Принятие решений в условиях неопределенности

2

Оглавление

Введение

1. Принятие решений в условиях неопределенности

1.1. Принятие решений в условиях риска

1.2. Учет неопределенных факторов, заданных законом распределения

1.3. Постановка задачи стохастического программирования

2. Практическая часть

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Заключение

Список использованных источников

Введение

В большинстве теоретических задачах речь идет о постановках и методах решения задач, не содержащих неопределенностей. Однако, как правило, большинство реальных задач содержат в том или ином виде неопределенность. Можно даже утверждать, что решение задач с учетом разного вида неопределенностей является общим случаем, а принятие решений без их учета - частным. Однако из-за концептуальных и методических трудностей в настоящее время не существует единого методологического подхода к решению таких задач. Тем не менее, накоплено достаточно большое число методов формализации постановки и принятия решений с учетом неопределенностей. При использовании этих методов следует иметь в виду, что все они носят рекомендательный характер и выбор окончательного решения всегда остается за человеком.

В исследовании операций принято различать три типа неопределенностей:

-  неопределенность целей;

-  неопределенность наших знаний об окружающей обстановке и действующих в данном явлении факторах (неопределенность природы);

-  неопределенность действий активного или пассивного партнера или противника.

В приведенной выше классификации тип неопределенностей рассматривается с позиций того или иного элемента математической модели. Так, например, неопределенность целей отражается при постановке задачи на выборе либо отдельных критериев, либо всего вектора полезного эффекта.

С другой стороны, два другие типа неопределенностей влияют, в основном, на составление целевой функции уравнений ограничений и метода принятия решения. Конечно, приведенное выше утверждение является достаточно условным, как, впрочем, и любая классификация. Мы приводим его лишь с целью выделить еще некоторые особенности неопределенностей, которые надо иметь в виду в процессе принятия решений.

Дело в том, что кроме рассмотренной выше классификации неопределенностей надо учитывать их тип (или "род") с точки зрения отношения к случайности.

По этому признаку можно различать стохастическую (вероятностную) неопределенность, когда неизвестные факторы статистически устойчивы и поэтому представляют собой обычные объекты теории вероятностей - случайные величины (или случайные функции, события и т.д.). При этом должны быть известны или определены при постановке задачи все необходимые статистический характеристики (законы распределения и их параметры).

Другим крайним случаем может быть неопределенность нестохастического вида (по выражению Е.С.Вентцель - "дурная неопределенность"), при которой никаких предположений о стохастической устойчивости не существует. Наконец, можно говорить о промежуточном типе неопределенности, когда решение принимается на основании каких-либо гипотез о законах распределения случайных величин. При этом надо иметь в виду опасность несовпадения результатов с реальными условиями. Эта опасность несовпадения формализуется с помощью коэффициентов риска.

Таким образом, неопределенность целей требует привлечения каких-либо гипотез, помогающих получению однозначных решений. В данном случае учет фактора неопределенности цели, как уже указывалось, приводит к необходимости рассмотрения другой проблемы, которая формулируется в виде проблемы принятия оптимальных многоцелевых решений.

Целью данной работы является анализ принятия решений в условиях неопределенности.

Из данной цели вытекает ряд задач:

- рассмотреть критерии принятия решений в условиях риска;

- проанализировать способы учета неопределенных факторов, заданных законом распределения;

- сформулировать задачу стохастического программирования.

1. Принятие решений в условиях неопределенности

1.1. Принятие решений в условиях риска

С точки зрения знаний об исходных данных в процессе принятия решений можно представить два крайних случая: определенность и неопределенность. В некоторых случаях неопределенность знаний является как бы "неполной" и дополняется некоторыми сведениями о действующих факторах, в частности, знанием законов распределения описывающих их случайных величин. Этот промежуточный случай соответствует ситуации риска. Принятие решений в условиях риска может быть основано на одном из следующих критериев:

-  критерий ожидаемого значения;

-  комбинации ожидаемого значения и дисперсии;

-  известного предельного уровня;

-  наиболее вероятного события в будущем.[1]

Рассмотрим более подробно применение этих критериев.

1. Критерий ожидаемого значения (КОЗ)

Использование КОЗ предполагает принятие решения, обуславливающего максимальную прибыль при имеющихся исходных данных о вероятности полученного результата при том или другом решении. По существу, КОЗ представляет собой выборочные средние значения случайной величины. Естественно, что достоверность получаемого решения при этом будет зависеть от объема выборки. Так, если обозначить

КОЗ - Е(x1, x2, ... , xn),

где x1, x2, ... , xn - принимаемые решения при их количестве, равном n, то

E(xI) () M(xi),

где M(xi) - математическое ожидание критерия.

Таким образом, КОЗ может применяться, когда однотипные решения в сходных ситуациях приходится принимать большое число раз.

2. Критерий "ожидаемого значения - дисперсия"

Как указывалось выше, КОЗ имеет область применения, ограниченную значительным числом однотипных решений, принимаемых в аналогичных ситуациях. Этот недостаток можно устранить, если применять комбинацию КОЗ и выборочной дисперсии s2. Возможным критерием при этом является минимум выражения:

E(Z, ) = E(Z) ± k·U(Z),

где E(Z, ) - критерий "ожидаемого значения - дисперсия";

k - постоянный коэффициент;

U(Z) = mZ/S - выборочный коэффициент вариации;

mZ - оценка математического ожидания;

S - оценка среднего квадратического ожидания.

Знак "минус" ставится в случае оценки прибыли, знак "плюс" - в случае затрат.[2]

Из этой зависимости видно, что в данном случае точность предсказания результата повышается за счет учета возможного разброса значений E(Z), то есть введения своеобразной "страховки". При этом степень учета этой страховки регулируется коэффициентом k, который как бы управляет степенью учета возможных отклонений. Так, например, если для ЛПР имеет большое значение ожидаемые потери прибыли, то k>>1 и при этом существенно увеличивается роль отклонений от ожидаемого значения прибыли E(Z) за счет дисперсии.

3. Критерий предельного уровня

Этот критерий не имеет четко выраженной математической формулировки и основан в значительной степени на интуиции и опыте ЛПР. При этом ЛПР на основании субъективных соображений определяет наиболее приемлемый способ действий. Критерий предельного уровня обычно не используется, когда нет полного представления о множестве возможных альтернатив. Учет ситуации риска при этом может производиться за счет введения законов распределений случайных факторов для известных альтернатив.

Несмотря на отсутствие формализации критерием предельного уровня пользуются довольно часто, задаваясь их значениями на основании экспертных или опытных данных.

4. Критерий наиболее вероятного исхода

Этот критерий предполагает замену случайной ситуации детерминированной путем замены случайной величины прибыли (или затрат) единственным значением, имеющим наибольшую вероятность реализации. Использование данного критерия, также как и в предыдущем случае в значительной степени опирается на опыт и интуицию. При этом необходимо учитывать два обстоятельства, затрудняющие применение этого критерия:

-  критерий нельзя использовать, если наибольшая вероятность события недопустимо мала;

-  применение критерия невозможно, если несколько значений вероятностей возможного исхода равны между собой.

1.2. Учет неопределенных факторов, заданных законом распределения

Случай, когда неопределенные факторы заданы распределением, соответствует ситуации риска. Этот случай может учитываться двумя путями. Первый - анализом адаптивных возможностей, позволяющих реагировать на конкретные исходы; второй - методически, при сопоставлении эффективности технических решений. Суть первого подхода заключается в том, что законы распределения отдельных параметров на этапе проектирования могут быть определены с достаточной степенью приближения на основе сопоставления с аналогами, из физических соображений или на базе статистических данных и данных прогнозов.

Методический учет случайных факторов, заданных распределением, может быть выполнен двумя приемами: заменой случайных параметров их математическими ожиданиями (сведением стохастической задачи к детерминированной) и "взвешиванием" показателя качества по вероятности (этот прием иногда называют "оптимизация в среднем").[3]

Первый прием предусматривает определение математического ожидания случайной величины v - M(v) и определение зависимости W(M(v)), которая в дальнейшем оптимизируется по u. Однако сведение к детерминированной схеме может быть осуществлено в тех случаях, когда диапазон изменения параметра u невелик или когда зависимость W(u) линейна или близка к ней.

Второй прием предусматривает определение W в соответствии с зависимостями соответственно для дискретных и непрерывных величин:

где P(ui) - ряд распределений случайной величины ui;

f(ui) - плотность распределения случайной величины u.

При описании дискретных случайных величин наиболее часто используют распределения Пуассона, биноминальное. Для непрерывных величин основными распределениями являются нормальное, равномерное и экспоненциальное.[4]

1.3. Постановка задачи стохастического программирования

При перспективном и оперативном планировании работы предприятия возникает необходимость в учете ряда случайных факторов, существенно влияющих на процесс производства. К таким факторам относятся спрос, который не всегда может быть предсказуем, непредусмотренные сбои в поступлении сырья, энергии, рабочей силы, неисправности и аварии оборудования. Поэтому задачи планирования производства целесообразно ставить и исследовать в терминах и понятиях стохастического программирования, когда элементы задачи линейного программирования (матрица коэффициентов A, вектора ресурсов b, вектора оценок c) часто оказываются случайными. Подобного типа задачи ЛП принято классифицировать как задачи стохастического программирования (СП).[5]

Подходы к постановке и анализу стохастических задач существенно различаются в зависимости от последовательности получения информации - в один прием или по частям. При построении стохастической модели важно также знать, необходимо ли принять единственное решение, не подлежащее корректировке, или можно по мере накопления информации один или несколько раз корректировать решение. В соответствии с этим в стохастическом программировании исследуются одноэтапные, двухэтапные и многоэтапные задачи.[6]

В одноэтапных задачах решение принимается один раз и не корректируется. Они различаются по показателям качества решения (по целевым функциям), по характеру ограничений и по виду решения.

Задача СП может быть сформулирована в M- и P- постановках по отношению к записи целевой функции и ограничений.

Случайны элементы вектора с (целевая функция).

При M-постановке целевая функция W записывается в виде

что означает оптимизацию математического ожидания целевой функции. От математического ожидания целевой функции можно перейти к математическому ожиданию случайной величины cj

При P- постановке имеем:

- 
при максимизации:

где Wmin - предварительно заданное допустимое наихудшее (минимальное) значение целевой функции.

-  при минимизации:

где Wmax - предварительно заданное допустимое наихудшее (максимальное) значение целевой функции.

Суть P-постановки заключается в том, что необходимо найти такие значения xj, при которых максимизируется вероятность того, что целевая функция будет не хуже предельно допустимого значения.

Ограничения задачи, которые должны выполняться при всех реализациях параметров условий задачи, называются жесткими ограничениями. Часто возникают ситуации, в которых постановка задачи позволяет заменить жесткие ограничения их усреднением по распределению случайных параметров. Такие ограничения называют статистическими:

В тех случаях, когда по содержательным соображениям можно допустить, чтобы невязки в условиях не превышали заданных с вероятностями, небольшими ai>0, говорят о стохастических задачах с вероятностными ограничениями:

т.е. вероятность выполнения каждого заданного ограничения должна быть не менее назначенной величины ai. Параметры ai предполагаются заданными или являются решениями задачи более высокого уровня.

Представленные задачи как в M-, так и в P- постановках непосредственно решены быть не могут. Возможным методом решения этих задач является переход к их детерминированным эквивалентам. В основе этого перехода лежит использование закона распределения случайной величины. В инженерной практике наиболее часто используется нормальный закон распределения, поэтому дальнейшие зависимости приведем для этого случая.

Принимаем, что aij, bi, cj подчинены нормальному закону распределения. В этом случае будет справедлива следующие детерминированные постановки:

- 
P - постановка целевой функции, максимизация:

где cj и sj - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины cj.

- 
P - постановка целевой функции, минимизация:

Вероятностные ограничения:

где

-  соответственно, математические ожидания и дисперсии случайных величин aij и bi;

ta - значение центрированной нормированной случайной величины в нормальном законе распределения, соответствующей заданному уровню вероятности соблюдения ограничений ai.

Сделаем несколько замечаний к приведенным зависимостям:

-  задача стохастического программирования сведена к задаче нелинейной оптимизации и может быть решена одним из методов;

- 
сравнение ограничения ресурса в стохастическом программировании и аналогичным ограничением в задаче линейного программирования показывает, что учет случайного характера величин aij и bi приводит к уменьшению располагаемого ресурса на величину

т.е. к необходимости в дополнительном ресурсе. Однако этот дополнительный ресурс может оказаться неиспользованным, но для гарантированного выполнения плана его иметь необходимо.[7]

2. Практическая часть

Задание 1

Для приведенной ниже задачи составить математическую модель. Решить задачу симплекс методом и графически, показать соответствие опорных решений и вершин допустимой области.

Предприятие выпускает продукцию двух разновидностей. Каждый вид продукции проходит обработку на трех станках. При обработке 1т продукции  А первый станок  используется  2 ч, второй станок – 3 ч, третий станок - 2 ч. При обработке 1 т продукции  В  первый станок используется 4 ч, второй станок – 2 ч, третий станок – не используется. Время работы станков ограничено и не может превышать для первого станка  174 ч, для второго - 157 ч, для третьего - 77 ч. При реализации 1 т продукции  А  предприятие получает прибыль 13 рублей, а при реализации 1 т продукции  В  - 19 рублей. Найти оптимальный план выпуска продукции каждого вида, дающий максимальную прибыль от реализации всей продукции.

Решение:

Пусть х1 – количество продукции вида А;

х2 - количество продукции вида В.

Математическая модель задачи:

F = 13x1 + 19x2  max

2x1 + 4x2  174

3x1 + 2x2  157

24x1  77

x1  0, x2  0

Решим задачу графическим методом.

(1) 2x1 + 4x2  174

      2x1 + 4x2 = 174

Точка О (0;0):

0  174 - верно

(2) 3x1 + 2x2  157

      3x1 + 2x2 = 157

0  157 - верно

(3) 2x1  77

      2x1 = 77

      x1 = 38,5

0  38,5 - верно

(4) х1  0

      х1 = 0 – ось ОХ2.

(5) х2  0

      х2 = 0 – ось ОХ1  область решений системы ограничений находится только в первой четверти декартовой системы координат.

Пятиугольник ОАВСД – область решений системы ограничений.

Находим координаты точки В:

2x1 + 4x2 = 174

3x1 + 2x2 = 157       ·(-2)

2x1 + 4x2 = 174

-6x1 – 4x2 = -314

-4x1 = -140

   x1 = 35

2х2 = 157 – 3·35 = 52

х2 = 26

В (35; 26)

max (х) =

Ответ: максимальная прибыль от реализации всей продукции составит 949 рублей, если продукции вида А выпускать 35 тонн, и продукции вида В – 26 тонн.

Решим полученную задачу симплексным методом

Запишем задачу в каноническом виде:

F = 13x1 + 19x2  max

2x1 + 4x2 + х3 = 174

3x1 + 2x2 + х4 = 157

2x1 + х5 = 77

хj  0, j=1,2,3,4,5.

Первое допустимое базисное решение: (0, 0, 174, 157, 77)

¦(х1) = 

Первый базисное решение не является оптимальным, т.к. 1  0 и 2  0.

Второе базисное решение: (0, , 0, 70, 77)

¦(х2) = 

Второй базисное решение не является оптимальным, т.к. 1  0.

Третье базисное решение: (35, 26, 0, 0, 7)

¦(х3) = 

Третий базисное решение является оптимальным, т.к. все Dj  0.

Ответ:  max ¦(х) =  949 при допустимом базисном решении (35, 26, 0, 0, 7).

Т.е. максимальную прибыль от реализации всей продукции в размере 949 рублей можно получить, если продукции вида А выпускать 35 тонны и продукции вида В - 26 тонн.

Соответствие опорных решений и вершин допустимой области:

Х(0)опор. = {0; 0}   ↔   т. О (0; 0)

Х(1)опор. = {0; }   ↔   т. А (0; 43,5)

Хоптим. = {35; 26}   ↔   т. В (35; 26).

Задание 2

Решить симплексным методом с искусственным базисом каноническую задачу линейного программирования:

max Z = 0x1 + 4x2 - 2x3 + 4x4 - 3х5

-1x1 + 1x2 + 3x3 + 0х4 - 2х5 = 3

3x1 + 0x2 + 0x3 + 2х4 + 2х5 = 7

-3x1 + 1x2 + 2x3 + 0х4 + 2х5 = 1

xj  0, j = 1,2,3,4,5.

Решение:

Составляем М-задачу:

max Z = -0x1 + 4x2 - 2x3 + 4x4 - 3х5 – М·(у1 + у2 + у3)

-1x1 + 1x2 + 3x3 + 0х4 - 2х5 + у1 = 3

3x1 + 0x2 + 0x3 + 2х4 + 2х5 + у2 = 7

-3x1 + 1x2 + 2x3 + 0х4 + 2х5 + у3 = 1

хj  0, j=1,2,3,4,5;

у1 ≥ 0, у2 ≥ 0, у3 ≥ 0.

Первое допустимое базисное решение: (0, 0, 0, 0, 0, 3, 7, 1)

Z(х1у1) = -11М

2

2

Первый опорный план не является оптимальным, т.к. не все j ≥ 0.

Второе базисное решение: (0, 0, , 0, 0, , 7, 0)

Z(х2у2) =  -М - 1

Второй опорный план не является оптимальным, т.к. не все j ≥ 0.

Третье базисное решение: (, 0, , 0, 0, 0, , 0)

Z(х3у3) = 

Третий опорный план не является оптимальным, т.к. не все j ≥ 0.

Четвертое базисное решение: (, 0, , 0, )

Z(х4) = 

Четвертый опорный план не является оптимальным, т.к. не все j ≥ 0.

Пятое базисное решение: (, 0, , , 0)

Z(х5) = 

Пятый опорный план не является оптимальным, т.к. не все j ≥ 0.

Шестое базисное решение: (1, 4, 0, 2, 0)

Z(х6) =  24

Шестой опорный план является оптимальным, т.к. все j ≥ 0.

Ответ: max (х) = 24 при оптимальном решении (1, 4, 0, 2, 0).

Двойственная задача:

min F = 3у1 + 7у2 + 1у3

-1у1 + 3у2 - 3у3 ≥ 0

1у1 + 0у2 + 1у3 ≥ 4

3у1 + 0у2 + 2у3 ≥ -2

0у1 + 2у2 + 0у3 ≥ 4

-2у1 + 2у2 + 2у3 ≥ -3

yi – любого знака (i = 1,2,3)

Оптимальный план двойственный задачи (выписываем из последней симплекс-таблицы №6, из строки оценок тех векторов, которые входили в первоначальный базис):

у = (3; 2; 1)

min F =

Задание 3

Решить методом потенциалов транспортную задачу:

На станции А1,  А2,  А3,  А4,  А5  поступил однородный груз, который надо отвезти пяти заказчикам  В1,  В2,  В3,  В4,  В5.

Потребности заказчиков (в условных единицах), количество грузов на каждой станции (в тех же единицах) и тарифы (стоимость перевозки единицы груза с данной станции данному заказчику в денежных единицах) указаны в таблице.

Требуется спланировать перевозки так, чтобы общая сумма стоимости перевозок была наименьшей.