Проектирование цифрового фильтра. 2

       Cибирский Государственный Университет

       телекоммуникаций  и информатики

Кафедра МЭС

Курсовая  работа

на тему:

«Проектирование цифрового фильтра» 
 
 
 
 
 

Выполнила: студентка

группы ЗМ-71

Киселева Ю. А.

Проверил:

Чухров А. С. 
 
 
 
 
 
 

Новосибирск 2010 

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………3

      1. Структурная схема цифрового фильтра………………………………………….4

      2. Расчет устойчивости фильтра........................................................................................5

      3. Расчет X(jkw1) и H(jkw1) с помощью БПФ…………………………………….7 
 

9

      Расчет  мощности собственных шумов синтезируемого фильтра …..…11

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………………………….13
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………………………….14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

     В последнее время методы цифровой обработки сигналов (ЦОС) в радиотехнике, системах связи, управления и контроля приобрели большую важность и в значительной мере заменяют классические аналоговые методы.

     Обработка дискретных сигналов осуществляется, как правило, в цифровой форме. Каждому  отсчету ставится в соответствие двоичное кодовое слово и, в результате, действия над отсчетами заменяются действиями над кодовыми словами. Таким образом, дискретная цепь становится цифровой цепью, то есть цифровым фильтром.

     Под цифровым фильтром понимают дискретную систему, которая описывается уравнением:

 

и реализованную  программным путем на цифровой ЭВМ  или аппаратным путем в виде специализированного  цифрового вычислительного устройства.

     Сигналы на входе x(nT) и выходе y(nT) являются цифровыми, представленными в виде двоичного кода, и цифровом фильтре в соответствии с заданными алгоритмами выполняются операции пересылки, сложения, умножения кодов.

     В курсовой работе приведены расчеты  фильтра во временной и частотной  областях при помощи быстрого дискретного преобразования Фурье (БПФ) и обратного быстрого преобразования Фурье (ОБПФ), а также расчет выходного сигнала.

     Алгоритм  функционирования фильтра реализуется  неточно из-за ошибок, возникающих  при квантовании и округлении результатов арифметических операций, поэтому необходим расчет мощности собственных шумов фильтра. 
 

 

1.Синтезировать структурную схему  цифрового фильтра. 

     Для построения структурной схемы фильтра  необходимо записать разностное уравнение, связывающее сигналы на входе  и выходе цепи и характеризующее заданную цепь во временной области:

,

     К разностному уравнению можно  перейти, зная передаточную характеристику фильтра H(Z), характеризующую цепь в частотной области. Передаточная характеристика фильтра в общем виде:

     Подставляем в общую формулу заданные коэффициенты и получаем передаточную характеристику проектируемого цифрового фильтра:

   

На основании  передаточной функции определяем выходной сигнал:

     Далее переходим к оригиналам и записываем разностное уравнение:

     По  разностному уравнению видим, что  значение выходной величины в любой  момент времени определяется не только значением входной величины, но и предыдущим значением выходной величины. Следовательно, проектируемый фильтр является рекурсивным.

     Наиболее  часто используют структурные схемы  рекурсивных фильтров прямой формы  и прямой канонической формы.

     Прямая  форма рекурсивного фильтра реализуется непосредственно по разностному уравнению. Эта схема содержит один сумматор, умножители, соответствующие заданным коэффициентам, и по три элемента задержки во- входной и выходной цепях. Структурная схема рекурсивного фильтра прямой канонической формы представляет больший интерес для реализации, так как содержит минимальное количество элементов задержки. 
 
 
 
 

     Структурная схема проектируемого фильтра, приведенная  на рис.1.1, содержит два сумматора, умножители и всего три элемента задержки (минимальное число).   

                     

                                                                      0,95  

                                                                                 

                                                                                                                         

                                               0,75                                                    -0,18 
 
 
 

                                              

                                              0,39                                                      0,3 
 
 

                                               0,48                                                   0,42    
 
 
 
 
 

Рис 1. Структурная схема  рекурсивного фильтра   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Определение  устойчивости цепи.

     При анализе работы любой цифровой структуры  важное место приобретает вопрос устойчивости. Если по каким-либо причинам цепь оказывается неустойчивой, то вместо желаемого фильтра получают генератор.

     Для того чтобы фильтр был устойчивым, полюсы его передаточной функции H(Z) должны располагаться внутри единичного круга плоскости Z.  

Для определения  устойчивости цепи, необходимо найти  полюса передаточной функции, то есть корни знаменателя.

Приравниваем  знаменатель к нулю и ищем корни полученного уравнения.

1+0,75Z-1+0,39Z-2+0,48Z-3=0 (*Z3) 

Z3 + 0.75Z2 + 0.39Z +0.48 = 0 

Z3+0.39Z=-0.75Z2-0.48 

Y1=Z3+0.39Z           Y2= -0.75Z2-0.48 

Z -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1
Y1 -1,39 -0,714 -0,32 -0,113 0 0,1131 0,32 0,7144 1,39
Y2 -1,23 -0,902 -0,668 -0,527 -0,48 -0,527 -0,668 -0,902 -1,23

 

Z1=-0,85

     Поделим полином на полином для того, чтобы  узнать полюсы и проверить цепь на устойчивость (рекурсивная или не рекурсивная)

  
 
 

    Z3 +0.75Z2 +0.39Z +0.48 Z +0.85  
    Z3 +0.85Z2     Z2 -0.12Z +0.305
      -0.1Z2 +0.39Z +0.48      
      -0.1Z2 +0.085Z        
        0.305Z +0.48      
        0.305Z +0.259      
        0 +0.22      

 

Z2-0,12Z+0,305=0

D=(-0,12)2 – 4*0,305=0,0144 – 1,22= - 1,2056

Расположение  полюсов на комплексной плоскости показано на рис.3.

                                                         Z2

                                                Z1

 

                                                           Z3 
 
 

Рис.3. Расположение полюсов  H(Z) на комплексной плоскости 

Так как все  три полюса передаточной функции  находятся внутри единичного круга Z-плоскости, фильтр является устойчивым (рекурсивным). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Расчет X(jkw1) и H(jkw1) с помощью БПФ.

     Быстрое преобразование Фурье (БПФ) устанавливает связь между отсчетами во временной и частотной областях. Формула БПФ для входного сигнала:

,

где  N – количество отсчетов во временной и частотной областях; 
  - весовая функция. 

Заданная последовательность:

X(nT)={-0,33; -0,99; -0,45; 0; -0,27; -0,19; 0,36;- 0,39 }. 

     Так как количество отсчетов N=8, БПФ производится в три этапа. Определяем для каждого из этапов значения весовых функций.

     Этап 1.  Количество взаимодействующих элементов – 2,  
 W0= = 1 .

     Этап 2.  Количество взаимодействующих элементов – 4,  
 W0= = 1 ;  W1= = = -j .

          Этап 3.  Количество взаимодействующих  элементов – 8,  
 W0= = 1 ;  W1= = = 0,7071 - j 0,7071 ; 
 W2= = = -j; W3= = = - 0,7071-j0,7071 

Рассчитываем  X(jkw1) в программе, которая называется BPF. И получаем: 

    X(jkw1) = {1,36;  -0,901+j0,199; -1,410+j0,79; 0,781+j0,379; 1,78; 0,781-j0,379; -1,410-j0,79; -0,901-j0,199.} 
     

     При расчете H(jkw1) исходной последовательностью является импульсная реакция h(nT), которая определяется по передаточной характеристике H(Z),путем деления числителя на знаменатель:  
 
 
 

 

 

Зная  импульсную характеристику, рассчитываем H(jkw), используя программу BPF, и получаем следующую последовательность: 
 

H(jkw)={0,48;0,361+j0,2514;1,46+j1,08;1,379+j0,0314;0,72;1,379-j0,0314;1,46-j1,08;0,361-j0,2514} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.Расчет  свертки во временной и частотной  областях входного воздействия  и заданной передаточной характеристики. 

Будем использовать круговую свертку. Формула круговой  свертки:

                                                                          Y(nT)=  

X(nT)={-0,33;  -0,99;  -0,45;    0;      -0,27;   -0,19;   0,36;   - 0,39 }.

h(nT)=  {0.95;  -0.53;   -0.27;  0.37;   0.08;    -0.07;  -0.16;    0.11} 

n=0=>Y(0T)=X(0T)*h(0T)=-0,33*0,95=-0,31

n=1=>Y(1T)=X(0T)*h(1T)+X(1T)*h(0T)=-0,76 

n=2=>Y(2T)=X(0T)*h(2T)+X(1T)*h(1T)+X(2T)*h(0T)=0,18 

n=3=>Y(3T)=X(0T)*h(3T)+X(1T)*h(2T)+X(2T)*h(1T)+X(3T)*h(0T)= 0,36 

n=4=>Y(4T)=X(0T)*h(4T)+X(1T)*h(3T)+X(2T)*h(2T)+X(3T)*h(1Y)+X(4T)*h(0T)=

=-0,53 

n=5=>Y(5T)=X(0T)*h(5T)+X(1T)*h(4T)+X(2T)*h(3T)+X(3T)*h(2T)+X(4T)*h(1T)+ +X(5T)*h(0T)= -0,26

n=6=>Y(6T)=X(0T)*h(6T)+X(1T)*h(5T)+X(2T)*h(4T)+X(3T)*h(3T)+X(4T)*h(2T)+ X(5T)*h(1T) +X(6T)*h(0T)=0,6 

n=7=>Y(7T)=X(0T)*h(7T)+X(1T)*h(6T)+X(2T)*h(5T)+X(3T)*h(4T)+X(4T)*h(3T)+ X(5T)*h(2T) +X(6T)*h(1T) +X(7T)*h(0T)= -0,47 
 

Теперь с помощью  ОБПФ рассчитаем выходное воздействие.

Формула ОБПФ для выходного сигнала:

,

где  N – количество отсчетов во временной и частотной областях; 
  - весовая функция.

При расчете  Y(nT) исходной последовательностью будет являться последовательность отсчетов входного сигнала в частотной области Y(jkw1).

Y(jkw1) определяем из выражения для передаточной функции:

  ,        
.

Последовательности  H(jkw1) и X(jkw1) были определены ранее: 

X(jkw1) = {1,36;  -0,901+j0,199; -1,410+j0,79; 0,781+j0,379; 1,78; 0,781-j0,379; -1,410-j0,79; -0,901-j0,199.}

H(jkw)={0,48;0,361+j0,2514;1,46+j1,08;1,379+j0,0314;0,72;1,379-j0,0314;1,46-j1,08;0,361-j0,2514} 

С помощью программы OBPF рассчитываем и получаем: 

Y(nT)=(0.01; -0.649; -0.79; 0.34; 0.7; 0,149; 0.7; -0.05) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

7. Расчет  мощности собственных шумов синтезируемого фильтра 

     В основе процессов преобразования аналогового  сигнала u(t) в цифровой сигнал x(t) лежит сравнение последовательности отсчетов мгновенных значений аналогового сигнала с некоторым набором эталонов, каждый из которых содержит определенное число уровней квантования.

     На  первом этапе преобразования формируется  последовательность отсчетов ni=u(ti). При равномерной дискретизации интервал дискретизации постоянен.

     На  втором этапе происходит квантование  отсчетов, то есть каждый отсчет представляется числом, соответствующим ближайшему уровню квантования. Число уровней квантования определяется разрядностью кодовых слов. Чем больше разрядность кодовых слов, тем больше число уровней квантования и тем точнее будет представлен отсчет. Расстояние между смежными уровнями квантования равно шагу квантования D. Шаг квантования и разрядность кодовых слов связаны соотношением:

D = 2-b ,

где b – разрядность кодовых слов.

     Значение  младшего разряда кодовых слов численно равно шагу квантования.

     Разность  между истинным числом и ближайшим уровнем квантования называется ошибкой квантования e(n).

     ïe(n)ï £ 0,5D - при округлении чисел,

     ïe(n)ï £ D - при усечении кодовых слов.

     На  выходе цифровой системы ошибки квантования  воспринимаются в виде шума, который  называется шумом квантования.

     Источниками шумов квантования являются АЦП  и умножители. На выходе умножителей  длину кодовых слов приходится ограничивать, так как разрядность результата перемножения кодовых слов возрастает и равна сумме разрядностей множимого и множителя.

Расчет уровня шума квантования осуществляется по шумовой модели, которая отличается от исходной цепи наличием источников шума квантования на выходе из АЦП и каждого из умножителей. Шумовая модель проектируемого фильтра приведена на рис.6.

     е0(n)  - источник шума от АЦП,

     е1(n) - е7(n) - источники шума от каждого из 7-ми умножителей.

     Уровень шума квантования можно оценить  по величине максимального шума (оценка шума по условию наихудшего случая) или по величине усредненной энергии шума (вероятностная оценка шума).

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис.7. Схема шумовой  модели фильтра 

     Оценка  шума по максимуму приводит к значительному  превышению расчетного уровня шума по отношению к реальному, поэтому  чаще применяется вероятностная оценка.

     Шум квантования имеет характер случайной последовательности типа «белый шум». Поэтому дисперсия шума на выходе цепи:

,

           где  hi(n) –  импульсная характеристика участка цепи от i-го источника шума до выхода цепи;

-  дисперсия шума на выходе i-го источника шума, которая определяется следующим образом:

                    - при округлении чисел,

      - при усечении кодовых слов.

     В данной работе я воспользовался усечением  кодовых слов. Следова-тельно, при усечении чисел:

.

     Дисперсия шума от всех источников на выходе цепи, при условии отсутствия корреляции между источниками шума, определяется суммой дисперсий шума от всех источников:

,

              где  L - количество умножителей,

-  дисперсия шума на выходе АЦП,

-  дисперсия шума на выходе каждого из умножителей,

h0(n) - импульсная характеристика ЦФ,

hi(n) - импульсная характеристика участка цепи от выхода источника шума до выхода цепи

     h0(nT) была определена в п.3:

 h0(nT)={0.95;-0.53;-0.27;0.37;0.08;-0.07;-0.16;0.11}

                                  h1(nT)=(1;-0,75;0,17;-0,32;0,53;-0,44;0,27;-0,28)

        h1(nt) – получили в результате деления единицы на знаменатель:

                                 

      В реальных условиях не исключены  кратковременные скачки помехи относительно расчетного значения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

     В результате выполнения курсовой работы был спроектирован цифровой нерекурсивный  фильтр третьего порядка.

     В ходе работы были рассчитаны характеристики фильтра во временной и частотной  областях при помощи быстрого дискретного преобразования Фурье (БПФ) и обратного быстрого преобразования Фурье (ОБПФ), мощность собственных шумов фильтра. 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы:

  1. Бизин А.Т. Введение в цифровую обработку сигналов: Учебное пособие. –                       Новосибирск: СибГУТИ, 1998.–52 с.: ил.
  2. Конспект лекций Букаемской О.А.

Проектирование цифрового фильтра. 2