситуация имеет место для точки С пересечения прямой l с серединным перпендикуляром к отрезку АВ.
Итак, наибольшее и наименьшее значения отношения могут достигаться только в тех точках, в которых прямая l касается окружностей Аполлония (Приложение 9б). Следовательно, в этих точках окружность, проходящая через А и В, должна быть перпендикулярна к прямой l а значит, прямая l проходит через ее центр.
Теперь нетрудно выполнить построение. Сначала построим серединный перпендикуляр к отрезку АВ и отметим точку С его пересечения с данной прямой (Приложение 9в). Затем проведем окружность с центром С радиуса СА. Точки пересечения этой окружности с данной прямой — искомые.
Замечание. Решенная нами задача чрезвычайно полезна для флибустьеров. В самом деле, допустим, что они точно не знают, каково отношение скорости их корабля к скорости испанского галиона. Тогда им нужно построить на карте точку курса галиона, в которой это отношение принимает наименьшее значение (Приложение 10). В этой точке им следует Организовать засаду — встать на якорь и ждать прибытия галиона. Во всяком случае, если в этой точке они не встретят галион, то в любой другой точке они его не встретят и подавно.
2. Практическая часть
Задача 1.
Условие:
В банке произошло ограбление, грабители пытаются скрыться на машине.
Они уезжаю с улицы Ленина на улицу Блюхера, пытаясь дальше через Берёзовск уехать из города.
Самой близко расположенной к месту преступления машине пришло сообщение о грабеже, сотрудники правоохранительных органов, находящиеся в этой машине решили предпринять попытку догнать грабителей самостоятельно.
По поступившей информации стало известно, что грабители перемещаются со скоростью в 2,5 раза превышающую скорость машины ГИБДД. Стало понятно, что просто догнать машину не удастся, нужен план-перехват.
Для этого на карте был построен чертеж, с помощью которого удалось установить, куда нужно ехать.
Построение:
(Приложение 11)
Строим сначала маршрут
Строим отрезок от начального положения машины ГИБДД Г до места Б .
Так как нам известно, что отношение скоростей грабителей и ГИБДД = 2,5:1, то в таком отношении делим отрезок Г Б. Для удобства за одну часть примем 0,5, тогда отношение получается 5:2, и отрезок нужно разделить на 7 частей. Для этого воспользуемся теоремой Фалеса: из точки Г проводим отрезок, не совпадающий с отрезком Г Б. Для удобства его длину можно взять кратной 7. Делим этот отрезок на 7 равных частей и соединяем его конец О с точкой Б.
Теперь проводим 7 параллельных этому отрезку прямых на равном расстоянии друг от друга(для этого и выбрали подходящую длину отрезка Г О. Точки пересечения с отрезком Г Б разделят его на 7 равных частей.
Получаем отношение 5:2 в точке Х.
Теперь находим еще одно такое же отношение, только точка Х1 лежит на прямой, содержащей отрезок Г Б. Для этого можно опять же воспользоваться теоремой Фалеса или же воспользоваться линейкой. Полученный отрезок ХХ1 – это диаметр нужной нам окружности. Находим центр окружности(либо построением двух окружностей из концов отрезка, либо опять воспользуемся линейкой), строим её. У нас поучилась одна точка пересечения с отрезком А Б, туда и нужно ехать нашим героям.
Если посмотреть на карту, то нужное нам место будет находиться немного правее – это перекресток.
Вывод: всё построение занимает меньше минуты, вследствие чего поможет сэкономить много времени на преследование.
Задача 2.
Условие:
Воры скрываются на машине, по рации сообщили, что их пытаются поймать, но преступники быстрее, маневренней и хитрей.
Сообщают, что грабители направляются
к улице Ленина по улице Блюхера.
Наши правоохранительные органы не могут
перекрыть центральную улицу, но
могут перекрыть дворы и не
дать преступникам свернуть. На это
задание были высланы две специальные
машины с профессиональными
Известно, что скорость бандитов в 1,5 раза больше скорости 1 опер-группы и в 2 раза больше скорости второй.
Построение:
(Приложение 12)
Строим на карте прямую вдоль всей улицы Ленина – это маршрут бандитов.
Сначала построим окружность Аполлония для первой опер - группы. Отношение скоростей 1,5:1.
Строим отрезок от их положения до конца улицу Ленина(назовем это место Ц).
Разобьем отрезок ПОг1 на 2,5 части или, для удобности, на 5. Для этого случая воспользуемся теоремой Фалеса – строим отрезок Ог1Е1, не совпадающий с отрезком ОгЦ. Соединяем точки Е1 и Ц. Теперь проводим 5 параллельных ему линий на равном расстоянии друг от друга. Точки пересечения с Ог1Ц делят его на 5 частей.
Теперь пользуясь отрезком ОгЕ1 и предыдущим действием разобьем отрезок Ог1Ц на 3 части и на прямой,содержащей этот отрезок отложим 2 такие части.
У нас получился отрезок, внутри и снаружи разбитый в отношении 1,5:1.
Точки этих отношений представляют собой диаметр окружности Аполлония. Теперь находим точки пересечения этой окружности с НЦ.
Сюда нужно ехать опер - группе 1.
Теперь построим окружность Аполлония для второй опер –группы. Отношение скоростей 2:1.
Строим отрезок от из положения до точки Ц.
Разобьем отрезок Ог2Ц на 3 части. Для этого просто воспользуемся линейкой.
Теперь пополам и половину отложим на прямой, содержащей этот отрезок.
Получаем две точки (по отношению), это наш диаметр.
Строим окружность точки пересечения. Она одна, туда направится вторая опер - группа.
Вывод: мы получили, что точки, куда направятся опер - группы следуют друг за другом. Это значит, что если первая опер - группа не сможет остановить бандитов, то есть шанс на вторую.
Заключение:
Нами был изучен и проанализирован теоретический материал, связанный с окружностью Аполлония, были выделены особенности построения эотй окружности, рассмотрены её свойства и различные варианты использования окружности Аполлония в современной жизни.
Теперь мы с уверенностью можем сказать, что использование окружности Аполлония уместно, и в некоторых ситуациях даже более практично, чем обыкновенная погоня.
Литература:
- Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Греции Вавилона и. Перевод с голландского И. Н. Веселовского. М. Физматгиз, 1959.
- История математики с древнейших времён до начала XIX столетия (под ред. А. П. Юшкевича), том I, М., Наука, 1972.
- Лютер И. О. К истории задачи Аполлония о построении окружности, касающейся трёх данных окружностей. Историко-математические исследования, 1 (36), № 2, 1996, с. 82-94.
- Розенфельд Б. . А, Аполлоний Пергский, М. МЦНМО, 2004.
- Хабелашвили А. В. Задача Аполлония Пергского. Историко-математические исследования, 1 (36), № 2, 1996, с. 66-81.
- Барабанов О. О., Л Барабанова. П. Алгоритмы решения навигационной разностно-дальномерной задачи - от Аполлония до Коши / / История науки и техники, 2008, № 11, с. 2-21.
- Кулидж J.L. История конических сечений и поверхностей второго порядка. М.: Мир, 1945. (Переиздание: Дувр, штат Нью-Йорк, 1968)
- Decorps-Recherches сюр ле coniques Foulquier М. d'Аполлоний де Перг др. leurs commentateurs Грекс. Париж: Klincksieck, 2000.
- Federspiel М. Заметки критика Sur Le Livre d'coniques я Аполлония де Перге. Ревю де Études Grecques, 107, 1994, p. 203-218.
- Hogendiuk мировой судья Арабский следы утраченных произведений Аполлоний. Архив для истории физико-математических наук, 35, 1986, p. 187-253.
- Knorr W.R. Гипербола-строительство в коник, Книга II: Древний Вариации на теоремы Аполлония. Центавр, 25, 1982, стр. 253-291.
- О. Нойгебауер Исследования по истории древней алгебры II исследования Аполлоний. Источники и исследования по истории математики, астрономии и физики, В2, 1932, С. 215-254.
- Taisbak С. М. Обнаружение Аполлония "кругах. В: Материалы Третьей Международной конференции по античной математики, Delphi, 1996.
- Zeuthen H.G. Преподавание конических сечений в древности. Копенгаген, 1886. (Переиздание: Хильдесхайм, Георг Olms, 1966)
- Г. Штейнгауз «Математический калейдоскоп»
- Журнал «Квант» 1981г. Вып. 8
Приложения:
Рис. I
Рис. II
Рис. III
Рис. IV
Рис. V
Рис. VI
Рис. VII
Рис. VIII
в)
Рис. IX
Рис. X
Рис. XI
Рис. XII
