Применение теории матричных игр с нулевой суммой в создании экономических стратегий

40

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема»

Кафедра высшей математики и методики обучения математике

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Прикладные методы оптимизации»

на тему: «Применение теории матричных игр с нулевой суммой при разработке экономической стратегии»

Научный руководитель

ст. преподаватель

Василенко В.С

Выполнил

студент 3 курса факультета МИТТ

группа 1591

Олейников Максим Сергеевич

                                               Дата сдачи:

«_____» _______________ 2012 г.

Оценка:

____________________________________________________________

Биробиджан 2012

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………3  

1.Типы экономических стратегий предприятия………………………………………5

1.1 Стратегии концентрированного роста………………………………………….5

1.2 Стратегии интегрированного роста…………………………………………….5

1.3 Стратегии диверсифицированного роста………………………………………6

1.4 Стратегии сокращения…………………………………………………………..6

2. Матричные игры с нулевой суммой………………………………………………..8

2.1 Правила и понятие матричной игры…………………………………………...8

2.2 Метод игр в чистых стратегиях, упрощения платежных матриц…………...9

2.3 Методы решения матричных игр в смешанных стратегиях…………………12

2.3.1Решение матричной игры графическим способом…………………….12

2.3.2 Решение матричной игры сведением к задаче линейного……………16 программирования

2.3.3Игры с природой…………………………………………………………21

2.4 Применение теории игр в экономике………………………………………….26

3. Решение игры об открытии яхт-клуба……………………………………………..33

3.1 Постановка задачи………………………………………………………………33

3.2 Решение задачи в чистых стратегиях………………………………………….34

3.3 Решение задачи в смешанных стратегиях - игры с природой……………….35

Заключение…………………………………………………………………………….39

Список используемой литературы…………………………………………………...40    

Введение

В течение жизни у каждого индивидуума возникают ситуации, когда интересы двух или более сторон зависят от действий друг друга, при этом у каждого своя цель. К примеру, игры в шашки, домино, покер и другие. Возникает конфликт сторон, результат каждого действия одной стороны зависят от действий другой. Во многих сферах деятельности создаются конфликты. Одна из них экономическая.

В экономической сфере конфликт постоянен. Он как топливо для развития экономики. Столкновение интересов в экономике происходят на каждом шагу: между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом. Все эти конфликты создаются из-за различия интересов сторон. Каждый хочет получить наибольшею выгоду. Чтоб её получить, нужен проверенный научный метод, который будет учитывать интересы и действия всех сторон. Такой метод был рaбoтaн математической теорией конфликтных ситуаций. Ему дали название5 теория игр.

Теория игр создана для нахождения лучшей стратегии для каждого игрока. Она подразумевает разумные действия каждой стороны по отношению достижения своей цели. Как и все научные методы теория игр не дает 100 % варианта и не может гарантировать что именно так и произойдет ситуация конфликта. Она пытается захватить максимальное число факторов, влияющих на ситуацию.

Самый первый труд написанный Дж. фон Нейман, Моргенштерн О Теория игр и экономическое поведение. Очень большой труд по теории игр. Хорошо расписана теория игр с нулевой суммой. Много теории и примеров. Очень подробно расписана такая сложная игра как покер. Разобраны игры двух, трех и четырех человек. А также более пяти игроков, что уже трудно для просчета.

Следующая книга написанная Г.Оуэн «Теория игр» в 1971 году содержит более компактный материал. Также много внимания как и в предыдущей книге обращено на игры с нулевой суммой. Охватывает большинство направлений теории игр. Хорошая книга для первоначального изучения.

Книга Крушевского А.В. Теория игр полезная для написания курсовой по играм с нулевой суммой. Много примеров затрагивающие разные сферы деятельности. Весь материал написан замечательно, это учебное пособие отлично подойдет для студентов  и преподавателей.

Э.Мулен  Теория игр с примерами  из математической экономики написана тяжелым научным языком. Книга написана для запада, перевод на русский хороший, но все же сложный текст.

И самая понятная книга, которую я читал учебное пособие Бушуева А.Б. Очень легкая для понимания, слова подобранны максимально простые для всеобщего понимания. Сама книга не обхватывает большой материал, но для первоначального понимания теории игр хороша.

Теория игр крепко заняла свою нишу. Данный способ является хорошим помощником в многих сферах деятельности и еще долгое время не потеряет своей актуальности.

1.Типы экономических стратегий предприятия

1.1 Стратегии концентрированного роста

В случае следования этим стратегиям фирма пытается начать производить новый или улучшить свой продукт, при этом, не меняя отрасли. Фирма пытается найти возможные улучшения положения на существующем рынке или перехода на новый рынок.

К первой группе относятся следующие типы стратегий:

• поиск новых рынков для уже производимого продукта называется стратегией развития   рынка;

• стратегия развития продукта, предполагающая решение задачи роста за счет производства нового продукта, который будет реализовываться на уже освоенном фирмой рынке.

• стратегия усиления позиции на рынке – во время этой стратегии фирма делает все, чтобы на данном рынке с данным продуктом завоевать лучшие позиции. [1]

1.2 Стратегии интегрированного роста

Ко второй группе относятся следующие типы стратегий:

• стратегия вперед идущей вертикальной интеграции выражается в росте фирмы за счет усиления контроля либо же приобретения структур, находящимися между фирмой и конечным потребителем, а именно системами распределения и продажи.

• стратегия направлена на рост фирмы за счет приобретения либо же усиления контроля над поставщиками - называется стратегия обратной вертикальной интеграции.[2]

1.3 Стратегии диверсифицированного роста

Условие реализации этой стратегии – фирма не может дальше развиваться с данным продуктом на данном рынке в рамках данной отрасли.

К третьей группе относятся следующие типы стратегий:

• стратегия горизонтальной диверсификации предполагает поиск возможностей роста на существующем рынке за счет новой продукции, требующей новой технологии, отличной от используемой.

• стратегия конгломеративной диверсификации состоит в том, что фирма расширяется за счет производства технологически не связанных с уже производимыми новых продуктов, которые реализуются на новых рынках.

• стратегия центрированной диверсификации базируется на поиске и использовании дополнительных возможностей производства новых продуктов, которые заключены в существующем бизнесе. [3]

1.4 Стратегии сокращения

Условия реализации данной стратегии - фирма нуждается в перегруппировке сил в связи с необходимостью повышения эффективности или после длительного периода роста, когда наблюдаются спады и кардинальные изменения в экономике, например структурная перестройка и т.п.

Выделяется четыре типа стратегий целенаправленного сокращения бизнеса:

• стратегия сокращения подразумевает собой продажу или закрытие одного из своих бизнесов или своих подразделений;

• когда у фирмы нет возможности далее вести свой бизнес, то применяется стратегия ликвидации, представляющая собой предельный случай стратегии сокращения;

• стратегия «сбора урожая» предполагает отказ от долгосрочного развития бизнеса в пользу быстрого получения максимального дохода в краткосрочный период

• стратегия сокращения расходов достаточно близка к стратегии сокращения, так как ее основной идеей является поиск возможностей уменьшения издержек и проведение соответствующих мероприятий по сокращению затрат. Однако данная стратегия обладает определенными отличительными особенностями, которые состоят в том, что она больше ориентирована на устранение достаточно небольших источников затрат, а также в том, что ее реализация носит характер временных или краткосрочных мер.[4]

2. Матричные игры с нулевой суммой

2.1 Правила и понятие матричной игры

Правила матричной игры:

1.Участвуют два игрока;

2.Игроки имеют определенное количество стратегий;

3.Игроки делают один ход, не зная о действиях противника

Результат является выигрыш или проигрыш в игре в зависимости от стратегий, выбранных игроком

4. Проигрыш и выигрыш выражаются числами.

Матричная игра с нулевой суммой - это игра, в которой  выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.

Платежная матрица есть у каждой матричной игры с нулевой суммой. Для построения платежной матрицы одного игрока называют символом А, а другого символом В. Игрок А может применить стратегии A1, A2,..., Am,, Игрок В может применить стратегии B1,B2,...,Bn .

Игрой типа mn называется матричная игра в которой игрок А имеет

m стратегий, а игрок В n стратегий.

Элементы (i =1,2,...,m; j=1,2,...,n) равны выигрышам игрока A(и проигрышам игрока B) при применении игроками стратегий и соответственно.

Матрица C называется платежной матрицей игры. Платежная матрица – это табличная запись функции выигрыша, исхода игры.[5]

2.2 Методы матричных игр в чистых стратегиях

Рассмотрим парную игру с нулевой суммой, в которой выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.

Игрок А располагает m чистыми стратегиями А1, А2, … , Аm.   Игрок В

n чистыми стратегиями B1, B2, … , Bn. Игра определена, если указано правило, сопоставляющее каждой паре чистых стратегий Ai и Bj число aij – выигрыш игрока А за счет игрока B. При aij<0 игрок А платит игроку В сумму |aij|. Если известны значения aij выигрыша для каждой пары (Ai,Bj) стратегий, то можно составить матрицу игры – платежную матрицу.

Целью игроков является выбор наиболее выгодных стратегий, доставляющих игроку А максимальный выигрыш, а игроку В минимальный проигрыш. В теории игр предполагают, что каждый игрок считает своего противника разумным и стремящимся помешать ему достичь наилучшего результата.

Оптимальной стратегией для игрока А называют стратегию, если при ее применении выигрыш игрока А не уменьшается, какими бы стратегиями не пользовался игрок В.

Оптимальной стратегией для игрока В называют стратегию, при использовании которой проигрыш игрока В не увеличивается, какие бы стратегии ни применял  игрок А.

С учетом этого игрок А анализирует матрицу выигрышей: для каждой чистой стратегии Аi он определяет минимальное значение . Затем по минимальным выигрышам αi он отыскивает такую чистую стратегию Аi0, при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т.е. находит

.

Число α называется нижней чистой ценой игры (максимином). Оно показывает, какой минимальный выигрыш может получить игрок А, применяя свои чистые стратегии при любых действи­ях игрока В. Соотве­тствующая стратегия Аi0 игрока А называется максиминной.

Игрок В старается максимально уменьшить проигрыш. Для каждой чистой стратегии Вj он отыскивает . Затем по βj находит свою стратегию Bj0, при которой его проигрыш будет минимальным, т.е.

.

Число β называется верхней чистой ценой игры (минимаксом). Оно показывает, какой максимальный проигрыш при использовании своих чистых стратегий может быть у игрока В. Соответствующая чистая стратегия Bj0 игрока B мини­максной.

Таким образом, используя чистые стратегии игрок А обеспечивает выигрыш не меньше α, а игрок B в результате применения своих чистых стратегий не позволит игроку А выиграть больше, чем β. Принцип осторожности, диктующий игрокам выбор максиминной и минимаксной стратегий, называют принципом минимакса.

Пример1.2 Найти максиминную и минимаксную стратегии в игре с матрицей

Решение.

Макси­минной чистой стратегией является А2.

Минимаксной для игрока B является стратегия В3.

Теорема 1. В матричной игре нижняя чистая цена игры не превосходит верхней чистой цены игры, т.е. α ≤ β.

Доказательство:

По определению

,

значит αi ≤ aij ≤ βj или αi ≤ βj.

Это неравенство справедливо при любых комбинациях i и j. Будет оно справедливо для тех i и j, для которых и , и при этих i и j получим α ≤ β.

Если в матричной игре нижняя и верхняя чистые цены игры совпадают, т.е. α = β, то это игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры .

Обозначим через i* и j* номера чистых стратегий, при которых имеет место равенство α = β. Пару чистых стратегий игроков А и В, при которых достигается равенство α = β, называют седловой точкой матричной игры, а элемент ai*j* матрицы, стоящий на пересечении i* строки и j* столбца, – седловым элементом платежной матрицы.

Седловой элемент является наименьшим в i* строке и наибольшим в j* столбце, т.е. . Поэтому, если игрок В отклонится от своей минимальной стратегии, то его проигрыш может увеличиться. Аналогично, отклонение игрока А от своей максимальной стратегии ведет к уменьшению его выигрыша. Таким образом, минимальные стратегии в игре с седловой точкой обладают свойством устойчивости, создают ситуацию равновесия. Следовательно, если в матрице игры существует седловой элемент, то наилучшими для игроков являются их минимальные стратегии. Назовем чистые стратегии и , образующие седловой элемент, оптимальными чистыми стратегиями соответственно игроков А и В. Набор назовем решением игры.

2.3 Решения матричных игр в смешанных стратегиях

2.3.1 Решение матричной игры графическим методом

Суть графического метода состоит в том, что из матрицы удаляют дублирующие и поглощаемые строки и столбцы. Дублирующими называют полностью одинаковые строки или столбцы. Доминирующей строкой называется такая строка, которая содержит элементы, большие или равные соответствующим элементам другой строки, называемой поглощаемой. Доминирующим столбцом называется такой, который содержит элементы, меньше или равные соответствующим элементам другого столбца, который называется поглощаемым.

Воспользуемся табл. 2.3.1

Строка (стратегия) А1 является доминирующей по отношению к строке (стратегии) А4 , так как содержит элементы, большие соответствующих элементов строки А4 . Соответственно строка А4 является поглощаемой и из дальнейшего рассмотрения удаляется (табл. 2.3.2).

Таблица 2.3.2

Первый шаг упрощения таблицы

Первый столбец является доминирующим по отношению ко второму, третьему и четвертому столбцам (поглощаемым). Поступаем аналогично

(табл. 2.3.3).

Таблица 2.3.3

Второй шаг упрощения таблицы

Еще раз рассматриваем строки. Первая строка поглощает третью строку. Поглощаемые строки (столбцы) содержат самые плохие стратегии. Окончательно получим (табл. 2.3.4).

Таблица 2.3.4

Третий шаг упрощения таблицы

Вероятность использования первой фирмой первой стратегии обозначим через p1. Тогда вероятность использования второй стратегии первым игроком будет p2 = 1- p1 . Ожидаемый выигрыш фирмы А от применения

(3.1)