Применение производной в различных задачах естествознания
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Кафедра математического анализа
и прикладной математики
Курсовая работа
по математическому анализу
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ В РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
Выполнила:
студентка 22 группы ФМФ
Научный руководитель:
кандидат физ. мат. наук, доцент
Власов Э.В.
Курск 2012
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………
Теоретическая часть……………………………………………........
1. Понятие производной…………………………………………………
1.1 Исторические сведения…………………………………………………………
1.2 Задачи, приводящие к понятию производной……………………………………….6
1.3 Определение производной…………………………………………………
2. Общее правило нахождения производной……………………………………………11
2.1 Геометрический смысл производной……………………………………………….
2.2 Механический смысл производной…………………………………………………
2.3 Производная 2 порядка и её механический смысл…………………………………14
2.4 Определение и геометрический смысл дифференциала…………………………...15
Практическая часть…………………………………………………………………
3. Примеры решения практических задач………………………………………………17
4. Заключение……………………………………………………
5. Список литературы……………………………………………………
ВВЕДЕНИЕ
Тема исследовательской работы выбрана не случайно, поскольку применение производной позволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности. Применение производной для решения задач требует от учащихся нетрадиционного мышления. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решения задач способствует развитию нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельность (вычислительная техника, экономика, физика, химия и т.д.) Это доказывает актуальность данной работы.
Целью работы было: изучение применения производной для решения задач по алгебре и началам анализа, физике, экономике; углубление и расширение знаний по теме «Производная».При изучении изменяющихся величин очень часто возникает вопрос о скорости, о быстроте происходящего изменения. Так мы говорим о скорости движения самолета, поезда, автобуса, ракеты, о скорости падения камня, вращения шкива и т.д. Можно говорить о скорости выполнения определенной работы, о скорости протекания химической реакции, о быстроте роста населения в данном городе. О скорости можно говорить по отношению к любой величине, которая изменяется с течением времени. Для всего этого используется понятие производной.
Физические производные величины:
υ(t) = х/(t) – скорость
a (t)=υ/ (t) - ускорение
J (t) = q/(t) - сила тока
C(t) = Q/(t) - теплоемкость
d(l)=m/(l) - линейная плотность
K (t) = l/(t) - коэффициент линейного расширения
ω (t)= φ/(t) - угловая скорость
а (t)= ω/(t) - угловое ускорение
N(t) = A/(t) - мощность
Дифференциальное исчисление широко применяется для экономического анализа как математический аппарат. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.
Производная в экономических формулах:
П (t) = υ / (t) - производительность труда,
где υ (t) - объем продукции
J(x) = y / (x) - предельные издержки производства,
где y– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1. Понятие производной
1.1 Исторические сведения
Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Они встречались у Евклида. Ряд таких задач был решен Архимедом, разработавшим способ проведения касательной, примененный им к спирали, но применимый для других кривых. Основное понятие дифференциального исчисления – понятие производной – возникло в XVII в. В связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики. Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем на основе двух задач: 1) о разыскании касательной к произвольной линии; 2) о разыскании скорости при произвольном законе движения. Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
1.2 Задачи, приводящие к понятию производной
При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.
Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница.
Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).
Как известно, равномерным движением называют такое движение, при котором тело в равные промежутки времени проходит равные по длине отрезки пути. Путь, пройденный телом в единицу времени, называют скоростью равномерного движения.
Однако чаще всего на практике мы имеем дело с неравномерным движением. Автомобиль, едущий по дороге, замедляет движение у переходов и ускоряет его на тех участках, где путь свободен; самолёт снижает скорость при приземлении и т.д. Поэтому чаще всего нам приходится иметь дело с тем, что за равные отрезки времени тело проходит различные по длине отрезки пути. Такое движение называют неравномерным. Его скорость нельзя охарактеризовать одним числом.
Часто для характеристики неравномерного движения пользуются понятием средней скорости движения за время ∆t٫ которое определяется соотношением где ∆s – путь, пройденный телом за время ∆t.
Так, при свободном падении тела средняя скорость его движения за первые две секунды есть
Пусть движение тела описывается законом Рассмотрим путь, пройденный телом за время от t0 до t0 + ∆t, т.е. за время, равное ∆t. В момент t0 телом пройден путь , в момент – путь . Поэтому за время ∆t тело прошло путь и средняя скорость движения тела за этот промежуток времени составит.
Чем меньше промежуток времени ∆t, тем точнее можно установить, с какой скоростью движется тело в момент t0, так как движущееся тело не может значительно изменить скорость за малый промежуток времени. Поэтому средняя скорость при стремлении ∆t к нулю приближается к действительной скорости движения и в пределе даёт скорость движения в данный момент времени t0 (мгновенную скорость).
Таким образом,
Определение 1. Мгновенная скорость прямолинейного движения тела в данный момент времени t0 называется предел средней скорости за время от t0 до t0 + ∆t, когда промежуток времени ∆t стремится к нулю.
Итак, чтобы найти скорость прямолинейного неравномерного движения в данный момент, нужно найти предел отношения приращения пути ∆ к приращению времени ∆t при условии т.е. Лейбниц пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной своим уравнением.
Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к её траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на её орбите сводится, к определению направления касательной к кривой.
Определение касательной как прямой, имеющей с кривой только одну общую точку, справедливое для окружности, непригодно для многих других кривых.
Ниже представленное определение касательной к кривой, не только соответствует интуитивному представлению о ней, но и позволяет фактически находить её направление, т.е. вычислять угловой коэффициент касательной.
Определение 2. Касательной к кривой в точке М называется прямая МТ, которая является предельным положением секущей ММ1, когда точка М1, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М.
1. 3 Определение производной
Заметим, что при определении касательной к кривой и мгновенной скорости неравномерного движения, по существу, выполняются одни и те же математические операции:
1. Заданному значению аргумента дают приращение и вычисляют новое значение функции, соответствующее новому значению аргумента.
2. Определяют приращение функции, соответствующее выбранному приращению аргумента.
3. Приращение функции делят на приращение аргумента.
4. Вычисляют предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
К предельным переходам такого типа приводят решения многих задач. Возникают необходимость сделать обобщение и дать название этому предельному переходу.
Скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента можно, очевидно, охарактеризовать отношением . Это отношение называется средней скоростью изменения функции на отрезке от до . Сейчас нужно рассмотреть предел дроби Предел этого отношения при стремлении приращения аргумента к нулю (если этот предел существует) представляет собой некоторую новую функцию от . Эту функцию обозначают символами y’, называют производной данной функции так как она получена (произведена) из функции Сама же функция называется первообразной функцией по отношению к своей производной
Определение 3. Производной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции ∆y к соответствующему приращению аргумента ∆x при условии, что ∆x→0, т.е.
2. Общее правило нахождения производной
Операцию отыскания производной некоторой функции называют дифференцированием функции, а раздел математики, изучающий свойства этой операции, – дифференциальным исчислением.
Если функция имеет производную в точке x=a, то говорят, что она дифференцируема в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке данного промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке.
Определение производной не только с исчерпывающей полнотой характеризует понятие скорости изменения функции при изменении аргумента, но и даёт способ фактического вычисления производной данной функции. Для этого необходимо выполнить следующие четыре действия (четыре шага), указанные в самом определении производной:
1. Находят новое значение функции, представив в данную функцию вместо x новое значение аргумента : .
2. Определяют приращение функции, вычитывая данное значение функции из её нового значения: .
3. Составляют отношение приращения функции к приращению аргумента: .
4. Переходят к пределу при и находят производную: .
Вообще говоря, производная – это «новая» функция, произведённая от данной функции по указанному правилу.
2.1 Геометрический смысл производной
Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, состоит в следующем: значение производной функции в точке x равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в той же точке x, т.е.
Уравнение касательной, как всякой прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид – текущие координаты. Но и уравнение касательной запишется так: . Уравнение нормали запишется в виде .
2. 2 Механический смысл производной
Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением , то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную и подставить в неё соответствующее значение t.
2. 3 Производная второго порядка и её механический смысл
Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S=f(t). Как уже известно, производная S t равна скорости точки в данный момент времени: S't=V.
Покажем, что вторая производная от пути по времени есть величина, ускорения прямолинейного движения точки, т. е. S"=α.
Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t+∆t — скорость равна V+∆V, т. е. за промежуток времени ∆t скорость изменилась на величину ∆V.
Отношение ∆V/∆t выражает среднее ускорение движения точки за время ∆t. Предел этого отношения при ∆t→0 называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой α:
Но V=S't. Поэтому α=(S't)', т. е. α=S't'
2. 4 Определение и геометрический смысл дифференциала
Определение 4. Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменой, называется дифференциалом функции и обозначается знаком d, т.е. .
Дифференциал функции геометрически изображается приращением ординаты касательной, проведённой в точке M (x; y) при данных значениях x и ∆x.
Вычисление дифференциала – .
Применение дифференциала в приближённых вычислениях – , приближённое значение приращения функции совпадает с её дифференциалом.
Теорема 1. Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.
Теорема 2. Если производная функция положительна (отрицательна) в не котором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).
Сформулируем теперь правило нахождения интервалов монотонности функции
1. Вычисляют производную данной функции.
2. Находят точки, в которых равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции
3. Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами монотонности.
4. Исследуют знак на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале , то на этом интервале возрастает; если же , то на таком интервале убывает.
В зависимости от условий задачи правило нахождения интервалов монотонности может упрощаться.
Определение 5. Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если имеет место неравенство соответственно для любого x из не которой окрестности точки .
Если – точка максимума (минимума) функции , то говорят, что (минимум) в точке . Максимум и минимум функции объединяют название экстремум функции, а точки максимума и минимума называют точками экстремума (экстремальными точками).
Теорема 3. (необходимый признак экстремума). Если является точкой экстремума функции и производная в этой точке существует, то она равна нулю: .
Теорема 4. (достаточный признак экстремума). Если производная при переходе x через a меняет знак, то a является точкой экстремума функции .
Основные моменты исследования производной:
1. Находят производную .
2. Находят все критические точки из области определения функции.
3. Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума.
4. Вычисляют значения функции в каждой экстремальной точке.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
3. Примеры решения прикладных задач
1. Исследование функций
Исследовать график функции
Решение.
1. Функция существует для всех .
2. Функция не является ни четной, ни нечетной,
так как
,
то есть и .
3. В точке х=0 функция имеет разрыв в точке х=0.
При этом
4. Находим производную: и приравниваем ее к нулю:
. Точка будет критической.
Проверим достаточные условия экстремума в точке . Так как знаменатель производной всегда положителен, то достаточно проследить за знаком числителя. Получаем: при и при . Следовательно, в точке функция имеет минимум, ее значение в точке .
5. Точек пересечения с осью ОY нет, так как данная функция не определена при х=0. Чтобы найти точки пересечения кривой с осью ОХ, нужно решить уравнение .
Тогда или .
Получим, что при функция убывает; х= y=0; функция убывает; при функция убывает; при х= функция имеет минимум y=3; при функция возрастает.
2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, решение прикладных задач.
Пример 1
Из бревна, имеющего радиус R, сделать балку наибольшей прочности.
Решение:
Составляем функцию, выражающую необходимое условие.
В данной задаче высота балки (представляющей собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R и ширины х), равна . Поэтому прочность такой балки равна . При этом х изменяется от 0 до 2R.
Функция обращается в нуль при х=0 и х=2R и положительна между этими значениями. Значит она имеет максимум, лежащий между 0 и 2R. Но производная этой функции обращается в нуль на отрезке лишь при . Это и есть оптимальное значение ширины b балки. Высота h балки такой ширины равна и отношение равно . Именно такое отношение высоты вытесываемой балки к ее ширине предписывается правилами производства строительных работ.
Пример 2
Требуется построить открытый цилиндрический резервуар вместимостью . Материал имеет толщину d. Какими должны быть размеры резервуара (радиус основания и высота), чтобы расход материала был наименьшим?
Решение.
Радиус основания внутреннего цилиндра обозначим через х, высоту внутреннего цилиндра через h. Объем дна и стенки резервуара
С другой стороны, по условию , откуда
Подставляя в (*), находим
Полученную функцию нужно исследовать на экстремум при х>0:
Единственный положительный корень производной – это точка Она и дает решение задачи. При этом
3. Определение периода функции
Пример
Является ли периодической функция ?
Решение
Воспользуемся следующим утверждением: если дифференцируемая в каждой точке числовой прямой функция имеет период Т, то ее производная также имеет период Т.
Предположим, что данная функция является периодической с периодом Т. Применяя формулу
,
получаем
где .
Имеем
Поскольку по предположению функция имеет период Т, то функция , а следовательно, и функция также имеют период Т.
Значит, и функция
Также имеет период Т. Отсюда следует, что существует число , , такое, что Т=. Аналогично показывается, что существует число , такое, что Т=.
Но тогда
т.е. число является рациональным, что неверно. Следовательно данная функция НЕ является периодической.
4. Нахождение приближенных значений функции
Пример
Найти приращение и дифференциал функции в точке х=2 при и при . Найдите абсолютную и относительные погрешности, которые мы допускаем при замене приращения функции ее дифференциалом.
Решение
При х=2 и имеем
Абсолютная погрешность
Относительная погрешность то есть относительная погрешность будет около 4%.
При х=2 и имеем
Абсолютная погрешность а относительная погрешность то есть относительная погрешность будет уже около 0,4%.
5. Решение физических задач, связанных с нахождением скорости, ускорения и т.д.
Пример 1
Дано уравнение прямолинейного движения тела: , где S- путь, пройденный телом, м; t- время, с. Найдите скорость тела в момент времени t=1 c.
Решение.
Скорость это производная пути по времени. Значит:
Подставив значение времени получим:
Пример 2
Точка движется по закону . Найти скорость и ускорение через 2 с после начала движения (движение считать прямолинейным).
Решение.
Скорость это производная пути по времени. Значит: .
Подставив значение времени получим
Пример 3
Тело движется прямолинейно по закону Найти его кинетическую энергию через 5 с после начала движения, если масса тела 3 кг.
Решение.
Формула нахождения кинетической энергии: .
Найдем скорость тела. , .
Кинетическая энергия тела составит: .
6. Решение экономических задач
Пример 1
Выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью:
π(q) = R(q) - C(q) = q2 - 8q + 10
Решение:
π'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 → qextr = 4
При q < qextr = 4 → π'(q) < 0 и прибыль убывает
При q > qextr = 4 → π'(q) > 0 и прибыль возрастает
При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.
Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.
Пример 2
Кривая спроса задана выражением , где - объем продаж; - цена товара в условных единицах. Объем продаж составляет 10 000. Определите, каким должно быть изменение цены товара, чтобы объем продаж возрос на 1%.
Решение.
Определим цену , соответствующую объему продаж
Для оценки изменения цены товара воспользуемся формулой приближенных вычислений По условию задачи составляет 1% от 10000 или 10000/100=100. Найдем значение
Тогда Таким образом, для увеличения объема продаж на 1% цена товара должна быть снижена приблизительно на 0,105 у.е.
7. Разложение функций в ряд с помощью формулы Тейлора
1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.(Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности).
2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х а.
Тогда между точками х и а найдется такая точка , что справедлива формула:
- это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
При получаем формулу Маклорена:
где ,
