Принятие решений в условиях неопределенности. 2

Министерство  общего и профессионального

образования Российской Федерации

 

Московский  Государственный Институт

Радиотехники, Электроники и Автоматики

(Технический Университет)

 

ФАКУЛЬТЕТ  Кибернетики

КАФЕДРА  Интеллектуальных

технологий  и систем

 

 

 

 

 Курсовая работа по дисциплине:

Теория принятия решений

 

 

 

Тема курсовой работы:

Принятие решений  в условиях неопределенности

 

 

(8 семестр)

 

 

 

                                                                            

Студент Морозов  О.Е.

Группа ИЖ-1-99

Руководитель Панов А.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2003 

Введение

 

В курсовой работе рассматривается элементарная теория принятия решений (ТПР) в условиях неопределенности и риска. Предполагается, что человек находится как бы в состоянии игры с природой. А так как природа не может быть сознательным противником, то критерий минимального  гарантированного результата (критерий максимина)  в ТПР не может иметь большого значения в отличие от теории игр. Этот критерий в игре с природой слишком пессимистичен.

Основное внимание в курсовой работе будет уделено более реалистичному байесовскому подходу, который позволяет рассматривать процесс ПР как процесс обучения. Проведя достаточно большое число экспериментов и используя формулу Байеса, можно, хотя бы теоретически, сколь угодно точно оценить вероятности возможных состояний природы. А это ставит лицо, принимающее решение (ЛПР), в условия, близкие к достоверным.

Принятие конкретного решения человеком в той или иной области базируется на его практическом опыте, знании существа дела, интуиции.

Математическая теория принятия решения – дополнительное средство, помогающее принимать решение. Полезность этой теории состоит в том, что она дает правильную ориентацию человеку, настраивает его на количественный лад. Она формализует процесс ПР, а это открывает большие возможности применения ЭВМ.

Наиболее важными особенностями  ситуации ПР являются следующие:

1. Наличие не менее двух взаимоисключающих вариантов, из которых должен быть выбран только один.
2. Наличие критерия, позволяющего количественно оценивать имеющиеся варианты, и по этим оценкам осуществлять выбор.

Вопрос о критериях  является наиболее сложным. Обычно трудно приписать каждому варианту определенное числовое значение. В большинстве практических случаев эти числовые значения можно задавать весьма приближенно и, к тому же, относительно.

Математическую теорию ПР можно рассматривать как часть  математической статистики. Раздел «Теория статистической проверки гипотез» относится с точностью до терминов к ТПР. С другой стороны, ТПР можно рассматривать как часть теории исследования операций, поскольку в обеих теориях из множества вариантов согласно некоторому критерию выбирается наилучший.

Теория принятия решений, как и  родственная ей теория игр, – раздел прикладной математики, в котором  исследуется весьма широкий класс задач оптимизации. Центральное место в ТПР играют байесовские стратегии, позволяющие рассматривать процесс принятия решений как своеобразный обучающий процесс.

 

1. Принятие решений в условиях полной неопределенности

Для начала возьмем случай полной («дурной») неопределенности, когда вероятности состояний природы либо вообще не существуют, либо не поддаются оценке даже приближенно. Обстановка неблагоприятна для принятия «хорошего» решения — попытаемся найти хотя бы не самое худшее.

Здесь все зависит от точки зрения на ситуацию, от позиции исследователя, от того, какими бедами грозит неудачный выбор решения. Опишем несколько возможных подходов, точек зрения (или, как говорят, несколько «критериев» для выбора решения).

 

Пусть имеется совокупность действий, операций

а₁, а₂, ..., а_m,    m ³ 2,             (1)

которые может совершить  человек для достижения поставленной цели, причем  одну и только одну операцию а_i, iÎ{1, 2, ..., m}, выбирает человек, принимающий решение.

Кроме того, представлен перечень объективных условий, например, состояний природы

Q₁, Q₂, ..., Q_n,            (2)

одно из которых Q_j, jÎ{1, 2, ..., n}, будет иметь место в действительности.

Для   каждой  операции  а_i,  i = 1, 2, ..., m,   при  любом  условии   Q_j,  j = 1, 2, ..., n, задана полезность (выгода, доход) в некоторых единицах a_ij. Величины a_ij, играющие роль платежей в теории игр, обычно задаются из эвристических, субъективных соображений. При этом возникают специфические трудности при их числовой оценке, обусловленные такими факторами, как: болезни, удовольствия, престиж, репутация и т.д. Величины a_ij можно задавать относительно, поэтому их называют показателями предпочтительности.

 

Все перечисленные условия, при которых принимается решение, представлены в табл. 1.

Таблица 1

Объективные условия Операции	Q1	Q2	…	Qn
a1	a11	a12	…	a1n
a2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
am	am1	am2	…	amn

 

Если ЛПР не располагает никакой  информацией о состояниях природы (2), то имеем ситуацию принятия решения в условиях полной неопределенности. Рассмотрим три известных подхода ПР в этой ситуации.

 

 

 

1. Максиминный критерий Вальда.

 

Согласно этому критерию игра с  природой ведется как игра с разумным, причем агрессивным противником, делающим все для того, чтобы помешать нам достигнуть успеха. Оптимальной считается стратегия, при которой гарантируется выигрыш в любом случае   не   меньший, чем «нижняя цена игры с природой».

Для каждой операции а_i, i = 1, 2, ..., m, находим наихудший исход,

.        (3а)

 

Затем определяется то значение i₀, при котором величина максимальна,

.       (3в)

 

Принимаемое решение – выбор наилучшей операции из множества исходных (1). Равенства (3а), (3в) можно объединить в одно

.           (4)

 

Рассмотренная операция максимин соответствует  лучшему из худших исходов. Если руководствоваться этим критерием, олицетворяющим «позицию, крайнего пессимизма», надо, всегда ориентироваться на худшие условия, зная наверняка, что «хуже этого не будет». Критерий максимина является чисто перестраховочным, поскольку природа не может быть сознательным противником. Очевидно, такой подход - естественный для того, кто очень боится проиграть, - не является единственно возможным, но как крайний случай он заслуживает рассмотрения. Максиминную операцию использует только крайний пессимист, не желающий идти ни на какой риск. Обычно такие люди довольствуются малым и предпочитают спокойную жизнь.

 

 

2.  Критерий минимакса сожалений Сэвнджа

 

Этот критерий — тоже крайне пессимистический, но при выборе оптимальной стратегии советует ориентироваться не на выигрыш, а на риск. Выбирается в качестве оптимальной та стратегия, при которой величина риска (сожаления) в наихудших условиях минимальна. Сожаление (риска) в ТПР – потери в результате упущенных возможностей.

Пусть природа находится в состоянии  Q_s найдем максимальный элемент s-го столбца табл. 1,

.

Мера сожаления  определяется как разность:

где если если Тогда при состоянии природы Q_s лучшей операцией является : для нее сожаление равно нулю. Изменяя последовательно значения s, s = 1,2,…, n, получим сожаление для каждой операции a_i, i=1,2,…, m, при любом состояния природы Q_s, s=1,2,…, n. Матрица сожалений представлена в табл. 2.

Для принятия решения к табл. 2 применяется  критерий минимакса (minmax): для каждой операции a_i, i=1,2,…, m,  находится наибольшее сожаление,

Таблица 2

Qj ai	Q1	Q2	…	Qn
a1	Da11	Da12	…	Da1n
a2	Da21	Da22	…	Da2n
…	…	…	…	…
am	Dam1	Dam2	…	Damn

 

Затем среди членов последовательности , i=1,2,…, m, s = 1,2,…, n,   находится минимальный

Последние два равенства соединим в одно:

Принимаемое решение – наилучшая  операция

Сущность такого подхода в том, чтобы всячески избегать большого риска  при принятии решения. В смысле «пессимизма» критерий Сэвиджа сходен с критерием Вальда, но самый «пессимизм» здесь понимается по-другому.

 

 

 

3. Критерий равновозможных состояний

По этому критерию выбирается та операция a_i0, для которой сумма полезностей

максимальна,

.

 

4. Решение конкретной задачи

Рассмотрим на конкретном примере  принятие решений по трем описанным критериям. Пусть m=3, n=2, и матрица полезностей представлена в табл. 3.

Таблица 3       Таблица 4

Qs ai	Q1	Q2		Qs ai	Q1	Q2
a1	1	11		a1	9	3
a2	10	6		a2	0	8
a3	0	14		a3	10	0

 

Например, a_i – i-ый вариант технологического процесса для изготовления некоторых изделий, Q₁ – возникновение дефицита в ближайшие два года на сырье, из которого изготовляются детали, Q₂ – отсутствие такого дефицита.

1. Применяя операцию максимина, получим

Максиминной операцией является операция а₂, гарантирующая 6 единиц полезности.

2. Для использования критерия  минимакса сожалений необходимо  для данных табл. 3 найти матрицу сожалений. Сначала находим максимальный элемент каждого столбца этой таблицы:

                  

Тогда матрица сожалений примет вид, представленный в табл. 4. Применяя к данным этой таблицы критерий минимакса, получим:

max(9, 3) = 9,  max(0, 8) = 8, max(10, 0) = 10, min(9, 8, 10) = 8.

Следовательно, операцией, соответствующей  минимаксу сожалений, является операция а₂.

 По критерию равновозможных  состояний для данных табл. 3 имеем:

А_i = 1+11 = 12,  A₂ = 10+6 = 16,  A₃ = 0+14 = 14, .

Значит, оптимальной операцией  по критерию равновозможных состояний природы является операция а₂. В рассмотренном примере все три критерия дали один и тот же ответ: операция а₂ является оптимальной, она гарантирует 6 ед. полезности.

Если выбрать операцию а₁, то в случае везения получим 11 ед. полезности, а в случае невезения – всего 1 ед. полезности. Если выбрать операцию а₃, то в случае везения имеем 14 ед. полезности, а в случае невезения – 0 ед. полезности.  Операция а₂ гарантирует наибольшую полезность, 6 ед. Конкурирующие операции а₁ и а₃ гарантируют меньшие полезности: 1 ед. и 0 ед., соответственно.

 

2. Принятие решений в условиях риска

Самый простой случай неопределенности — т.н. «доброкачественная» или стохастическая неопределенность, когда состояния природы имеют какие-то вероятности. Тогда естественно выбрать ту стратегию, для которой среднее значение выигрыша, взятое по строке, максимально.

 

Ситуация ПР в условиях риска  возникает в случаях, когда известны априорные вероятности состояний природы

р(Q₁), р(Q₂), … , р(Q_n),

.                       (5)

 

Естественно воспользоваться этой дополнительной информацией. С этой целью для каждой операции а_i находят взвешенные суммы полезностей

  i=1,2, …, m ,                          (6)

и выбирают в качестве наилучшей  ту операцию , для которой взвешенная сумма полезностей в (6) максимальна,

 

 

Любопытно отметить, что та же стратегия, которая обращает в максимум средний выигрыш, обращает в минимум в средний риск. Так что в случае стохастической неопределенности оба подхода («от выигрыша» и «от риска») дают одно В то же оптимальное решение.

 

Пусть в рассмотренном выше примере  р(Q₁)=0.25, р(Q₂)=0.75. По данным табл. 3 имеем

 

= 1×0.25 + 11×0.75 = 8.5,

= 10×0.25 + 6×0.75 = 7.0,

= 0×0.25 + 14×0.75 = 10.5,

   max (8.5; 7.0; 10.5) = 10.5.

 

 

Следовательно, наилучшей операцией  является операция а₃, если р(Q₁)=0.25, р(Q₂)=0.75. Но при других значениях априорных вероятностей состояний природы возможен  и другой выбор. Используя данные табл.3 и формулу (6) для каждой операции а_i, i = 1,2,3, имеем

 

= р +11(1 – p) = 11 – 10p,

= 10p +6(1 – p) = 6 + 4p,

= 14(1 – p) = 14 – 14p.

 

 

На рис.1 даны графики функций  , i = 1, 2,

Прямые  ,   пересекаются в точке В, при , вычисленного из равенства 6 + 4р = 14 – 14р. Из рис. 1 следует, что при   лучшей операцией является   а₃, а при   лучшей операцией является   а₂. При    безразлично, какую операцию а₂ или а₃ использовать. Операцию а₁ применять невыгодно.

Если р=0 или 1, то имеем ситуацию ПР в условиях достоверности. При  р=0 лучшая операция – а₃, при р=1 лучшая операция – а₂.

 

3. Принятие решений при проведении эксперимента

Допустим, что вероятности р(Q₁), р(Q₂), … , р(Q_n) в принципе существуют, но вам неизвестны. Иногда в этом случае предполагают все состояния природы равновероятными (так называемый «принцип недостаточного основания» Лапласа), но вообще-то это делать не рекомендуется. Все-таки обычно более или менее ясно, какие состояния более, а какие - менее вероятны. Для того чтобы найти ориентировочные значения вероятностей р(Q₁), р(Q₂), … , р(Q_n), можно, например, воспользоваться методом экспертных оценок. Хоть какие-то ориентировочные значения вероятностей состояния природы все же лучше, чем полная неизвестность. Неточные значения вероятностей состояний природы в дальнейшем могут быть «скорректированы» с помощью специально поставленного эксперимента. Эксперимент может быть как «идеальным», полностью выясняющим состояние природы, так и неидеальным, где, вероятности состояний уточняются по косвенным данным

 

3.1. Принятие решений в условиях неопределенности

Человек, прежде чем принять решение, пытается получить некоторую информацию о состоянии природы экспериментальным путем. Предполагается, что проведение эксперимента не требует никаких затрат,

Пусть проведен эксперимент, имеющий t исходов – возможных прогнозов  состояния природы,

Z=(z₁, z₂,…, z_t),   

.

Известна условная вероятность  Р(z_β/Q_j) b-го результата эксперимента при состоянии природы Q_j,

P_bj= Р(z_β/Q_j),   b=1,2,…,t,   j=1,2,…,n.                        (7)

Множество значений P_bj можно представить в виде матрицы размера t·n, данной в табл. 5.

Для использования информации, полученной в результате эксперимента, введем понятие стратегии.

Таблица 5 

Qj         Zb	Q1	Q2	…	Qn
z1	P11	P12	…	P1n
z2	P21	P22	…	P2n
…	…	…	…	…
zt	Pt1	Pt2	…	Ptn

 

Стратегия -  это соответствие последовательности t результатов эксперимента последовательности t операций,

(z₁, z₂,…, z_t)→ (a_i, a_j,…, a_k).                        (8)

Выражение (8) подразумевает, что

z₁→ a_i,

,

z₂→ a_j,

,

……………………

z_t→ a_k,

.

 

Число возможных стратегий l определяется формулой

l = m^t,

m – число операций, t -  число результатов эксперимента. При m=2, t=3 всевозможные стратегии представлены в табл.6.

 

  Таблица 6

Si zb	S1	S2	S3	S4	S5	S6	S7	S8
z1	a1	a1	a1	a1	а2	а2	а2	а2
z2	a1	a1	а2	а2	a1	a1	а2	а2
z3	a1	а2	a1	а2	a1	а2	a1	а2

 

Задача ПР формулируется так: какую  одну из операций   a₁,a₂,…, a_m  следует выбрать в зависимости от одного из результатов эксперимента   z₁, z₂,…, z_t.

Для принятия решения находим усредненные  полезности   стратегий S_i, i= 1,2, …,  l, при состояниях природы Q_j, j=1, 2, …, n,

U(S_i,Q_j)= α_{i β j} P_{β j} , i= 1,2, …,  l,       j=1, 2, …, n,                 (9)

где α_iβj - полезность β-ой компоненты i-ой стратегии при состоянии природы Q_j, P_βj – условная вероятность β-го результата эксперимента при состоянии природы Q_j.  Стратегия S_i определена множеством операций, значения α_{i β j}  берутся из таблицы полезностей значения P_βj   – из табл. 5. Полученные значения усредненных полезностей U(S_i,Q_j) можно записать в виде матрицы размера n·l. Для принятия решения – выбора наилучшей стратегии можно воспользоваться уже рассмотренными критериями: максимина, минимакса сожалений и равновозможных состояний.

       Рассмотрим конкретный  пример. Предполагается лишь два  состояния природы: Q₁  - теплая погода, Q₂ – холодная погода, и только две операции: a₁ – одеться для теплой погоды, a₂ – одеться для холодной погоды. Эта ситуация характерна для туристов. Матрица полезности дана в табл.7.

      Таблица 7              Таблица 8

Qj ai	Q1		Q2		Qj zb	Q1	Q2
a1	10		0		z1	0.6	0.3
					z2	0.2	0.5
a2		4	7		z3	0.2	0.2

 

Критерий максимина гарантирует 4 ед. полезности и рекомендует выбирать операцию а₂. Критерий минимакса дает этот же ответ.

Но есть возможность воспользоваться  данными прогноза погоды (в этом и состоит эксперимент), которые могут быть трех видов:

z₁ – ожидается теплая погода,

z₂ – ожидается холодная погода,

z₃ – прогноз неизвестен.

Из прошлого опыта известны условные вероятности этих трех видов прогноза для каждого состояния природы , b=1,2,3, j =1,2, представленные в табл. 8.

Для каждой из 8–ми стратегий и  каждого из 2–х состояний природы  определим взвешенные суммы полезностей  по формуле (9), используя данные таблиц 6 – 8,

U(S₁,Q₁) =10×0.6 + 10×0.2 +10×0.2 =10,

U(S₂,Q₁) =10×0.6 + 10×0.2 +4×0.2 = 8.8,

U(S₃,Q₁) =10×0.6 + 4×0.2 + 10×0.2 = 8.8,

........................................................

U(S₈,Q₁) = 4×0.6 + 4×0.2 + 4×0.2 = 4,

U(S₁,Q₂) = 0×0.3 + 0×0.5 +0×0.2 = 0,

.........................................................

U(S₈,Q₂) = 7×0.3 + 7×0.5 + 7×0.2 = 7.

Все вычисленные значения U(S_i,Q_j), i = 1,2,…8, j = 1, 2, помещены в табл.9.

                    Таблица 9

Si Qj	S1	_ S2	S3	S4	_ S5	_ S6	S7	S8
Q1	10	8.8	8.8	7.6	6.4	5.2	5.2	4
Q2	0	1.4	5	4.9	2.1	5	5.6	7

 

Из табл. 9 предварительно следует  исключить плохие стратегии –– те стратегии, обе компоненты которых не больше (£) соответствующих компонент какой–либо другой стратегии. Ввиду того, что , , S₆ ≤ S₇, то стратегии исключаются из рассмотрения (в табл. 9 они помечены знаком "–").

К оставшимся, допустимым стратегиям  можно применить известные нам критерии. Используя критерий максимина, имеем:

, ,

, , ,

.

Следовательно, наилучшей стратегией является стратегия S₇, гарантирующая 5.2 ед. полезности. Для сравнения максиминная операция гарантирует лишь 4 ед. полезности. Так как S₇ = (a₂, a₂, a₁), то в силу (8) имеем

.

Это значит, что при прогнозе z₁ выбирается операция а₂, при прогнозе     z₂ – a₂, при прогнозе z₃ – a₁, т.е. максиминная стратегия S₇ рекомендует одеваться тепло, если прогноз – теплая или холодная погода, и одеваться легко, если прогноз неизвестен. Последнее утверждение весьма непрактично.

Максиминная стратегия S₇ при неблагоприятном стечении обстоятельств может привести и к худшему результату, чем максиминная операция . Например, имеет место холодная погода . Тогда согласно максиминной операции турист получит 7 ед. полезности (табл. 7). С другой стороны, если результат прогноза будет (прогноз неизвестен) и согласно стратегии S₇ будет выбрана операция (одеться легко), то он получит 0 ед. полезности. Это явление –– типичное для теории игр и теории принятия решений. S₇ гарантирует лишь среднюю полезность в 5.2 ед.

 

3.2. Использование смешанной стратегии

Стратегия S^* называется смешанной, если она представлена в виде выпуклой комбинации двух других  стратегий,

S^* = сS_m1 + (1 - с)S_m2,    0<с<1, m₁, m₂ Î {1, 2, …, t}.

Это  определение базируется на понятии выпуклой комбинации точек [14]. Переход к смешанной стратегии осуществляется с целью повышения гарантированной средней полезности.

Стратегии  рассмотренного выше примера  изобразим точками на плоскости           с     координатами ,  , i=1,3,4,7,8  (рис. 2).

По рис. 2 видно, что если взять  в определенных пропорциях стратегии S₄ и S₈, то получим смешанную стратегию, лучшую по сравнению со стратегией S₇. Проведем биссектрису I-го координатного угла и найдем точку пересечения ее с отрезком [S₄, S₈] –– точку .

Запишем уравнение прямой, проходящей через точки  S₄(7.6; 4.9),  S₈ (4;7)    [15],

,

которое приводится к виду:

.

Из этого уравнения находим  координаты точки  , для которой ,

.

Так как  , то стратегия лучше стратегии S₇, гарантирующей 5.2 ед. полезности, S^*>S₇.

Теперь остается представить стратегию  в виде выпуклой комбинации стратегий S₄, S₈,

S^* = cS₄ + (1 – c)S₈,   0 < c <1.                             (10)

Для определения значения параметра a достаточно записать уравнение (10) для абсцисс входящих в него точек,

из которого получаем  . Тогда равенство (10) принимает вид:

.                                        (11)

Так как  , , то в силу равенства (11) имеем

.

Практически смешанную стратегию  S^* можно реализовать так. Если результат эксперимента есть  z₂ или z₃, то используется операция a₂.  Если же результат эксперимента есть z₁, то с помощью подходящего случайного механизма с вероятностью используется операция a₁, и с вероятностью –– операция а₂.  Основой случайного механизма могут служить 19 одинаковых карточек, на 10–и из которых записан символ а₁, а на 9–и –– символ а₂.  Из этого набора 19–и карточек случайно выбирается одна и используется та операция, символ, которой изображен на этой карточке.

 

3.3. Принятие решений в условиях риска

К условиям, перечисленным в подпараграфе 3.1, добавляется еще одно – значения априорных вероятностей состояний окружающей среды (природы):

p(Q₁), p(Q₂), ..., p(Q_n).                                    (12)