Применение замечательных кривых в искусстве
Содержание
Введение
I. История возникновения и развития
геометрии
1.1 Использование простейших геометрических форм в Древнем мире 5
1.2 Геометрия сквозь призму
древних философских школ
2.1 Возникновение и развитие
теории пропорций
2.2 Использование «золотого сечения» в живописи и архитектуре 15
III. Применение замечательных кривых в искусстве 18
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Геометрия - одна из древнейших частей математики, изучающая пространственные отношения и формы тел. Из геометрии зародилась математика как наука. Люди с незапамятных времен использовали геометрические знания в быту. Геометрической формы были не только бытовые предметы, но и культовые.
Геометрия - наука, давшая людям возможность находить площади и объемы, правильно чертить проекты зданий и машин. Таким образом, она является основной частью «фундамента», на котором строится другое не менее важное направление деятельности человека - искусство.
Важную роль играли и эстетические потребности людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни. Все это способствовало формированию и накоплению геометрических сведений.
За
несколько столетий до нашей эры
в Вавилоне, Китае, Египте и Греции
уже существовали начальные геометрические
знания, которые добывались в основном
опытным путем, но они не были еще
систематизированы и
Существует
неразрывная связь между
Цель нашей работы: проследить, как связанны между собой геометрия и искусство.
В связи с поставленной целью задачами исследования являются:
- рассмотреть историю
возникновения и развития
- ознакомиться с сущностью геометрических законов, пропорций и их использования в архитектуре и живописи;
- проанализировать применение замечательных кривых в искусстве.
Объектом исследования является геометрия в искусстве.
Предметом изучения данной курсовой работы является применение геометрии в искусстве.
Данная исследовательская работа состоит из введения, трех частей, заключения, списка используемой литературы и приложений.
- История возникновения и развития геометрии
- Использование простейших геометрических форм в Древнем мире
Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. По форме и цвету, они отличали съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких и т.д. Особенно вкусными казались им орехи кокосовой пальмы, которые имеют форму шара. А добывая каменную соль, люди наталкивались на кристаллы, имевшие форму куба. Так, овладевая окружающим их миром, люди, знакомились с простейшими геометрическими формами.
Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены орудия сравнительно правильной геометрической формы, а потом люди научились шлифовать их. Специальных названий для геометрических фигур, конечно, не было. Говорили: «такой же, как кокосовый орех» или «такой же, как соль» и т.д.
А когда люди стали строить дома
из дерева, пришлось глубже разобраться
в том, какую форму следует
придавать стенам и крыше, какой
формы должны быть бревна. Сами того
не зная, люди все время занимались
геометрией: женщины, изготавливая одежду,
охотники, изготавливая наконечники
для копий или бумеранги
Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого применялись катки. И заметили, что перекатка проще, если взять кусок дерева с почти одинаковой толщиной в начале и в конце. Так люди познакомились с одним из важнейших тел – цилиндром. Скалками цилиндрической формы пользовались и женщины, раскатывая белье после стирки.
Перевозить грузы на катках было довольно тяжело, потому что сами древесные стволы весили много. Чтобы облегчить работу, стали вырезать из стволов тонкие круглые пластинки и с их помощью перетаскивать грузы. Так появилось первое колесо.
Для того чтобы взимать налоги с земли, необходимо было знать их площадь. Гончару необходимо было знать, какую форму следует придать сосуду, чтобы в него входило то или иное количество жидкости. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе этих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы.
Древние египтяне были замечательными
инженерами. До сих пор не могут
до конца разгадать загадки
В Вавилоне при раскопках ученые обнаружили остатки каменных стен, высотой в несколько десятков метров, а высота Вавилонской башни достигает 82 метра.[20,стр.51]
Без математических знаний все эти сооружения невозможно было бы построить. И все же математические знания египтян и вавилонян были разрозненные и представляли собой свод правил, проверенных практикой, поэтому правила надо было зазубривать, не понимая, почему надо применять то, а не другое.
Так практическая деятельность людей
привела к дальнейшему
Таким образом, мы видим, что интерес к геометрии зародился с момента появления человека. Её становление, как науки, мы рассмотрим в следующей части.
1.2 Геометрия сквозь призму древних философских школ
Геометрия - наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение геометрических фигур. Она возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека.
О зарождении геометрии в Древнем Египте около 2000 лет до н. э. древнегреческий историк Геродот писал: " Сезострис, египетский фараон, разделил землю, дав каждому египтянину участок по жребию, и взимал соответствующим образом налог с каждого участка. Случилось, что Нил заливал тот или иной участок, тогда пострадавший обращался к царю, а царь посылал землемеров, чтобы установить, насколько уменьшился участок, и соответствующим образом уменьшить налог. Так возникла геометрия в Египте, а оттуда перешла в Грецию". [12,стр.76]
Начиная с 7 века до н. э. в Древней Греции создаются так называемые философские школы, и приходит постепенный переход от практической к теоретической геометрии. Всё больше значение в этих школах приобретают рассуждения, при помощи которых удаётся получать новые геометрические свойства, исходя из некоторых положений, принимаемых без доказательств и названных аксиомами. В переводе с греческого слово аксиома означает "принятие положения".
Одной из первых школ была ионийская. Её основателем считаются Фалес Милетский. Он мог находить высоту предмета по его тени, пользуясь тем, что треугольник определяется одной стороной и двумя прилежащими к ней углами. Фалес измерил высоту пирамиды, " наблюдая тень пирамиды в тот момент, когда наша тень имеет такую же длину, как и мы сами".[8, стр136]. Он считал, что отношение высоты вертикально поставленной палки к длине её тени равно отношению высоты пирамиды к длине её тени.
Таким образом, Фалесу приписывают теорему о том, что равноугольные треугольники имеют пропорциональные стороны.
В 5 веке до н. э. центром дальнейшего развития математики становится Южная Италия.
Одной из самых известных школ того времени (4-5 вв.до н.э.) являлась пифагорейская, названная так в честь своего основателя- Пифагора.
Объясняя устройства мира, пифагорейцы опирались на математику. Так, выделяя первоосновы бытия, они приписывали их атомам форму правильных многогранников: атомам огня - форму тетраэда, земли - гекаэдра (куба). воздуха - октаэдра, воды икосаэдра. Всей Вселенной приписывалась форма додекаэдра.
В названиях этих многогранников указывается число граней (от греческого эдра- "грань"): тетра - "четыре", гекса - "шесть", окта - "восемь", икоса - "двадцать", додека- "двенадцать"[8,стр.121 ].
Другой знаменитой философской школой того времени была школа Платона (5-6 вв. до н. э.). Платон не был математиком и не получил никаких результатов в этой науки, но в своих произведениях любил говорить о математике. В частности, в трактате "Тимей" он изложил ученья пифагорейцев о правильных многогранниках, которые благодаря этому в последствие получили название "платоновых тел".
Более поздняя философская школа - александрийская - интересна тем, что дала миру известного математика Евклида, который жил около 300 года до н. э. К сожалению, о жизни его мало что известно. В одном из своих сочинений математик Папп (3 век до н. э.) изображает его как человека исключительно честного, тихого и скромного, которому были чужды гордость и эгоизм.
Насколько серьёзно и строго он относился к изучению математики, можно ссудить по следующий легенде: царь Птолемей спросил у Евклида, нельзя ли найти более короткий и менее утомительный путь к изучению геометрии, чем его "Начала"? Евклид ответил: "В геометрии нет царского пути"[15,стр.42].
Слава Евклиду принесли его "Начала", в котором впервые было представлено стройное аксиоматическое построение геометрии. На протяжении около двух тысячелетий они остаются основой изучения систематического курса геометрии.
Помимо Евклида выдающимся учёным эпохи эллинизма был Архимед (287 -212гг. до н. э.), живший в Сиракузах, где он был советником царя Герона.
Основной чертой его творчества было единство теории и практики, что делает изучение его трудов интересным для ученых многих специальностей. Наиболее существенный вклад Архимед внёс в математику. Ему принадлежат теоремы о площадях плоских фигур, объёмах тел. В работе «Измерение круга» он приводит вычисления приближённого значения длины окружности. В книге «О шаре и цилиндре» им даны вычисления объёма шара и площади его поверхности.
Вслед за Евклидом Архимед занимался изучением правильных многогранников. Убедившись в том, что правильных многогранников только пять, Архимед стал строить многогранники, у которых гранями являются правильные, но не одноименные многоугольники, а в каждой вершине, как и у правильных многогранников, сходится одно и то же число рёбер. В результате были получены так называемые равноугольно полуправильные многогранники. До нас дошла работа ученого, которая называется «О многогранниках», подробно описывающая тринадцать таких многогранников, получивших название «тела Архимеда».
Учёный, по выражению современников, был околдован геометрией, и, хотя у него было много прекрасных открытий, он просил на своей могиле изобразить цилиндр с вписанным в него шаром и указать соотношение объёмов этих тел. Позже именно по этому изображению была найдена могила Архимеда.
В последние столетия возникли
и развивались новые
Изучая древние философские школы, видно, что геометрия приобретает теоретический характер, и она становится самостоятельной наукой. Её основные направления рассмотрим в следующей главе.
II. Теория пропорций в архитектуре и живописи
2.1 Возникновение и развитие теории пропорций
Еще в глубокой древности человеком было обнаружено, что все явления в природе связаны друг с другом, что все пребывает в непрерывном движении, изменении, и, будучи выражено числом, обнаруживает удивительные закономерности.
В Древней Греции эпохи классики возник ряд учений о гармонии. Из них наиболее глубокий след в мировой культуре оставило Пифагорейское учение. Последователи Пифагора представляли мир, вселенную, космос, природу и человека как единое целое, где все взаимосвязано и находится в гармонических отношениях. Гармония здесь выступает как начало порядка — упорядочивания хаоса.
Гармония присуща природе и искусству: «Одни и те же законы существуют для музыкальных ладов и планет»[18,стр.32]. Пифагорейцы и их последователи всему сущему в мире искали числовое выражение. Ими было обнаружено, что математические пропорции лежат в основе музыки (отношение длины струны к высоте тона, отношения между интервалами, соотношение звуков в аккордах, дающих гармоническое звучание).
Пифагорейцы пытались математически обосновать идею единства мира, утверждали, что в основе мироздания лежат симметричные геометрические формы.
Пифагорейцы искали математическое обоснование красоте. Они исследовали пропорции человеческого тела и утвердили математический канон красоты, по которому скульптор Поликлет создал статую «Канон».
Вслед за пифагорейцами средневековый ученый Августин назвал красоту «числовым равенством». Философ схоласт Бонавентура писал: «Красоты и наслаждения нет без пропорциональности, пропорциональность же, прежде всего, существует в числах. Необходимо, чтобы все поддавалось счислению»[11,стр.28].
Таким образом, пропорциональность, соразмерность частей целого является важнейшим условием гармонии целого и может быть выражена математически посредством пропорций.
Слово «пропорция» ввел в употребление Цицерон в 1 веке до н.э., переводя на латынь платоновский термин «аналогия», который буквально означал «вновь-отношение», или, как мы говорим, «соотношение». С тех пор вот уже 2000 лет пропорций в математике называют равенство между отношениями четырёх величин a,b,c,d.
Пропорция означает равенство двух или нескольких отношений. Существует несколько видов пропорциональности: математическая, гармоническая, геометрическая и др.
В математической равенство двух отношений выражается формулой a : b = с : d, и каждый член ее может быть определен через остальные три.
В гармонической пропорции 3 элемента. Они являются или попарными разностями некоторой тройки элементов, или самими этими элементами, например: а : с = (а — в) : (в — с)
В геометрической пропорции тоже всего 3 элемента, но один из них общий: а : в = в : с
Разновидностью геометрической пропорции является пропорция так называемого «золотого сечения», имеющая всего два члена «а» и «в» — излюбленная пропорция художников, которую в эпоху Возрождения называли «божественной пропорцией».
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей. Другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему
a : b = b : c или с : b = b : а.
Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции
Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.
Рис. 2. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC
Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.
Свойства золотого сечения описываются уравнением:
x2 – x – 1 = 0.
Решение этого уравнения:
Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения[21,стр.198] (приложение1).
Пропорциональность в
природе, искусстве, архитектуре означает
соблюдение определенных соотношений
между размерами отдельных
Окружающие нас предметы также часто дают примеры золотого сечения. Например, переплеты многих книг имеют отношение ширины и длины, близкое к числу 0,618.
Одним из первых проявление золотого сечения в природе подметил немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1570 – 1630). С XVII века наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться. В 1850 году немецкий ученый А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138о.
Если внимательно рассмотреть веточку с листьями, то можно заметить, что основания черешков располагаются по винтовой линии, каждый следующий лист прикреплен выше и в сторону от предыдущего. Если соединить последовательно основания листьев ниткой, то она обовьется вокруг стебля по правильной винтовой линии.
Проследив за расположением листьев на этой спирали, мы непременно увидим листья, которые расположены один над другим. Часть спирали, заключенная между двумя такими листьями, называется в ботанике "циклом".[приложение 2]
Ученые заметили, что этот ряд отличается одной любопытной и неожиданной особенностью, а именно, что каждая из дробей начиная с третьей, получается из двух предыдущих путем сложения их числителей и знаменателей: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13; … и 2, 3, 5, 8, 13, 21.
Семечки в корзинке подсолнуха
выстраиваются вдоль спиралей, которые
закручиваются как слева
В более крупных соцветиях
подсолнечника число
Красивейшее произведение древнегреческой архитектуры – храм Парфенон – построено в V веке до нашей эры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618.[приложение 3]
2.2 Использование «золотого сечения» в живописи и архитектуре
"Золотое" сечение – один из основополагающих принципов природы.
Золотая пропорция – отношение большей части целого к самому целому выражает основные моменты живого роста: стремительный рост побега до зрелости и замедленный рост до момента цветения, когда достигшее полной силы растение готовится дать жизнь новому побегу[9,стр.73].
"Золотая" пропорция – понятие математическое. Но она является критерием гармонии и красоты, а это уже категория искусства.
Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношение частей человеческого тела связывались с формулой "золотого" сечения. Пропорции "золотого" сечения создают впечатления гармонии, красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.
То, что части красиво сложенного человеческого тела находятся в определенной пропорции, знает каждый. Недаром мы говорим о пропорционально сложенной фигуре. Но далеко не всем известно, что здесь имеет место золотое деление. Лучшим примером того, что древние ваятели использовали этот принцип при изображении человеческого тела, являются античные статуи.
Пропорции человеческого лица не могут быть математически и геометрически измерены, поскольку многие параметры являются подвижными, но все, же основные неподвижные размеры могут быть измерены.
Идеально сложенное
Для измерений необходимо применять
специальную измерительную
Контур человеческого лица в профиль, состоит из трёх физиогномических сфер: верхняя сфера (лоб и брови), средняя сфера (нос) и нижняя сфера (губы и подбородок). Каждая физиогномическая сфера имеет величину 60 зениц и всего величина человеческого лица от подбородка до вершины головы 60х3=180 зениц.
Верхняя физиогномическая сфера включает три уровня, итого каждый уровень в рамках верхней сферы имеет величину 60/3=20 зениц. Средняя физиогномическая сфера включает четыре уровня, итого каждый уровень в рамках средней сферы имеет величину 60/4=15 зениц. Нижняя физиогномическая сфера включает пять уровней, итого каждый уровень в рамках нижней сферы имеет величину 60/5=12 зениц[7,стр.54].
Пропорции в архитектуре означают отношение подобных отрезков или фигур. Пропорциональный строй сооружения должен отвечать основному требованию гармонии — сочетать единство и многообразие. Цельность — условие существования композиции, многообразие необходимо для ее содержательности.
Теория архитектурных пропорций развивалась не только как профессионально-эстетическое отражение практики, но и как процесс адаптации к архитектурным задачам представлений о геометрии и законах пространства, полученных в других областях знания (физика, философия, биология, психология и т.д.).
Красивое здание несет в своих формах "золотую" пропорцию. В красивом (гармоничном) сочетании звуков заложена "золотая" пропорция. По закону "золотого" сечения построена Солнечная система. Пятеричную симметрию имеет планета Земля, кора которой выложена из пятиугольных плит. Есть основания думать, что весь мир построен по принципу "золотой" пропорции. В этом смысле Вселенная в целом является грандиозным живым организмом, подобие с которым дает нам право самим называться живыми организмами.
Ориентация на необходимость гармонизации формы всегда опиралась на объективность избирательного подхода человека при восприятии пространства. Это утверждало гармонию как законную норму, как порядок отношений в геометрии объекта искусственной природы, соответствующий законам естественной природы. С древности, мерой архитектурных объектов выступал человек. Позже, под давлением социальных требований унификации и стандартизации, антропометрические системы измерения сменились абстрактными численными и линейными мерами.
Из всего вышесказанного делаем вывод о том, что теория пропорций, как и «золотое» сечение играет огромную роль в развитии искусства. Сама природа построена на принципах «золотого» сечения и пропорции.
III. Применение замечательных кривых в искусстве
Понятие линии возникло в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, очертания цветов и листьев растений, извилистая линия берега реки и другие явления природы с давних пор привлекали внимания людей. Наблюдаемые многократно, они послужили основой для постепенного установления понятия о линии. Но потребовался значительный промежуток времени для того, чтобы наши предки стали сравнивать между собой формы кривых линий.
Первые рисунки на стенах пещер, примитивные орнаменты на домашней утвари показывают, что люди умели не только отличать прямую от кривой, но и различать отдельные кривые. Памятники глубокой древности свидетельствуют о том, что у всех народов на некоторой степени их развития имелись понятия прямой и их окружности. Для построения этих линий использовались простейшие инструменты.
Однако лишь с возникновением математических теорий стало развиваться учение о линиях. Греческие ученые создали теорию линий второго порядка. Эти линии рассматривались как сечение конуса плоскостью, вследствие чего в древности их называли коническими сечениями. Конические сечения впервые рассматривал Менехм, который жил в IV веке до н.э.
"Золотым веком" греческой
геометрии называют эпоху,
Первое систематическое изложение теории этих линий дал Аполлоний Пергский (III–II вв до н.э.) в своем сочинении «Конические сечения», которое почти целиком дошло до нас. В поисках решения различных задач греческие ученые рассматривали и некоторые трансцендентные линии [6,стр.41].
В средневековую эпоху важные достижения греческих ученых были забыты. Математическая наука снова обратилась к изучению кривых только в VII веке. Для исследования линий первостепенное значение имело открытие Декартом и Ферма метода координат, способствовавшего возникновению исчисления бесконечно малых. Метод координат в соединении с анализом бесконечно малых позволил перейти к исследованию линий общим способом.
Следующий важный шаг в изучении линий был сделан Ньютоном, который начал разработку теории кривых третьего порядка. Впоследствии были поставлены задачи: исследовать кривые четвертого и высших порядков, создать общую теорию алгебраических кривых на плоскости, приступить к систематическому изучению алгебраических поверхностей, начиная с поверхности второго порядка.
