Приёмы сравнения и классификации при изучении нумерации чисел на уроках математики в начальных классах

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………3

&1 Проблема изучения нумерации чисел на уроках математики в начальных классах……………………………………………………………...6

&1.1 Понятие натурального числа……………………………………………7

&2 Различные методические подходы изучения нумерации чисел на уроках математики в начальных классах…………………………………..12

&2.2 Методика изучения нумерации чисел в концентре…………………15

&2.3 Развивающие приемы обучения на уроках математики…………...23

&3 Приёмы сравнения и классификации при изучении нумерации чисел на уроках математики в начальных классах……………………………...28

&4 Комплекс учебных заданий……………………………………………...33

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………… 39

БИБЛИОГРАФИЯ……………………………………………………………40

ВВЕДЕНИЕ

     Математика  является королевой среди всех  наук, благодаря своему уникальному  свойству: формированию, развитию и  совершенствованию логического  мышления. Приемы и операции производимые в процессе счета и решения задач позволяют развивать все структурные компоненты логического мышления.

      Приемы  сравнения и классификации являются  не только средствами наглядно-действенных  манипуляций на уроках математики, но и средствами  формирования  и развития таких важных процессов  как анализ и синтез, ведь выделение  качеств и признаков (общих,  главных и второстепенных), затем  группирование их (в данном случае, в числовом ряду) – способствует  активизации  незримых логических  операции.

      Так, к   логическим универсальным действиям относятся:

— анализ объектов с целью  выделения признаков (существенных, несущественных);

— синтез — составление  целого из частей, в том числе  самостоятельное достраивание с  восполнением недостающих компонентов;

— выбор оснований и  критериев для сравнения, сериации, классификации объектов;

— подведение под понятие, выведение следствий;

— установление причинно-следственных связей;

— построение логической цепи рассуждений;

— доказательство;

— выдвижение гипотез и  их обоснование.[1],[2],[3]

Из вышесказанного следует, что  уже в начальной школе  дети должны овладеть элементами логических действий (сравнения, классификации, обобщения  и др.). Поэтому одной из важнейших  задач, стоящих перед учителем начальных  классов, является развитие всех качеств  и видов мышления.

Проблема исследования:  Приемы сравнения и классификации при изучении нумерации чисел недостаточно регулярно применяются на уроках математики, в школах, где используют традиционные методы обучения,  что влияет на глубину усвоения знаний детьми. Нам нужно выяснить какие условия использования приёмов сравнения и классификации способствует более успешному изучению математики в начальных классах. Ведь никакие другие педагогические приемы не активизируют мыслительные операции детей так, как это делают приемы сравнения и классификации, которые универсальны в своем применении и на уроках изучения нового материала, и на уроках повторения и обобщения, а так же закрепления.

      Исходя  из выдвинутой проблемы мы  сформулировали тему курсовой работы: «Условия использования приёмов сравнения и классификации при изучении нумерации чисел на уроках математики в начальных классах».

     Цель исследования - выявить условия использования приемов сравнения и классификации при изучении нумерации чисел на уроках математики

     Объектом исследования является: изучение нумерации чисел на уроках математики в начальных классах.

      Предмет исследования - условия использования приемов сравнения и классификации при изучении нумерации чисел на уроках математики начальных классов.

      Задачи исследования.

1) Изучить и проанализировать научно-методическую литературу по данной теме.

2) Определить условия и особенности изучения приемов сравнения и классификации при изучении нумерации чисел в отечественной педагогике

3) Изучить и проанализировать условия использования различных методических  приемов при изучении нумерации чисел на уроках математики в трудах отечественных педагогов

4)Проанализировать условия использования приемов сравнения  и классификации при изучении темы «нумерация чисел»

5)Разработать примерные задания с использованием приемов сравнения и классификации для изучения темы «нумерация чисел» на уроках математики .

&1 Проблема изучения  нумерации чисел на уроках  математики 

Проблемой развития мышления учащихся занимались многие зарубежные и отечественные ученые Л.С., П.Я. Гальперин [4], В.В. Давыдов [6], Д. Дьюи [8], А.Н. Леонтьев [23], В.К. Ягодовская, А.С. Пчелко Н.С. Рождественский [37],  И.Л. Никольская [31], Ж. Пиаже [34], С.А. Рубинштейн [38] , А.А. Столяр [43],  Д.Б. Эльконин [49], Т.С Веринг., Л.С. Выготский , И.Я. Лернер, Н.А. Менчинская, Д.Н. Середа,  М.Н. Скаткин и др. [18]

      Они теоретически и экспериментально доказали, что на сегодня  школа еще не достаточно обеспечивает выпускникам необходимый уровень развития мыслительной деятельности.

       Именно на уроках математики может происходить целенаправленное, систематическое формирование логических понятий и действий, т. к. именно в ней, в силу ее специфических особенностей, содержатся большие потенциальные возможности для развития логического мышления младших школьников. Никольская И.Л. [31, 32],  Ивин А.А. [11]

       На уроках  математики,  закладывается фундамент  всех мыслительных операций, и  одним из главных тем в курсе  математики начального образования  является «нумерация чисел», так  как именно в процессе изучения  данного материала закладывается  «почва» для дальнейшего целенаправленного  обучения и развития детей  в данной науке.[3]

     Так, в начальной  школе дети должны овладеть  элементами логических действий (сравнения, классификации, обобщения  и др.). Как говориться в народной  поговорке «клин клином выбивают»,  т.е., используя приемы сравнения  и классификации при изучении  фундаментальных тем, можно решать  одну из важнейших задач уроков  математики - развитие всех качеств  и видов мышления, которые позволили  бы в дальнейшем, детям строить  умозаключения, делать выводы, обосновывая  свои суждения - самостоятельно приобретать  знания и решать возникающие  проблемы.      Это являлось  бы достижением самой большой  цели  современного общества  - воспитание объективно мыслящей  личности. [9], [47]

      Проблема  формирования у младших школьников  представления о нумерации чисел  и действия с ними, как фундаментальной  части курса математики, используя  развивающие методы и приемы (приемы  сравнения и классификации) является актуальным во все времена. Ведь математика, требует понимания и логического рассуждения, а потому отличается от гуманитарных предметов и требует включения аналитических способностей.

& 1.1 Понятие натурального числа при изучении нумерации чисел

     Считается, что термин  «натуральное число» впервые  применил римский государственный  деятель, философ, автор трудов  по математике и теории музыки  Боэций (480 – 524 гг.), но еще греческий  математик Никомах из Геразы  говорил о натуральном, то есть  природном ряде чисел.

     Понятием «натуральное  число» в современном его понимании  последовательно пользовался выдающийся  французский математик, философ-просветитель  Даламбер (1717-1783 гг.).[7]

      Первоначальные представления  о числе появились в эпоху  каменного века, при переходе  от простого собирания пищи  к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые  термины тяжело зарождались и  медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко  до абстрактного мышления, хватило  того, что он придумал числа:  «один» и «два». Остальные количества  для него оставались неопределенными  и объединялись в понятии «много».

      Росло производство  пищи, добавлялись объекты, которые  требовалось учитывать в повседневной  жизни, в связи с чем придумывались  новые числа: «три», «четыре»…  Долгое время пределом познания  было число «семь».[7], [40]     

О непонятном говорили, что эта  книжка «за семью печатями», знахарки в сказках давали больному «семь  узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и  принимать каждодневно по семь ложек».

     Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так  дошли до нового предела. Им  стало число 40. Запредельные количества  моделировались громадным по  тем временам числом «сорок  сороков», равным 1600.

     Позднее, когда число  «сорок» уже перестало быть  граничным, оно стало играть  большую роль в русской метрологии  как основа системы мер: пуд  имел 40 фунтов, бочка-сороковка –  сорок ведер и т.д.

     Большой интерес вызывает  история числа «шестьдесят», которое  часто фигурирует в вавилонских,  персидских и греческих легендах  как синоним большого числа.  Вавилоняне считали его Божьим  числом: шестьдесят локтей в высоту  имел золотой идол из храма  вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением  (неисчислимое множество) возникли  числа, кратные 60: 300, 360. Со временем  число 60 в Вавилоне легло в  основу шестидесятеричной системы  исчисления, следы которой сохранились  до наших дней при измерении  времени и углов.[7]

      Следующим пределом  у славянского народа было  число «тьма», (у древних греков  – мириада), равное 10 000, а запределом  – «тьма тьмущая», равное 100 миллионам.  У славян применяли также и  иную систему исчисления (так  называемое «большое число» или  «большой счет»). В этой системе  «тьма» равнялась 10⁶, «легион» – 10¹², «леодр» – 10²⁴, «ворон» – 10⁴⁸, «колода» – 10⁹⁶, после чего добавляли, что большего числа не существует.

      В Античном мире  дальше всех продвинулись Архимед  (III в. до н.э.) в «исчислении  песчинок» - до числа 10, возведенного  в степень 8х10¹⁶ , и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах – до бесконечности ∞.[7], [40]

Натуральные числа имеют  две основные функции:

• характеристика количества предметов;
• характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

      В соответствии  с этими функциями возникли  понятия порядкового числа (первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два и т.д.).

       Долго и трудно  человечество добиралось до 1-го  уровня обобщения чисел. Сто  веков понадобилось, чтобы выстроить  ряд самых коротких натуральных  чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ∞. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи. [7], [40]

     Рассмотрим методику ознакомления с основными математическими понятиями, изучаемыми в данной теме.

     Понятие натурального  числа дается на эмпирическом  уровне. Число обозначается в  порядке установления взаимно  однозначного соответствия между  предметами данной совокупности  и словами - числительными.

     В начальной  школе: 1). Число - это количественная  характеристика класса эквивалентных  множеств. 2). Число - это элемент  упорядоченного множества, член  натуральной последовательности. 3). При изучении действий число  выступает как объект, над которым  выполняется арифметическое действие.

     У учащихся  необходимо сформировать следующие  знания и умения:

1. Выделить число из других понятий.

2. Правильно назвать число.

3. Знать способы образования числа (в результате счета; в результате измерения; в результате выполнения арифметических действий).

4. Знать способы обозначения  чисел с помощью цифр (Цифра  - это знак для обозначения  числа).

5.Знать различные функции  числа. (Количественная функция,  функция порядка, измерительная  функция.)[15], [16]

     Правила образования названий и чтения чисел.

1.Названия чисел от 10 до 20 образуются с использованием названий, принятых для первых десяти чисел, но имеет свою особенность - при чтении сначала называется нижний разряд, затем остальные (один - на - дцать; две - на - дцать).

2. Остальные названия чисел образуются по принципу поразрядности; чтение чисел начинается с единиц высшего разряда.

     В учебниках М1И и М2И выделяются не концентры, а темы: «Однозначные числа», …, «Пятизначные и шестизначные числа», что способствует пониманию детьми различий между числом и цифрой. На первом этапе у учащихся формируются представления о количественном и порядковом числе. Запись числа 10 вводится в теме «Двузначные числа», когда детям предлагается считать десятками и сообразить о целесообразности данного счёта. Затем предлагается считать десятками и единицами сразу, что наводит на осознание того, что двузначные числа состоят их десятков и единиц (в качестве модели десятка предлагается треугольник, на котором 10 кружков). [12], [13], [14]

      Последующая  работа связана с установлением  соответствия между предметной  моделью двузначного числа и  его символической записи. Для  этой цели предлагаются задания:  «Запиши цифрами числа, которые  соответствуют каждому рисунку», «Увеличь число 30 на 2 десятка, 3 десятка.  Наблюдай! Какая цифра изменяется  в числе 30?» [15]

      Для формирования  умения читать и записывать  четырехзначные числа детям предлагаются  задания: 

1) на выявление признаков  сходства и различия двузначных, трёхзначных и четырехзначных  чисел; 

2) на запись четырехзначных  чисел определёнными цифрами; 

3) на сравнение чисел;  на классификацию; на выявления  правила построения ряда чисел.[16]

      Таким образом,  ребенок постепенно постигает  состав числа, правила его записи  и произношения.

&2 Различные методические подходы изучения

     В методике  начального обучения традиционно  изучение нумерации по концентрам. Этот подход отражен в учебниках  математики, разработанных  Моро М.И., Бантовой М.А., Бельтюковой Г.В. и др. Постепенное расширение числовой области создает хорошие условия для формирования знаний, умений, навыков по нумерации: постепенно обогащаются знания о числах и способах их обозначения; постепенно усложняются практические действия с числами (образование, название, запись, сравнение, преобразование и др.). [26], [27], [28]

     Выделяются 3 основных  этапа изучения нумерации: подготовительный, ознакомление с новым материалом, закрепление знаний и умений.

     На подготовительном  этапе необходимо сформировать  у учащихся психологическую установку  на изучение нумерации, активизировать  их предшествующий опыт и имеющиеся  знания, вызвать интерес к новым  числам. С этой целью предлагается  заранее включать упражнения  на повторение основных вопросов  нумерации чисел предыдущего  концентра: соотношение изученных  счетных единиц, десятичный состав  чисел, натуральная последовательность, правила записи и способы сравнения  чисел; приемы сложения и вычитания,  основанные на знании нумерации.  Также разработаны упражнения  в счете предметов или в  назывании чисел натуральной  последовательности с выходом  в новый концентр, это помогает  учащимся понять, что существуют  числа и за пределами изученного  концентра и что они чем-то  похожи на уже знакомые детям  числа.[26]

     При ознакомлении  с нумерацией упражнения помогают  учащимся выделить существенные  признаки формируемых понятий,  овладеть способами изучаемых  действий.

     Проведен отбор  вопросов и определен порядок  изучения в каждом концентре:

• сначала рассматривается образование счетной единицы, ведется счет предметов с помощью этой счетной единицы;
• на основе счета вводятся новые разрядные числа, раскрывается их образование и названия;
• на основе счета с помощью всех известных счетных единиц показывается образование и устное обозначение неразрядных чисел; их состав из разрядных;
• включаются упражнения в счете предметов с использованием новых чисел; усваивается натуральная последовательность чисел;
• на основе знания десятичного состава и поместного значения цифр раскрывается письменная нумерация чисел;
• во всех концентрах наряду со счетом рассматривается измерение таких величин, как длина, масса, стоимость; единицы измерения этих величин и их соотношение изучаются в сопоставлении с соответствующими счетными единицами и помогают их усвоению, (например,1 дм=10 см; 1р.=100к.; 1кг=1000г и т. д.);
• вводятся способы сравнения чисел:

1. на основе принципа образования натуральной последовательности;

2. установления взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств;
3. на знании разрядного состава чисел;
4. на знании классового состава;

• в каждом концентре вводятся вычислительные приемы, основанные на знании нумерации:

а) на знании принципа образования  натуральной последовательности вводятся случаи вида а + 1, где а - любое натуральное  число;

б) на знании разрядного состава  чисел (упражнения в сложении разрядных  чисел и обратные упражнения в  замене неразрядных чисел суммой разрядных, а также вычитание  из неразрядных чисел отдельных, составляющих их разрядных чисел) например:

+ 70 + 3 = 473; 506 = 500 + 6; 842 - 40 = 800;

- 800 = 42; 842 - 2 = 840.

      При ознакомлении  с нумерацией необходимо опираться  на предметные действия учащихся. Для этого предлагается использовать  различные средства обучения: счетный  материал, на котором легко иллюстрировать  десятичную группировку предметов  при счете (палочки, пучки палочек,  квадраты, полоски квадратов, треугольники  с 10-ю кружками); наглядные пособия,  формирующие представления о  натуральной последовательности  чисел (линейки, рулетки, ленты  с выделенными сантиметрами, дециметрами,  метрами); наглядные пособия, помогающие  осознать позиционный принцип  записи чисел (нумерационные таблицы  разрядов и классов, абаки).[16], [25]

      После введения  проводится целенаправленная работа  на закрепление знаний и отработку  умений. Тренировочные упражнения  сочетаются с упражнениями творческого  характера.

      Даются  задания на анализ типичных  ошибок, на сравнение, классификацию,  обобщение для характеристики  любого числа. Схема (план) разбора  чисел, начиная с однозначного, до многозначного будет постепенно  расширяться, углубляться, обогащаться  новым теоретическим материалом. На начальном этапе она может  составляться на основе обобщения  сформулированных ответов учащихся  и включать следующие вопросы:

1. Чтение числа.

2. Место числа при счете. 

3. Десятичный состав.

4. Запись числа с помощью цифр.[16], [17]

    Таким образом,  при изучении нумерации в концентре  схема разбора будет включать  большее количество заданий и  в том числе задания на сравнение  и классификацию.

&2.2 Методика изучения нумерации чисел в концентре

  При характеристике содержания  и системы построения начального  курса математики говорилось, что  работа, направленная на формирование  у детей понятия о числе  и арифметических действиях, ведется  в течение всех трех лет  начального обучения и составляет  основу всего курса. Программа  предусматривает постепенное расширение  области рассматриваемых чисел.  Концентризм в построении программы  неразрывно связан с особенностями  десятичной системы счисления  и нумерации чисел.[15], [16]

   В качестве первого такого  концентра выделен "Десяток". При изучении этой темы дети  знакомятся с первыми десятью  числами натурального ряда и  действиями сложения и вычитания  в этих пределах.

  Уже на этом весьма ограниченном  числовом материале рассматриваются  многие вопросы, с которыми  в дальнейшем учащиеся будут  встречаться при каждом новом  расширении области чисел.

Так, именно на этом этапе обучения учащиеся должны осознать количественное и порядковое значение числа. Они  должны научиться пользоваться усвоенным  ими отрезком натурального ряда чисел  для получения ответа на вопрос, сколько элементов входит в состав предложенного им множества, понять, что с помощью той же числовой последовательности можно расположить  элементы этого множества в определенном порядке, перенумеровав их.[15],[16]

На примере первых десяти чисел  натурального ряда дети знакомятся с  принципами его построения. Они осознают и усваивают, что для получения  числа, следующего за данным, достаточно прибавить единицу к данному  числу и что поэтому числа  в натуральном ряду возрастают (каждое число ряда больше всех чисел, встречающихся  при счете раньше этого числа, и меньше любого числа, которое называется при счете после него). Эти знания они применяют для сравнения  чисел. Они узнают далее что каждое число (кроме единицы) может быть представлено в виде суммы двух или  нескольких слагаемых.

Так, переходя к рассмотрению чисел  в пределах 100, дети впервые встречаются  с тем фактом, что десять единиц образуют новую счетную единицу - десяток. Они узнают, что названия чисел, больших 10, образуются уже с  использованием названий, принятых для  первых десяти чисел (один-на-дцать, две-на-дцать, два-дцать один и т.д.), что запись чисел в пределах 100 производится с использованием тех же самых  десяти цифр, но с помощью двух цифр, значение которых зависит от места, которое занимает цифра в записи. Здесь впервые дети встречаются  с понятием разрядных слагаемых  и учатся представлять число в  виде суммы его разрядных слагаемых. В неразрывной связи с этим изучаются и соответствующие  случаи сложения и вычитания (вида 20 + 7, 27 - 7, 27 - 20). [15],[16]

Рассмотрение этих вопросов связывается  с введением новой единицы  измерения - дециметра. Весьма полезным оказывается при этом провести аналогию между получением двузначных чисел  с помощью счета десятков и  единиц и измерением отрезка сначала  с помощью откладывания дециметра, а затем для измерения оставшейся части отрезка, меньшей дециметра, - с помощью откладывания сантиметра. (Например, 2 десятка и 3 единицы составляют 23 единицы, а 2 дм и 3 см - 23 см)

Каждое дальнейшее расширение области  чисел, как правило, всегда связывается  с введением новых единиц измерения  величин и установления соотношения  между ними. Это создает условия, необходимые для того, чтобы подмеченная  аналогия в получении чисел при  счете и при измерении могла  быть в дальнейшем использована при  рассмотрении действий с именованными числами. Каждый раз рассматриваются  новые случаи действий, основанные на знании десятичного состава чисел.

Выделение концентра "Тысяча" дает возможность не только закрепить  все приобретенные ранее знания нумераций, но и познакомить детей  с новой счетной единицей - сотней. При этом важно показать детям  общий принцип образования новых  счетных единиц: 10 единиц образуют новую  единицу счета - десяток, а 10 десятков - новую счетную единицу - сотню. Уже  здесь можно сказать детям, что  и дальше, при образовании новых  чисел, 10 единиц одного разряда (сотен) образуют единицу следующего разряда - тысячу.

   Таким образом подготавливается  почва для ознакомления детей  с принципом десятичной системы  счисления, который выступит в  еще более общей форме при  рассмотрении темы "Многозначные  числа". Здесь новым будет усвоение  понятия класса, принципа устной  и письменной нумерации чисел  II и III классов.

Итак, выделение концентров в начальном  курсе математики дает возможность  неоднократно возвращаться к рассмотрению основных вопросов, связанных с особенностями  десятичной системы счисления, устной и письменной нумерации чисел, закрепляя  знания детей. Это, как было только, что показано, создает условия  и для формирования соответствующих  обобщений. Благодаря концентрическому построению программы возникает  также возможность рассредоточить трудности, в связи с чем в  процессе обучения можно значительно  увеличить долю самостоятельного участия  детей в рассмотрении тех вопросов нумерации, которые при расширении области чисел могут быть ими  усвоены на основе "переноса" приобретенных  ранее знании.

Отметим здесь и другие принципиальные моменты, которые должны учитываться  в работе над нумерацией, о какой  бы области чисел ни шла речь.

Первое, на что следует обратить внимание учителя, - при изучении нумерации  большое значение имеет богатейший речевой опыт, которым располагают  многие дети уже ко времени поступления  в школу и который быстро обогащается  в школьные годы.[15]

Названия чисел, особенности образования  соответствующих числительных дети воспринимают не только со слов учителя. Огромную роль играет при этом интуиция (чутье), основанная на владении родным языком. Дети легко самостоятельно (а иногда лишь при небольшом намеке со стороны учителя) подмечают принцип  образования названий чисел и  сами догадываются, как будут называться следующие числа, если только дать им для примера два-три аналогичных  названия. Например: "двадцать один", "двадцать два"... (Трудности возникают  только в таких случаях как "сорок", "пятьдесят", "девяносто", которые  приходится специально оговаривать)[15]