Федеральное агентство по образованию 

  Новокузнецкий филиал – институт 
государственного образовательного учреждения  
высшего профессионального образования  
“Кемеровский государственный университет”

  Кафедра информационных систем и управления имени В.К. Буторина

  КУРСОВАЯ  РАБОТА

  по  дисциплине "Исследование операций в экономике"

  Тема:"Принятие решений в условиях риска"

                                               Выполнила: студентка

                                               группы ПИЭ-061

                                               Никуленко С.Е.

                                               Проверил: доц. Шипилов  С.А.

  Новокузнецк 2010

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

  В системах управления технологическими процессами существуют проблемы, связанные с решением задач оценки эффективности управления такими системами с учетом характеристик надежности, стойкости, работоспособности объектов управления. Решение таких задач относят к задачам принятия решений в условиях риска.

  На  сегодняшнее время задача управления технологическими процессами является актуальной, так как развитие измерительной, микропроцессорной техники и  компьютерных технологий дают возможность  увеличить их надежность и экономичность.

  Целью работы является исследование вопросов принятия решения в условиях, когда выбор некоторой стратегии гарантирует получение результата с определенной вероятностью, и разработка программного модуля.

  Объектом  исследования является процесс принятия решения.

  Предмет исследования - процесс выбора оптимального решения в условиях риска.

  Задачи 

1. Подробное математическое описание заданного метода и задачи исследования операций.
2. Выбор и детальное описание алгоритма решения задачи. Иллюстрация работы алгоритма на контрольном примере с использованием стандартных программных средств (Excel) с численным выводом результатов.
3. Выбор среды программирования, интерфейса пользователя. Описание модульной структуры программного комплекса.
4. Исследование работоспособности программы на нескольких тестовых примерах.

1 Математическое обеспечение

  1.1 Постановка задачи

  В экономической практике во многих задачах принятия решений важным элементом является неопределенность, заключающаяся в недостаточной информированности лица, принимающего решение, об объективных условиях, в которых будет приниматься решение.

  Неопределенность  такого рода может порождаться различными причинами: нестабильность экономической ситуации, покупательский спрос на товар определенного вида, меняющийся объем перевозок, рыночная конъюнктура, политика правительства, надежность партнера, выход из строя технического оборудования, курс валюты, уровень инфляции, налоговая политика, биржевая ситуация, экологическая обстановка, стихийные бедствия и др.

  Риск - это деятельность, связанная с  преодолением неопределенности в ситуации неизбежного выбора, в процессе которой имеется возможность количественно и качественно оценить вероятность достижения предполагаемого результата, неудачи и отклонения от цели.

  Выбор стратегии зависит от объективной действительности, называемой в математической модели «природой». Сама же математическая модель подобных ситуаций называется «игрой с природой».

  Таким образом, в игре с природой осознанно  действует только один игрок, а именно, лицо, принимающее решение (статистик), обозначим его через А. Природа, обозначим ее через П, является вторым игроком.

  Пусть игрок А имеет т возможных стратегий А₁, ..., А_т, а природа П может находиться в одном из п состояний П₁, ..., П_п, которые можно рассматривать как ее «стратегии».

  Совокупность { П₁, ..., П_п } формируется либо на основе имеющегося опыта анализа состояний природы, либо в результате предположений и интуиции экспертов.

  Предположим, что статистик может оценить последствия применения каждой своей чистой стратегии А_i в зависимости от каждого состояния П_j природы П.

    Выигрыш игрока А при выбранной им стратегии А_i, i = l, ..., m, и при состоянии П_j, j = l, ..., п, природы П обозначим a_ij , i i = l, ..., m, j = l, ..., п. Из выигрышей игрока А можно сформировать матрицу выигрышей игрока А (матрицу игры, платежную матрицу):  

  Таблица 1 – Платежная матрица, матрица выигрышей

  Целью является выбор игроком A чистой или смешанной стратегии, более эффективной, чем остальные.

  Смешанная стратегия - такая стратегия, в которой ,в отличие от чистой, игроку следует выбирать ту или иную стратегию с некоторой долей вероятности. В чистой стратегии вероятность ее выбора равна 1, а всех других 0.

  При решении вопроса о выборе возможной стратегии в игре с природой игрок A должен исходить из матрицы выигрышей. Однако матрица выигрышей не всегда адекватно отражает имеющуюся ситуацию. На выбор стратегии должны влиять не только выигрыши, составляющие матрицу игры, но и показатели «удачности» или «неудачности» выбора данной стратегии при данном состоянии природы и благоприятности этого состояния для увеличения выигрыша.

  Показателем благоприятности состояния П_j природы П для увеличения выигрыша называется наибольший выигрыш при этом состоянии, т.е. наибольший элемент в j-ом столбце матрицы игры:

         β_j = max a_ij, j=1, …, n. (1)

        ^{1≤ i ≤m} 

  Таким образом, благоприятность состояния природы рассматривается как фактор, благоприятствующий увеличению выигрыша игрока А при этом состоянии природы.

  Для оценки степени удачности применения игроком А стратегии А_i  при состоянии П_j природы П вводят понятие «риска».

  Риск упущенной выгоды – это риск наступления косвенного (побочного) финансового ущерба (неполученная прибыль) в результате неосуществления какого-либо мероприятия.

  Риском r_ij игрока А при выборе им стратегии А_i в условиях состояния природы П называется разность между показателем благоприятности β_j состояния природы П_j и выигрышем a_ij, т.е. разность между выигрышем, который игрок А получил бы, если бы знал заранее, что природа примет состояние П_j и выигрышем, который он получит при этом же состоянии П_j, выбрав стратегию А_i: 

        r_ij = β_j - a_ij, i=1, …, m; j=1, …, n. (2) 

  Таким образом, риск r_ij игрока А при применении стратегии А_i в условиях состояния природы П_j есть упущенная им возможность максимального выигрыша β_j при этом состоянии природы. Эта упущенная возможность определяется невыигранной частью величины максимального выигрыша β_j.

  Величину риска можно интерпретировать как своеобразную плату за отсутствие информации о состоянии природы.

  Риск r_ti для любых i=1, …, m и j=1, …, n неотрицателен: 

        r_ij ≥ 0, i=1, …, m; j=1, …, n. (3)

  Можно установить и верхнюю границу рисков для каждого состояния природы П_j. Для этого введем в рассмотрение величину ω_j: 

         ω_j = min a_ij, j=1, …, n. (4)

          ^{1≤ i ≤m} 

  представляющую собой наименьший выигрыш игрока А при состоянии природы П_j. Тогда имеем: 

        r_ij ≤ β_j - ω_j, i=1, …, m; j=1, …, n. (5) 

  Разность β_j - ω_j естественно назвать колебанием выигрышей при состоянии природы П_j, j = l, ..., п

  Если a_ij = β_j, то r_ij = 0, т.е. стратегия А_i при состоянии природы П_j является безрисковой.

  Если a_ij = ω_j, то риск r_ij, является максимальным. Следовательно, по критерию риска стратегия А_i в этом случае наихудшая.

  Если β_j = ω_j, то все выигрыши j-столбце матрицы игры равны между собой: ω_j = a_1j = a_2j = … = a_mj = β_j и риск r_ij = 0. Поэтому в этом случае любая стратегия игрока А при состоянии природы П_j безрисковая.

  Для матрицы А матрица рисков R_A имеет ту же размерность и следующий вид: 

  Таблица 2 – Матрица рисков

  Отметим, что матрица выигрышей А однозначно порождает матрицу рисков R_A, поскольку каждый риск r_ij однозначно определяется соответствующими показателем благоприятности β_j  состояния природы П_j, и выигрышем a_ij. Обратное неверно: одна и та же матрица рисков может соответствовать разным матрицам выигрышей.

  В понятии оптимальной стратегии лежат различные соображения, составляющие содержание соответствующих критериев оптимальности стратегий.

  Перед тем как переходить к выбору оптимальной стратегии, целесообразно возможности упростить матрицу А, уменьшив число строк на основании принципа доминирования стратегий игрока А.

1.2 Упрощение матрицы игры

  Если какая-нибудь из стратегий игрока А окажется доминирующей каждую из остальных его стратегий, то она и должна выбираться игроком А в качестве предпочтительной, поскольку его выигрыш при этой стратегии и при любом состоянии природы П не меньше выигрыша при любой из остальных стратегий.

  Если же матрица игры не обладает указанным свойством, т.е. у игрока А нет стратегии, доминирующей каждую из остальных его стратегий, то нужно посмотреть, нет ли у него доминируемых или дублирующих стратегий. При наличии таковых, соответствующие им строки матрицы можно удалить, уменьшив тем самым ее размерность.

  Таким образом, в играх с природой можно и полезно пользоваться принципом доминирования стратегий игрока А (строк матрицы игры). Однако принцип доминирования стратегий (состояний) природы (столбцов матрицы игры) недопустим, поскольку природа не выбирает свои состояния с целью по возможности большего уменьшения выигрышей игрока А, для нее нет более или менее эффективных состояний.

  1.3 Критерий Байеса  относительно выигрышей

  Предположим, что статистик из прошлого опыта известны не только состояния П_j, j = l, ..., п, в которых может находиться природа П, но и соответствующие вероятности q₁ , ..., q_n с которым природа П реализует эти состояния. Тогда мы находимся в ситуации принятия решения в условиях риска.

  Показателем эффективности стратегии А_i по критерию Байеса относительно выигрышей называется среднее значение, или математическое ожидание выигрыша i-й строки с учетом вероятностей всех возможных состояний природы. Обозначая это среднее значение через ā_i, будем иметь: 

        ā_i = q₁ a_i1 + q₂ a_i2 + … + q_n a_in = , i=1, …, m. (6) 

  Таким образом, a_t представляет собой взвешенное среднее выигрышей i-й строки, взятых с весами q₁ , ..., q_n.

  Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно выигрышей считается стратегия А_i0 с максимальным показателем эффективности, т.е. с максимальным средним выигрышем: 

           ā_i0 = max ā_i. (7)

          ^{1≤ i ≤m} 

  Таким образом, выбранное решение по этому критерию является оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем.

  Распространим понятие показателя эффективности по критерию Байеса относительно выигрышей на смешанные стратегии игрока П.

  Пусть P = ( p₁ , ..., p_n ) - некоторая смешанная стратегия игрока А, при которой чистая стратегия А_i используется им с вероятностью p_i, i=1, ..., т. Тогда выигрыш игрока А при смешанной стратегии P = ( p₁ , ..., p_n ) и при состоянии природы П_j будет равен

        H (P, П_j) = , j=1, …, n. (8) 

  Показателем эффективности смешанной стратегии P = ( p₁ , ..., p_n ) по критерию Байеса относительно выигрышей назовем среднее значение выигрышей, с учетом вероятностей q₁ , ..., q_n состояний природы. Обозначим этот показатель через .

  Получим: 

         = = = = . (9) 

  Таким образом показатель эффективности смешанной стратегии P = ( p₁ , ..., p_n ) по критерию Байеса относительно выигрышей представляет собой взвешенное среднее показателей эффективности чистых стратегий А_i, i = l, ..., m, по тому же критерию с весами p_i, i = l, ..., m.

  Если, в частности, стратегия P = ( p₁ , ..., p_n ) является чистой стратегией А_k, k = l, ..., m, то p_i = 0  i ≠ k, p_k = 1, и ее показатель эффективности как смешанной стратегии , превращается в ее показатель эффективности как чистой стратегии ā_k, вычисляемый по формуле (6).

  Пусть S_A - множество всех смешанных (в том числе и чистых) стратегий игрока A. Оптимальной среди всех стратегий множества S_A по критерию Байеса относительно выигрышей назовем стратегию P⁰, показатель эффективности (9) которой максимален: 

        max = . (10)

        ^{P ϵ Sa} 

  Стратегия А_i0 оптимальная среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно выигрышей, является оптимальной по тому же критерию и среди всех смешанных стратегий множества S_A.

  При принятии решений в условиях риска по критерию Байеса относительно выигрышей можно обойтись только чистыми стратегиями, не используя смешанные.

  1.4 Критерий Байеса относительно рисков

  Рассмотрим ту же игру с природой матрицей, в которой известны вероятности состояний природы q₁ , ..., q_n. При принятии решений в условиях риска можно пользоваться не только средними выигрышами, но и средними рисками. Составим матрицу рисков для матрицы A, используя формулу рисков (3) 

  Таблица 3 – Матрица рисков

   Показателем неэффективности стратегии А_i по критерию Байеса относительно рисков называется среднее значение, или математическое ожидание риска i-й строки матрицы (таблица 3), вероятности которых, очевидно, совпадают с вероятностями состояний природы. Обозначим средний риск при стратегии А_i через ṝ_i, тогда 

    ṝ_i = q₁ r_i1 + q₂ r_i2 + … + q_n r_in = , i=1, …, m. (11) 

  является взвешенной средней рисков i-й строки матрицы (таблица 3) с весами p_i, i=1, ..., т.

  Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно рисков является стратегия П_j, показатель неэффективности (11) которой минимален, т.е. минимален средний риск 

      ṝ_i0 = min ṝ_i. (12)

        ^{1≤ i ≤m} 

  Определим понятие риска при использовании игроком А смешанной стратегии и при состоянии природы П_j, j = l, ..., п, как разность 

        r (P, П_j) = [max H (U, П_j)] - H (P, П_j), j=1, …, n. (13)

          ^{U ϵ Sa} 

  между максимальным выигрышем max H (U, П_j) при всех смешанных стратегиях U = ( u₁ , ..., u_n ) ϵ S_A и при состоянии природы П_j и выигрышем H (P, П_j) при смешанной стратегии P = ( p₁ , ..., p_n ) и при состоянии природы П_j.

  В качестве показателя неэффективности смешанной стратегии P = ( p₁ , ..., p_n ) по критерию Байеса относительно рисков рассмотрим взвешенную среднюю рисков (13) с весовыми коэффициентами, равными вероятностям q₁ , ..., q_n состояний природы: 

         = . (14) 

  Оптимальной среди всех смешанных (в том числе и чистых) стратегий по критерию Байеса относительно рисков будем считать стратегию P⁰, показатель неэффективности которой, вычисляемый по формуле (14), минимален:

        min = . (15)

        ^{P ϵ Sa}

  Если А_i0 - стратегия, оптимальная среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно рисков, то она является оптимальной по тому же критерию и среди всех смешанных стратегий множества S_A.

  При принятии решения в условиях риска по критерию Байеса относительно рисков так же как и в случае критерия Байеса относительно выигрышей достаточно использовать одни чистые стратегии, не рассматривая смешанные.

  Критерии Байеса относительно выигрышей и относительно рисков эквивалентны, т.е. если стратегия А_i0 является оптимальной по критерию Байеса относительно выигрышей, то она является оптимальной и по критерию Байеса относительно рисков, и наоборот, стратегия А_i0, оптимальная по критерию Байеса относительно рисков, оптимальна и по критерию Байеса относительно выигрышей.

  1.5 Критерий Лапласа относительно выигрышей

  В предыдущих двух критериях Байеса известные вероятности q₁ , ..., q_n состояний природы могли быть получены из статистических данных, отражающих многократное решение подобных задач, или в результате наблюдений за поведением природы. Однако, довольно часто складывается такая ситуация, когда мы лишены возможности определить вероятности состояний природы указанными способами. Желая все же принять решение в условиях риска, мы вынуждены оценить вероятности состояний природы субъективно. Существуют различные методы численной субъективной оценки степени правдоподобности состояний природы. Один из них состоит в том, что мы не можем отдать предпочтение ни одному из состояний природы, и потому считаем их равновероятными, т.е. q₁ = .. .=q_n = . Этот принцип называется «принципом недостаточного основания» Лапласа. На нем основан критерий Лапласа относительно выигрышей.

  Показателем эффективности стратегии А_i по критерию Лапласа относительно выигрышей называется среднее арифметическое выигрышей i-й строки:

        ā_i = , i=1, …, m. (16) 

  Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно выигрышей считается стратегия А_i0 показатель эффективности, кот-

орой, вычисляемый по формуле (16), максимален, т.е. ā_i0 = max ā_i.

        ^{1≤ i ≤m}

  Очевидно, что критерий Лапласа относительно выигрышей есть частный случай критерия Байеса относительно выигрышей при q₁ = .. .=q_n = . Поэтому все утверждения на счет критерия Байеса относительно выигрышей, остаются в силе и для критерия Лапласа относительно выигрышей.