Применение системы MathCAD для исследования температуры тела


СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ                                                                                                                                       3

    1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО ПРОЦЕССА                                             4                                          

1.1Общие сведенья о тепловом процессе                                                             4                                                        

1.2 Обзор численных  методов                                                                             10                                                                      

1.3 Реализация численных методов                                                                     14                                                                               

  1. АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ  АНАЛИЗ В ЗАДАЧИ                                               17                                                                             

2.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ                                                                              17                                                                                           

2.2 АНАЛИЗ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ. ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ                                                                                                                             18

2.3 СХЕМА АЛГОРИТМА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ И ЕЁ ОПИСАНИЕ           21                                              

  1. ОПИСАНИЕ РЕАЛИЗАЦИИ ЗАДАЧИ                                                                      23                                                                                        

3.1 ОПИСАНИЕ РЕАЛИЗАЦИИ ЗАДАЧИ В MATHCAD                                    23                                                        

3.2 ОПИСАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ. ВЫВОД ПО РЕЗУЛЬТАТОМ ИССЛЕДОВАНИЯ                                                                                            25

ЗАКЛЮЧЕНИЕ                                                                                                                      26

3.3 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ                                      27                                            

Приложение А - Определение зависимости температуры тела от времени           28

Приложен Б – Исследование  температуры тела                                                      29

Приложение В –  Построение сводного графика                                                                 35

Приложение Г –  Построение аппроксимирующей функции                                         36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          ВВЕДЕНИЕ

Так как тепловые процессы  очень распространены в природе, науке и технике, быту, то они имеют большой интерес со стороны учёных. С широким развитием науки и техники повышаются требования к точности и надежности функционирования различных систем. Они должны быть точными, исправными и четко налаженными.

Целью моей курсовой работы является применение системы MathCAD для исследования  температуры тела. Для эффективного получения точных результатов актуально использование компьютерного моделирования, к примеру, в среде MathCAD.

MathCAD – главный помощник  инженера, радиолюбителя, математика  и конечно студента. MathCAD обладает  широкими вычислительными возможностями,  сохраняя при этом понятный  интерфейс и простоту ввода  данных. Данная программа помогает нам с решением различных систем и уравнений, их моделирование и исследование различных факторов воздействующих на нашу систему. Благодаря возмржности визуализации численных результатов в виде графиков MathCAD позволяет раскрыть содержание и цель задачи моделирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО ПРОЦЕССА

1.1ОБЩИЕ СВЕДЕНЬЯ О ТЕПЛОВОМ ПРОЦЕССЕ

Излучение - передача энергии от одних тел к другим в виде электромагнитных волн за счёт их тепловой энергии. Тепловое излучение в основном приходится на инфракрасный участок спектра, т.е на длины волн от 0,74 мкм до 1000 мкм. Отличительной особенностью лучистого теплообмена является то, что он может осуществляться между телами, находящимися не только в какой-либо среде, но и вакууме.

Рисунок 1.1 – Тепловое излучение в среде

Энергия изложения возникает за счёт энергии  других видов в результате сложных  молекулярных и внутриатомных процессов.

Природа всех лучей одна и та же. Они представляют собой распространяющиеся в пространстве электромагнитные волны. 

Источником  теплового излучения является внутренняя энергия нагретого тела. Количество энергии излучения в основном зависит от физических свойств и  температуры излучающего тела. Электромагнитные волны различаются между собой  или длиной волны, или частотой колебаний в секунду.

В зависимости  от длины волны  лучи обладают различными свойствами. Из всех лучей наибольший интерес для теплопередачи представляют тепловые лучи с = 0,8 – 40 мкм.

Излучение свойственно всем телам, и каждое из них излучает и поглощает энергию непрерывно, если температура его не равна 0 К.

При температурных равновесии тел количество отдаваемой энергии излучения равно  количеству поглощаемой энергии  излучения. Спектр излучения большинства твёрдых  и жидких тел непрерывен. Эти тела испускают лучи всех длин волн, от малых до больших.

Рисунок 1.2 – Термическое равновесие со средой

Спектр  излучения газов имеет линейчатый характер. Газы испускают лучи не всех длин волн. Такое излучение называется селективным (избирательным). Излучение газов носит объёмный характер.

    Опыт Мелони показали, что в излучении твёрдого тела участвуют не только поверхностные частицы, но и весьма тонкий слой определённый толщины. Суммарное излучение с поверхности тела по всем направлениям полусферического пространства и по всем направлениям полусферического пространства и по всем длинам волн от = 0 до = спектра называются энергией излучения (Q).

Поток излучения, или лучистый поток есть величина, равная отношению энергии излучения ко времени, за которое произошло излучение:

 

где: Ф – лучистый поток  [Вт];

       Q – энергия излучения [Дж];

      - время [c].

Поверхностная плотность потока излучения или излучательность, есть отношение потока излучения, приходящегося на элемент площадки поверхности излучающего тела, к площади, к тела,  к площади этого элемента, через которую проходит: 

где: М – излучательность тела[Вт/м2]; 

      A – площадь поверхности излучающего тела[м2].

Энергетическая  освещенность, или облучённость, есть отношение лучистого потока, падающего на элемент площади, к площади этого элемента:

  где:  Е – облучённость[Дж/м2];

        A – площадь поверхности, на которую падает лучистый поток [м2].

 Лучистая экспозиция, есть отношение лучистой энергии, падающей на элемент поверхности, к площади этого элемента и предстовляют собой поверхностную плотность падающего излучения:

 

 

где: Н –лучистая экспозиция[Дж/м2];

       Q – лучистая энергия[Дж];

       А –площадь[м2].

Энергетическая  сила света, или сила излучения, есть отношение потока излучения, распространяющегося внутри элементарного телесного угла, к этому телесному углу:

  где: I – сила излучения[Вт/ср];

      - телесный угол[стередиан];

      Ф – лучистый поток [Вт]. 

Энергетическая  яркость или лучистость, есть отношение энергетической силы света элемента излучающей поверхности к площади проекции этого элемента на плоскость перепдикулярную направлению наблюдения. Лучистость определяется по формуле:

где:  L – Лучистый поток [Вт/(ср*м2)];

        А – площадь [м2];

       - телесный угол [стередиан].

Каждое  тело способно не только излучать, но и  отражать, поглощать и пропускать через себя падающие лучи от другого  тела. Если обозначить общее количество энергии излучения, падающей на тело, через 1, то часть энергии, равная , поглотится телом, часть, равная , отразится, а часть равная , пройдёт сквозь тело. Отсюда:

 

где:

  - коэффициент поглощения;

- коэффициент отражения;

- коэффициент  пропускания.

Если  поверхность поглощает все падающие на неё лучи, т.е 

= 1, = 0, = 0, то такую поверхность называют абсолютно чёрной.

При исследований потоков излучения большое значение имеет распределение энергии излучения, испускаемой абсолютно чёрным телом по отдельным длинам волн спектра.

Каждой  длине волны лучей при определённой температуре соответствует  соя спектральная излучательность.

Если  поверхность отражает все падающие на неё лучи, т.е 

= 0, = 1, = 0, то такую поверхность называют абсолютно белой.

Если  тело имеет  следующие значения = 0, = 0, = 1,

то  такое тело называют абсолютно прозрачным для тепловых лучей.

Диффузным называют отражение, когда падающий луч при отражений расщепляется на множество лучей, идущих по всевозможным направлениям.

Зеркальной  называю  поверхность,  которая правильно отражает лучи, (т.е. отражение следует законам геометрической оптики).

Таким образом, свойства тел поглощать  или отражать тепловые лучи зависят в основном от состояния поверхности, а не от её цвета.

В природе  абсолютно чёрных, белых и прозрачных тел не существуют, тем не менее  понятие о них является очень  важным для сравнения с реальными  поверхностями.

 

 

 

 

Основной закон поглощения

Поглощение — это процесс поглощения одного или нескольких фотонов другой частицей, в результате чего энергия фотонов переходит в энергию этой частицы. В макромире это взаимодействие выглядит как переход электромагнитной  энергии в другие виды энергии, например, в тепловую энергию.

Рисунок 1.3 – Тепловое поглощение в среде

Излучать  и поглощать энергию могут  твёрдые и жидкие реальные тела конечной толщины, а так же 3-х и многоатомные газы. Если на какое-либо тело падает лучистый поток, то он уменьшается при прохождении сквозь это тело из-за частичного поглощения. При этом относительное изменение лучистого потока на пути определяют таким образом:

Коэффициент пропорциональности , зависящий от физических свойств тела, температуры и длины волны, называется показателем поглощения, имеет размерность .Знак  минус в правой части указывает на убывание лучистого потока.

Интегрируя  данное уравнение в пределах от 0 до при a=const, находим:

 или

Следовательно, коэффициент поглощения:

Полученное  уравнение показывает, что зависит от показателя поглощения и толщины слоя . При толщине =0  коэффициент =0 т.е. поглощение может происходить только в слое  вещества конечной толщины. Если  = , то = 1, т.е слой большой толщины поглощает луч целиком, как абсолютно чёрное тело. На влияет так же показатель поглощения : если велик, то поглощение происходит в тонком поверхностном слое. В связи с этим состояние поверхности тела оказывает большое влияние на его поглощательную и излучательную способности.

 

1.2 ОБЗОР ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Дифференциальные уравнения  являются основой огромного количества расчетных задач из самых различных областей науки и техники.

В MathCAD нет средств символьного (точного) решения дифференциальных уравнений, но достаточно хорошо представлены численные методы их решения.

Дифференциальные  уравнения – это уравнения, в которых неизвестные являются не переменные (т.е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях в частных производных. Таким образом, решить (иногда говорят проинтегрировать) дифференциальное уравнение – значит, определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных.

Как известно, одно обыкновенное дифференциальное уравнение или  система ОДУ имеет единственное решение, если помимо уравнения определенным образом заданы начальные или граничные условия.

  Имеется два типа задач, для которых возможно численное решение ОДУ с помощью MathCAD:

  • задачи Коши, для которых определены начальные условия на искомые функции, т.е.  заданы значения этих функций в начальной точке интервала интегрирования уравнения;
  • краевые задачи, для которых заданы определенные соотношения сразу на обеих границах интервала.

Из дифференциальных уравнений в частных производных есть возможность решать только уравнения с двумя независимыми переменными: одномерные параболические и гиперболические уравнения, такие как уравнения теплопроводности, диффузии, волновые уравнения, а также двухмерные эллиптические уравнения (уравнения Пуассона и Лапласа).

В MathCAD нет универсальной функции для решения дифференциальных уравнений, а есть около двадцати функций для различных видов уравнений, дополнительных условий и методов решения. Эти функции можно найти в библиотеке Insert/Function, категория “Differential Equation Solving (решение дифференциальных уравнений).

 

Решение Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ)

ОДУ первого порядка.

ОДУ первого порядка  называется уравнение

F(x,y,y’)=0

где: F – известная функция трех переменных;

x – независимая переменная на интервале интегрирования[a,b];

y – неизвестная функция;

y’ – ее производная.

Функция y(x) является решением дифференциального уравнения, если она при всех xÎ[a,b] удовлетворяет уравнению

F(x,y(x),y’(x))=0

График решения y(x) называется интегральной кривой дифференциального уравнения. Если не заданы начальные условия, таких решений y(x) будет множество. При известных начальных условиях y(x0)= y0 решение y(x) будет единственным.

Вычислительный процессор MathCAD может работать только с нормальной формой ОДУ.

  Нормальная форма ОДУ – это ОДУ, разрешенное относительно производной

y’=f(x,y)

ОДУ высших порядков

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:

F(x,y,y’,y’’, …,y(n))=0

где:    F – известная функция n+2 переменных;

x – независимая переменная на интервале интегрирования[a,b];

y – неизвестная функция;

n – порядок уравнения.

Функция y(x) является решением дифференциального уравнения, если она при всех xÎ[a,b] удовлетворяет уравнению

F(x, y(x), y’(x), y’’(x),…, y(n)(x))=0

Нормальная форма ОДУ высшего порядка имеет вид:

Y(n) =f(x, y, y’, …, y(n-1))

Если не заданы начальные  условия, то дифференциальное уравнение n – го порядка имеет бесконечное множество решений, при задании начальных условий y(x0)= y0, y’(x0)= y0,1, y’’(x0)= y0,2, …, y(n-1)(x0)= y0,n-1 решение становится единственным (задача Коши).

Задача Коши для дифференциального уравнения n – го порядка может быть сведена к задаче Коши для нормальной системы n дифференциальных уравнений 1-го порядка, которая в векторной форме имеет вид

Y’ = F(x, Y),     Y(x0) = Y0

где:    Y(x0) = Y0 – вектор начальных условий;

Y’=(y’1, y’2, …, y’n) – вектор первых производных;


F(x, Y) = (y2, y3, …, yn, f(x,y1, … , yn) – вектор правых частей;

Y = (y2, y3, …, yn) – вектор искомого решения.

Эта система получается в результате следующей замены: 

 


 

 


 

 

 

 

Для численного интегрирования ОДУ в MathCAD имеется выбор – либо использовать вычислительный блок Given/Odesolve, либо встроенные функции. Оба способа обладают одинаковыми возможностями, но при использовании блока решения запись уравнений более привычна и наглядна, однако отдельная функция может быть использована в составе других функций и программ. Рассмотрим оба варианта решения.

Для численного интегрирования ОДУ в MathCAD имеется выбор – либо использовать вычислительный блок Given/Odesolve, либо встроенные функции. Оба способа обладают одинаковыми возможностями, но при использовании блока решения запись уравнений более привычна и наглядна, однако отдельная функция может быть использована в составе других функций и программ. Рассмотрим оба варианта решения.

Вычислительный блок Given/Odesolve    

Ниже приведены два  примера для решения дифференциальных уравнений первого и второго  порядка с использованием вычислительного  блока решения Given/Odesolve

 

1.3 РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Вычислительный блок для решения одного ОДУ состоит  из трех частей:

  • ключевое слово given;
  • ОДУ и начальные условия, записанные с помощью логического равенства;
  • встроенная функция Odesolve(x, b) относительно независимой переменной x на интервале [a, b]; b – верхняя граница отрезка интегрирования.

Допустимо и даже предпочтительнее задание функции Odesolve(a, b, step) с тремя параметрами, где step – внутренний параметр численного метода,

определяющий количество шагов; чем больше step, тем с лучшей точностью

будет получен результат, но тем больше времени будет затрачено на его поиск.

Функция Odesolve возвращает решение задачи в виде функции. Эта функция не имеет символьного представления и может только вернуть численное значение решения уравнения в любой точке интервала интегрирования.

Функция Odesolve использует для решения дифференциальных уравнений наиболее популярный алгоритм Рунге-Кутта четвертого порядка, описанный в большинстве книг по методам вычислений. Он обеспечивает малую погрешность для широкого класса систем ОДУ за исключением жестких систем. Если щелчком правой кнопки мыши на блоке формул с функцией Odesolve вызвать контекстное меню, то можно изменить метод вычисления решения, выбрав один из трех вариантов: Fixed – метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом интегрирования (этот метод используется по умолчанию), Adaptive – также метод Рунге-Кутта, но с переменным шагом, изменяемым в зависимости от скорости изменения функции решения, Stiff – метод, адаптированный для решения жестких уравнений и систем (используется так называемый метод PADAUS).

Альтернативный метод решения ОДУ заключается в использовании одной из встроенных функций: rkfixed, Rkadapt, или Bulstoer. Все они решают задачу Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка, но каждая из них использует для этого свой метод. Для простых систем не играет большой роли, какой метод использовать – все равно получите решение достаточно быстро и с высокой точностью. Но для сложных или специфических систем бывает, что некоторые методы вообще не могут дать удовлетворительного решения за приемлемое время. Именно для таких сложных, но не редких случаев в MathCAD и введено несколько различных методов решения систем ДУ.

  • rkfixed – метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом интегрирования. Самый простой и быстрый метод, но далеко не всегда самый точный. Полностью аналогичен использованию функции Odesolve с выбранным в контекстном меню методом Fixed.
  • Bulstoer – метод Булирша – Штера. Этот метод более эффективен, чем метод Рунге-Кутта, в случае если решение является плавной функцией.

Имена функций Rkadapt и Bulstoer начинаются с прописной буквы. В MathCAD для некоторых имен функций неважно, с какой буквы они записаны, но для перечисленных функций это принципиально, т.к. в MathCAD также существуют функции с такими же именами, только записанные с маленькой буквы – rkadap, bulstoer. Эти функции используются в тех случаях, когда важным является решение задачи в конечной точке интервала интегрирования.  

Ниже приведены примеры решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка, которые были решены с использованием вычислительного блока Given/Odesolve.

Рисунок 1.4 – Решение ОДУ первого порядка

 

 

Рисунок 1.5 – Решение ОДУ высшего порядка

 

 

 

 

 

2 АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ  АНАЛИЗ В ЗАДАЧИ

    1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

  1. Тело, имеющее в начальный момент температуру T(0)=T0, поместили в среду, температура которой поддерживается постоянной и равна T.

С использованием системы MathCAD определить изменения температуры тела с течением времени. Построить график функции T(t), сделать выводы.   К чему стремится значение функции T(t) с увеличением t?

  1. Исследовать влияние значений изменяемого параметра на вид функции температуры в среде. Значения варьируемого параметра выбрать самостоятельно (не менее 7 значений).

  1. Построить сводный график всех полученных функций температур на  одном поле.

  1. Вычислить аналитические аппроксимирующие функции по результатам исследований п.2. Построить графически исходную и аппроксимирующую зависимости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 АНАЛИЗ ИСХОДНЫХ  ДАННЫХ. ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Исходными данными для  работы являются:

T0 – начальная температура тела;

T1 –  температура среды; 

t – время исследования;

 – коэффициент пропорциональности ( > 0);

Таблица 2.1 – исходные данныx:

Вариант

T0, С0

T1, С0

t, с

Варьируемый параметр

3-6

50

30

0.087

0-150

T1




 

 

 

 

 

Математическая модель.

Тело, имеющее в начальный момент температуру T(0)=T0, поместили в среду, температура которой поддерживается постоянной и равна T.

Экспериментально установлено, что  при определенных упрощениях скорость изменения температуры  тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Это означает, что

где коэффициент пропорциональности.

Знак минус в правой части  уравнения соответствуют экспериментальным  данным: если T(t)-T1>0, то температура тела убывает и поэтому скорость его изменения отрицательна, если же T(t)-T1<0, то температура тела возрастает, а следовательно, скорость ее изменения положительна.

Итак, процесс нагревания (или охлаждения) тела в среде с изменной температурой моделируется уравнением указанным выше.

 

 

Значения варьируемого параметра T1 выбираем самостоятельно. Значения варьируемого параметра запишем в таблицу 2.

Таблица 2.2 – Значения варьируемого параметра T1

T1 С0

T2 С0

T3 С0

T4 С0

T5 С0

T6 С0

T7 С0

T8С0

0

5

10

15

20

25

30

35


 

Описание математической модели

  1. Задаём начальные условия:

T1=32;  y=0.087.

  1. Записываем исходное уравнение:

D (t,T):=-y(T-T1)

  1. Решаем уравнение с помощью функции rkfixed, получим:

Z:=rkfixed (T0,0,65,1000,D)

  1. Получаем значения Z, где 1-ый столбец – это время, а второй – температура в определённое время.

Рисунок 2.1 – Таблица значений

5)  После этого, строим график зависимости температуры от времени, а так же определим изменение температуры в течении определённого времени.

Рисунок 2.2 – График зависимости

6)  Для определения изменения температуры в течении определённого времени: в таблице Z находим значение t, равное температуре T.

Изменяем значение параметра не менее 7 раз.

Производим все вышеперечисленные  операции для измененного значения -  в результате чего получаем изменение температур. Строим сводный график изменений температур при различных значениях.

2.3 СХЕМА АЛГОРИТМА  РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ И ЕЁ ОПИСАНИЕ






 



 



 






 









 

 



 

 

 

    1. В MathCAD вводим исходные данные.
    2. Нашли  функции зависимости температуры тела от времени.
    3. Построили  график зависимости температуры тела от времени.
  1. Построили сводный график зависимостей температуры тела от времени.
  2. Подобрали  аппроксимирующую функцию, по результатом исследования.
  3. Построили график исходной и аппроксимирующей функций .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.ОПИСАНИЕ  РЕАЛИЗАЦИИ ЗАДАЧИ

3.1ОПИСАНИЕ РЕАЛИЗАЦИИ  ЗАДАЧИ В MathCAD

Задаём начальные условия. Известно, что скорость изменения  температуры тела пропорциональна  разности температур тела и окружающей среды и выражается уравнением:

Применение системы MathCAD для исследования температуры тела