Проблема Борсука на прямой
Содержание:
Введение…………………………………………………………
§1 Примеры разбиений на плоскости …………………………………………………..4
§2 Проблема Борсука на прямой ………………………………………………………..6
§3 Решение задачи для плоских фигур …………………………………………………7
§4 Разбиение шара на части меньшего диаметра ……………………………………..10
§6 Гипотеза Борсука для n – мерных тел …………………………………………. ….15
Заключение……………………………………………………
Литература ……………………………………………………………………..……
Введение
В настоящей работе речь пойдет об одной из центральных проблем комбина-торной геометрии, а именно, о проблеме, поставленной К. Борсуком в 1933 г.
Разбиение-представление заданного множества в виде объединения системы множеств, не имеющих попарно общих точек.
Рассмотрим произвольное ограниченное неодноточечное множество Ω ⊂ Rn и попытаемся представить его в виде Ω = Ω1_・ ・ ・_Ωf , где каждое множество Ωi имеет диаметр, строго меньший диаметра Ω. Определим f(Ω) как минимальное чи-сло f, при котором упомянутое представление существует. Иными словами, мы стре-мимся разбить фиксированное нами множество на минимальное число частей меньшего диаметра. Положим f(n) = max f(Ω). Здесь максимум берется по всем Ω ⊂ Rn, обладающим указанными выше свойствами. Понятно, что величина f(n) определена корректно, хотя, вообще говоря, она может оказаться равной бесконечности. По сути же, f(n) есть минимальное количество частей меньшего диаметра, на которые разбивается произвольное ограниченное неодноточечное множество в евклидовом пространстве размерности n, т.е. в принципе ничто не мешает величине f(n) обратиться в бесконечность, однако f(n) ограниченна. Данные доводы наводят на мысль что f(n)=n+1. Эта мысль впервые как раз и пришла в голову Борсуку, который задал вопрос: верно ли, что всякое ограниченное множество в Rn допускает разбиение на n+1 частей меньшего диаметра? Хотя сам Борсук и был весьма осторожен, его вопрос скоро стали называть гипотезой Борсука, и все, кто этой ≪гипотезой≫ занимался, верили в ее справедливость. [3]
В результате гипотеза Борсука стала невероятно популярной, и в разное время ей занимались крупнейшие специалисты в дискретной геометрии, геометрии чисел, топологии, комбинаторике и пр. Были созданы многочисленные нетривиальные методы решения проблемы, а также найдены неожиданные связи с другими задачами комбинаторики и геометрии. Это позволяет говорить о значительной роли, которую проблема Борсука сыграла в процессе становления современной дискретно-геометрической науки.
Кароль Борсук - польский математик, член Польской АН (с 1952). Окончил Варшавский университет (1927). С 1929 г. преподавал в Варшавском университете (с 1938 г. — профессор), в 1952-1964 гг. директор Математического института Польской АН. В 1946-1947 гг. работал в Принстонском институте перспективных исследований (США). Основные исследования относятся к топологии и геометрии. Ввел ряд новых понятий, оказавших существенное влияние на развитие современной топологии, в т. ч. понятие ретрактов, топологическая структура которых напоминает структуру многогранников. Работал в области оснований геометрии и аналитической геометрии n-измерений.
Цель работы: научится с помощью данного метода решать задачи в геометрии
Задачи: показать, что для решения некоторых задач актуальней использовать проблему Борсука.
Актуальность: данная проблема до сих пор остается самой востребованной в комбинаторной геометрии, которой занимаются до сих пор многие математики.
§1 Примеры разбиений на плоскости
Предположим что мы рассматриваем круг диаметра d(рис.1). Тогда расстояние между точками М и N не превосходит d. В тоже время можно найти две точки А и В в нашем круге, удаленные друг от друга в точности на расстоянии d.
Рассмотрим теперь
вместо круга какую либо
Легко понять что
если фигура представляет
Рассмотрим разбиение на примере круга. Нетрудно понять что если круг диаметра d разбить отрезком АВ на две части, то хотя бы 1 из частей круга будет иметь тот же диаметр d(рис.3). Вместе с тем ясно что круг можно разрезать на 3 части каждая из которых имеет диаметр меньший d(рис.4).
(рис.3) (рис.4)
Итак круг диаметра d нельзя разбить на две части, диаметр каждой из которых будет меньше d. Но можно разбить на 3 таких части.
Рассмотрим так же разбиение правильного треугольника (рис.5). диаметр треугольника равен наибольшей из его сторон, но т.к. мы рассматриваем правильный треугольник диаметром его является каждая из его сторон. Следовательно правильный треугольник так же нельзя разбить на 2 части, т.к. если разбить на 2 части одна из сторон будет равна диаметру нашего треугольника.
(рис.5)
Отсюда мы делаем вывод что большинство фигур в плоскости нельзя разбить на 2 части меньшего диаметра.
§2 Проблема Борсука на прямой
Сейчас мы попробуем разобраться с тем, как поэкономнее разбивать на части меньшего диаметра одномерные множества.
Для начала заметим,
что разбиение на 2 части практически
очевидно. В самом деле, нелепо
же пытаться разбить какое-
Рассмотрим произвольное (ограниченное) множество A в R. Мы ничего, по сути, не потеряем, если будем полагать diam A = 1(диаметр нашей прямой). Возьмём в множестве A «крайнюю левую» и «крайнюю правую» точки. Итак, пусть найденные нами точки суть а и Ь. Ясно, что они «диаметрально противоположны», т.е. что на них-то как раз и достигается диаметр А, равный единице. Таким образом, Ь—а=1. С другой стороны, отрезок [а, Ь], безусловно, содержит внутри себя множество А или, как ещё говорят, покрывает это множество. Рассмотрим разбиение
Разумеется, диаметр каждой из частей в данном разбиении отрезка равен . Более того, если =А, а A, то А= и diam A. В результате мы разбили отрезок на 2, части диаметр которых меньше диаметра самой прямой.[2]
Для примера достаточно взять отрезок [0,1] и убедиться в том, что, как его ни разрезай на два кусочка, а все равно один из них будет иметь диаметр не меньше .
§3 Решение задачи для плоских фигур
Мы уже видели
что для некоторых плоских
фигур разбиение принимает
Основной частью доказательства будет установление следующей леммы, которую в 1920г. Получил венгерский математик Пал : всякая плоская фигура диаметра d может быть заключена в правильный шестиугольник, у которого расстояние между противоположными сторонами равно d(рис1).
(рис.1)
(рис.2)
Возьмем прямую l, не пересекающую фигуру F , и начнем приближать эту прямую к F до тех пор, пока перемещающаяся прямая не прикоснется к фигуре F (рис.2). полученная прямая обладаем тем свойством, что она имеет хотя бы одну общую точку с фигурой F и вся фигура F расположена по одну сторону от . Такая прямая называется опорной прямой фигуры F. Проведем, кроме того, вторую опорную прямую (рис.2). ясно, что вся фигура f будет находится в полосе между прямыми и и что расстояние между этими прямыми не превосходит d.[1]
(рис.3)
Проведем теперь к фигуре F две параллельные опорные прямые , составляющие с угол (рис.3). Прямые , , , образуют параллелограмм ABCD с углом и высотами, не превосходящими d, внутри которого целиком заключении фигура F. [1]
Проведем теперь две опорные прямые фигуры F, составляющей с угол , и обозначим через М и N основания перпендикуляров, опущенных на эти прямые из концов диагонали AC (рис.3). Мы покажем, что направления прямой можно выбрать таким образом, чтобы выполнялось равенство AM=CN. В самом деле, допустим, что AMCN и пусть для определенности AM<CN. Таким образом, величина y=AM-CN отрицательна. Теперь мы начнем непрерывно изменять направление прямой до тех пор, пока она повернется на (фигуру F оставим неподвижной). Вместе с прямой будут менять свое положение и остальные прямые , , . Поэтому при повороте прямой будут непрерывно перемещаться и точки A, C, M, N, а значит, будет непрерывно изменяться величина y=AM-CN. Но когда прямая повернется на , она займет положение, которое раньше занимала прямая . Поэтому мы получим тот же параллелограмм, что и на рис.3, но в нем точки A и С, а также М и N, поменяются ролями. Следовательно, в этом положении величина y будет уже положительной. [1]
(рис.4)
Если мы теперь изобразим график изменения величины у при повороте прямой от до (рис.4), то поймем, что найдется положение прямой , при котором величина у обращается в нуль, т.е. AM=CN (ибо, непрерывно изменяясь от отрицательного значения до положительного, величина у должна в некоторый момент обратиться в нуль). Мы рассмотри положение всех наших прямых как раз в тот момент времени, когда величина у обращается в нуль (рис.5). Из равенства AM=CN вытекает, что шестиугольник, образованный прямыми , , центрально симметричен. Каждый угол этого шестиугольника равен , а расстояние между противоположными сторонами не превосходит d. Если расстояние между и меньше d, то мы раздвинем эти прямые так, что бы расстояние между раздвинутыми прямыми было равно d. Точно так же мы поступим с прямыми , , .[1]
В результате мы получим центрально симметричный шестиугольник, у которого противоположные стороны удалены друг от друга на расстояние d (пунктирный шестиугольник на рис.5). Из сказанного ясно, что все стороны этого шестиугольника равны между собой, т.е. этот шестиугольник – правильный, причем фигура F расположена внутри шестиугольника.
Теперь этот шестиугольник можно разрезать на 3 части так что каждая их частей будет меньше диаметра нашей произвольной фигуры (разбиение происходит на 3 части с центра шестиугольника). Таким образом теорема доказана.
§4 Разбиение шара на части меньшего
диаметра
Однако в пространстве существуют тела для которых разбиение происходит более чем на 3 части. Таким телом например является шар.
Шар диаметра d не может быть разбит на три части, диаметр каждой из которых меньше d. [1]
Как мы знаем из прошлого материала круг нельзя разбить на 2 части меньшего диаметра. Будем говорить что круг - двумерный шар, т.к. он расположен в плоскости которая имеет два измерения. Тогда формулировка меняется : двумерный шар диаметра d нельзя разбить на две части меньшего диаметра.
Обычный шар мы
будем называть трехмерным
Невозможно разбить п - мерный шар на п частей меньшего диаметра (разбить на 2 или 3 части).
Докажем эту теорему. Обозначим через Е шар диаметра d. Предположим обратное, а именно что шар Е можно разбить на три части , каждая из которых имеет диаметр, меньший d. Поверхность сферы Е обозначим через S. Множество всех точек сферы S, принадлежащих части , обозначим через , таким же образом определим и и . Таким образом, сфера S разбивается на три части каждая из которых имеет диаметр меньше d. Обозначим через диаметр множества (диаметр < d) и предположим h=(d-).
Построим теперь на сфере две диаметрально противоположные точки P и Q (предположим что полюса сферы) и пересечем сферу S несколькими плоскостями, перпендикулярными отрезку PQ. Эти плоскости пересекают сферу S по окружностям, разбивающими сферу S на два полюса и несколько поясов (рис.1). каждый из этих поясов мы разделим дугами на несколько частей, что бы получающееся разбиение напоминало кладку кирпича(рис.2). Количество меридианов и окружностей выберем так много , что бы каждый кусочек имел диаметр <h.
(рис.1)
Рассмотрим теперь все кусочки, каждый из которых имеет хотя бы 1 общую точку с множеством . Вместе взятые они образую фигуру, которую мы обозначим через . Так как множество имеет диаметр , а диаметр каждого кусочка меньше h, то диаметр меньше +2h. Но +2h=d-h<d т.е. диаметр множества меньше d.
Рассмотрим теперь границу множества . Нетрудно понять, что она состоит из конечного числа замкнутых линий, которые не пресекают самих себя и не пересекаются друг с другом (рис.3).
(рис.3)
В каждой точке стыка сходиться только по три кусочка (рис.2). Если точка стыка лежит на границе множества , то из трех примыкающих к этой точке кусочков множеству принадлежит один (рис.4) или два (рис.5).
(рис.4)
(рис.5)
Возьмем теперь
какую-либо граничную точку
Пусть теперь - множество, симметричное нашему множеству относительно центра сферы S., или проще говоря, состоит из всех точек сферы S, диаметрально противоположных точкам множества . Из этого можно понять что и не имеют общих точек.
Граница множества образована линиями , симметрично линиям . Так как множества и не имеют общих точек, то замкнутые линии , попарно не пересекаются друг с другом.
Заметим теперь, что если на сфере S даны q замкнутых линий, не пересекающих сами себя и непересекающихся друг с другом, то они разбивают сферу на q+1 частей. Это легко понять по последовательности: одна линия разбивает сферу на две части, а каждая следующая добавляемая линия вырезает одну новую часть.
Так как у нас имеется 2k линий , , то они разбивают сферу на 2k+1 частей, т.е. на нечетное число частей. Эти части мы будем называть «странами». Каждая страна либо целиком содержится в множестве или в , либо расположена вне обоих множеств. Так как линии симметричны линиям , то каждая страна либо имеет симметричную ей страну, либо она сама симметрична относительно центра сферы. Число стран, попарно симметричных друг другу, четно, а так как общее число стран нечетно, то обязательно найдется хотя бы 1 страна, симметричная самой себе относительно центра сферы. Пусть Н – такая страна и С – некоторая её внутренняя точка. Так как страна Н симметрична, то точка , диаметрально противоположная точке С, так же принадлежит стране Н. отсюда видно, что диаметр страны Н равен d, и потому вся внутренняя часть страны Н расположена вне множества и . Но так как Н – это одна страна, то она представляет собой цельный кусок сферы, и потому точки С и можно соединить линией Г, целиком лежащей внутри страны Н (рис.6).
(рис.6)
Линия , симметричная линии Г, соединяет те же точки С и и тоже целиком расположена внутри страны Н. Линии Г и не имеют общих точек с множеством и тем более не имеют общих точек с множеством .
Вернемся к множествам о которых мы говорили в начале. Каждая точка линии Г принадлежит хотя бы одному из множеств . Концевые точки С и (т.к. они диаметрально противоположные) принадлежат разным множествам . Пусть для наглядности С принадлежит , а - множеству . Будем двигаться по линии Г от точки С к точке , и обозначим через D последнюю встретившуюся нам точку множества (рис.7).
(рис.7)
Если бы точка D не принадлежала множеству , то близкие к ней точки также не принадлежали бы множеству . Но, тогда точки, расположенные на линии Г между D и и близкие к точке D, не могли бы принадлежать ни одному из множеств , что просто невозможно. Итак, точка D принадлежит обоим множествам .
Рассмотрим точку , диаметрально противоположную точке D. Она принадлежит линии и, следовательно, не содержится в множестве . Но она не содержится так же и во множествах , т.к. эти множества имеют диметр <d и содержат точку D. Таким образом, точка не содержится ни в одном из множеств что противоречит предположению.
Полученное предположение наглядным образом показывает, что шар E не может быть разбит на три множества меньшего диаметра, чем диаметр сферы.
§6 Гипотеза Борсука для n – мерных тел
В этом параграфе мы поговорим о справедливости теоремы Борсука для n – мерных тел. До сих пор эта проблема в общем виде еще не решена, несмотря на усилия многих математиков. Эта размерность чрезвычайно трудна для решения. Однако для некоторых частных видов тел гипотеза Борсука установлена. Мы рассмотри один из этих случаев – для выпуклых тел.
Проблемой выпуклых
тел занимался швейцарский
Он показал что для
таких тел гипотеза
Всякое n – мерное выпуклое тело с гладкой границей, имеющее диаметр d, может быть разбито на n=1 частей меньшего диаметра.
Пусть F – некоторое n-мерное выпуклое тело с гладкой границей, имеющее диаметр d. Рассмотри кроме того n – мерный шар Е, имеющий тот же диаметр d, и постоим какое либо разбиение этого шара на n+1 частей диаметра <d. части на которые разбит шар обозначим через . Мы сейчас построим некоторое разбиение границы G тела F на n+1 множеств .
Пусть А – произвольная граничная точка тела F. Проведем через А опорную гиперплоскость тела F, и параллельно её проведем касательную гиперплоскость шара Е, причем так, что бы тело F и шар Е лежали по одну и ту же сторону от этих гиперплоскостей (рис.1).
(рис.1)
Точку, в которой
проведенная гиперплоскость
Докажем, что каждое из множеств имеет диаметр <d. Допустим противоположное, т.е. что некоторое множество имеет диаметр d, и пусть А и В – две точки множества , находящиеся друг от друга на расстоянии d. Проведем две гиперплоскости , проходящие через точки А и В. Ясно, что тело А находится в полосе между этими гиперплоскостями, т.е. являются опорными гиперплоскостями тела F, проходящими через точки А и В. Из параллельности этих опорных гиперплоскостей вытекает, что соответствующие точки f(A) и f(B), лежащие на границе шара Е, являются диаметрально противоположными, т.е. расстояние между точками f(A) и f(B) равно d. С другой стороны, так как А и В принадлежат множеству , то точки f(A) и f(B) принадлежат множеству , и поэтому расстояние между точками f(A) и f(B) меньше d. Полученное противоречие показывает, что ни одно из множеств не может иметь диаметр d.
Пусть теперь О – произвольная внутренняя точка тела F. Через мы обозначим «конус» с вершиной О, криволинейным 2основанием2 которого является множество . Ясно, что построенные «конусы» заполнят все тело F, т.е. мы получим разбиение тела F на n+1 частей. Понятно, что каждое из множеств имеет диаметр <d (т.к. диаметр меньше d). Таким образом, мы построили разбиение тела F на n+1 частей диаметра <d, тем самым доказали теорему.
Заключение
Проблема, поставленная Борсуком, сделалась, едва ли не самой популярной в своей области. Эта проблема сыграла в процессе формирования данного раздела математики одну из главных ролей.
В этой работе мы показали, что гипотеза Борсука справедлива для всякого тела в плоскости, двухмерном и трехмерном пространстве. К сожалению, эта гипотеза не всегда справедлива для тел имеющих больше трех измерений. Многие математики пытались доказать её в четырехмерном пространстве, но она осталась так и не решенной. Борсук поставил задачу, которая до сих пор будоражит умы математиков и не теряет своей актуальности. Здесь мы всего лишь наглядно показали некоторые из примеров доказательств этой гипотезы, и выяснили, для каких тел она справедлива, а для каких нет. Эта проблема так же плавно переходит в раздел универсальных покрышек, где эта гипотеза так же ставит ряд вопросов. Но в этой работе мы их не затрагивали.
В заключение можно сказать, что Кароль Борсук является выдающимся математиком, затронувшим проблемы комбинаторной геометрии, и составившим ряд теорем и доказательств в разных областях этой геометрии.
Литература:
1 Болтянский В.Г., Гохберг
И.Ц., Теоремы и задачи
- Москва: наука, 1965 г. – 105с.
2 Райгородский А.М., Проблема Борсука. – Москва: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2006 г. – 53с.
3 Райгородский А.М. - Вокруг гипотезы Борсука. – 2007 г. –том 23 –с 147- 164
