Применение тройных интегралов к решению задач

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 
Государственное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования 
“ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ” 
(ГОУ ВПО “ЛГПУ”)

Факультет физико-математических и компьютерных наук

 

 

Курсовая  работа:

 «Применение тройных интегралов

к решению  задач».

 

 

 

 

 

 

                                                                                         

 

 

 

                                                 

 

Липецк. 2010

 

Оглавление

Введение

1 Тройные интегралы 4

1.1 Определение тройного интеграла 4

1.2 Вычисление тройных интегралов 5

1.3 Замена переменных в тройном интеграле 7

2 Приложения тройного интеграла 11

3 Решение задач 14

3.1 Тройной интеграл  в декартовых координатах 14

3.2 Тройной интеграл в цилиндрических координатах 16

3.3 Тройной интеграл  в сферических  координатах 19

3.4 Вычисление объёмов с помощью тройного интеграла 23

3.5 Вычисление массы тела 26

Заключение

Литература

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

      Интеграл -  одно  из  важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую  путь,   пройденный движущейся точкой, по скорости этой  точки),  а  с  другой  -   измерять  площади,  объемы,  длины  дуг,  работу  сил  за   определенный   промежуток времени и т. п.

      Символ  введен  Лейбницем  (1675  г.).  Этот  знак   является изменением латинской буквы S  (первой буквы слова сумма).  Само  слово интеграл придумал  Я. Бернулли (1690  г.).  Вероятно,  оно происходит от латинского integero, которое переводится как  “приводить  в   прежнее состояние”,    “восстанавливать”. ( Действительно, операция  интегрирования “восстанавливает” функцию,  дифференцированием  которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в  прошлом веке,

решение этой задачи связано с именами  О.  Коши,  одного  из  крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.),  французского математика Г. Дарбу  (1842 - 1917).

       Ответы на многие вопросы, связанные  с  существованием  площадей   объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданов (1826 -  1922  гг.)

теории меры.

       Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего  столетия

были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и  А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком  А. Я. Хичиным (1894  -1959 гг.)

         В данной работе я рассматриваю способы вычисления тройных инте- гралов, вычисления тройных интегралов в различных системах координат, связь между ними и примеры решения часто встречающихся задач.

1. Тройные интегралы

1.1 Определение тройного интеграла. Тройной интеграл является аналогом двойного интеграла и вводится для функции трех переменных.

Пусть в некоторой замкнутой  ограниченной области трехмерного пространства задана ограниченная функция: 
 

Разобьем область  на n произвольных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами .

В каждой области возьмем  произвольную точку  и составим сумму:

 

 
                                                               (1)

 

которая называется интегральной суммой для функции по области . Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей.

Определение. Если интегральная сумма (1) при имеет предел, равный , то этот предел называется тройным интегралом от функции по области и обозначается одним из следующих символов:

    

 

В этом случае функция  называется интегрируемой в области ; -областью интегрирования; , и — переменными интегрирования; (или )- элементом объема.

В дальнейшем, поскольку  результаты, полученные для двойных интегралов, вместе с их доказательствами могут быть перенесены на тройные интегралы, ограничимся только формулировками утверждений и краткими пояснениями.

Тройные интегралы являются непосредственным обобщением двойных  интегралов на случай трехмерного пространства. Они обладают аналогичными двойным  интегралам необходимыми и достаточными условиями существования и свойствами. Если положить всюду в области , то из определения тройного интеграла следует формула для вычисления объема тела :

 

 

1.2 Вычисление тройных интегралов. Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройных интегралов сводится к вычислению интегралов меньшей кратности.

Рассмотрим область , ограниченную снизу и сверху поверхностями и а с боковых сторон цилиндрической поверхностью, и пусть область — проекция области V на плоскость (рис. 1),

Рис. 1

 

в которой определены и  непрерывны функции  и . Предположим, далее, что каждая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для любой функции , непрерывной в области , имеет место формула

 

позволяющая свести вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению внутреннего определенного интеграла  по переменной (при постоянных и ) и внешнего двойного интеграла по области .

       Выражение

 

 

представляет собой функцию  двух переменных. Если для этой функции и области , по которой она интегрируется, выполнены условия теоремы 13.4, то, переходя от двойного интеграла

 

к повторному, получаем формулу

 

 

(2)

 

 

сводящую вычисление тройного интеграла к последовательному  вычислению трех определенных интегралов. Порядок интегрирования может быть и другим, т. е. переменные , и в формуле (2) можно менять ролями.

В частности, если —параллелепипед с гранями , , ,, , , то формула (2) принимает вид

 

 

(3)

 

В этом случае интегрирование можно производить в любом  порядке.

 

 

1.3 Замена переменных в тройном интеграле.

     Как для  двойных интегралов, так и для  тройных имеют место формулы  перехода от прямоугольных координат  к новым системам координат,  наиболее употребительными из  которых являются цилиндрические и сферические координаты.

Замену переменных в тройном  интеграле производят по следующему правилу.

Если ограниченная замкнутая  область  пространства взаимно однозначно отображается на область пространства с помощью непрерывно дифференцируемых функций

, , , и якобиан * в области не обращается в нуль:

 

 

то справедлива формула:

 

 

 

В частности, при переходе от прямоугольных координат  к цилиндрическим координатам , , (рис. 2), связанным с формулами:

 

 

 

 

 

 

 якобиан преобразования , поэтому:

 

 

(4)

 

Название “цилиндрические координаты” связано с тем, что координатная поверхность =const  (т. е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату ) является цилиндром, прямолинейные образующие которого параллельны оси .

Рис. 2

 

При переходе от прямоугольных  координат  к сферическим координатам , , (рис. 3), связанным с формулами:

  

 

 

 

 

якобиан преобразования , поэтому:

 

 

(5)

 

Название “сферические координаты” связано с тем, что координатная поверхность =const  (т. е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату ) является сферой. Сферические координаты иначе называют полярными координатами в пространстве.

При вычислении тройного интеграла  путем перехода к цилиндрическим или сферическим координатам область обычно не изображают, а пределы интегрирования расставляют непосредственно по виду области , используя геометрический смысл новых координат.

 

 Рис. 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Приложения тройного интеграла

Объем области выражается формулой:

 

 

 

В сферических координатах  этот интеграл имеет вид:

 

 

 

 

 

в цилиндрических координатах:

 

Если тело занимает объем и - плотность его в точке то масса тела равна:

 

 

Координаты центра тяжести  тела вычисляются по формулам:

 

 

 

 

 

Где - масса тела.

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей определяются интегралами:

 

 

 

 

Момент инерции тела относительно оси  определяется интегралом:

 

где - расстояние точки тела от оси . В частности, моменты инерции тела относительно координатных осей , , определяются формулами:

 

 

 

 

 

Момент инерции тела относительно начала координат определяется формулой l₀ =  

 

Очевидно,  верны следующие  соотношения:  

 

  , ,   , 

 

Ньютоновым потенциалом  тела в точке  ,   называется интеграл:

 

 

 

где - объем тела, - плотность тела,.

 

Материальная точка массы  m притягивается телом с силой, проекции которой , , на оси координат , , равны:

 

 

 

 

 

 

 

3.Решение задач

3.1 Тройной интеграл в декартовых координатах

Постановка задачи. Вычислить тройной интеграл

 

где область  ограничена некоторыми поверхностями.

План решения :

1. Зададим область системой неравенств, например,

 

 

 

2. Перейдем от тройного интеграла к повторному:

 

3. Используя свойства определенного интеграла, последовательно интегрируем сначала по (считая и постоянными), затем по (считая постоянной), затем по .

Записываем ответ.

Пример. Вычислить тройной интеграл:

 

где ограничена плоскостями:

 

 

Решение.

1. Зададим область неравенствами. Очевидно, что . Для возможны неравенства или . Если , то и для х имеем . Если же то и область не примыкает к плоскости . Значит, мы должны принять, что и определить системой неравенств :

 

 

2. Перейдем от тройного интеграла к повторному:

 

3. Используя свойства определенного интеграла, последовательно интегрируем сначала по (считая и постоянными), затем по (считая постоянной), затем по :

 

Ответ:

3.2 Тройной интеграл в цилиндрических  координатах

 

Постановка задачи. Вычислить тройной интеграл:

 

где область  ограничена поверхностями

 

 

План решения.

1. Поскольку - тело вращения вокруг оси , удобно перейти к цилиндрическим координатам:

 

 

 

При этом а искомый интеграл определяется формулой:

 

 

2. Зададим область неравенствами. Для этого сначала заменим в уравнениях поверхностей на и на . Тогда определяется неравенствами или .

Чтобы выбрать правильные неравенства, решаем уравнение  относительно . Если оно имеет два решения и то исследуем, какая из функций или больше другой на промежутке . Предположим для определенности, что

 при . Тогда область определяется системой неравенств:

 

 

 

 

Если уравнение  имеет единственное положительное решение , то неравенства для имеют вид .

 

3. Переходим от тройного  интеграла к повторному:

 

 

и последовательно интегрируем, используя свойства определенного  интеграла.

Записываем ответ.

 

Пример. Вычислить тройной интеграл

 

 

 

 

 

где область  ограничена поверхностями:

 

,        .

 

Решение.

1. Поскольку - тело вращения вокруг оси , удобно перейти к цилиндрическим координатам:

 

 

При этом , а искомый интеграл определяется формулой:

 

 

2. Зададим область неравенствами. Для этого сначала заменим в уравнениях поверхностей на и на . Тогда определяется неравенствами или . Чтобы выбрать правильные неравенства, решаем уравнение:

 

Это уравнение имеет единственное положительное решение . Следовательно, . При :

 

 

 

Таким образом, область  определяется системой неравенств:

 

 

 

3. Переходим от тройного  интеграла к повторному:

 

 

 

Последовательно интегрируя, получаем:

 

 

Ответ:

 

 

3.3 Тройной интеграл  в сферических координатах

 

Постановка задачи. Вычислить тройной интеграл:

 

где область  ограничена поверхностями:

 

План решения.

1. Поскольку  ограничена сферой и круглым конусом, удобно перейти к сферическим координатам:

 

 

Возможные границы изменения  сферических координат :

 

 

 

При этом , а искомый интеграл определяется формулой :

 

 

2. Заменяем в уравнениях поверхностей на , на и на . Получаем:

 

 

 

3. Зададим область с помощью системы неравенств:

 

 

 

где границы изменения  находим, решая уравнение и учитывая, что может изменяться только от до ^-.

 

Замечание. Если , ограничена также плоскостями и проходящими через ось , уравнения которых в сферических координатах имеют вид и находим границы изменения , решая эти уравнения.

4. Переходим от тройного интеграла к повторному:

 

 

и последовательно интегрируем, используя свойства определенного  интеграла.

Записываем ответ.

 

Пример. Вычислить тройной интеграл:

 

 

где область  ограничена поверхностями:

 

Решение.

1. Поскольку — область, ограниченная верхней полусферой и верхним полуконусом , удобно перейти к сферическим координатам:

 

 

 

При этом , а искомый интеграл определяется формулой:

 

 

 

2. Заменяем в уравнениях поверхностей на , на и на . Получаем:

 

 

 

3. Зададим область с помощью системы неравенств:

 

 

 

4. Переходя от тройного интеграла к повторному и последовательно интегрируя, получаем:

 

 

Ответ:.

 

3.4 Вычисление объёмов с помощью тройного интеграла

 

Постановка задачи. Найти объем тела , ограниченного заданными поверхностями.

 

План решения. Искомый объем равен:

 

1. Зададим область неравенствами.

2. Вычисляем тройной интеграл, сводя его к повторному, и записываем ответ, не забывая о размерности.

 

Пример 1. Найти объем тела , ограниченного поверхностями:

 

 

Решение.

1. Зададим область неравенствами. Поскольку , для имеем неравенства . Поскольку у фигурирует под знаком квадратного корня, . Для возможны неравенства или . В первом случае . Во втором случае, т.е. область неограничена, что неприемлемо.

 

Итак,

 

 

2. Вычисляем объем ,сводя тройной интеграл к повторному:

 

Ответ: ед. объема.

 

Пример 2. Найти объем тела ограниченного поверхностями:

 

 

 

Решение.

1. Поскольку  - тело вращения вокруг оси удобно использовать цилиндрические координаты:

 

 

При этом , а искомый объем определяется формулой :

 

где область  ограничена поверхностями:

 

2. Зададим область  неравенствами. Возможны два случая: либо

 , либо . В первом случае , во втором случае , т.е. область неограничена, что неприемлемо.

Итак,

 

 

3. Вычисляем объем, сводя  тройной интеграл к повторному:

 

Ответ: ед. объема.

 

Пример 3. Найти объем тела , ограниченного поверхностями:

 

Решение.

1. Поскольку - область, ограниченная верхней полусферой и верхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам:

 

При этом , а искомый объем определяется формулой:

 

Заменяем в уравнениях поверхностей на , на и на . После преобразований получаем:

 

 

 

Область ограничена этими поверхностями.

2. Зададим область  системой неравенств:

 

 

3. Вычисляем объем, сводя  тройной интеграл к повторному:

 

Ответ: ед. объема.

 

3.4 Вычисление массы тела

Постановка задачи. Найти массу тела с плотностью , ограниченного заданными поверхностями.

 

 

План решения.

1. Масса тела  с плотностью , определяется формулой:

 

2. Зададим область  неравенствами.

3. Вычисляем тройной интеграл, сводя его к повторному, и записываем ответ, не забывая о размерности.

 

Пример 1. Найти массу тела с плотностью , ограниченного поверхностями:

 
Решение.

1. Масса тела  с плотностью определяется формулой:

 

2. Зададим область  неравенствами. Поскольку , для имеем неравенства . Поскольку фигурирует под знаком квадратного корня, . Для возможны неравенства или . В первом случае . Во втором случае , т.е. область неограничена, что неприемлемо.

Итак,

 

3. Вычисляем , сводя тройной интеграл к повторному:

 

Ответ: ед. массы.

 

Пример 2. Найти массу тела с плотностью , ограниченного поверхностями:

 
Решение.

1. Масса тела  с плотностью определяется формулой:

 

Поскольку - тело вращения вокруг оси , удобно перейти к цилиндрическим координатам:

 

При этом а искомая масса определяется формулой:

 

Заменяем в уравнениях поверхностей на и на . Получим

 

2. Зададим область  системой неравенств:

 

 

 

3. Вычисляем , сводя тройной интеграл к повторному:

 

Ответ: ед. массы.

 

Пример 3. Найти массу тела с плотностью , ограниченного поверхностями:

Решение.

1. Масса тела  с плотностью определяется формулой:

 

Поскольку - область, ограниченная верхней полусферой и верхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам:

 

 

 

При этом   а искомая масса определяется формулой:

 

Заменяем в уравнениях поверхностей на , на и на . Получаем:

 

Область ограничена этими поверхностями.

2. Зададим область  системой неравенств:

 

 

3. Вычисляем , сводя тройной интеграл к повторному:

 

Здесь мы воспользовались  формулой:

 

 

Ответ: ед. массы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

      Итак, тройные интегралы являются непосредственным обобщением двойных интегралов на случай трехмерного пространства. Они обладают аналогичными двойным интегралам необходимыми и достаточными условиями существования и свойствами. Тройные интегралы, как и двойные, имеют широкое применение в различных физических и геометрических задачах. Нахождение массы тела, момента инерции тела, ньютоновского потенциала тела в точке и других задач сводится к вычислению тройного интеграла.

      Тройные интегралы в некоторых случаях более удобны для вычисления объемов, чем двойные, так как с их помощью можно вычислить объем не только криволинейного цилиндра, но и других тел.

      Главной особенностью тройного интеграла стало его широкое применение в физике и геометрии. Именно это сделало тройной интеграл неотъемлемой  частью современной промышленности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

1. Зимина О. В. , Кириллов А. И. , Сальникова Т. А. Высшая математика.—2-е изд., испр. —М: Физико-математическая литература, 2001. —368 с.
2. Ильин В.А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть II: Учеб.: Для вузов. —4-е изд. —М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 464 с. —(Курс высшей математики и математической физики).
3. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. —4-е изд. стер. — М.: Высш. школа. 1998. —479 с.: ил.
4. Гусак А.А. и др.Справочник по высшей математике/ А. А. Гусак, Г. М. Гусак, Е. А. Бричикова. – Мн.: ТетраСистемс.

1999. - 640 с.

      5.  Прохоров А. М. Большая Советская энциклопедия Издание 3-ет.10.,                                              

            — М.: Сов. энцикл.1972.