Применение преобразований плоскости при решении задач планиметрии

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧЕРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа на тему:

 

“Применение преобразований плоскости при решении задач  планиметрии”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверил:

Шармина Т. Н.

 

 

Выполнил:

Студентка 351 гр.

Чередова Ю. В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тюмень, 2009

Оглавление

 

Введение…………………………………………………………………………...3

 

Глава 1……………………………………………………………………………..5

 

1.1. История развития движений…………………………………………………5

 

1.2. Образовательные стандарты основного общего образования по математике………………………………………………………………………...9

 

1.3. Анализ школьных учебников  геометрии………………………………….11

 

1.4. Движения…………………………………………………………………….14

 

1.5. Виды движений……………………………………………………………...16

 

Глава 2……………………………………………………………………………24

 

2.1. Решение задач……………………………………………………………….24

 

Заключение……………………………………………………………………….31

 

Список литературы………………………………………………………………32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

В последнее десятилетие  у большинства учеников школ России значительно снизился интерес к  изучению геометрии. В то же время  эта удивительная наука чрезвычайно  увлекательна и полезна для развития воображения и формирования строгой логики. К тому же этот предмет отличается примечательной особенностью – все понятия планиметрии наглядно представимы, система их четко структурируется и может быть изложена в доступной форме.

При систематическом  изучении школьного курса геометрии обычно начинают с изучения планиметрии, а затем приступают к изучению стереометрии, изучающей пространственные фигуры. Основными понятиями школьного курса планиметрии являются точка, прямая, плоскость и расстояние (между двумя точками или от точки до точки), а также некоторые общематематические понятия, такие, как множество, отображение множества на множество и некоторые другие.

Планиметрия (от лат. planum — «плоскость», др.-греч. μετρεω — «измеряю») — раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости.

Первое систематическое  изложение планиметрии впервые  было дано Евклидом в его труде  «Начала» (лат. Elementa).

Планиметрия содержит:

- введение, в котором дается определение понятия фигуры, как множества точек, изучаются свойства расстояний, определяются понятия аксиомы, теоремы и другие понятия;

- перемещения плоскости (движение), то есть преобразования плоскости, сохраняющие расстояния между точками;

-   параллельность;

-   построение треугольников. Четырёхугольники;

-   метрические соотношения в треугольнике и многое другое.

Фигуры, изучаемые планиметрией: точка, прямая, параллелограмм (частные случаи: квадрат, прямоугольник, ромб), трапеция, окружность, треугольник, многоугольник.

В своей курсовой работе я рассмотрела планиметрические задачи, решаемые как в школьном курсе, так и более сложные, которые могут рассматриваться в профильных классах или на элективных курсах.

Целью данной курсовой работы является исследование возможности применения преобразований плоскости к решению задач планиметрии школьного курса.

Задачи курсовой работы:

1. Изучение свойств преобразований плоскости;
2. Примеры решения задач с использованием преобразований плоскости;
3. Проанализировать школьные учебники геометрии.

Курсовая работа состоит  из введения, двух глав, заключения и  списка используемых источников.

Во введении описана  актуальность темы, сформулированы цель и задачи, дана структура курсовой работы.

В первой главе даны основные понятия движений плоскости и небольшие исторические факты, образовательные стандарты основного общего образования по математике, анализ школьных учебников геометрии.

Во второй главе приводятся примеры решения задач различной сложности.

В заключении сформулированы основные выводы к работе.

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1

 

1.1. История развития движений

 

Первым, кто начал доказывать некоторые геометрические предложения, считается древнегреческий математик Фалес Милетский (625-547г. до н.э.).  Именно благодаря Фалесу геометрия начала превращаться из свода практических правил в подлинную науку. До Фалеса доказательств просто не существовало!

Каким же образом проводил Фалес свои доказательства. Для этой цели он использовал движение.

Движение это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.

Именно таким путем  Фалес доказал ряд  первых теорем геометрии. Если плоскость повернуть  как твердое целое вокруг некоторой точки О на 180⁰, то луч ОА перейдет в его продолжение ОА¹. При таком повороте (его еще называют центральной симметрией с центром О) каждая точка А перемещается в такую точку А¹, что О является серединой отрезка АА¹

Пусть О общая вершина  вертикальных углов АОВ и А¹ОВ¹. Но тогда ясно, что при повороте на 180⁰ стороны одного из двух вертикальных углов как раз перейдут в стороны другого, т. е. эти два угла совместятся. Значит, вертикальные углы равны.

Доказывая равенство  углов при основании равнобедренного  треугольника, Фалес воспользовался осевой симметрией: две половинки равнобедренного треугольника он совместил перегибанием чертежа по биссектрисе угла при вершине. Тем же способом Фалес доказал, что диаметр делит круг пополам.

Применял Фалес и  еще одно движение параллельный перенос, при котором все точки фигуры смещаются в определенном направлении на одно и тоже расстояние. С его помощью он доказал теорему, которая сейчас носит его имя: если на одной стороне угла отложить равные отрезки и провести через концы этих отрезков параллельные прямые до пересечения со второй стороны угла, то на другой стороне угла также получатся равные отрезки.

Во времена античной истории идеей движения пользовался  знаменитый Евклид, автор Начал книги, переживший более двух тысячелетий. Евклид был современником Птолемея 1, правившего в Египте, Сирии и Македонии в 305-283 до н.э.

Движения в неявном  виде присутствовали, например, в рассуждениях Евклид при доказательстве признаков  равенства треугольников: наложим  один треугольник на другой таким-то образом. По Евклиду, две фигуры называются равными, если они могут быть совмещены всеми своими точками, т.е. перемещая одну фигуру как твердое целое, можно точно наложить ее на вторую фигуру. Для Евклида движение не было еще математическим понятием. Впервые изложенная им в началах системах аксиом стала основой геометрической теории, получившей название евклидовой геометрии. В новое время продолжается развитие математических дисциплин. В 11 веке создается аналитическая геометрия. Профессор математики Болонского университета Бонавентура Кавальери (1598-1647) издает сочинение геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного. Согласно Кавальери, любую плоскую фигуру можно рассматривать как совокупность параллельных линий или следов, которые оставляет линия, передвигаясь параллельно самой себе. Аналогично дается представление о телах: они образуются при движении плоскостей.

Дальнейшее развитие теории движений связывают с именем французского математика и историка науки Мишеля Шаля (1793-1880). В 1837г. он выпускает труд исторический обзор происхождение и развитие геометрических методов в процессе собственных геометрических исследований Шаль доказывает важнейшую теорему:

Всякое меняющие ориентацию движение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом.

Всякое меняющее ориентацию движение плоскости является либо осевой симметрией, либо скользящей симметрией.

 Важным обогащением,  которым геометрия обязана 19 веку, является создание теории геометрических преобразований, в частности, математической теорией движений. (перемещений).

К этому времени назрела  необходимость дать классификаций  всех существующих геометрических систем. Такую задачу решил немецкий математик  Кристиан Феликс Клейн(1849 1925).

В 1872 г., выступая в должность профессора эрлангенского университета, Клейн прочитал лекцию сравнительное обозрение новейших геометрических исследований. Выдвинутая им идея переосмысления всей геометрии на основе теории движений получила название  эрлангенская программа.

По Клейну, для построения той или иной геометрии нужно задать множество элементов и группу преобразований. Задача геометрии состоит в изучении тех отношений между элементами, которые остаются инвариантными при всех преобразованиях данной группы. Например, геометрия Евклида изучает те свойства фигур, которые остаются неизменными при движении. Иначе говоря, если одна фигура получается из другой движением, то у этих фигур одинаковые геометрические свойства.

В этом смысле движения составляют основу геометрии, а пять аксиом конгруэнтности выделенные самостоятельной группой в системе аксиом современной геометрии. Эту полную и достаточно строгую систему аксиом, подытожив все предыдущие исследования, предложил немецкий математик Давид гильберт(1862-1943). Его система из двадцати аксиом, разделенный на пять групп, была впервые опубликована в 1899 в книге Основание геометрии.

В 1909 г. немецкий математик  Фридрих Шур (1856-1932), следуя идеям Фалкса и Клейна, разработал другую систему аксиом геометрии основанную на рассмотрении движений. В его системе, в частности, вместо группы аксиом конгруэнтности гильберта предлагается группа из трех аксиом движения.   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Образовательные стандарты основного общего образования по математике.

 

Изучение математики в основной школе направлено на достижение следующих целей:

- овладение системой  математических знаний и умений, необходимых для применения в  практической деятельности, изучения  смежных дисциплин, продолжения  образования;

- развитие таких качеств  личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, пространственное воображение, алгоритмическая культура, интуиция, критичность и самокритичность;

- формирование представлений  об идеях и методах математики  как универсального языка науки  и техники, средстве моделирования процессов и явлений;

- воспитание средствами  математики культуры личности, знакомство  с жизнью и деятельностью видных  отечественных и зарубежных ученых-математиков,  понимание значимости математики  для общественного прогресса. 

Обязательны минимум содержания основных образовательных программ в курсе геометрии:

- Осевая и центральная  симметрия фигур. 

- Преобразования плоскости.  Движение. Виды движений: осевая  симметрия, параллельный перенос,  поворот, центральная симметрия. 

- Гомотетия. Подобие фигур.

- Простейшие планиметрические  задачи в пространстве.

Требования к уровню подготовки по курсу геометрии выпускников  основной школы:

уметь:

- распознавать плоские  геометрические фигуры, различать  их взаимное расположение, аргументировать  суждения, используя определения и признаки;

- изображать планиметрические  фигуры; выполнять чертежи по  условию задач; 

- распознавать на чертежах, и моделях и в окружающей  обстановке основные пространственные  тела, изображать их; иметь представления  об их сечениях и развертках;

- вычислять значения  геометрических величин (длин, углов,  площадей, объемов);

- решать основные задачи  на построение;

- решать геометрические  задачи, опираясь на изученные  свойства фигур и отношений  между ними;

- решать геометрические задачи применяя алгебраический и тригонометрический аппарат;

- проводить доказательные  рассуждения при решении задач;  применять полученные знания:

- при построениях геометрическими  инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир);

- для вычисления длин, площадей и объемов основных геометрических фигур с помощью формул (с использованием справочников и технических средств);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3. Анализ школьных  учебников геометрии.

 

В своем сравнительном  анализе преподавания теории движений я рассмотрела 2 учебника школьной программы:

- Атанасян Л.С. и др. «Геометрия. 7-9 класс»

- Погорелов А.В. «Геометрия»  для 7-9 классов средних школ.

По итогам этого анализа я  составила таблицу, в которой  постаралась отобразить все изученные  аспекты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4. Движения

 

Теорию движений изложим, опираясь на учебник А. В. Погорелова «Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений».

Движением называется отображение  плоскости на себя при котором сохраняются все расстояния между точками.

Движение имеет ряд  важных свойств:

1. Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.

Доказательство: пусть  движение переводит точки А, В, С  в токи А', В', С'. Тогда выполняются равенства

А'В'=АВ,

А'С'=АС,

В'С'=ВС. (1)

Если точки А, В, С  лежат на одной прямой, то одна из ни, например точка В лежит между двумя другими. В этом случае АВ+ВС=АС, и из равенства(1) следует, что А'С'+В'С'=А'С'. А из этого следует, что точка В' лежит между точками А' и С'. Первое утверждение доказано.

Второе утверждение  докажем методом от противного: Предположим, что точки А', В', С' лежат на одной прямой даже в том случае, если точки А,В,С не лежат на одной прямой, то есть  являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства треугольника:

АВ≤АС+ВС,

АС≤АВ+ВС,

ВС≤АВ+АС,

но из равенства (1) следует  что те же неравенства должны выполнятся и для точек А', В', С' следовательно точки А', В', С' должны быть вершинами треугольника, следовательно точки А', В', С' не должны лежать на одной прямой.

2. Отрезок движения переводится в отрезок.

3. При движении луч переходит в луч, прямая в прямую.

4. Треугольник движением переводится в треугольник.

5. Движение сохраняет величину углов.

6. При движении сохраняются площади многоугольных фигур.

7. Движение обратимо. Отображение, обратное движению является движением.

8. Композиция двух движений также является движением.

Используя определение  можно дать такое определение  равенства фигур: Две фигуры называются равными, если одну из них можно перевести  в другую некоторым движением.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5. Виды движений

 

На плоскости существует четыре типа движений:

- Параллельный перенос;

- Осевая симметрия;

- Поворот вокруг точки;

- Центральная симметрия.

Рассмотрим подробнее  каждый вид.

 

Параллельный  перенос

 

Параллельным переносом называется такое движение, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.

Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам плоскости  Х и У ставит в соответствие такие точки Х¹ и У¹, что ХХ¹=УУ¹ или еще можно сказать так: параллельный перенос это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор – вектор переноса. Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости.

Параллельный перенос  является движением, сохраняющим направления. Действительно, пусть при параллельном переносе точки Х и У перешли  в точки Х¹ и У¹ соответственно. Тогда выполняется равенство ХХ¹=УУ¹, откуда получаем, что во-первых ХУ=Х¹У¹, то есть параллельный перенос является движением, и во-вторых, ХУ=Х¹У¹, то есть при параллельном переносе сохраняются направления.

Это свойство параллельного  переноса – его характерное свойство, то есть справедливо утверждение: движение, сохраняющее направление является параллельным переносом.

 

Осевая симметрия

 

Точки Х и Х¹ называются симметричными относительно прямой а, и каждая из них симметрична другой, если а является серединным перпендикуляра отрезка ХХ¹. Каждая точка прямой а считается симметрично самой себе( относительно прямой а) если дана прямая а, то каждой точке Х соответствует единственная точка Х¹, симметричная Х относительно а.

Симметрией плоскости  относительно прямой а называется такое  отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствии точка, симметричная ей относительно прямой а.

Докажем, что осевая симметрия  является движением используя метод  координат: примем прямую а за ось  х  декартовых координат. Тогда при  симметрии относительно нее точка, имеющая координаты (х; у) будет преобразована в точку с координатами (х; -у).

Возьмем любые две  точки А (х1; -у1) и В (х2; -у2) и рассмотрим симметричные АВ и А¹В¹, получим АВ =А¹В¹.

Таким образом, осевая симметрия сохраняет расстояние, следовательно она является движением.

 

Центральная симметрия

 

Центральная симметрия  с центром в точке О это  такое отображение плоскости, при  котором любой точке Х сопоставляется такая точка Х¹, что точка О является серединой отрезка ХХ¹.

Однако можно заметить, что центральная  симметрия является частным случаем поворота на 180 градусов. Действительно, пусть при центральной симметрии относительно точки О точка Х перешла в Х¹. тогда угол ХОХ¹= 180 градусов, как развернутый, и ХО = ОХ¹, следовательно такое преобразование является поворотом на 180 градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия также является движением.

Центральная симметрия  является движением, изменяющим направление  на противоположные. То есть если при центральной симметрии относительно точки O точкам X и Y соответсвуют точки X' и Y', то

XY= - X'Y'

Доказательство: Поскольку точка O - середина отрезка XX', то, очевидно,

OX'= - OX

Аналогично

OY'= - OY

Учитывая это находим  вектор X'Y':

X'Y'=OY'-OX'=-OY+OX=-(OY-OX)= -XY

 

Таким образом X'Y'=-XY.

Доказанное свойство является характерным свойством центральной симметрии, а именно, справедливо обратное утверждение, являющееся признаком центральной симметрии: "Движение, изменяющее направления на противоположные, является центральной симметрией."

 

 

Поворот

 

Поворот плоскости относительно центра О на данный угол β в данном направлении определяется так: каждой точке Х плоскости ставится в соответствие такая точка Х¹, что во-первых, ОХ=ОХ¹, во-вторых угол ХОХ¹ равен углу поворота β и, в-третьих ОХ¹ откладывается от луча ОХ в заданном направлении. Точка О называется центром поворота, а угол β – углом поворота. Поворот является движением.

 

 

 

Подобие

 

Теорию подобия изложим, опираясь на учебник А. В. Погорелова «Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений».

Подобием с коэффициентом k>0 называется отображение плоскости, при котором любым двумя точкам X и Y соответсвуют такие точки X' и Y', что X'Y'=kXY.

Отметим, что при k=1 подобие  является движением, то есть движение есть частный случай подобия.

Фигура F называется подобной фигуре F' с коэффициентом k, если существует подобие с коэффициентом k, переводящее F в F'.

 

Свойства подобия.

1. Подобие отрезок переводит в отрезок.

2. Подобие сохраняет величину углов.

3. Подобие треугольник переводит в треугольник. Соответсвенные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответсвенные углы равны.

4. В результате подобия с коэффициентом k площади фигур умножаются на k².

5. Композиция подобий с коэффициентами k₁ и k₂ есть подобие с коэффициентом k₁k₂.

6. Подобие обратимо. Отображение, обратное подобию с коэффициентом k есть подобие с коэффициентом 1/k.

Простейшим, но важным примером подобия является гомотетия.

 

 

 

 

Гомотетия

 

Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называется такое  отображение плоскости, при котором  каждой точке X сопоставляется такая точка X', что OX' = kOX, причем не исключается и возможность k<0.

При k =-1 получается центральная симметрия с центром в точке O, при k =1 получается тождественное преобразование.

 

Главное свойство гомотетии:

При гомотетии с коэффициентом k каждый вектор умножается на k. Подробнее: если точки A и B при гомотетии с коэффициентом k перешли в точки A' и B', то

A'B' = k AB

Доказательство.

Пусть точка O - центр гомотетии. Тогда OA' = kOA, OB' = kOB. Поэтому A'B' = OB' - OA' = kOB - kOA = k(OB - OA) = kAB.

Из равенства A'B' = kAB следует, что A'B' = |k|AB, то есть гомотетия с коэффициентом k является подобием с коэффициентом |k|.

Отметим, что любое  подобие с коэффициентом k можно представить в виде композиции гомотетии с коэффициентом k и движения.

Основные свойства гомотетии:

1. Гомотетия отрезок переводит в отрезок.
2. Гомотетия сохраняет величину углов.
3. Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k₁ и k₂ ,будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом. Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом 1/k.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1. Гомотетия с центром в точке М₀ и коэффициентом k=2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2. Гомотетия с центром в точке М₀ и коэффициентом k=-2.

 

На первом рисунке  построен образ треугольника  АВС при гомотетии с коэффициентом 2, а на втором – приведен пример гомотетии с коэффициентом  -2. Наблюдательный читатель сразу заметит, что на обоих чертежах изображены пары подобных треугольников. Причем в обоих случаях коэффициент подобия равен 2.  Кроме того, хорошо видно, что соответствующие стороны треугольника АВС и треугольника А’В’С’ – попарно параллельны.

Следствие 1. Гомотетия любую фигуру отображает в подобную ей, причем коэффициент подобия равен модулю коэффициента гомотетии.

Доказательство.  Достаточно показать, что это утверждение выполняется для треугольников. (Используем следующий признак подобия: два треугольника подобны,  если соответственные углы у них равны.)

Равенство соответственных углов вытекает из свойства 2. Действительно, соответственные стороны исходного треугольника и его образа попарно параллельны, а это приводит к равенству углов.

Осталось доказать, что коэффициент  подобия равен модулю коэффициента гомотетии. Рассмотрим чертеж на рисунке 3. Из определения гомотетии следует, что

   (2).

Из этого, по свойству пропорциональных отрезков, следует, что  АВ параллельна А’В’, откуда вытекает, что треугольники М₀АВ и М₀А’В’ подобны, так как у них пропорциональны длины сторон, прилежащих к общему (или вертикальным, если k <0) углу при вершине М₀. Из полученного подобия следует, что длины соответственных сторон при гомотетии относятся как |k|. Что и требовалось доказать.

 

 Рассмотрим примеры применения гомотетии для доказательства некоторых хорошо вам известных фактов из планиметрии. Для этого докажем сначала довольно простое утверждение.

Пример 1. При гомотетии с коэффициентом и центром в точке пересечения медиан треугольника вершины этого треугольника переходят в середины противоположных сторон.

Доказательство. Рассмотрим чертеж на рисунке 4. По известному свойству медиан, точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1 считая от вершины. Таким образом, при гомотетии с центром в точке М и коэффициентом , вершина А перейдет в вершину А₁, В в В₁, а С в С₁. Что и требовалось доказать.