Принцип Діріхле в задачах

ВСТУП

Під принципом Діріхле в математиці розуміють твердження, яке полягає в тому, що якщо деякі предмети розкладено в ящики, причому кількість предметів є більшою за кількість ящиків, то хоча б в одному ящику буде принаймі два предмети ( якщо ж кількість предметів є меншою за кількість ящиків, то хоча б один з ящиків буде порожнім). Подібні міркування неодноразово використовував німецький математик Петер Густав Лежен Діріхле (1805 – 1859) при вивченні наближення ірраціональних чисел раціональними. Принцип Діріхле досить ефективно використовується при розв'язуванні різних задач з теорії множин, комбінаторики, теорії графів, комбінаторної геометрії,  тощо.

Принцип Діріхле, не зважаючи на його надзвичайну очевидність і простоту, часто використовується при розв'язуванні задач і доведенні теорем у різних галузях математики. Заслуга Діріхле не в формулюванні очевидного твердження, а в тому, що він перший помітив, що з такого простого твердження можна дістати глибокі результати.

В даній дипломній роботі систематично і послідовно викладено Принцип  Діріхле і його додаток до різних задач теорії чисел, розглядаються  різноманітні застосування принципу Діріхле та його модифікацій до розв'язування задач, доводяться класичні теореми Діріхле, Кронекера. Задачі згруповані за спільною тематикою та спорідненими методами їхнього розв'язування. Наведені типові методи і прийоми розв'язування задач.

 

 

 

 

РОЗДІЛ І. ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ

§ 1.1. Принцип Діріхле

 

Якщо + 1 предмет розкладено в ящиків, то знайдеться два предмети, які лежать в одному ящику.

Це твердження називають принципом  Діріхле або принципом ящиків. Принцип Діріхле є очевидним  твердженням. Кожна, навіть не обізнана з математикою людина, розуміє, що розсадити  (  + 1) го зайця в п кліток так, щоб в кожній клітці було не більше від одного зайця, не можна. Інакше кажучи, якщо в клітках знаходиться  + 1 або більше зайців, то принаймні в одній клітці сидить не менше від двох зайців.

Нехай п - деяке фіксоване натуральне число. Тоді для того, щоб різниця   двох цілих чисел a та b ділилася на n необхідно і досить, щоб числа а та b давали однакові остачі при діленні на п. Оскільки довільне ціле число при діленої на п може мати одну з п наступних остач: 0,1,..., (n-1), то за принципом Діріхле з довільного (n + 1)-го цілого числа можна вибрати два числа які, мають однакову остачу при діленні їх на n, а тому різниця цих чисел ділиться на n.

 

§ 1.2. Більш загальні формулювання принципу Діріхле

 

Якщо предмет розкладено в ящиків, то принаймні в одному з ящиків знаходиться не менше як предмет.

Для доведення пронумеруємо ящики  числами 1, 2,...,. Нехай х_і — число предметів, які знаходяться в ящику з номером і. За умовою

 

Припустимо, що

 

Тоді 

 

Дістали суперечливу  нерівність

 

Отже, наше припущення неправильне, тобто принаймні одне таке, що . Доведене твердження можна сформулювати так: якщо заєць розміщено в п клітках, то принаймні в одній з кліток знаходиться не менш як  заєць.

 

§ 1.3. Відображення множин і принцип Діріхле

 

Поняття множини  відіграє важливу роль в усіх розділах сучасної математики. Я також використовуватиму деякі поняття теорії множин, проте означення поняття множини не даватиму. Зазначу те, що множини можуть бути різного характеру. Можна говорити, наприклад, про множину учнів певної школи, про множину читачів книги, про множину натуральних чисел, які діляться без остачі на 3, про множину коренів даного рівняння і т. д. Позначають множини великими латинськими буквами. Запис А означає, що елемент а належить множині А. Іноді записують множину, перераховуючи в фігурних дужках усі її елементи. Наприклад,

 

• множина коренів рівняння

 

      Нехай є дві скінченні множини

 . Припустимо, що кожному елементу з множини А поставлено у відповідність деякий елемент множини В. Тоді кажуть, що задано відображення множини А у множину B, елемент називають образом елемента .

      Якщо А - множина зайців, а В - множина кліток, в яких треба розмістити зайців, то, визначивши клітку для кожного зайця, дістанемо відображення множини А у множину В .

       У термінах теорії множин принцип Діріхле можна сформулювати так. Нехай m> . Тоді при будь-якому відображенні множини А у множину В знайдуться два елементи множини А, які мають один і той же образ. Інакше кажучи, якщо m зайців розміщувати в клітках ( < m), то знайдуться два зайці, які потрапляють в ту саму клітку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РОЗДІЛ ІІ. ПОДІЛЬНІСТЬ ЧИСЕЛ І ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ

 

§ 2.1. Натуральні та цілі числа

 

Числа 1, 2, 3, 4, 5 ... називаються натуральними. Найменшим  натуральним числом є одиниця, найбільшого  натурального числа не існує, бо яке  б натуральне число ми не взяли, можна вказати ще більше натуральне число.

Поняття натурального числа виникло давно як результат лічби конкретних предметів. Пізніше люди навчилися додавати натуральні числа, а потім - множити та віднімати їх.

При додаванні  і множенні натуральних чисел  дістаємо теж натуральне число. Коротко цю властивість формулюють так: множина всіх натуральних чисел замкнена відносно операцій додавання і множення. Множина натуральних чисел не е замкненою відносно операції віднімання.

Як відомо, операція віднімання від числа п числа т полягає в знаходженні числа х(його позначають п - т) такого, що т + х = . Якщо = 7, т= 3, то х = 4. Якщо, наприклад, п= 8, т= 11, то операцію 8-11 обмежуючись тільки натуральними числами, виконати не можна. Для того щоб операцію віднімання можна було виконати, розглядають більш широку множину, ніж множина натуральних чисел - множину цілих чисел.

Множина цілих  чисел складається з натуральних  чисел 1, 2, 3, ..., числа 0 і від'ємних чисел -1, -2, -3, ...

Множину цілих  чисел часто позначають буквою Z. Ця множина замкнена відносно операцій додавання і множення, вона замкнена також і відносно операції віднімання. Рівняння т + х = п у множині цілих чисел завжди має єдиний розв'язок х = п - т.

Проте Множина Z не є замкненою відносно операції ділення. Ділення (дія, обернена до множення) виконується у множині Z не завжди. Нагадаю, що результатом ділення (часткою) числа а на число b називається таке число х (його позначають а : b), що ах =b.

 

§ 2.2. Подільність цілих чисел.

 

Вважають, що ціле число а ділиться на ціле число b, якщо існує ціле число k, таке, що а =. Число b називають дільником числа а.

Теорема. Якщо числа а і b діляться на с, то числа а + b,а - b діляться на с. Якщо число а ділиться на с, число b ділиться на d, то ділиться на .

Доведення. Якщо і b діляться на с, то а = k,

де k і цілі числа. Тому

.

Це означає, що числа  +b і  діляться на число с.

Якщо  ділиться на с, а b ділиться на d, то ,

де і - деякі цілі числа. Тоді

.

Таким чином, ділиться на .

Наслідок. Якщо а ділиться на число с, то при будь-якому натуральному п число а^п ділиться

на с^п.   

§ 2.3. Ділення з остачею

 

Нанесемо на числову  вісь точки, які відповідають цілим  числам (рис. 3). У подальшому з метою  скорочення

 

 

 

 

                       в          а

      

       0   1   2   3   4   5   6    7   8   9

 

 

Рис. 3

 

замість слів «точки, які відповідають числам» говорить просто «числа». Позначимо на числовій осі також усі цілі числа, які  діляться на b. (Вони розміщені на однаковій відстані одне від одного). Ці числа називаються ще числами, кратними числу b.

Нехай тепер а - число, яке не ділиться на b.

На числовій осі воно міститиметься між якимись двома числами, кратними b. Нехай це числа і .

Тоді

,

де .

Отже, справджується  таке твердження.

Теорема 1. Для цілого числа а і натурального числа b можна знайти такі цілі числа і , де 0 < < b, що

 

Числа і за даними а і b визначаються однозначно, число називається часткою від ділення а на b, а число - остачею від ділення а на b.

Доведемо єдиність чисел і . Припустимо, що число а можна подати двома способами:

 

 

Віднімаючи ці рівності, матимемо

.

Звідси

   (2)

Отже,  ділиться на b. Нехай , зокрема . Тоді

> 0 і 0 < < b.

 Отже, є натуральним числом, меншим від b, і тому воно не ділиться на b. У зв'язку з цим виникає суперечність. Тому виконується рівність . З рівності (2) випливає, що

.

 Оскільки , то . Отже,

.

Згідно з теоремою, кожне натуральне число  можна подати у вигляді

  або , або ,..., або у вигляді

.

Числа, які діляться на 2 без остачі, називаються парними, числа, які не діляться на 2, називаються непарними.

Зауваження. Число а, про яке йшлося в теоремі, може бути від'ємним. Знайдемо, наприклад, остачу від ділення а на b, де а = -38,

b = 7. Маємо - 38 = (-6)7 + 4. Отже, дорівнює 4.

 

§ 2.4. Прості числа

 

§ 2.4.1.Дільники числа

Розглянемо деяке  натуральне число а і випишемо всі його дільники. Нехай, наприклад а = 24. Тоді множина D усіх його дільників складається з 8 чисел:

D = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.

Множина D дільників даного числа завжди має певну симетрію, яку можна описати так. Якщо число b є дільником даного числа а, то

,

де b — деяке натуральне число. Таким чином, число k є дільником. Такі два дільники числа , добуток яких дорівнює , називатимемо доповняльними. Поставивши у відповідність кожному дільнику числа а його доповняльний дільник, матимемо взаємно однозначне відображення множини й на себе. Наприклад, для числа а =24 це відображення можна подати у вигляді табл. 1 (додаток 1).

Кожне натуральне число , яке більше за 1, має принаймні два дільники: 1 і а.

Означення. Натуральне число а (а >1) називається простим, якщо воно не має інших дільників, крім 1 і а. Число а називається складеним, якщо крім 1 і а,воно має ще й інші дільники.

Серед перших 100 чисел простими є: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Інші числа  першої сотні, крім 1, є складеними; число 1 має тільки один натуральний дільник, воно не є ні простим, ні складеним.

Теорема 1. (теорема Евкліда). Існує нескінченно багато простих чисел.

Доведення. Доводитимемо від супротивного. Нехай існує скінченне число простих чисел. Тоді всі ці числа можна перелічити:

2, 3, 5, 7, 11, ..., ,

де - найбільше просте число (за припущенням таке число є). Перемножимо всі ці числа і до здобутого числа додамо 1. Матимемо

N =

З'ясуємо, яким є  число N - простим чи складеним? Якщо N просте, то маємо суперечність, оскільки за припущенням найбільше просте число, а N > . Якщо складене число, то воно має деякий простий дільник t,

1 < t < N. Очевидно,  t не може збігатися з жодним з простих чисел

2, 3, 5, ... ,

оскільки при  діленні N на кожне з цих чисел дістаємо остачу 1. Таким чином, повинна виконуватися нерівність і знов маємо суперечність, що є найбільшим простим числом. Отже, припущення про те, що простих чисел тільки скінченне число, не справджується.

 

§ 2.4.2 Розклад натурального числа на добуток простих чисел

 

Кожне натуральне число можна розкласти  на добуток простих чисел.

Справді, нехай дане складене число . Його можна розкласти на добуток двох множників, менших за . Якщо серед них є хоча б один, який не є простим числом, то його знову можна розкласти на добуток двох множників. Якщо  серед цих множників є складене число, то їх знову можна розкласти на множники і т. ін. Описаний процес не може тривати нескінченно, оскільки кожний множник менший від самого числа.

Враховуючи кратність простих  множників, розклад числа можна  подати у вигляді

,

де - різні прості числа, - число, яке показує, скільки разів у розкладі зустрічається множник .

У подальшому покажемо, що кожне натуральне число можна разкласти на прості множники тільки єдиним способом.

 

 

 

§ 2.4.3. Число різних дільників числа

Розглянемо натуральне число

 

розкладене на прості множники і  з'ясуємо, скільки різних дільників  має це число.

При підрахунку числа дільників  числа 

 

міркуємо так. Кожний дільник числа  має вигляд

,

де  .

Число різних наборів () дорівнює

(.

Отже, справджується таке твердження.

Теорема 2. Нехай  - число дільників числа  
.

Тоді

(

 

§ 2.4.4. Найбільший спільний дільник. Взаємно прості числа

 

Кожне ціле число, яке дорівнює нулю, має скінченне число дільників. Очевидно, якщо d - дільник числа , то й - d й є також дільником числа . Тому надалі йтиметься тільки про натуральні дільники числа

Означення. Нехай і b — два цілих числа, які не дорівнюють одночасно нулю. Розглянемо всі спільні дільники чисел і b. Найбільший з них називають найбільшим спільним дільником чисел і b і позначають символом (,b).

Означення. Числа і b називають взаємно простими, якщо

(b) = 1.

Взаємно прості числа не мають інших спільних дільників крім 1.

Теорема 3. Якщо числа і b взаємно прості, то існують такі цілі числа ₀ і у₀, що

₀ + bу₀= 1.

Доведення. Зазначимо, що числа і b не можуть одночасно дорівнювати нулю, оскільки в противному разі кожне з них ділилося б на будь-яке натуральне число, тобто   і b не були б взаємно простими. Розглянемо всі можливі цілі числа, які можна подати у вигляді

,

де х і у — деякі цілі числа. Серед таких чисел будуть числа

.

Серед чисел х + будуть і натуральні числа. Наприклад, якщо від'ємне, то

 

натуральне число.

Розглянемо найменше натуральне число, яке можна подати у вигляді

х +у.

 Позначимо його с = х₀ +у₀. Доведемо, що с = 1. Тим самим буде встановлено існування ₀ та у₀, для яких виконується рівність

₀ + у₀ = 1.

Доводитимемо від супротивного.

Припустимо, що c > 1. Поділимо число на с. Матимемо

.

Якщо , то

₀ + у₀)=

Таким чином натуральне число  можна подати у вигляді

,

 де та у цілі числа. Проте це неможливо, оскільки < с, а за припущенням с - найменше натуральне число виду

.

Якщо 0, то

,

тобто ділиться на с. Згідно з припущенням, число також ділиться на с. Число с, с > 1 є спільним дільником чисел та , а це суперечить тому, що числа і взаємно прості. Отже, припустивши, що с > 1, дійшли до суперечності. Таким чином, с = 1. Теорему доведено.

У теорії подільності чисел  важливу роль відіграє таке твердження.

Теорема 4. Якщо число ділиться на кожне з двох взаємно простих чисел , то ділиться на добуток .

Доведення. Оскільки число ділиться на і на , то

,

де і - деякі натуральні числа. Числа взаємно прості, тому за теоремою 3 є цілі числа та такі, що

.

Помножимо цю рівність на . Дістанемо

.

Таким чином,

,

 а це означає, що ділиться на .

Зауваження. У цій теоремі  дуже істотно, що взаємно прості. Справді, число 24, наприклад, ділиться на 8 і на 12, але не ділиться на добуток 812 = 96 (числа 8 і 12 не є взаємно простими, отже, теорему 4 застосовувати не можна).

Теорема 5. Якщо добуток с ділиться на і числа взаємно прості, то число с ділиться на.

Доведення. Оскільки числа взаємно прості, то за теоремою 3 є цілі числа ₀ і у₀ такі, що .

Помножимо цю рівність на с. Дістанемо

.

 Добуток за умовою ділиться на , також ділиться на . Отже, с ділиться на .

Теорема 6. Якщо числа взаємно прості, то

існують такі натуральні числа і у, що

 

Доведнн я. Застосуємо принцип Діріхле. Нехай ()=1. Розглянемо всі числа виду , де послідовно набуває значень

1,2, ..., .

Якщо число при діленні на дає в остачі 1, то

,

Тобто

,

і теорема справджується.

Припустимо, що жодне з чисел при діленні на не дає в остачі 1. Можливими остачами тоді є числа: 2, 3, ..., .

Оскільки маємо  число, а всього можливо остачі, то існують натуральні числа такі, що числа і при діленні на , дають однакові остачі. Тому число

 

 ділиться на . Оскільки числа взаємно прості, то

 

ділиться на . Проте це неможливо, бо

 

Маємо суперечність. Отже, існує  таке , що при діленні на дає в остачі 1.

Теорема 7 (основна теорема арифметики). Кожне натуральне число, яке більше від 1, можна розкласти на прості множники. Будь-які два розклади того самого числа на прості множники можуть відрізнятися тільки порядком множників.

Доведення. Існування розкладу чисел на прості множники було доведено вище. Доведемо тепер єдність розкладу. Нехай число має два розклади на прості множники:

 

 

З першого розкладу випливає, що число ділиться на . Отже,

 

ділиться на . Доведемо, що одне з чисел

обов'язково дорівнює . Якщо, тo теорему доведено. Нехай . Оскільки і взаємно прості, і добуток

 

ділиться на , то за теоремою 5 число

 

 повинно ділитися на . Якщо то теорему доведено. Якщо , то повторюючи проведені вище міркування, впевнюємося, що ділиться на . Продовжуючи міркування далі, або знайдемо серед чисел

 

число, яке дорівнює , аюо дістанемо, що ділиться на . Тоді

,

оскільки - просте число. Одже серед чисел

є число, яке дорівнює

Нехай, наприклад, . Поділивши рівність

на матимемо

.

Візьмемо тепер просте число р₂. Повторюючи проведені вище міркування, дістаємо, що серед чисел

обов'язково є число, яке  дорівнює р₂. Аналогічно всі числа

 

зустрічаються серед чисел

,

 ніяких інших чисел  серед

 

бути не може, бо тоді б  добуток

 

був би більшим, ніж добуток

.

Отже, обидва розклади числа  на прості множники можуть відрізнятися тільки порядком множників. Теорему доведено.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РОЗДІЛ ІІІ. ГЕОМЕТРИЧНІ АНАЛОГИ ПРИНЦИПУ ДІРІХЛЕ

 

У цьому розділі розглянуто деякі твердження, що є геометричними аналогами принципу Діріхле. Сформульований принцип Діріхле для площ

також має важливі застосування в багатьох розділах сучасної математики. Я розглядатиму лише множини на площині.

 

§ 3.1. Множина на площині

 

§3.1.1. Операції над множинами

 

Нагадаю деякі основні означення з теорії множин. Позначають множини великими латинськими буквами.

Запис (читається «А належить В» або «А є підмножиною множини В») означає, що кожен елемент множини А є також елементом множини В.

 

 

 

Рис. 2               Рис. 3

 

 

Нехай є дві множини А і В. Об'єднанням множин АВ Називається множина всіх тих елементів, які належать принаймні одній з множин А і В (рис. 9).

Перерізом А В множин А і В називається множина всіх тих елементів, які належать кожній з множин А і В рис. 10).

Різницею А\В множин А і В називається множина тих елементів А, які не належать В.

Множину , яка не містить  жодного елемента, називають порожньою  і позначають символом . Зокрема, запис означає, що множини А і В не мають спільних елементів.

 

§3.1.2. Множини на площині

 

Надалі розглядатиму лише множини точок площини, причому замість терміна «множина» часто вживатиму термін «фігура».

Розглянемо в площині  прямокутну декартову систему координат. Положення кожної точки площини  однозначно визначається її декартовими координатами і у. Нехай кожній точці (, у) з множини D поставлено у відповідність певне дійсне число . Тоді кажуть, що на множині D визначено функцію двох змінних і у.

Кожному співвідношенню між і у, яке задано у вигляді рівності або нерівності, або системи нерівностей на площині відповідає множина тих точок (х, у), для яких виконується задане співвідношення. Цю множину називають геометричним образом заданого співвідношення.

 

§3.1.3. Внутрішні точки множини на площині

 

Нехай А - деяка множина точок (х₀, у₀) на площині (А - фігура на площині). Точку (х₀, у₀) називають внутрішньою точкою множини А, якщо існує такий круг (можливо досить малого радіуса), з центром у точці (х₀, у₀),всі точки якого належать множині А.

 

§3.1.4.Обмежені та опуклі множини

 

Множина А точок площини  називається обмеженою, якщо існує  круг, який повністю покриває множину  А.

Множина А точок площини називається опуклою, якщо разом з будь-якими двома своїми точками вона містить відрізок, який сполучає ці точки. Круг, трикутник, півплощина — опуклі множини.

 

§3.1.5.Площа фігури

 

Поняття про площі деяких фігур таких, як прямокутник, трикутник, многокутник, відоме із шкільного курсу математики. Покажемо, як можна ввести поняття площі для більш широкого класу фігур.

Називатимемо фігуру простою, якщо її можна розбити на скінченне число трикутників. Площа такої фігури є сумою площ відповідних трикутників. Площу простої фігури А позначають через S(А). Клас усіх простих фігур позначають буквою . Легко впевнитися, що виконуються такі властивості:

1) якщо проста фігура А має внутрішні точки, то S(А)> 0.

2) якщо фігура А (А ) складена з простих фігур і , які не мають спільних внутрішніх точок, то

;

3) рівні фігури, тобто фігури, які можна накласти oдна на одну, мають однакові площі,

4) для квадрата  із стороною 1 S (∆) = 1. Можна довести також, що на множині * простих фігур існує тільки одна функція множини S(A), яка задовольняє властивості 1 - 4.

Означення. Вважають, що фігура має певну площу (є квадрованою), якщо для будь-якого існують прості фігури і такі, що

Клас усіх квадрованих  фігур позначимо через K. Очевидно, кожна проста фігура є квадрованою.

Можна довести, що на класі квадрованих фігур існує  тільки одна функція S(А), яка має властивості 1 - 4 і така, що для простої фігури А ця функція дорівнює площі фігури, А. Число S(А) називається площею квадрованої фігури А.

Не кожна фігура на площині є квадрованою, тобто  має площу. У шкільному курсі  математики розглядаються в основному  фігури, обмежені відрізками прямих і  дугами кіл. Такі фігури є квадрованими.

Питання, пов'язані  із строгими oзначеннями поняття площі, об'єму, належать до розділу математики, який називається теорією міри.

 

§ 3.2. Принцип Діріхле для площ і його застосування

 

§3.2.1. Принцип Діріхле для площ

 

Доведемо геометричне  твердження, яке дуже нагадує «  принцип ящиків» Діріхле, називатиму його принципом Діріхле для площ. Як і «принцип ящиків», принцип Діріхле  для площ є очевидним твердженням. Проте за його допомогою здобуто  глибокі результати в так званій геометричній теорії чисел.

Теорема 1 (принцип  Діріхле для площ). Нехай А –  кадрована фігура, – кадровані фігури, причому

 

Відомо, що

 

Тоді принаймі дві з фігур  мають спільні внутрішні точки.

Доведення. Припустимо супротивне. Нехай будь-які дві  з фігур  не мають спільних внутрішніх точок. Тоді

 

(2)

Внаслідок властивості  адитивності площ. Проте 

і тому

⊂А.

Отже,

 

Порівнюючи (1), (2) і (3), дійдемо до суперечливої нерівності

.

Одже, наше припущення неправильне.

 

§3.2.2. Узагальнений принцип Діріхле для площ

 

Теорема 2 (узагальнений принцип Діріхле для площ). Нехай

А,

- квадровані фігури, причому

.

 Припустимо, що

 

Тоді принаймні k + 1 фігура з фігур

 

спільну внутрішню  точку.

Доведення. Припустимо, що переріз будь-яких

k + 1  множини з множин

А,

не містить  внутрішніх точок. Тоді

 

оскільки площа  кожної відкритої множини, яка належить

,

 враховується  в сумі, що стоїть у лівій  частині нерівності (5), не більше  як раз. Маємо суперечність з нерівністю (4). Таким чином, переріз деяких + 1 множини з множин

 

містить внутрішні точки.

 

§3.2.3.Теорема Бліхфельдта

 

Візьмемо прямокутну декартову систему координат  на площині і через кожну точку  цілими координатами проведемо прямі, паралельні координатним осям. Утворена система прямих називається цілочисловою решіткою, точки з цілими координатами — вузлами цілочислової решітки. Цілочислова решітка розбиває всю площину на систему квадратів із стороною 1. Моделлю цілочислової решітки може бути звичайний папір у клітинку.

Розглянемо цілочислову решітку і деяку квадровану фігуру А. Кількість вузлів решітки, покритих фігурою А, залежить від її положення. Існують фігури як завгодно, великої і навіть нескінченної площі, які не покривають жодного вузла решітки (рис.4).

 

 

 

 

Рис. 4

Теорема 3 (Бліхфельдта). Нехай А - квадрована фігура, причому

S (A).

Фігуру А можна  перенести паралельно таким чином, що вона покриє принаймні вузол решітки.

Доведення. Прямі цілочислової решітки розбивають фігуру А на частини

,

які лежать у  різних одиничних квадрантах решітки

,

 де оскільки

 

(на рис. 12 . Виберемо один з цих квадратів, наприклад. Кожен з решти квадратів

 

перенесемо паралельно так, щоб він сумістився з Очевидно, паралельний перенос здійснюється на вектори, компоненти яких є цілими числами (такі вектори називатимемо цілочисловими).

        Частини

 

фігури А перейдуть при цьому в конгруентні їм частини

 

(для симетрії позначень покладy, що ). Оскільки за умовою теореми S (A) , то

.

Зазначимо також, що

 .

Тому згідно з  узагальненим принципом Діріхле  для площ, всередині існує точка а, яка належить принайні n+1 фігурі з фігур .

Кожна з цих  частин утворилася в результаті паралельного перенесення на цілочисловий вектор відповідної частини . При цьому деяка внутрішня точка фігури A переходить у точку а. Вектор є цілочисловим. Таким чином, існує n + 1 точка , які є внутрішніми для фігури А і такі, що всі вектори є цілочисловими.

Нехай b - найближча до а вершина квадрата Довжина вектора менша від 1. Якщо всю площину перенести паралельно на вектор , то кожна з n+1 точки перейде в точку , таку, що . Отже, вектори є цілочисловими векторами. Оскільки b є вузол решітки, то й усі точки також є вузлами решітки. Тоді фігура, яка утворюється з фігури А паралельним перенесенням на вектор (довжина якого менша від 1) міститиме принаймні n+ 1 вузол решітки.

Для n-1 теорему 3 можна сформулювати інакше. При цьому з міркувань, наведених при доведенні теореми 3, випливає, що існують точки які належать А, і точка а(х₀, у₀) такі, що векторі є цілочисловими векторами (це означає, що числа

 

є цілими). Тоді

є також цілими числами. Отже, справджується таке твердження.

Теорема 4. Нехай А - квадрована фігура, при чому

.

 Тоді в А є дві різні внутрішні точки такі, що числа

 

є цілими.

Цю теорему також називають теоремою Бліхфельта.

 

§3.2.4.Теорема Мінковського

 

Розглянемо теорему, яка  належить німецькому математику Герману Мінковському і яка відіграє важливу роль у геометричній теорії чисел.

Теорема 5 (Мінковського). Нехай А - симетрична відносно початку координат, обмежена, опукла множина точок площини і така, що

.

Тоді А містить відмінну від початку координат точку з цілими координатами.

Доведення. Застосуємо до А перетворення гомотетії з центром у початку координат і коефіцієнтом . Дістанемо фігуру подібну до А, причому