Проектирование активных фильтров на операционных усилителях

Проектирование  активных      фильтров на операционных  усилителях.

 

Задание.

Спроектировать высокочастотный фильтр удовлетворяющий следующим требованиям:

1. АЧХ может иметь пульсации в полосе пропускания и должна быть монотонна в полосе задерживания;
2. Максимальное затухание в полосе пропускания дБ;
3. Минимальное затухание в полосе задерживания дБ;
4. Частота среза Гц;
5. Ширина переходной областей Гц;
6. Коэффициент усиления ;

Введение.

Электрический фильтр представляет собой частотно-избирательное устройство, которое пропускает сигналы определенных частот и задерживает сигналы других частот. В качестве частотно-зависимых элементов широко используются RC-цепи. Их часто называют пассивными фильтрами.

Пассивные фильтры представляют собой устройства, которые создаются на базе пассивных схемных элементов. Эти фильтры пригодны для работы в определенных диапазонах частот, но не подходят для низких частот, например ниже 0,5 МГц. Это происходит из-за того, что в состав пассивных фильтров входят катушки индуктивности, которые при низких частотах должны быть больших габаритов, а также в этом случае их параметры могут существенно отличаться от идеальных, кроме того катушки индуктивности не приспособлены для интегрального исполнения. Решением этих проблем, а также проблемы согласования каскадов фильтра, является использование фильтров собранных на активных элементах - активных фильтров, в которых не используются катушки индуктивности. Одним из наиболее часто используемых активных элементов является операционный усилитель (ОУ). ОУ представляют интегральные микросхемы.   А использование интегральных микросхем приводит к резкому уменьшению массогабаритных параметров схемы.

 

Теоретическая часть.

Основные положения

В большинстве случаев электрический фильтр представляет собой частотно-избирательное устройство. Следовательно, он пропускает сигналы определенных частот и задерживает или ослабляет сигналы других частот. Наиболее общими типами фильтров являются фильтры нижних частот, фильтры верхних частот, полосно-пропускающие фильтры и полосно-задерживающие фильтры.

Характеристику фильтра можно описать, рассмотрев его передаточную функцию:

Для установившейся частоты и передаточную функцию можно представить в виде

где - модуль передаточной функции или амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), а - фазочастотная характеристика (ФЧХ).

Диапазоны или полосы частот, в которых сигналы проходят, называются полосами пропускания и в них значение АЧХ относительно велико и в идеальном случае постоянно. Диапазоны частот, в которых сигналы подавляются, образуют полосы задерживания и в них значение АЧХ относительно мало, а в идеальном случае равно нулю.

На практике невозможно реализовать фильтр с идеальной характеристикой, поскольку требуется сформировать очень узкую переходную область. В практическом случае полосы пропускания и задерживания четко не разграничены и должны быть формально определены. Исходя из этого, в качестве полосы пропускания выбирается диапазон частот, где значение АЧХ превышает некоторое заранее выбранное число (рис.1), а полосу задерживания образует диапазон частот, в котором АЧХ меньше определенного значения (рис.1). Интервал частот, в котором характеристика постоянно спадает, переходя от полосы пропускания к полосе задерживания, называется переходной областью. Значение АЧХ можно также выразить в децибелах (дБ) следующим образом: .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее рассмотрим подробнее передаточные функции. Передаточная функция реального фильтра представляет собой отношение полиномов, которое записывается в следующем виде:

,

где a и b - постоянные коэффициенты.

Степень полинома знаменателя n определяет порядок фильтра. Реальная АЧХ тем лучше, чем выше порядок фильтра, но с увеличением порядка фильтра сильно усложняется схема и возрастает цена фильтра.

Если все коэффициенты равны нулю, за исключением , то передаточная функция представляет собой отношение постоянного числа к полиному. В этом случае фильтр является полиномиальным.

После получения подходящей передаточной функции, разрабатывают схему фильтра, реализующую данную передаточную функцию. При этом делается выбор между пассивными и активными фильтрами.

Пассивные фильтры представляют собой устройства, которые создаются на базе пассивных схемных элементов. Эти фильтры пригодны для работы в определенных диапазонах частот, но не подходят для низких частот, например, ниже 0,5 МГц. Это происходит из-за того, что в состав пассивных фильтров входят катушки индуктивности, которые при низких частотах должны быть больших габаритов, а также в этом случае их параметры могут существенно отличаться от идеальных, кроме того катушки индуктивности не приспособлены для интегрального исполнения. Решением этих проблем, а также проблемы согласования каскадов фильтра, является использование фильтров собранных на активных элементах - активных фильтров, в которых не используются катушки индуктивности. Одним из наиболее часто используемых активных элементов является операционный усилитель (ОУ). ОУ представляют интегральные микросхемы.

При реализации активного фильтра нужно применять ОУ, которые отвечают предъявленным требованиям по коэффициентам усиления и частотным диапазонам. Например, коэффициент самого ОУ должен превосходить коэффициент усиления фильтра, по меньшей мере, в 50 раз. Также для обеспечения хорошей рабочей характеристики необходимо иметь представление о скорости нарастания выходного напряжения ОУ (вольт на микросекунду). Этот параметр определяет предельный размах выходного напряжения на заданной частоте, который может обеспечить ОУ.

Существует много способов построения фильтра с заданной передаточной функцией порядка n. Наиболее удобный и легко реализуемый способ заключается в том, что передаточная функция представляется в виде произведения сомножителей и создания схем или звеньев соответствующих каждому сомножителю. Эти звенья (каскады) соединяются между собой каскадно. Если при исполнении этих звеньев используются ОУ, которые в идеале имеют бесконечный коэффициент усиления, бесконечное входное и нулевое выходное сопротивление, то эти звенья не влияют друг на друга и не изменяют собственные передаточные функции. Таким образом, отпадает необходимость согласования звеньев между собой.

Для фильтров первого порядка передаточная функция представляется в виде:

,

где С - постоянное число, а P(s) - полином первой или нулевой степени.

Для фильтров второго порядка передаточная функция имеет следующий вид:

,

где В и С - постоянные числа, а P(s) - полином второй или меньшей степени.

Звенья более высоких порядков на практике используются крайне редко из-за сложности их реализации и гораздо меньшей устойчивости.

 

 

Низкочастотные фильтры.

Наиболее общим и простым типом фильтров является фильтр нижних частот ФНЧ. Рассмотрим ФНЧ более подробно.

ФНЧ представляет собой устройство, которое пропускает сигналы низких частот и задерживает сигналы высоких частот. В общем случае полоса пропускания определяется как интервал частот ( - частота среза), полоса задерживания как частоты , переходная область как диапазон частот (эти частоты показаны на рис.1). Коэффициент усиления ФНЧ представляет собой значение его АЧХ на частоте (на рис.1 он равен А). Существует много типов ФНЧ удовлетворяющих данному набору технических параметров, но нас будут интересовать два из них - фильтры Баттерворта и Чебышева.

Фильтры Баттерворта обладают монотонной характеристикой, подобной характеристике представленной на рис.1. Характеристика фильтра Чебышева содержит пульсации в полосе пропускания и монотонна в полосе задерживания (рис.2).

АЧХ оптимального ФНЧ удовлетворяет обозначенным на рис.1 условиям для данного порядка n и допустимого отклонения в полосах пропускания и задерживания при минимальной ширине переходной области. Таким образом, если заданы , то значение частоты будет минимальным.

Т.к. в предыдущем абзаце была затронута тема порядка фильтра, то следует подробнее изложить методику определения минимального порядка фильтра.

Как было сказано выше, чем выше порядок фильтра, тем лучше его АЧХ. Однако выбор необоснованно высокого порядка фильтра ведет к усложнению схемной реализации фильтра и вследствие этого к повышению стоимости. Таким образом, для разработчика представляет интерес выбор минимально необходимого порядка фильтра, удовлетворяющего заданным требованиям.

Для фильтра Баттерворта с дБ минимальный порядок можно определить по следующему соотношениям:

, 

где логарифмы могут быть как десятичными, так и натуральными.

Но чаще в этом соотношении делают следующую замену:

где параметр называется нормированной шириной переходной области и является безразмерной величиной. Следовательно, и можно задавать и в радианах, и в герцах. После замены выражение для определения минимального порядка ФНЧ Баттерворта принимает следующий вид:

Для фильтра Чебышева минимальный порядок можно определить по следующему соотношению:

В этом соотношение также часто используют замену

Фильтры Баттерворта.

Фильтры Баттерворта обладают монотонной АЧХ . в случае -го порядка  АЧХ фильтра определяется по формуле:  

  

Фильтр Баттерворта представляет собой полиномиальный фильтр и в общем случае обладает передаточной функцией вида: 

     где - постоянное число .

Для нормированного фильтра, у которого передаточную функцию для ФНЧ с порядком можно записать в виде произведения сомножителей:

  ,    

а для как 

.   

В обоих случаях коэффициенты задаются для следующим образом:   

Очевидно, что коэффициент усиления фильтра Баттерворта, описываемого уравнением , равен (значению передаточной функции при ). Если фильтр построен на основании каскадного соединения звеньев, соответствующих сомножителям и , то или будет представлять коэффициент усиления звена.  АЧХ фильтра Баттерворта наиболее плоская около частоты по сравнению с характеристикой любого полиномиального фильтра -го порядка и поэтому называется максимально плоской. Для диапазона низких частот АЧХ фильтра Баттерворта наилучшим образом аппроксимирует идеальную характеристику. Однако для частот, расположенных около точки среза и в полосе задерживания, характеристика фильтра Баттерворта заметно уступает характеристике фильтра Чебышева.

 

Фильтры Чебышева

Эти фильтры имеют меньшую переходную область АЧХ при заданных значениях максимальном затухании в полосе пропускания, максимальном затухании в полосе задерживания, чем фильтры Баттерворта, поэтому их называют оптимальными полиномиальными фильтрами. Их АЧХ определяется следующим образом:

 где  постоянные числа;

полином Чебышева первого рода степени   .

АЧХ фильтра Чебышева достигает своего максимального значения в тех точках, где равно нулю. Поскольку эти точки распределены в полосе пропускания, то характеристика фильтра Чебышева содержит пульсации в полосе пропускания и монотонна в других областях. Размах этих пульсаций определяет параметр , а их число – степень . Коэффициент усиления фильтра определяется значением . АЧХ фильтра Чебышева изображена на рис.2.

Передаточные функции фильтров Чебышева НЧ го порядка определяется аналогично рассмотренным выше функциям фильтра Баттерворта.

 

Типовые каскады для реализации ФНЧ Баттерворта и Чебышева.

 

Фильтр нижних частот 1-го порядка

Для ФНЧ Баттерворта и Чебышева нечётного порядка одно звено должно обладать передаточной функцией первого порядка вида первого сомножителя в выражении . Для обобщения частоты среза этот сомножитель 1-го порядка определяется следующим образом:

где коэффициент усиления звена;  коэффициент 1-го звена, определённый из приложения, при нечётных значениях порядка фильтра .

Схема, с помощью которой осуществляется реализация  функция при изображена на рис. 3 .

 

Значения емкости выбирается близким к значению мкф.

При этом значения сопротивлений определяется по формулам:

 

Ели , то (разрыв), а .

 

 

ФНЧ 2-го порядка с многопетлевой обратной связью (МОС).

Для ФНЧ 2-го порядка с заданной частотой среза типовая полиномиальная передаточная функция (ПФ) имеет вид:

 где и - нормированные коэффициенты, поскольку для данная передаточная функция при приводится к виду . Для фильтров Баттерворта и Чебышева значения нормированных коэффициентов и приведены в приложении. Постоянная определяет коэффициент усиления фильтра, который должен быть предварительно задан.

На рис. 4 изображена схема с МОС. Она имеет такое название потому, что она содержит два пути прохождения сигнала обратной связи через элементы и R2.

 

 

Номинальное значение емкости задается близким к величине . Значение емкости выбирается из условия: 

Номиналы резисторов считываются по формулам:

Чем выше порядок ФНЧ, тем более критичными являются требования приближения номинальных значений резисторов и конденсаторов к расчётным. Фильтр с МОС является наиболее простым и может широко применяться для реализации фильтров с инвертирующим коэффициентом усиления. Он имеет хорошую стабильность характеристик, низкое выходное сопротивление. Недостатком схемы является то, что ее целесообразно применять для значений коэффициента усиления и добротности , не превышающей 10. Если много меньше 10, то значение может быть большим при выполнении условия .

 

Фильтр нижних частот 2-го порядка на ИНУН.

Эта схема называется на ИНУН, поскольку ОУ и два подсоединенных к нему резистора и образуют источник напряжения, управляемый напряжением. Схема реализует функцию ФНЧ с неинвертирующим коэффициентом усиления и следующими параметрами.

 

 

Значения резисторов рассчитывается  по формулам:

Кэффициенты определяются аналогично схеме с МОС, которая описана выше. Если , то и также определяется , но в этом случае получаем (разомкнутая цепь), а . В большинстве случаев при значение принимают равным нулю (короткозамкнутая цепь). Если , то ИНУН работает как повторитель напряжения. Номинальное значение емкости выбирается близким к значению , мкФ, а значение емкости из выражения.

Фильтр на ИНУН позволяет добиться неинвертирующего коэффициента усиления при малом числе элементов, он прост в настройке. Однако подобно фильтру с МОС фильтр на ИНУН должен использоваться при значениях добротности .

 

Настройка ФНЧ 2-го порядка.

Для настройки ФНЧ 2-го порядка необходимо знать вид его АЧХ. На рис. 6. Изображена АЧХ ФНЧ 2-го порядка в зависимости от значений добротности. Если , то АЧХ фильтра имеет подъём (рис. 6.1.), а если , то подъём отсутствует (рис. 6.1.). В обоих случаях значение коэффициента усиления фильтра на частоте среза

 где значение коэффициента усиления на частоте , нормированные коэффициенты, приведённые в приложении.

Значения и при (рис. 6.1.) определяются из выражений.

 

 

Проектирование АФ верхних частот.

 

Фильтры высоких частот (ФВЧ) представляют собой устройства, пропускающие сигналы высоких частот и подавляющие сигналы низких частот. На рис.7 изображена идеальная и реальная АЧХ ФВЧ.

Для реальной характеристики обозначены полоса пропускания и полоса задерживания . Полоса частот между и называется переходной областью, а частота - частота среза.

 

Преобразование низких частот в верхние.

 

Используя логарифмическое представление, можно перейти от ФНЧ к ФВЧ, зеркально отобразив АЧХ относительно частоты среза. В этом случае следует для передаточной функции нормированного ФНЧ (имеющего рад/c) заменить переменную на . Следовательно, функция ФВЧ Баттерворта и Чебышева будут содержать следующие сомножители второго порядка:

,  (1)

где - частота среза; и - представляют собой приведенные в приложении нормированные коэффициенты для звеньев ФНЧ 2-ого порядка. При нечетном порядке фильтров присутствует также звено 1-ого порядка, обладающее передаточной функцией вида:

,   (2)

где - нормированный коэффициент ФНЧ  1-го порядка.

ФВЧ Баттерворта имеет монотонно возрастающую характеристику, а ФВЧ Чебышева характеризуется, как и ФНЧ, пульсациями в полосе пропускания.

Коэффициент передачи ФВЧ представляет собой значение его передаточной функции при бесконечном значении переменной . Следовательно, для звеньев 2-ого и 1-ого порядков коэффициент усиления также будет  равен . Добротность (для фильтров 2-го порядка).

Выбор минимального порядка ФВЧ осуществляется аналогично методике, приведенной для ФНЧ.

 

 

ФВЧ 1-ого порядка.

 

В случае нечетного порядка ФВЧ в нем должно содержаться звено 1-го порядка с передаточной функцией (2). Электрическая схема, реализующая эту функцию, изображена на рис. 8.

Значение емкости выбирается близким к значению мкФ значения сопротивлений определяются по формулам:

;          ;          .(3.а)

Нормированный коэффициент выбирается из соответствующей таблицы в справочнике для заданного вида и порядка фильтра.

Коэффициент передачи . Для получения сопротивление (закоротка), (разомкнутая цепь). В этом случае имеет место схема на повторителе напряжения.

 

ФВЧ 2-ого порядка.

 

ФВЧ с МОС.

Звенья ФВЧ Баттерворта и Чебышева 2-ого порядка, так же, как и прототипы в области нижних частот, могут быть реализованы по схеме с МОС. Фильтр с МОС, электрическая схема которого приведена на рис. 9, реализует функцию вида (1) с инвертирующим коэффициентом усиления при следующих соотношениях:

     (3.б)

 

Преобразование выражения (3) относительно элементов схемы, получим:

    (4)

Для получения наилучших параметров схемы значение емкости выбирается близким к .

Достоинства и недостатки этой схемы, а также удобство ее реализации так же, как и для ФНЧ прототипа.

 

ФВЧ на ИНУН.

Схема ФВЧ на ИНУН, реализующая аппроксимирующие функции для фильтров 2-ого порядка Баттерворта и Чебышева (1), изображены на рис. 10.

 

По аналогии с ФНЧ для этой схемы получаем выражение:

    (5)

Коэффициент усиления такой схемы - не инвертирующий, а значения элементов схемы определяются следующим образом:

 

    (6)

Значение емкости с целью оптимизации номиналов резисторов выбираются близкими к мкФ, а в общем случае - произвольно. В случае , , при этом значения и не меняются.

Изменяя сопротивления и в равном процентном отношении, можно изменять частоту среза , без воздействия на добротность.

Преимущества ФВЧ и ИНУН те же, что и его прототипа ФНЧ.

 

Расчет и настройка ФВЧ.

 

Расчет ФВЧ осуществляется по той же методике, что и ФНЧ - прототип.

АЧХ  звена 2-ого порядка для ФВЧ Баттерворта или Чебышева представлены на рис. 11 (а - при ; б - при ).

На рис. 11 б подъем и частота , на которой он расположен, определяются из следующих соотношений:

    (7)

           (8)

В обоих случаях значение АЧХ на частоте

Настройка ФВЧ осуществляется с помощью элементов схемы до тех пор, пока АЧХ не станет иметь сходство с характеристикой, изображенной на рис. 11, а или б.

 

 

 

                                                        Расчетная часть.

В задании сказано, что АЧХ фильтра может иметь пульсации в полосе пропускания и должна быть монотонна в полосе задерживания. Это значит, что в качестве коэффициента аппроксимирующего полинома следует использовать коэффициенты для фильтра Чебышева.

Выбор минимального порядка ФВЧ  произведем в соответствии с формулой:

, где

Подставляя эти значения имеем:

n=4,02386

Т.к. порядок фильтра - целое число, то n=4.

Разобьем фильтр на элементарные звенья в следующем порядке:

Номер каскада	Порядок звена,
1-й каскад	2
2-й каскад	2

По таблице найдем коэффициенты и для  дб:

Номер каскада
1-й каскад	0,279072	0,986505
2-й каскад	0,673739	0,279398

 

Передаточная функция 1-го и 2-го звеньев выглядит так   ;

Выведем общую формулу для передаточной функции 1-го и 2-го звеньев ФВЧ, исходя из следующего соотношения:

 

; где ;

;

Формулы для  аргумента и модуля передаточной функции звеньев второго порядка выглядят следующим образом:

  (1)

 

(2)

 

В общем случае:

 

получим логарифмические амплитудные характеристики звеньев по формуле (2):

 

Для всего фильтра получим:

 

Фазовые характеристики звеньев по формуле (1

 

 

 

Фазовая характеристика фильтра:

По полученным соотношениям построим амплитудную и фазовую характеристики фильтра:

По ЛАХ видно, что:

 

 

Расчет и построение графиков ведется в MATHCAD 8.0 Professional

 

 

В качестве схемы для реализации заданного фильтра выберем схему с МОС, так как она проста в реализации, имеет хорошую стабильность характеристик, низкое выходное сопротивление и является наиболее подходящей для ФВЧ.

Вычисление значений элементов

Первый каскад

 мкф 

                   

Второй каскад

 мкф 

                   

Мы нашли идеальные значения резисторов. Теперь найдем их номиналы.

 

Выбранные элементы представлены в таблице 1.

Таблица 1

Идеальные		Реальные элементы (Обозначения на схеме)
Обозначение		Обозначение	Номинал
Каскад 1
R11	1772	R1	1800
R12	280,6К	R2	280K
Каскад 2
R21	4753	R3	4800
R22	59,25КK	R4	59K

 

Получим реальные значения коэффициентов

для первого звена фильтра (на реальных элементах)используя формулу (3.б):

 

                 

 

Получим реальные значения коэффициентов

для второго звена фильтра (на реальных элементах)используя формулу (3.б):

 

              

 

Сравним реальные и идеальные коэффициенты.

 

Результаты сравнения представлены в таблице 2.

 

Таблица 2

	Каскад 1
Идеальные	0,279072	0,986505
Реальные	0,283478	1,000036
	Каскад 2
Идеальные	0,673739	0,279398
Реальные	0,680348	0,280963

 

По таблице 2 видно, что различия между идеальными и реальными коэффициентами наблюдаются в первом знаке после запятой.

Получим амплитудные и фазовые характеристики звеньев через пересчитанные коэффициенты В и С:

 

                

 

                 

 

 

        

 

Ниже приведены графики для ЛАХ и ФЧХ:

 

 

По ЛАХ видно, что:

 

 

 

Моделирование

 

Моделирование произведем с помощью пакета «Electronics Workbench  4.1» по следующей схеме: .

 

В результате моделирования были получены следующие данные:

 

 

Ниже представлены экспериментальные АЧХ и ФЧХ:

 

 

 

Заключение

 

Сравним полученные результаты:

 

	fcр, Гц	f1,Гц	TW1,Гц	a1
Идеальные	1800	1241	559	1
Расчетные	1795	1233	562	1
Опытные	1856	1232	624	1