Применение производных в различных задачах естествознания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«КУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра математического  анализа 

и прикладной математики

 

 

 

 

Курсовая работа

 

по математическому  анализу

 

ПРИМЕНЕНИЕ  ПРОИЗВОДНЫХ В РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧАХ  ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

 

 

 

 

Выполнила:

студентка 22 группы ФМФ

                                                                                                           Костина Ольга

 

Научный руководитель:

кандидат физ. мат. наук, доцент

Власов Э.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курск 2012

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение……………………………………………………………………………………3

1. Определение производной……………………………………………………………...5

1.1 Геометрический смысл производной…………………………………………………7

1.2 Механический смысл производной…………………………………………………...8

2. Задачи из разных областей естествознания……………………………………………9

2. 1 Использование производной для решения задач по биологии……….…………….9

2.2 Использование производной для решения задач по химии......…………...……….12

2.3 Использование производной для  решения задач по географии……………………14

2.4 Примеры решения прикладных задач……………………………………………….15

2.5 Использование производной для  решения задач по физике……………………….17

2.6 Решение экономических задач……………………………………………………….21

2.7 Задачи на отыскание наибольшего  и наименьшего значений величин…………...25

Заключение………………………………………………………………………………..27

Список литературы……………………………………………………………………….28

 

Введение

 

Тема исследовательской  работы выбрана не случайно, поскольку применение производной позволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности. Применение производной для решения задач требует от учащихся нетрадиционного мышления. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решения задач способствует развитию нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельность (вычислительная техника, экономика, физика, химия и т.д.) Это доказывает актуальность данной работы.

Целью работы было: изучение применения производной для решения задач по алгебре и началам анализа, физике, экономике; углубление и расширение знаний по теме «Производная».При изучении изменяющихся величин очень часто возникает вопрос о скорости, о быстроте происходящего изменения. Так мы говорим о скорости движения самолета, поезда, автобуса, ракеты, о скорости падения камня, вращения шкива и т.д. Можно говорить о скорости выполнения определенной работы, о скорости протекания химической реакции, о быстроте роста населения в данном городе. О скорости можно говорить по отношению к любой величине, которая изменяется с течением времени. Для всего этого используется понятие производной.

Физические производные  величины:

υ(t) = х^/(t) – скорость

a (t)=υ^/ (t) - ускорение

J (t) = q^/(t) - сила тока

C(t) = Q^/(t) - теплоемкость

d(l)=m^/(l) - линейная плотность

K (t) = l^/(t) - коэффициент линейного расширения

ω (t)= φ^/(t) - угловая скорость

а (t)= ω^/(t) - угловое ускорение

N(t) = A^/(t) - мощность

Дифференциальное исчисление широко применяется для экономического анализа как математический аппарат. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

Производная в экономических  формулах:

П (t) = υ ^/ (t) - производительность труда,

где υ (t) - объем продукции

J(x) = y ^/ (x) - предельные издержки производства,

где y– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.

 

1. Определение производной

 

Заметим, что при определении  касательной к кривой и мгновенной скорости неравномерного движения, по существу, выполняются одни и те же математические операции:

1. Заданному значению аргумента дают приращение и вычисляют новое значение функции, соответствующее новому значению аргумента.
2. Определяют приращение функции, соответствующее выбранному приращению аргумента.
3. Приращение функции делят на приращение аргумента.
4. Вычисляют предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

К предельным переходам  такого типа приводят решения многих задач. Возникают необходимость сделать обобщение и дать название этому предельному переходу.

Скорость изменения  функции в зависимости от изменения  аргумента можно, очевидно, охарактеризовать отношением . Это отношение называется средней скоростью изменения функции на отрезке от до . Сейчас нужно рассмотреть предел дроби Предел этого отношения при стремлении приращения аргумента к нулю (если этот предел существует) представляет собой некоторую новую функцию от . Эту функцию обозначают символами y’, называют производной данной функции так как она получена (произведена) из функции Сама же функция называется первообразной функцией по отношению к своей производной

Определение 3. Производной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции ∆y к соответствующему приращению аргумента ∆x при условии, что ∆x→0, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1 Геометрический смысл производной

 

Рассмотрим график функции  у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x₀

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x₀, f (х₀)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x;          ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .

Так как АС || Ox, то ÐALO = ÐBAC = β (как соответственные при параллельных). Но ÐALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет  приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу  при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим или tga =f '(x₀), так как a-угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох , по  определению производной. Но tga = k - угловой коэффициент касательной, значит,  k = tga = f '(x₀).

Итак, геометрический смысл  производной заключается в следующем:

Производная функции  в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x₀.

 

 

 

 

 

 

1. 2 Механический смысл производной

 

Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е. Таким образом, если закон движения материальной точки задан уравнением , то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную и подставить в неё соответствующее значение t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Задачи  из разных областей естествознания

2.1 Использование производной для решения задач по биологии.

 

Биологический смысл производной.

Пусть зависимость между  числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у=p(t). Пусть Δt-промежуток времени от некоторого начального значения t до t+Δt. Тогда у+Δу=p(t+Δt)- новое значение численности популяции, соответствующее моменту t+Δt, а  Δy+p(t+Δt)-p(t)-изменение числа особей организмов.

Задача 1.

По известной зависимости  численности популяции x (t) определить относительный прирост  в момент времени t.

 

Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

 

Решение:

 

Понятие на языке биологии	Обозначение	Понятие на языке математики
Численность в момент времени t1	x = x(t)	Функция
Интервал времени	∆t = t2 – t1	Приращение аргумента
Изменение численности  популяции	∆x = x(t2) – x(t1)	Приращение функции
Скорость изменения численности популяции	∆x/∆t	Отношение приращения функции  к приращению аргумента
Относительный прирост  в данный момент	Lim     ∆x/∆t    t      0	Производная

 

 

Р = х’ (t)

 

Задача 2.

Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшения температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что Х обозначает дозу назначенного лекарства, У - функция степени реакции. У=f(x)=x²(a-x), где а - некоторая положительная постоянная. При каком значении Х реакция максимальна?

Решение:

0<x<а. 

Значит f'(x)=2ax-3x² .

Тогда   . - тот уровень дозы, который дает максимальную реакцию.

Точки перегиба важны в биохимии, так как они определяют условия, при которых некоторая величина, например скорость процесса, наиболее ( или наименее) чувствительна к каким-либо 
воздействиям.

 

 

 

 

Задача 3.

В среду с определёнными  условиями существования вносят популяцию из 100 бактерий. Численность  популяции возрастает по закону: , где t выражено в часах. Найти максимальный размер этой популяции до момента её угасания.

Решение:

Найдём производную от функции z(t):

;

, но – 1 не удовлетворяет условию  задачи, значит необходимо рассмотреть  поведение производной функции в окрестности точки 1.

Видно, что 1  –  точка максимума.

А это и говорит о том, что  в момент времени t = 1 (час) популяция достигнет своего наибольшего значения (будет иметь максимальный размер).

Тогда, (бактерий).

Ответ: 150 бактерий.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 2 Использование производной для решения задач по химии.

 

Химический смысл производной.

Пусть дана функция m=m(t),где m-количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t. Приращению времени Δt будет соответствовать приращение Δm  величины  m. Отношение Δm/Δt- есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени Δt. Предел этого отношения при стремлении tΔ к нулю- есть скорость химической реакции в данный момент времени .

Задача 1.

 При изучении свойств концентрированной серной кислоты учитель поместил медный кубик с ребром 5 см в раствор кислоты. Через некоторое время масса кубика уменьшилась на 0,96 г. Требуется определить, на сколько уменьшились размеры куба, то есть, на сколько укоротилось его ребро, если плотность меди равна 8 г/см³. (Медь переходила в раствор с каждой грани равномерно).

Решение:

 Т.к. медь переходит в раствор  с каждой грани равномерно, то  в определённый момент реакции в кислоте будет присутствовать куб, но уже меньших размеров.

Пусть х  –  ребро куба, тогда объём куба равен V = x³. Т.к. , то изменение объёма куба см³. Считая приближённо    –  изменение длины ребра куба) и учитывая, что , имеем: . 
Следовательно,  (см).

Ответ: 0,0016 см.

 

 

 

 

 

Неоспоримый положительный эффект достигается при решении задач  по применению показательной функции. Например, подобные задачи можно рассматривать при нахождении температурного коэффициента скорости химической реакции (а также всего того, что непосредственно связано с ним). Из химии известна формула: , где – температурный коэффициент, и –  время реакции при температурах t₁ и t₂, и –  скорости реакций, выражается в секундах.

Задача 2.

При температуре t₁ реакция протекает за 25 минут, а при температуре t₂ –  за 4 минуты. Рассчитайте разницу между температурами t₁ и t₂, если температурный коэффициент реакции равен 2,5.

Решение.

В силу того, что  (минут) = 1500 (секунд), а (минуты) = 240 (секунд), имеем .

Тогда (т.е. задача свелась к решению простейшего показательного уравнения). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3 Использование производной для решения задач по географии.

 

Задача 1.

 

Вывести формулу для  вычисления численности населения  на ограниченной территории в момент времени t.

 

Решение:

 

Пусть у=у(t)- численность населения.

Рассмотрим прирост  населения за  Dt=t-t0

Dy=k y Dt, где к=кр – кс –коэффициент прироста (кр – коэффициент рождаемости,

кс – коэффициент  смертности)

Dy/ Dt=k y

При Dt®0 получим lim Dy/ Dt=у’

                             

  у’=к у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4 Примеры решения прикладных задач

 

 

Нахождение  наибольшего и наименьшего значения функции, решение прикладных задач.

 

Задача 1.

Из бревна, имеющего радиус R, сделать балку наибольшей прочности.

Решение:

Составляем функцию, выражающую необходимое условие.

В данной задаче высота балки (представляющей собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R и ширины х), равна . Поэтому прочность такой балки равна . При этом х изменяется от 0 до 2R.

Функция обращается в нуль при х=0 и х=2R и положительна между этими значениями. Значит она имеет максимум, лежащий между 0 и 2R. Но производная этой функции обращается в нуль на отрезке лишь при . Это и есть оптимальное значение ширины b балки. Высота h балки такой ширины равна и отношение равно . Именно такое отношение высоты вытесываемой балки к ее ширине предписывается правилами производства строительных работ.

Задача 2.

Требуется построить  открытый цилиндрический резервуар  вместимостью . Материал имеет толщину d. Какими должны быть размеры резервуара (радиус основания и высота), чтобы расход материала был наименьшим?

Решение:

Радиус основания внутреннего цилиндра обозначим через х, высоту внутреннего цилиндра через h. Объем дна и стенки резервуара

 

 

С другой стороны, по условию  , откуда

Подставляя в (*), находим

 

 

Полученную функцию  нужно исследовать на экстремум при х>0:

 

Единственный положительный корень производной – это точка Она и дает решение задачи. При этом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5 Использование производной для решения задач по физике.

Физический  смысл производной.

 

  Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [t₀; t₀+ ∆t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве   при ∆t → 0.

lim Vср (t) = n(t₀) - мгновенная скорость в момент времени t₀,  ∆t → 0.

а lim  = ∆x/∆t = x'(t₀) (по определению производной).

Итак, n(t) =x'(t).

Физический  смысл производной заключается  в следующем: производная функции y = f(x) в точке x₀ - это скорость изменения функции f (х) в точке x₀

Производная применяется  в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

u(t) = x'(t) - скорость,

a(f) = n'(t) - ускорение, или

a(t) = x"(t).

Если известен закон  движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:

φ = φ(t) - изменение угла от времени,

ω = φ'(t) - угловая скорость,

ε  = φ'(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).

Если известен закон  распределения массы неоднородного  стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) - масса,

x Î [0; l], l - длина стержня,

р = m'(х) - линейная плотность.

С помощью производной  решаются задачи из теории упругости  и гармонических колебаний. Так, по закону Гука

F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω² =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω²x(t) = 0,

где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у" + ω²y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция

у = Asin(ωt + φ₀) или у = Acos(ωt + φ₀), где

А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота,

φ₀ - начальная фаза.

 

 

Решение физических задач, связанных с нахождением  скорости, ускорения и т.д.

 

Задача 1.

Дано уравнение прямолинейного движения тела: , где S- путь, пройденный телом, м; t- время, с. Найдите скорость тела в момент времени t=1 c.

Решение:

Скорость это производная  пути по времени. Значит:

Подставив значение времени  получим:

Задача 2.

Точка движется по закону . Найти скорость и ускорение через 2 с после начала движения (движение считать прямолинейным).

Решение:

Скорость это производная  пути по времени. Значит: .

Подставив значение времени  получим 

Задача 3.

Тело движется прямолинейно по закону Найти его кинетическую энергию через 5 с после начала движения, если масса тела 3 кг.

Решение:

Формула нахождения кинетической энергии: .

Найдем скорость тела. , .

Кинетическая энергия  тела составит: .

 

 

 

 

 

Задачи по физике на нахождение максимума и минимума

Задача 1.

 

Источник тока с электродвижущей силой Е=220 В  и внутренним сопротивлением r = 50

Ом подключен  к прибору с сопротивлением R.Чему должно быть равно сопротивление

R потребителя,  чтобы потребляемая им мощность  была наибольшей?

Решение:

По закону Ома сила тока в цепи есть   

 

выделяемая  в потребителе мощность P=I²R, то есть

 

Исследуем функцию P(R) на наибольшее с помощью производной:   

P’(R) = 0 :  r - R = 0, R = r = 50; При R = 50 функция  P(R) принимает наибольшее

значение. Следовательно, потребляемая мощность будет наибольшей при

сопротивлении R =50 Ом.

 

Ответ: 50 Ом

 

     Задача 2.       

 Два источника света расположены друг от друга на расстоянии 25м. На прямой, соединяющей эти точки, найти наименее освещенную точку, если силы света источников относятся, как 27:8.      

 

Решение:     

Пусть источники находятся в точках А и B, причем в точке А находится наиболее сильный источник. Считаем, что точка С наименее освещена и отстоит от точки А на расстоянии х (Смотри рисунок), тогда СВ =. Если силу света более сильного источника принять за , то сила света другого источника будет .     

Поскольку освещенность точки прямо пропорциональна  силе света и обратно пропорциональна  квадрату расстояния от точки до источника  света, то, учитывая, что выбранная  точка освещается обоими источниками  света, функция освещенности в зависимости  от расстояния примет вид .      

Находим производную  и приравниваем ее к нулю, откуда или.      

Таким образом, наименее освещенная точка  отстоит от источника А на расстоянии = 15м.     

Докажем это. Возьмем вторую производную  от освещенности . Нетрудно заметить, что при, следовательно, точка С есть точка минимума функции. 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.6 Решение экономических задач

Применение  производной в экономической  теории.

 

Рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x₀ этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f’(x₀) = 0.

Один из базовых законов теории производства звучит так: "Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода".

То есть уровень выпуска Q_o является оптимальным для производителя, если MC(Q_o)=MR(Q_o),  где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.

Обозначим функцию прибыли  за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) — C(Q), где R – прибыль, а C – общие издержки производства.

Очевидно, что оптимальным  уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Q_o, при котором функция П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П’(Q) = 0. Но П’(Q)=R’(Q) - C’(Q), поэтому R’(Q_o) = C’(Q_o), откуда следует, что MR(Q_o) = MC(Q_o).

Другое важное понятие  теории производства - это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: “оптимальный объем производства определяется равенством средних и предельных издержек”.

Получим это условие как следствие сформулированной выше теоремы.  Средние издержки AC(Q) определяются как , т.е. издержки по производству всего товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии , откуда TC’(Q)Q—TC(Q) = 0 или , т.е. MC(Q)=AC(Q).

Понятие выпуклости функции  также находит свою интерпретацию  в экономической теории.

Один из наиболее знаменитых экономических законов - закон убывающей доходности - звучит следующим образом: "с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает".

Иными словами, величина , где Dy - приращение выпуска продукции, а Dx - приращение ресурса, уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция y= f(x), выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией, выпуклой вверх.

Другим базисным понятием экономической теории является функция  полезности U= U(x), где  х  - товар, а U – полезность (utility). Эта величина очень субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом: с ростом количества товара, дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной точкой для математического исследования теории спроса и предложения.

 

 

 

 

 

Задача 1.

 Цементный завод  производит Х т. цемента в  день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день.

Определить, при каком  объеме производства удельные затраты  будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К=-х³+98х²+200х. Удельные затраты составят К/х=-х²+98х+200

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и  наименьшего значения функции У= -х²+98х+200. На промежутке [20;90].

Вывод: x=49, критическая  точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.

f(20)=1760   f(49)=2601      f(90)=320.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача 2.

Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.

Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением  объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

Задача 3.

Спрос-это зависимость  между ценой единицы товара и  количеством товара, которое потребители  готовы купить при каждой возможной цене, за определенный период времени и при прочих равных условиях.

Зависимость спроса от цены описывается функцией ,

Данная функция исследуется  с помощью производной:

Производная меньше нуля, если   P>=0.

Определим точку перегиба функции. Такой точкой является точка (0,5;0,6), т.е. при P<1/2 спрос убывает медленнее, а при P>1/2 спрос убывает все быстрее.

Задача 4.

Выручка от реализации товара по цене p составляет:

(Денежных единиц), где  . Исследуем эту функцию с помощью производной.

Производная этой функции:  положительна, если p<1/2 и отрицательна для p>1/2, это означает, что с ростом цены выручка в начале увеличивается ( несмотря на падение спроса) и  p=1/2 достигает максимального значения   , дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т.как оно ведет к сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной.