Признаки сходимости числовых рядов
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное
бюджетное образовательное
«Тобольская государственная социально-педагогическая академия
им. Д.И. Менделеева»
Физико-математический факультет
Кафедра математики и методики обучения математике
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине «Математический анализ»
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
Выполнил: студент 45 группы ОЗО ФМФ
Яров Т.И.
Научный руководитель:
к.п.н. доцент кафедры математики
Ярков В.Г.
__ ________ 2013г.
Оценка________
Тобольск 2013
Содержание
Введение
1. Определение числового ряда. Сходимость
2. Основные свойства числовых рядов
3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
4. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница
5. Знакопеременные ряды
Заключение
Список использованной литературы
ВВЕДЕНИЕ
В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых.
Решение задачи, представленной в математических терминах, например, в виде комбинации различных функций, их производных и интегралов, нужно уметь “довести до числа”, которое чаще всего и служит окончательным ответом. Для этого в различных разделах математики выработаны различные методы.
Раздел математики, позволяющий
решить любую корректно поставленную
задачу с достаточной для
Даже если некоторые тонкие понятия
математического анализа
- Определение числового ряда. Сходимость
Дадим определение того, что понимается под такими суммами.
Пусть задана бесконечная числовая последовательность
,, …,, …
Определение 1.1. Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида
. (1.1)
Числа называются членами ряда, – общим или n–м членом ряда.
Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления n-го члена ряда по его номеру n(n=1,2,…)
Пример 1.1. Пусть . Ряд
(1.2)
называется гармоническим рядом.
Пример 1.2. Пусть , Ряд
(1.3)
называется обобщенным гармоническим рядом. В частном случае при получается гармонический ряд.
Пример 1.3. Пусть = . Ряд
называется рядом геометрической прогрессии.
Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм где – сумма первых членов ряда, которая называется n-й частичной суммой, т. е.
,
,
,
…………………………….
,
…………………………….
Числовая последовательность при неограниченном возрастании номера n может:
1) иметь конечный предел;
2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).
Определение 1.2. Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т. е.
В этом случае число S называется суммой ряда (1.1) и пишется
.
Определение 1.3. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела.
Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.
Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.4. Доказать, что ряд
сходится, и найти его сумму.
Найдем n-ю частичную сумму данного ряда .
Общий член ряда представим в виде .
Тогда
Отсюда имеем: . Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1:
Пример 1.5. Исследовать на сходимость ряд
(1.6)
Для этого ряда
. Следовательно, данный ряд
Замечание. При ряд (1.6) представляет собой сумму бесконечного числа нулей и является, очевидно, сходящимся.
Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд
Для этого ряда
В этом случае предел последовательности частичных сумм не существует, и ряд расходится.
Пример 1.7. Исследовать на сходимость ряд геометрической прогрессии (1.4):
Нетрудно показать, что n-я частичная сумма ряда геометрической прогрессии при задается формулой
.
Рассмотрим случаи:
1) Тогда и .
Следовательно, ряд сходится и его сумма равна
2) .
Тогда и .
Следовательно, ряд расходится.
3) или Тогда исходный ряд имеет вид (1.6) или (1.7) соответственно, которые расходятся. Окончательно имеем
(1.8)
Пример 1.8. Найти сумму ряда
Очевидно, что данный ряд является рядом геометрической прогрессии. В нашем случае . Тогда из формулы (1.8) следует
.
Исследование на сходимость гармонического ряда (1.2) и обобщенного гармонического ряда (1.3) будет проведено в следующем разделе.
2. Основные свойства числовых рядов
Свойства суммы конечного числа слагаемых отличаются от свойств ряда, т. е. суммы бесконечного числа слагаемых. Так, в случае конечного числа слагаемых их можно группировать в каком угодно порядке, от этого сумма не изменится. Существуют сходящиеся ряды (условно сходящиеся, которые будут рассмотрены в разделе 5), для которых, как показал Риман*, меняя надлежащим образом порядок следования их членов, можно сделать сумму ряда равной какому угодно числу, и даже расходящийся ряд.
Пример 2.1. Рассмотрим расходящийся ряд вида (1.7)
Сгруппировав его члены попарно, получим сходящийся числовой ряд с суммой, равной нулю:
С другой стороны, сгруппировав его члены попарно, начиная со второго члена, получим также сходящийся ряд, но уже с суммой, равной единице:
Сходящиеся ряды обладают
некоторыми свойствами, которые позволяют
действовать с ними, как с конечными
суммами. Так их можно умножать на
числа, почленно складывать и вычитать.
У них можно объединять в группы любые
рядом стоящие слагаемые.
Теорема 2.1. (Необходимый признак сходимости ряда).
Если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.
(2.1)
Доказательство теоремы следует из того, что , и если
S – сумма ряда (1.1), то
Условие (2.1) является необходимым, но недостаточным условием для сходимости ряда. Т. е., если общий член ряда стремится к нулю при , то это не значит, что ряд сходится. Например, для гармонического ряда (1.2) однако, как будет показано ниже, он расходится.
Следствие (Достаточный признак расходимости ряда).
Если общий член ряда не стремится к нулю при , то этот ряд расходится.
Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд
.
Для этого ряда
Следовательно, данный ряд расходится.
Рассмотренные выше расходящиеся
ряды (1.6), (1.7) также являются таковыми
в силу того, что для них не
выполняется необходимый
Свойство 2.1. Сходимость или расходимость ряда не изменится, если произвольным образом удалить из него, добавить к нему, переставить в нем конечное число членов (при этом для сходящегося ряда его сумма может измениться).
Доказательство свойства следует из того, что ряд (1.1) и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.
Свойство 2.2. Сходящийся ряд можно умножать на число, т. е., если ряд (1.1) сходится, имеет сумму S и c – некоторое число, тогда
Доказательство следует из того, что для конечных сумм справедливы равенства
Свойство 2.3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е. если ряды ,
сходятся,
то и ряд
сходится и его сумма равна т. е.
.
Доказательство следует из свойств предела конечных сумм, т. е.
Пример 2.3. Вычислить сумму ряда
.
Общий член ряда представим в виде
Тогда исходный ряд можно представить в виде почленной разности двух сходящихся рядов геометрической прогрессии
Используя формулу (1.8), вычислим суммы соответствующих рядов геометрической прогрессии.
Для первого ряда поэтому
.
Для второго ряда поэтому
Окончательно имеем
.
3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
Определить сходимость ряда (1.1) и найти его сумму в случае сходимости непосредственно по определению 1.1 как предела последовательности частичных сумм, весьма затруднительно. Поэтому существуют достаточные признаки определения сходится ряд или расходится. В случае его сходимости приближенным значением его суммы с любой степенью точности может служить сумма соответствующего числа первых n членов ряда.
Здесь будем рассматривать ряды (1.1) с положительными (неотрицательными) членами, т. е. ряды, для которых Такие ряды будем называть положительнымирядами.
Теорема 3.1. (признак сравнения)
Пусть даны два положительных ряда
, (3.1)
, (3.2)
и выполняются условия для всех n=1,2,…
Тогда: 1) из сходимости ряда (3.2) следует сходимость ряда (3.1);
2) из расходимости ряда (3.1) следует расходимость ряда (3.2).
Доказательство. 1. Пусть ряд (3.2) сходится и его сумма равна В. Последовательность частичных сумм ряда (3.1) является неубывающей ограниченной сверху числом В, т. е.
Тогда в силу свойств таких последовательностей следует, что она имеет конечный предел, т. е. ряд (3.1) сходится.
2. Пусть ряд (3.1) расходится.
Тогда, если ряд (3.2) сходится, то
в силу доказанного выше пункта
1 сходился бы и исходный ряд,
что противоречит нашему
Этот признак удобно применять к определению сходимости рядов, сравнивая их с рядами, сходимость которых уже известна.
Пример 3.1. Исследовать на сходимость ряд
Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося ряда геометрической прогрессии
т. к. , n=1,2,…
Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд также сходится.
Пример 3.2. Исследовать на сходимость ряд
Члены данного ряда положительны и больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда
т. к.
Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд расходится.
Теорема 3.2. (Предельный признак Даламбера[*]).
Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел
Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;
2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;
3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.
Замечание: Ряд (1.1) будет расходиться и в том случае, когда
Пример 3.3. Исследовать на сходимость ряд
.
Применим предельный признак Даламбера.
В нашем случае .
Тогда
Следовательно, исходный ряд сходится.
Пример 3.4. Исследовать на сходимость ряд
Применим предельный признак Даламбера:
Следовательно, исходный ряд сходится.
Пример 3.5. Исследовать на сходимость ряд
Применим предельный признак Даламбера:
Следовательно, исходный ряд расходится.
Замечание. Применение предельного признака Даламбера к гармоническому ряду не дает ответа о сходимости этого ряда, т. к. для этого ряда
Теорема 3.3. (Предельный признак Коши*).
Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел
Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;
2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;
3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.
Пример 3.6. Исследовать на сходимость ряд
Применим предельный признак Коши:
Следовательно, исходный ряд сходится.
Теорема 3.4. (Интегральный признак Коши).
Пусть функция f(x) непрерывная неотрицательная невозрастающая функция на промежутке
Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.
Пример 3.7. Исследовать на сходимость гармонический ряд
Применим интегральный признак Коши.
В нашем случае функция удовлетворяет условию теоремы 3.4. Исследуем на сходимость несобственный интеграл
Имеем .
Несобственный интеграл расходится, следовательно, исходный гармонический ряд расходится также.
Пример 3.8. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд
Функция удовлетворяет условию теоремы 3.4.
Исследуем на сходимость несобственный интеграл
Рассмотрим следующие случаи:
1) пусть Тогда обобщенный гармонический ряд есть гармонический ряд, который расходится, как показано в примере 3.7.
2) пусть Тогда
Несобственный интеграл расходится, и, следовательно, ряд расходится;
3) пусть Тогда
Несобственный интеграл сходится, и, следовательно, ряд сходится.
Окончательно имеем
Замечания. 1. Обобщенный гармонический ряд будет расходиться при , т. к. в этом случае не выполняется необходимый признак сходимости: общий член ряда не стремится к нулю.
2. Обобщенный гармонический ряд удобно использовать при применении признака сравнения.
Пример 3.9. Исследовать на сходимость ряд
Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося обобщенного гармонического ряда
т. к. и параметр
Следовательно, исходный ряд сходится (по признаку сравнения).
Перейдем к рассмотрению рядов, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными.
4. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница
Определение 4.1. Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки.
Такие ряды удобнее записывать в виде
или в виде
,
где
Для определения сходимости
знакочередующихся рядов
Теорема 4.1. (Достаточный признак сходимости Лейбница*).
Для того чтобы знакочередующийся ряд (4.1)((4.2)) сходился, достаточно, чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании n.
Таким образом, если и то знакочередующийся ряд (4.1)((4.2)) сходится.
Пример 4.1. Ряд
(4.3)
сходятся, т. к. для него выполняются все условия признака сходимости Лейбница.
5. Знакопеременные ряды
Рассмотрим числовые ряды
(5.1)
с произвольными членами, т. е. члены ряда могут быть как положительными, так и отрицательными. Такие ряды называются знакопеременными.
Образуем новый ряд, составленный из абсолютных величин (модулей) членов ряда (5.1), т. е. ряд
(5.2)
Теорема 5.1. Если ряд сходится, то сходится и исходный ряд
Вообще говоря, обратное утверждение неверно, т. е. из сходимости ряда (5.1) не следует сходимость ряда (5.2). Например, как было показано выше ряд сходится, в то время как ряд расходится.
Определение 5.1. Ряд (5.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Определение 5.2. Сходящийся ряд (5.1) называется условно сходящимся, если ряд (5.2) расходится.
Таким образом, ряд является абсолютно сходящимся.
Абсолютно сходящиеся ряды обладают тем свойством, что у них можно любым образом менять местами члены ряда. При такой перестановке будут получаться также абсолютно сходящиеся ряды, при этом сумма ряда не изменяется. Как указывалось в разделе 2, условно сходящиеся ряды таким свойством не обладают.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Решение многих задач сводится к вычислению значений функций и интегралов или к решению дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций.
Однако точное выполнение указанных математических операций во многих случаях оказывается весьма затруднительным или невозможным. В этих случаях можно получить приближенное решение многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов.
Ряды представляют собой простой
и совершенный инструмент математического
анализа для приближенного
Теория рядов создавалась в тесной связи с теорией приближенного представления функций в виде многочленов. Впервые это сделал И. Ньютон (1642 – 1727). в 1676г. В его письме к секретарю Лондонского Королевского Общества появилась формула:
,
которую мы знаем как формулу бинома Ньютона.
Здесь мы видим функцию , представленную в виде многочлена. Но если число не является натуральным, в правой части равенства получается не полином, а бесконечная сумма слагаемых, то есть ряд.
Развивая идею Ньютона, английский математик Брук Тейлор (1685 – 1731) в 1715г. доказал, что любой функции, имеющей в точке производные всех порядков, можно сопоставить ряд:
.
Мы не можем пока поставить знак равенства между функцией , принимающей конечное значение для любого значения , и стоящим справа функциональным рядом.
Для того, чтобы вместо знака “ ” можно было поставить знак равенства, необходимо провести некоторые дополнительные рассуждения, связанные именно с бесконечностью числа слагаемых в правой части равенства и касающиеся области сходимости ряда.
При формула Тейлора принимает вид, в котором называется формулой Маклорена:
.
Колин Маклорен (1698 – 1746), ученик Ньютона, в работе “Трактат о флюксиях” (1742) установил, что степенной ряд, выражающий аналитическую функцию, - единственный, и это будет ряд Тейлора, порожденный такой функцией. В формуле бинома Ньютона коэффициенты при степенях представляют собой значения , где .
Итак, ряды возникли в XVIII в. как способ
представления функций, допускающих
бесконечное дифференцирование. Однако
функция, представляемая рядом, не называлась
его суммой, и вообще в то время
не было еще определено, что такое
сумма числового или
Например, Л. Эйлер (1707-1783), выписав для функции соответствующий ей степенной ряд, придавал переменной конкретное значение . Получался числовой ряд. Суммой этого ряда Эйлер cчитал значение исходной функции в точке . Но это не всегда верно.
О том, что расходящийся ряд не имеет суммы, ученые стали догадываться только в XIX в., хотя в XVIII в. многие, и прежде всего Л. Эйлер, много работали над понятиями сходимости и расходимости. Эйлер называл ряд сходящимся, если его общий член стремится к нулю при возрастании .
В теории расходящихся рядов Эйлер получил немало существенных результатов, однако результаты эти долго не находили применения. Еще в 1826г. Н.Г. Абель (1802 – 1829) называл расходящиеся ряды “дьявольским измышлением”. Результаты Эйлера нашли обоснование лишь в конце XIX в.
В формировании понятия суммы сходящегося ряда большую роль сыграл французский ученый О.Л. Коши (1789 – 1857); он сделал чрезвычайно много не только в теории рядов, но и теории пределов, в разработке самого понятия предела. В 1826г. Коши заявил, что расходящийся ряд не имеет суммы.
В 1768г. французский математик и философ Ж.Л. Д’Аламбер исследовал отношение последующего члена к предыдущему в биномиальном ряде и показал, что если это отношение по модулю меньше единицы, то ряд сходится. Коши в 1821г. доказал теорему, излагающую в общем виде признак сходимости знакоположительных рядов, называемых теперь признаком Д’Аламбера.
Для исследования сходимости знакочередующихся рядов используется признак Лейбница.
Г.В. Лейбниц (1646 – 1716), великий немецкий
математик и философ, наряду с
И. Ньютоном является основоположником
дифференциального и
Список использованной литературы
1. Высшая математика: Общий курс: Учеб. – 2-е изд., перераб. / А. И. Яблонский, А. В. Кузнецов, Е. И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С. А. Самаля. – Мн.: Высш. шк., 2000.– 351 с.
2. Марков Л. Н., Размыслович Г. П. Высшая математика. Часть 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.
3. Организация научно-
4. Письменный Д.Т., Курс лекций по высшей математике. М., “Айрис Пресс”, 2005, часть 2 – 256 с.
5. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике. М., “Наука”, 1975–872с.
* Риман Георг Фридрих Бернхард (1826 – 1866), немецкий математик.
[*] Даламбер Жан Лерон (1717 – 1783), французский философ и математик, один из представителей французского просвещения XVIII века.
* Коши Огюстен Луи (1789 – 1857), французский математик.
* Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646 – 1716), выдающийся немецкий философ и математик.
