Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Проблемы нессиметрии

ВВЕДЕНИЕ

Жизнь современного человека и, тем более, цивилизованной страны немыслима без электричества. Потоки электро-

энергии, рождаясь на электростанциях, растекаются к городам и заводам, разбиваясь на ручьи, проникают в каждый дом,

достигая самых удаленных электроприемников.

Устойчивость в работе энергосистем, надежность и безаварийность – одна из главных забот энергетиков. То, что отече-

ственные энергосистемы продолжают функционировать, есть несомненная заслуга специалистов. Они внимательно управ-

ляют непрерывными процессами производства и распределения электроэнергии, бдительно защищают от повреждений и

бережно поддерживают электрооборудование в исправном состоянии.

У истоков современных трехфазных электропередач стоял М.О. Доливо-Добровольский – русский инженер, ученый,

отличавшийся широтой и тонкостью ума, умением практического воплощения идей и даром предвидеть будущее. Он зани-

мался многими проблемами электротехники (в фирме, которая сегодня носит название АВВ): машинами постоянного и пе-

ременного тока, измерительными приборами, электролизом, телефонией. Но главный итог его жизни – создание системы

трехфазного тока.

Следует отметить, что знакомство электротехников с трехфазной системой проходило не без затруднений. Было непо-

нятно, как это по трем проводам могут проходить три разных тока. Электрики в то время привыкли к тому, что каждый ток

должен по одному проводу направляться к потребителю, а по второму – возвращаться. Доливо-Добровольский М.О. нагляд-

но показал, что в системе с разностью фаз 120° (2π/3) алгебраическая сумма трех токов или напряжений в каждый момент

времени равняется нулю.

Возможность получения вращающегося магнитного поля в электрических машинах банальными и надежными способа-

ми и очевидные практические достоинства стали важнейшими факторами, обеспечившими триумф трехфазной системы.

Благодаря изобретениям и усилиям М.О. Доливо-Добровольского трехфазная система убедительно продемонстрировала

свои достоинства: короткозамкнутые асинхронные трехфазные двигатели неприхотливы, надежны и компактны; двигатели с

фазным ротором позволяют регулировать пусковые токи и механические характеристики; трехфазные трансформаторы на-

дежны и экономичны.

Достоинство трехфазной системы при дальних передачах больших мощностей были продемонстрированы в 1891 г. при

испытаниях линии электропередачи в Германии от Лондонской гидроэлектростанции до города Франкфурт-на-Майне. Ли-

ния имела протяженность 170 км и была выполнена на деревянных опорах высотой 8…10 м, со средним пролетом 60 м. По

линии передавалась мощность около 220 кВт при напряжении 15 кВ. Фактический КПД линии составил 0,75. Позже были

проведены повторные испытания линии при напряжении 28,3 кВ, которые подтвердили, что при увеличении напряжения

КПД линии возрастает.

Многие специалисты были восхищены блестящим комплексным решением проблемы передачи и распределения элек-

трической энергии в трехфазной системе, и начался бурный процесс освоения линий более высокого напряжения и улучше-

ния их параметров.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЯХ

Трехфазная электрическая цепь может быть представлена как совокупность трех однофазных цепей, в которой дейст-

вуют ЭДС одной и той же частоты, сдвинутые относительно друг друга на одну треть периода или, что то же самое, на угол

2π/3.

Эти три составные части трехфазной цепи называются фазами, и им будем приписывать буквенные обозначения А, В, С.

Таким образом, термин «фаза» в электротехнике обозначает два понятия: угол, определяющий стадию периодического про-

цесса, и составную часть трехфазной цепи.

Изобразим трехфазную цепь, фазы которой не связаны друг с другом (рис. 1). Такую трехфазную цепь называют несвя-

занной (в настоящее время не применяется).

Фазы А, В, С изображены под углом 120° для того, чтобы подчеркнуть, что напряжения источников uА, uВ, uС сдвинуты

относительно друг другу на одну треть периода. Следовательно,

 2π 

u A = U т sin ωt ; u B = U т sin  ωt −  ;

 3 

uA z

uC z

iB z

Рис. 1

 4π 

uC = U т sin  ωt − .

 3 

Кривые, изображающие эти напряжения, показаны на рис. 2.

При равенстве амплитуд Um напряжений и одинаковых сопротивлениях нагрузки z в фазах токи iА, iB, iС также равны по

величине и сдвинуты относительно друг друга на одну треть периода, образуя так называемый трехфазный ток. Сумма этих

токов в любой момент времени равна нулю

iА + iB + iС = 0.

Поэтому, если три провода, по которым токи возвращаются к источникам, объединить в один, то ток в этом проводе

будет равен нулю. При отсутствии в проводе тока излишним в данном случае является и сам провод, от него можно отка-

заться, перейдя к схеме рис. 3.

u u u u u

A B C A

ωt

Рис. 2

N N′

uB iC

Рис. 3

В результате этого достигается экономия материала проводов, кроме того, по сравнению с несвязанной трехфазной це-

пью исключаются потери мощности от токов iА, iB, iС в обратном проводе.

Трехфазная цепь рис. 3, фазы которой соединены электрически, представляет одну из разновидностей так называемых

связанных трехфазных цепей.

Необходимо отметить, что для получения связанной трехфазной цепи не требуются отдельные однофазные генераторы,

а используется один трехфазный генератор.

Обмотки трехфазного генератора могут быть соединены либо звездой, либо треугольником. При соединении звездой

концы обмоток соединяют в общую точку, которую называют нейтральной. Начало обмоток обозначают А, В, С, концы – х,

у, z (рис. 4, а). Начала обмоток соединяют с нагрузкой линейными проводами, по которым идут линейные токи.

Будем в дальнейшем пользоваться следующей терминологией: ЭДС, индуктируемые в обмотках генератора или транс-

форматора, напряжения на зажимах обмоток и токи в них называть фазными ЭДС, напряжениями и токами, а напряжения

между линейными проводами и токи в них – линейными напряжениями и токами. На схеме (рис. 4, а) UфА, UфВ, UфС – ком-

плексы фазных напряжений генератора, UАВ, UВС, UСА – комплексы линейных напряжений. Абсолютные значения этих на-

пряжений являются их модулями, т.е.:

|UфА| = |UфВ| = |UфС| = Uф;

|UАВ| = |UВС| = |UСА| = Uл.

U фА &

U CA &

U AB

x &

U фA

U фС

z N 30°

B N

U фВ & &

U фВ

U фС

C B

C &

U BC

а) Рис. 4 б)

Связь между линейными и фазными напряжениями устанавливается на основании второго закона Кирхгофа:

UАВ = UА – UВ; UВС = UВ – UС; UСА = UС – UА.

На рис. 4, б приведена топографическая векторная диаграмма линейных и фазных напряжений генератора.

Из векторной диаграммы следует, что при соединении генератора звездой линейные напряжения равны по величине и

сдвинуты относительно друг друга на угол 2π/3.

На основании геометрических соображений легко показать, что между фазными и линейными напряжениями при со-

единении звездой существует следующее соотношение

U л = 3U ф .

Действительно из треугольника (рис. 4, б) следует

U АВ = 2U фВ cos 30o = 2U фВ = 3U фВ .

При соединении генератора треугольником конец первой фазы соединяется с началом второй фазы, конец второй – с

началом третьей, конец третьей – с началом первой (рис. 5, а).

Топографическая диаграмма напряжений приведена на рис. 5, а. На рис. 5, б показана векторная диаграмма напряже-

ний.

Общие точки соединенных обмоток генератора выводятся на зажимы, к которым присоединяются линейные провода

или нагрузка.

Нагрузка (потребитель) в трехфазной цепи также может быть соединена звездой или треугольником.

z A

Uаb

Uca Uca 60° Uаb

x 60° 60°

y B C B

Ubc Ubc

а) б)

Рис. 5

СИММЕТРИЧНЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ

Трехфазные цепи представляют собой разновидность цепей синусоидального тока, и поэтому расчет и исследование их

производятся теми же методами, что и для однофазных цепей. Расчет трехфазной цепи, так же, как и расчет всякой сложной

цепи, ведется обычно в комплексной форме. Ввиду того, что фазные ЭДС и напряжения генератора сдвинуты относительно

друг друга на 120°, для краткости математической записи применяется фазовый оператор – комплексная величина

o 1 3

a = e j120 = cos 120o + j sin 120o = − +j .

2 2

Умножение вектора на оператор a означает поворот вектора на 120° в положительном направлении (против хода часо-

вой стрелки), соответственно умножение вектора на а2 означает поворот вектора на 240° в положительном направлении или,

что то же самое, поворот вектора на 120° в отрицательном направлении

o o 1 3

a 2 = e j 240 = e − j120 = − −j .

2 2

Три вектора: 1, а и а2 – образуют симметричную трехфазную систему векторов. При этом: 1 + а + а2 = 0.

При помощи оператора а можно, например, записать напряжения фаз трехфазной системы как

UфА, UфВ = а2UфА; UфС = аUфА.

На практике применяются различные комбинации соединений, например, генератор и нагрузка соединяются звездой,

генератор может быть соединен звездой, а нагрузка – треугольником и т.д.

На рис. 6, а показано соединение нагрузки звездой. На схеме обозначены: IА, IВ, IС – линейные токи; UА, UВ, UС – фаз-

ные напряжения нагрузки; Z – сопротивления нагрузки.

В этой схеме комплексы фазных напряжений источника и комплексы фазных напряжений нагрузки соответствующих фаз

равны между собой, т.е.:

UфА = UА; UфВ = UВ; UфС = UС.

Векторная диаграмма напряжений и токов имеет вид, показанный на рис. 6, б. Ток в каждой фазе отстает от напряжения

той же фазы на угол

ϕ = arctg ,

где R и X – активное и реактивное сопротивления фаз.

Uа

Iа

Ib Uа

Z Ub

Iс

Iс N’ ϕ

Uc ϕ

Uc Ub

а)

б)

Рис. 6

Ток в каждой из фаз находят так же, как и в однофазной цепи. Например, в фазе А

IA = A .

Соответственно токи в фазах В и С выражаются через ток IA:

o o

I B = e − j120 I A ; I C = e j120 I A .

Таким образом, при симметричном режиме работы трехфазной цепи задача сводится к расчету одной из фаз аналогично

расчету однофазной цепи.

Линейное напряжение определяется как разности соответствующих фазных напряжений. Например:

U АВ = U А − U В = U A (1 − а 2 ) = 3U A∠30o.

При соединении нагрузки треугольником (рис. 7, а) сопротивления отдельных фаз находятся под линейными напряже-

ниями, поэтому фазные токи в них определяются по закону Ома:

U АВ U U

I АВ = ; I ВС = ВС = a 2 I АВ ; I СА = СА = аI АВ .

Z Z Z

Линейные токи определяются на основании первого закона Кирхгофа. Так, линейный ток фазы А равен

I A = I AB − I CA = I AB (1 − a) = I AB 3∠ − 30o ,