Примеры расчетов методами наращивания и дисконтирования

Содержание:

Введение

1. Основные понятия наращивания и дисконтирования
2. Виды наращения и дисконтирования по простым и сложным процентным ставкам
1. Наращивание по простым процентным ставкам
2. Дисконтирование по простым процентным ставкам
3. Наращивание по сложным процентным ставкам
4. Дисконтирование по сложным процентным ставкам
3. Примеры расчетов методами наращивания и дисконтирования

Заключение

Библиографический список

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

В данной контрольной работе будут рассмотрены  три главы.

В первой главе рассматриваются основные понятия наращивание и дисконтирование. Наращением называют процесс увеличения денег, предоставляемых в долг. Наращение первоначальной суммы капитала — это процесс присоединения к ней процентов в результате какой-либо финансовой операции.

Дисконтирование  - это процесс определения сегодняшней (т.е. текущей) стоимости денег, когда известна их будущая стоимость. Применяется для оценки денежных поступлений (прибыль, проценты, дивиденды) с позиции текущего момента.

Дисконтирование отражает тот факт, что сумма денег имеющаяся в данный момент, имеет большую стоимость, чем равная ей сумма, которая появится в будущем. Приведение будущей стоимости к ее значению на текущий момент и называется дисконтированием. Эта операция обратна операции начисления сложных процентов. При этом используется ставка дисконтирования.

Во второй главе рассматриваются наращивания  и дисконтирования по простым  и сложным процентным ставкам.

Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени — отношение дохода (процентных денег) к сумме долга. Она измеряется в виде десятичной или обыкновенной дроби или в процентах. При выполнении расчетов процентные ставки обычно измеряются в десятичных дробях.

В финансовом анализе процентная ставка применяется  как измеритель степени доходности (эффективности) любой финансовой, кредитной, инвестиционной или коммерческо-хозяйственной деятельности вне зависимости от того, имел место или нет факт непосредственного инвестирования денежных средств и процесс их наращения. Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления. В качестве такого периода принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками.

Проценты  согласно договоренности между кредитором и заемщиком выплачиваются по мере их начисления или присоединяются к основной сумме долга (капитализация  процентов). Процесс увеличения суммы  денег во времени в связи с  присоединением процентов называют наращением, или ростом, этой суммы. В этом случае процентные ставки называют ставками наращения.

При дисконтировании (сокращении) сумма денег, относящаяся к будущему, уменьшается на величину соответствующего дисконта (скидки). Соответственно говорят, что применяют дисконтные, или учетные ставки.

В третьей  главе рассматриваются примеры  расчетов методами наращивания и  дисконтирования.

Целью контрольной  работы является изучение операций наращивания и дисконтирования. В соответствии с целью работы поставлены и решены следующие задачи:

1. Даны основные понятия наращивания и дисконтирования
2. Рассмотрены виды наращивания и дисконтирования по простым и сложным процентным ставкам
3. Изучены методы наращивания и дисконтирования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Основные понятия

 

Процент является частью прибыли, которую заемщик  выплачивает кредитору за взятый в ссуду денежный капитал, и определяется как "иррациональная форма цены" ссудного капитала. Источником процента выступает прибавочная стоимость, создаваемая в процессе производительного  использования ссудного капитала. Разделение прибыли, получаемой при использовании  ссудного капитала, на процент, присваиваемый  ссудным капиталом, и собственно прибыль — предпринимательский  доход, получаемый заемщиком, происходит под влиянием спроса и предложения  на рынке ссудных капиталов. Таким  образом, процент выражает отношения  между кредитором и заемщиком  и выступает в форме определенной процентной ставки. 
     Процентная ставка определяется в соответствии с конкретными условиями использования ссудного капитала и является объектом денежного и кредитного регулирования со стороны Центрального банка. При этом величина процентных ставок способствует либо притоку денежного капитала на внутренний рынок с денежных рынков других стран, либо его оттоку. Поэтому мобильность денежного капитала на этих рынках очень высокая, а его движение между различными национальными денежными рынками отражается в процентных ставках. Техническим средством для выравнивания различных национальных процентных ставок служит так называемый процентный арбитраж. Однако перемещение денежных средств определяется не столько процентным арбитражем, сколько колебаниями валютных курсов.       В соответствии с классическими представлениями изменение процентных ставок происходит под воздействием нормы прибыли. Фактически же уровень ставок стихийно устанавливается в зависимости от спроса и предложения ссудного капитала. В свою очередь, спрос и предложение определяются многими факторами, в частности фазой развития экономики, степенью воздействия государства на экономику, политикой центральных банков, внешними факторами и т. д. Существует также ряд факторов, влияющих не столько на спрос и предложение, сколько на величину ставок процента:

а) ожидаемые  темпы инфляции; 

б) кредитные  риски; 

в) налоги;

г) движение валютного курса и др.

с риском.

Наращением называют процесс увеличения денег, предоставляемых в долг.

Наращение первоначальной суммы капитала — это процесс присоединения к ней процентов в результате какой-либо финансовой операции.

Например:

• Начисление процентов на депозит (банковский вклад). Банк должен выплатить вклад с начисленными процентами.
• Начисление процентов на кредит. Получатель кредита должен вернуть сумму кредита с процентами.

Наращение обычно производится либо однократно, либо многократно периодическими начислениями через равные промежутки времени. В случае периодических  начислений используют термины срок и период начисления. Срок — это общий промежуток времени финансовой операции в результате которой происходит наращение. Период - это промежуток времени через который происходят начисления.

Например: 
Кредит на 1 год с ежемесячным погашением процентов. В этом случае срок — 1 год, период — 1 месяц.

В случае периодических начислений наращение может происходить  в соответствии с формулой простых процентов или сложных процентов. В случае простых процентов каждый раз процент начисляется на начальную сумму. В случае сложных процентов процент начисляется на общую сумму с учетом наращения на предыдущих периодах. Простыми процентами называют такой способ наращения, при котором проценты начисляются на первоначальную сумму. Сложными процентами называют такой способ наращения, при котором проценты начисляют на всю накопленную сумку, а не только на первоначальную, как при начислении простых процентов.   Дисконтирование  - это процесс определения сегодняшней (т.е. текущей) стоимости денег, когда известна их будущая стоимость. Применяется для оценки денежных поступлений (прибыль, проценты, дивиденды) с позиции текущего момента. Дисконтирование отражает тот факт, что сумма денег имеющаяся в данный момент, имеет большую стоимость, чем равная ей сумма, которая появится в будущем. Приведение будущей стоимости к ее значению на текущий момент и называется дисконтированием. Эта операция обратна операции начисления сложных процентов. При этом используется дисконтирования. Ставка дисконтирования используется при расчете срока окупаемости и оценке экономической эффективности инвестиций длядисконтирования денежных потоков, иными словами, для перерасчета стоимости потоков будущих доходов и расходов в стоимость на настоящий момент.

 

 

 

 

 

2. Виды наращивания и дисконтирования по простым и сложным процентным ставкам
1. Наращивание по простым процентным ставкам

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока начисления.

Обозначим:

I — проценты за весь срок ссуды;

P — первоначальная сумма долга;

S — наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока;

i — ставка наращения процентов в виде десятичной дроби;

n — срок ссуды.

Начисленные за весь срок проценты составят I = Pni.

Наращенная  сумма представляет собой сумму  первоначальной суммы и наращенных процентов:

 

S = P + I = P + Pni= P(1+ ni) .

 

Выражение называют формулой простых процентов.

Выражение (1+ ni) называется множителем наращения простых процентов, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.

При расчете  процентов применяют две временные  базы.

ЕслиК= 360 дней, то получают обыкновенные или коммерческие проценты, а при использовании действительной продолжительности года (365, 366 дней) рассчитывают точные проценты.

Число дней ссуды берут приближенно и точно.

При приближенном числе дней число дней в месяце берут равным 30 дням. Точное число  дней ссуды определяется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. В  соответствии с ГК РФ (п.1 ст.839 Гражданского Кодекса РФ) дни открытия и закрытия вкладов не включаются в число дней, используемых для начисления процентов.

На практике применяются три варианта расчета  простых процентов.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (обозначается 365/365 или АСТ/АСТ). Применяется центральными банками и крупными коммерческими банками в Великобритании, США, дает самые точные результаты.процентная ставка наращивание дисконтирование вексель

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360 или АСТ/360). Этот метод, иногда называемый банковским, распространен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, во внутристрановых — во Франции, Бельгии, Швейцарии. Дает несколько больший результат, чем применение точных процентов.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуд (360/360). Такой метод принят в практике коммерческих банков Германии,Швеции, Дании. Применяется тогда, когда не требуется большой точности,например при промежуточных расчетах.

В практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока, то есть происходит реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения, с помощью постоянной или переменной ставок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Дисконтирование по простым процентным ставкам

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды Р. Расчет Рпо S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче кредита, ссуды. В этих случаях говорят, что сумма Sдисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты, т.е. разность D = S – P — дисконтом или скидкой. Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке векселей и других краткосрочных обязательств.

Дисконтирование можно рассматривать как определение  любой стоимостной величины, относящейся  к будущему, на более ранний момент времени.

Этот  прием называют приведением стоимостного показателя к некоторому, обычно начальному, моменту времени.

Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, называют современной стоимостью, или современной величиной будущего платежа S, а иногда — текущей, или капитализированной, стоимостью.

В зависимости  от вида процентной ставки применяют  два метода дисконтирования — математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае применяется ставка наращения, во втором — учетная ставка.

Математическое дисконтирование представляет собой нахождение первоначальной суммы по наращенной. То есть из формулы

 

S = P(1+ ni)

 

Установленная таким путем величина Рявляется современной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя n лет.

Дробь называют дисконтным, или дисконтирующим, множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.

При банковском учете банк или другое финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательствуприобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. Владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги ранее указанного на нем срока.

Вексель - это ценная бумага, представляющая собой долговую расписку, выполненную в соответствии с требованиями законодательства, то есть на бланке, содержащем наименование, указание срока платежа, места, в котором должен быть совершен платеж, наименование того, кому платеж должен быть совершен, дата и место составления векселя, подпись векселедателя. Выделяют два основных вида векселя – простые и переводные.

Простой вексель – это документ, удостоверяющий безусловное денежное обязательство векселедателя уплатить по наступлению срока обязательства определенную сумму владельцу векселя.

Переводной вексель (тратта) – документ, который выписывается заемщиком (векселедателем) и представляет собой особый приказ непосредственному плательщику (обычно банку) об уплате в указанный срок суммы денег третьему лицу (векселедержателю).

При учете  векселя применяется банковский, или коммерческий, учет.

Согласно  этому методу проценты за пользование  ссудой в виде дисконта начисляются  на сумму, подлежащую уплате в конце  срока. При этом применяется учетная ставка d.

Размер  дисконта, или суммы учета, равен Snd; если d — годовая учетная ставка, то n измеряется в годах. Таким образом,

P = S - Snd= S(1- nd)

 

где n — срок от момента учета до даты погашения векселя.

Дисконтный множитель равен (1- nd) .

Учет  посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базеК= 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным, АСТ/360.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Наращивание по сложным процентным ставкам

Если  проценты не выплачиваются сразу  после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные  проценты. Присоединение начисленных  процентов к сумме базы начисления называют капитализацией процентов.

Применим  те же обозначения, что и в формуле  наращения по простым

процентам.

В конце  первого года проценты равны величине Рi, а наращенная сумма составит Р+ Рi= Р(1 + i). К концу второго года она достигнет величины Р(1 + i) + Р(1 + i)i = Р(1 + i)2 и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна S = Р(1 + i)n. (2.1)

Проценты  за этот срок: I =S – P = Р[(1 + i)n – 1].

Величину (1 + i)n называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел пприводятся в таблицах сложных процентов.

Время при  наращении по сложной ставке обычно измеряется как АСТ/АСТ.

Часто для  начисления процентов срок не является целым числом.

Применяют три метода начисления процентов.

 Предполагает  начисление процентов за целое  число лет по формуле сложных  процентов и за дробную часть  срока по формуле простых процентов

 В  правилах ряда коммерческих банков  для некоторых операций проценты  начисляются только за целое  число лет или других периодов  начисления.

Для того чтобы сопоставить результаты наращения  по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители  наращения.

При одинаковых уровнях процентных ставок соотношения  этих множителей существенно зависят  от срока. При п> 1 с увеличением срока различие в простых и сложных процентов увеличивается.

При работе со сложными процентами применяют правило 72: если процентная ставка есть i, то удвоение капитала происходит примерно за 72/ i лет.

Например, при ставке в 12% удвоение капитала происходит через 6 лет.

Наращение процентов m раз в году. Номинальная  и эффективная ставки.

В современных  условиях проценты капитализируются, как правило, не

один, а  несколько раз в году — по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов.

Пусть годовая  ставка равна j, число периодов начисления в году — m.

Каждый  раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной. Формула наращения:

где N=nm— общее количество периодов начисления.

Действительная, или эффективная ставка процента — это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m - разовое начисление процентов по ставке j/m. Она измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год.

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Дисконтирование по сложным процентным ставкам

 

Дисконтирование по сложной ставке процентов — процесс, обратный во времени процессу наращения (компаундинга) по сложной ставке процентов. Если при наращении изменение первоначальной суммы Р происходит дискретно, скачками, в конце очередного периода начисления процентов, то процесс дисконтирования будущей суммы S также происходит скачкообразно, в обратном направлении, со скачком в конце очередного периода дисконтирования. В конце первого периода дисконтирования величина текущей стоимости суммы S равна S/(1+ i_T), в конце второго периода - s/(1+i_T )² и т. д. После п циклов дисконтирования текущая стоимость суммы S равна

 

где v  = 1/(1 + i_T) — дисконтный множитель за период Т.

При начислении процентов т раз в году дисконтный множитель за период равен: v  = l/(l + i^{m)/m). По аналогии с процессом наращения вводится годовой дисконтный множитель v, что, позволяет записать выражение для текущей стоимости в следующем виде:

    

Дисконтирование при непрерывном  начислении процентов также описывается формулой, где время изменяется непрерывно, в отличие от дискретного начисления процентов т раз в год, когда время изменяется дискретно, с шагом 1/т. Очевидно, непрерывная кривая является огибающей для закона дискретного дисконтирования суммы S при любом числе периодов дисконтирования в году исходя из одинаковой эффективной годовой процентной ставки.

Чтобы единым образом описать приведение суммы к определенному моменту  времени, введем, как и в разделе 1.1, множитель приведения, который равен множителю наращения при приведении к будущему моменту времени и дисконтному множителю при приведении к предшествующему (настоящему) моменту времени. Удобно совместить начало шкалы времени с моментом времени, когда задана сумма. Тогда наращению соответствует положительная часть оси времени, а дисконтированию — отрицательная. Множитель приведения для непрерывной процентной ставки можно записать с учетом  в виде                                    

                                        где s(t) — множитель наращения; v(|t|) — дисконтный множитель.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Примеры расчетов методами наращивания и дисконтирования.

Сущность метода наращения (компаундирования) состоит в определении суммы денег, которую будет иметь инвестор в конце операции. Заданными величинами здесь являются исходная сумма инвестиций, срок и процентная ставка доходности, а искомой величиной - сумма средств, которая будет получена после завершения операции. При использовании этого метода исследование денежного потока ведется от настоящего к будущему.

Например, если бы нам нужно было вложить  в банк 1000 тыс. руб., который выплачивает 20 % годовых, то мы рассчитали бы следующие показатели доходности:

за первый год 1000 (1 + 20 %) = 1000 х 1,2 = 1200 тыс. руб.;

за второй год 1200(1 +20%)= 1200х1,2= 1440 тыс. руб.;

за третий год 1440 (1 + 20 %) = 1440 х 1,2 = 1728 тыс. руб.

Это можно  записать и таким образом:

1000 х  1,2 х 1,2 х 1,2 = 1000 х 1,2³ = 1728 тыс. руб.

Данный пример показывает методику определения стоимости инвестиций при использовании сложных процентов. Сумма годовых процентов каждый год возрастает, поэтому имеем  доход как с первоначального капитала, так и с процентов, полученных за предыдущие годы.

Для определения стоимости, которую  будут иметь инвестиции через  несколько лет, при использовании  сложных процентов применяют  следующую формулу:

S = Р (1 + r)^п,

где S - будущая стоимость инвестиций через п лет; Р - первоначальная сумма инвестиций; r - ставка процентов в виде десятичной дроби; п - число лет в расчетном периоде.

Метод дисконтирования  денежных поступлений (ДДП) - исследование денежного потока наоборот - от будущего к текущему моменту времени. Он позволяет определить, сколько денег нужно вложить сегодня, чтобы получить определенную сумму в конце заданного периода. Для этого используется следующая формула:

Иначе говоря, ДДП используется для определения суммы инвестиций, которые необходимо вложить сейчас, чтобы довести их стоимость до требуемой величины при заданной ставке процента.

Для того чтобы через три года стоимость инвестиций составила 1728 тыс. руб. при ставке 20 %, необходимо вложить следующую сумму:

Например, компания рассматривает  вопрос о том, стоит ли вкладывать 150 млн руб. в проект, который через два года принесет доход в 200 млн руб. Принято решение вложить деньги только при условии, что годовой доход от этой инвестиции составит не менее 10 %, который можно получить, если положить деньги в банк. Для того чтобы через два года получить 200 млн руб., компания сейчас должна вложить под 10 % годовых 165 млн руб. (200 х 1/1,1²). Проект дает доход в 200 млн руб. при меньшей сумме инвестиций (150 млн руб.), это значит, что ставка дохода превышает 10 %, следовательно, проект является выгодным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример расчетов методом дисконтирования

 

 

 Пусть инфляция в стране равна нулю и будет нулевой еще очень  долго, ставка банковского депозита равна 5% годовых, вам предлагается на выбор два варианта: получить 10 000 рублей прямо сейчас или 10 000 рублей через 5 лет. С точки зрения покупательной способности разницы между этими вариантами нет – через пять лет вы на эти десять тысяч купите столько же, сколько можете купить сегодня. А вот с точки зрения финансов разница есть.

Выбрав  первый вариант и положив деньги на депозит сегодня, через пять лет  вы получите не 10 000 рублей, а 12 762 рубля. Сегодняшние десять тысяч стоят  на 2 762 рубля дороже, чем те же десять тысяч через пять лет. И инфляция тут не причем.

Усложним пример: вам предлагается на выбор три варианта: 10 000 рублей сейчас, 11 000 рублей через год или 12 000 рублей через четыре года. Инфляция по-прежнему равна нулю. Напрямую, как мы только что выяснили, эти суммы сравнивать нельзя. Нужно привести их к единому знаменателю.

Дисконтирование – процесс отыскания текущей оценки будущих денежных потоков.

Мы уже  знаем, что 10 000 сегодня равны 12 762 через  пять лет. Как мы это получили? По формуле сложных процентов: 10 000 * (1,05)^5. (^ – означает возведение в степень).

Для дисконтирования  применяется противоположное действие:

ТС = БС / (1 + %) ^ N

Чтобы получить текущую стоимость (ТС), будущую сумму (БС) денег нужно поделить на один плюс процент (%) в степени количества лет (N).

Пересчитаем наш пример:

1-й вариант. 10 000 рублей сейчас. ТС = 10 000 / (1,05)^0 = 10 000.

2-й вариант. 11 000 рублей через год. ТС = 11 000 / (1,05)^1  = 10 476.

3-й вариант. 12 000 рублей через 4 года. ТС = 12 000 / (1,05)?^4 = 9 872.

Выгоднее всего для инвестора  второй вариант получения денег.

Усложним  пример еще больше. Теперь 3-й вариант  будет не получение всей суммы (12 000) через четыре года, а выплаты равными суммами по 3 000 рублей в течение 4-х лет. Те же 12 000.

Теперь  в третьем варианте у нас не одна, а целых четыре будущих суммы  поступлений. И хотя они равны  между собой номинально (и по покупательной  способности – помним, что инфляции пока в нашем примере нет), они  отличаются по стоимости друг от друга. Никакой хитрой формулы для такого случая нет. Придется считать каждую выплату отдельно, а потом 4 получившихся числа сложить.

ТС1 = 3 000 / (1,05)^1 = 2 857 (три тысячи, полученные через год)

ТС2 = 3 000 / (1,05)^2 = 2 721 (три тысячи, полученные через 2 года)

ТС3 = 3 000 / (1,05)^3 = 2 591 (три тысячи, полученные через 3 года)

ТС4 = 3 000 / (1,05)^4 = 2 468 (три тысячи, полученные через 4 года)

ТС общ = 2 857 + 2 721 + 2 591 + 2 468 = 10 637.

Теперь вариант номер три  лучше, чем получение 11 000 через год (ТС = 10 476) или 10 000 рублей прямо сейчас.

Таким же образом можно считать стоимость  будущих затрат, но в этом случае более выгодным является вариант  с наименьшей ТС.

Можно оценивать  и инвестиции: вложения сейчас со знаком минус, будущие доходы дисконтировать. Общая сумма должна быть положительной, иначе инвестиции убыточны.

Понятно, что результаты оценки будут сильно зависеть от той ставки процента, которую мы используем для дисконтирования. Чем она больше, тем сильнее обесцениваются денежные средства со временем.