Программа численного интегрирования

Министерство  образования Республики Беларусь

Белорусский национальный технический университет 
 

Кафедра «Горные машины» 
 
 
 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

По  дисциплине «Информатика» 
 

Программа численного интегрирования 
 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 
 
 
 
 
 
 
 

Руководитель:          Ринкевич В. П. 
 
 

Исполнитель:        Семенова М. В.

гр. 102528 
 
 
 

2010 

Содержание 

Введение…………………………………………………………………………4

1. Постановка задачи………………………………………………………………5
2. Математическая формулировка задачи………………………………………..7
3. Алгоритмизация задачи…………………………………………………………9
4. Идентификаторы программы…………………………………………………..12
5. Блок-схема алгоритма…………………………………………………………..13
6. Текст исходной программы………………………………………………………..
7. Результаты выполнения программы……………………………………………...
8. Анализ результатов………………………………………………………………...
9. Инструкция по работе с программой……………………………………………..

Заключение…………………………………………………………………………

Список использованных источников……………………………………………..

 

     Введение 

     В курсовой работе в соответствии с  заданием на проектирование решается задача разработки программы вычисления определенных интегралов численными методами. Численное интегрирование используется, когда аналитическое нахождение значений первообразной функции  сложно или вообще невозможно. 

     В данной пояснительной записке проводится описание последовательности шагов  по составлению программы на алгоритмическом  языке Turbo Pascal 7.0 и результаты применения этой программы для нахождения приближенного значения интеграла численным методом Симпсона и методом трапеций. Рассматриваются вопросы математической формулировки и алгоритмизации задачи, разработки блок-схемы алгоритма её решения, составления исходной Pascal-программы и реализации вычислений по составленной программе. 

     Выбор метода вычисления, обращение к справке  по программе и выход из программы  обеспечивается с помощью специального меню. Ввод исходных данных и вывод  результатов вычисления интеграла  выполняется в отдельном для  каждого метода вычислений окне. 

     В пояснительной записке приводится также анализ точности вычислений определенного  интеграла использованными методами.

 

1. Постановка  задачи

 

  Ставится  задача составить программу вычисления интеграла вида 

I=  (1) 

где a и b – нижний и верхний пределы интегрирования, f(x) – непрерывная интегральная функция на отрезке [a, b]. Такой определённый интеграл можно трактовать как площадь фигуры (рисунок 1), ограниченной ординатами a и b, осью абсцисс x и графиком подынтегральной функции f(x). 

Рисунок 1. К вычислению определенного интеграла 

  Обыкновенный  определённый интеграл, у которого известна его первообразная F(x), вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница 

I=F(b)-F(a)   (2) 

  Численное интегрирование применяется, если нахождение F(x) сложно или невозможно. Оно заключается в интерполяции f(x) на отрезке [a, b] подходящим полиномом, для которого известна первообразная F(x). Обычно отрезок [a, b] разбивается на N частей, к каждой применяется соответствующая простая формула. 

  Таким образом, программа должна обеспечивать возможность:

• быструю смену подынтегральной функции f(x) путем замены аналитического выражения ее правой части в подпрограмме – функции;
• выбором пользователем численного метода вычисления интеграла;
• ввода с клавиатуры значений пределов интегрирования a и b и количества интегралов разбиения n;
• вывода результатов вычисления на дисплей в удобном для восприятия виде с отображением названия выбранного численного метода, значений пределов интегрирования и принятого числа интегралов разбиения;
• программа после загрузки должна выводить на дисплей исходное окно-заставку, в которой отображаются общие сведения о статусе программы и ее авторах;
• после выполнения указанной в строке подсказки процедуры перехода должно выводиться вертикальное меню с пунктами: «Справка», «Метод Симпсона», «Метод трапеций» и «Выход»;
• при выборе в меню пункта «Справка» должна выводится краткая выводиться краткая справка о назначении программы и порядке работы с ней;
• после выбора в меню варианта численного метода должно открываться отдельное окно, в котором будут выводиться запросы программы о значениях пределов интегрирования, числе интегралов разбиения и в этом же окне после ввода исходных значений будет выводиться результат вычисления интеграла выбранным методом;
• при выборе пункта меню «Выход» программы должна завершать работу.

 

 

2. Математическая  формулировка задачи

 

  Метод Симпсона.

  Подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным полиномом второй степени P₂(x) – параболой, проходящей через узлы x₀, x₁, x₂ (рис 2), тогда 

(3) 

  где R – погрешность вычисления интеграла.

 

Рисунок 2. Метод Симпсона 

  Для записи полинома P₂(x) воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона для трех узлов 

P₂(x)=f₀+f₀₁(x-x₀)+f₀₁₂(x-x₀)(x-x₁),     (4) 

где 

,

- разделенные разности; h – расстояние между узлами.

      Введем  новую переменную z=x-x₀, тогда x=z+x₀ и полиномом (4) принимает вид 

P₂(z)=f₀+(f₀₁-f₀₁₂h)z+f₀₁₂z²    (5) 

      Теперь  вычислим интеграл от полинома (5) 

    (6) 

      Последнее соотношение называют квадратурной формулой Симпсона, или формулой парабол где

f₀=f(x)   (7)

 – значение подынтегральной функции при текущем значении x; 

  (8) 

  (9) 

      Метод трапеций.

  Подынтегральную функцию заменим на участке [x_i, x_i+h] полиномом первой степени P₁(x). Такая аппроксимация неоднозначна. Одним из возможных способов является проведение прямой через значения функции на границах интервала интегрирования (рис. 3). В этом случае приближенное значение интеграла определяется площадью трапеции 

.

 

Рисунок 3. Метод трапеций

 

3. Алгоритмизация  задачи

 

  В соответствии с постановленной в разделе 2 задачей целесообразно реализовать алгоритм, использующий обращение к соответствующим подпрограммам из головной программы.

  Алгоритм  работы головной программы следующий:

1. Скрыть курсор с использованием подпрограммы – процедуры скрытия курсора и вывести в специальном окне заставку программы, содержащую сведения о назначении программы, исполнителе и руководителе курсовой работы, а также подсказку для пользователя о последующих действиях, с использованием подпрограммы – процедуры заставки.
2. Запустить подпрограмму-процедуру вертикального меню при нажатии любой клавиши с использованием подпрограмм-процедур построения окна, вывода рамки окна и скрытия курсора.
3. Запустить подпрограмму-процедуру справки и вывести в специальном окне справочные сведения о работе с программой при выборе пункта меню «Справка» с использованием подпрограмм-процедур построения окна, вывода рамки окна и скрытия курсора, а также строки-подсказки о возврате в меню.
4. Запустить подпрограмму-процедуру вычисления интеграла методом Симпсона при выборе пункта меню «Метод Симпсона» с использованием подпрограмм-процедур построения окна, вывода рамки окна и выключения курсора, а также строки-подсказки о возврате в меню.
5. Запустить подпрограмму-процедуру вычисления интеграла методом трапеций при выборе пункта меню «Метод трапеций» с использованием подпрограмм-процедур построения окна, вывода рамки и включения курсора, а также строки-подсказки о возврате в меню.
6. Завершить работу программы при выборе пункта меню «Выход».

 

     Алгоритм  вычисления интеграла методом Симпсона в подпрограмме-процедуре включает следующие шаги:

1. Создать окно для ввода исходных данных и вывода результатов вычисления по методу Симпсона.
2. Восстановить отображение курсора нормального размера соответствующей подпрограммой-процедурой.
3. Ввести нижний a и верхний b пределы интегрирования как границы отрезка интегрирования и количество n интервалов его разбиения.
4. Вывести в окне запрос о правильности ввода a, b и n.
5. Выполнить анализ кода нажатой в ответ на запрос клавиши: при нажатии «Y» перейти к вычислениям, при нажатии любой клавиши перейти к пункту 3 алгоритма.
6. Вычислить значение шага по h формуле h=(b-a)/n.
7. Присвоить первоначальному значению интеграла s нуль и начальному значению аргумента x₀ значение a.
8. Организовать цикл по i от 1 до n.
9. Вычислить по формулам (7) – (9) значения f₀, f₁ и f_2.
10. Вычислить значение s=s+ f₀+4 f₁+ f₂.
11. Вычислить новое значение x=x+h.
12. Закончить цикл по i.
13. Вычислить конечное значение интеграла s=s*h/6.
14. Вывести результаты вычислений в том же окне.
15. Вывести в окне запрос о продолжении вычислений с новыми исходными данными.
16. Выполнить анализ кода нажатой в ответ на запрос клавиши: при нажатии «Y» перейти в окно с меню, при нажатии любой другой клавиши прейти в окно с заставкой программы.

 

  Алгоритм  вычисления интеграла методом трапеций в подпрограмме-процедуре включает:

1. Создать окно для ввода исходных данных и вывода результатов вычисления по методу трапеции.
2. Восстановить отображение курсора нормального размера соответствующей подпрограммой-процедурой.
3. Ввести нижний a и верхний b пределы интегрирования как границы отрезка интегрирования и количество n интервалов его разбиения.
4. Вывести в окне запрос о правильности ввода a, b и n.
5. Выполнить анализ кода нажатой в ответ на запрос клавиши: при нажатии «Y» перейти к вычислениям, при нажатии любой клавиши перейти к пункту 3 алгоритма.
6. Вычислить значение шага h по формуле h=(b-a)/n.
7. Присвоить первоначальному значению интеграла s нуль и начальному значению аргумента x₀ значение a.
8. Организовать цикл по i от 1 до n.
9. Вычислить значения f₀ и f₁
10. Вычислить значение s=s+ f₀+f₁.
11. Вычислить новое значение x=x+h.
12. Закончить цикл по i.
13. Вычислить конечное значение интеграла s=s*h/2.
14. Вывести результаты вычислений в том же окне.
15. Вывести в окне запрос о продолжении вычислений с новыми исходными данными.
16. Выполнить анализ кода нажатой в ответ на запрос клавиши: при нажатии «Y» перейти в окно с меню, при нажатии любой другой клавиши прейти в окно с заставкой программы.

 

 

4. Идентификаторы  программы

 

  Для указания соответствия обозначений переменных в формулах математической формулировки и их идентификаторов в программе сведем их в таблицу 1: 

 
 

 

5. Блок-схемы

Блок-схема  алгоритма головной программы.

 

Блок-схема  алгоритма подпрограммы-процедуры  Simpson.

 

Блок-схема  алгоритма подпрограммы-процедуры  Trapeciya.

 

Блок-схема  алгоритма подпрограммы-процедуры  Okno.

 

Блок-схема  алгоритма подпрограммы-процедуры  Ramka.

 

Блок-схема  алгоритма подпрограммы-процедуры  Spravka.

 

Блок-схема  алгоритма подпрограммы-процедуры  Emenu. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Блок-схема  алгоритма подпрограммы-процедуры  Exitfrom. 
 
 

 

6. Текст исходной программы

 

program Kursovoi_integeral;

Uses crt,dos;

Label 11,12,m1;

      Type

            mas=Array[1..4] of String[50];

            Const

            menu:mas=('Spravka',

                 'Metod Simpsona',

             'Metod trapecii',

             'Vixod'); 

var

i,s,pos: Integer;

c,kod,k10:Char;

pass: String;

ch: char; 

function f(x:real): real;

begin

f:=exp(sqr(x))

end;

{____________________} 

{-----------Cursorcursor init-----------}

Procedure CursorSize(Size: word);

var Regs: Registers;

Begin

With Regs do

Begin AH:=$01;

      CH:=Hi(size);

      Cl:=Lo(Size);

      intr($10,Regs);

      end;

end;

{-----------Cursor init------------------} 
 

{-----------Cursor OFF-------------------}

procedure HiddeCursor;

begin

CursorSize($2000);

end;

{-----------Cursor OFF-------------------} 
 

{-----------Cursor ON--------------------}

Procedure NormCursor;

begin

CursorSize($0607);

end;

{-----------Cursor ON--------------------} 

 

{-----------Create of Frame--------------}

procedure ramka(x1,y1,x2,y2: byte);

const

a=#201;

b=#205;

c=#187;

d=#186;

e=#188;

f=#200;

Begin

Textcolor(14);

Textbackground(0);

Clrscr;

gotoxy(x1,y1);

write(a);

for i:=x1+1 to x2-1 do write(b);

write(c);

for i:=y1+1 to y2-1 do

Begin

gotoxy(x1,i);

write(d);

gotoxy(x2,i);

write(d);

End;

Gotoxy(x1,y2);

write(f);

for i:=x1+1 to x2-1 do write(b);

write(e);

End; 
 

Procedure Okno(x1,y1,x2,y2,Fcolor,Tcolor:byte);

Begin

Clrscr;

TextMode(3);

HiddeCursor;

Ramka(x1,y1,x2,y2);

Window(x1+1,y1+1,x2-1,y2-1);

textbackground(Fcolor);

textcolor(Tcolor);

Clrscr;

Gotoxy(1,1);

End; 
 

Procedure Zastavka;

Begin

Okno(1,1,79,23,5,14);

gotoxy(3,1);

writeln(' ');

writeln('                 Ministerstvo obrazovaniya Respubliki Belarus');

writeln('                Belorusskii nacionalnji texnicheskii universitet');

gotoxy(1,6);

writeln('                       Programma vichisleniya integrala');

writeln;

writeln;

writeln;

writeln;

writeln('                              Kursovaya rabota');

writeln('                         po discipline informatika ');

gotoxy(1,15);

writeln('Ispolnitel                                                   Semenova M. V.');

writeln('                                                             gr. 102528');

writeln('Rukovoditel                                                  Rinkevich V. P.');

writeln;

writeln;

writeln('                                 Minsk 2010');

window(0, 0, 80, 25);

gotoxy(40,23);

Textcolor(13);

gotoxy(1,79);

writeln('Dlay prodolzheniya nazhmite lubyu klavishy...');

repeat until keypressed;

while keypressed do ch:=readkey;

clrscr;

End; 
 

Procedure Spravka;

var

ch: char;

Begin

Okno(1, 1, 79, 23, 5, 14);

Writeln('==================================>Spravka<==================================');

Writeln('     Dannaya programma pozvolyaet vichislyat integral');

Writeln('I=exp(sqrt(x))dx metodom Simpsona i metodom trapecii dlya zadannix');

Writeln('znachenii predelov integrirovaniya a - niznii i b - verxnii.');

Writeln('     Posle perexoda v menu vibirite klavishami upravleniya kursora');

writeln('neobxodimii punkt.');

Writeln('     Pri vibore metoda Simpsona ili metoda trapecii vvedite po zaprosy');

Writeln('programmi celochislennie znacheniya predelov integrirovaniya i chislo');

Writeln('intervalov integrirovaniya.');

Writeln('     Dlya integrala s drugoi podintegralnoi funkciei sleduet');

Writeln('zapisat ee v pravoi chaste virazeniya dlya vichisleniya znacheniya funkcii');

Writeln('v podprogramme-funkcii f v razdele obyavlenii golovnoi programmi.');

Window(2,2,79,24);

Textcolor(13);

gotoxy(5,20);

write('          Dlya vozvrata v menu nazhmite lubyu klavishy...');

ch:=readkey;

End; 
 

Procedure Emenu;

Begin

clrscr;

Okno(15,9,55,17,5,7);

For i:=1 to 4 do

begin

Gotoxy(15,i+1);

   if i=pos then Textbackground(8) else Textbackground(5);

   write(Menu[i]);

end;

End;

       procedure Exitfrom;

       Begin

       writeln;

       gotoxy(50,26);

Writeln('Dlya prodolzeniya vichisleniya nazmite - Y, dlya vixoda - N');

ch:=readkey;

if ch =#121 then Emenu else Zastavka;

End; 

Procedure Simpson;

label m1;

Var

i,n : byte;

a,b,h,h1,s,x : real;

ch: char;

Begin

Okno(1, 1, 79, 23, 5, 14);

NormCursor;

Writeln('==================>Vichislenie integrala metodom Simpsona<==================');

Writeln;

Writeln;

m1:

Writeln('          Vvedite predelu integrirovaniya a i b');

Write('               Niznii pridel a=');

read(a);

Write('               Verxnii pridel b=');

read(b);

Write('          Vvedite chislo intervalov integrirovaniya N=');

read(n);

Begin

writeln;

Writeln('          Znacheniya vvedeny pravilno(Y/N)?');

ch:= readkey;

If ch=#110 then

begin

writeln;

Writeln('          Dannie vvedeni neverno. Povtoryaem vvod');

writeln;

writeln;

goto m1;

end;

h:=(b-a)/n;

h1:=h/2;