Программа Mathcad и ее достоинства

ВВЕДЕНИЕ

 

О ПРОГРАММЕ MATHCAD.

Программа Mathcad и ее достоинства.

 

Mathcad - это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных

Mathcad - это популярная  система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования. Название системы происходит от двух слов - MATHematica (математика) и CAD (Computer Aided Design - системы автоматического проектирования, или САПР). Так что вполне правомерно считать Mathcad математическими САПР.

Сегодня различные  версии Mathcad являются математически  ориентированными универсальными системами. Помимо собственно вычислений, как численных, так и аналитических, они позволяют с блеском решать сложные оформительские задачи, которые с трудом даются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам. С помощью Mathcad можно, например, готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты не только с качественными текстами, но и с легко осуществляемым набором самых сложных математических формул, изысканным графическим представлением результатов вычислений и многочисленными «живыми» примерами. А применение библиотек и пакетов расширения обеспечивает профессиональную ориентацию Mathcad на любую область науки, техники и образования.

К важным достоинствам программы Mathcad относятся настройка  под любой мало известный тип  печатающих устройств, богатый набор  шрифтов, возможность использования всех инструментов Windows, прекрасная графика и современный многооконный интерфейс. В Mathcad включены эффективные средства оформления документов в цвете, возможность создания анимированных (движущихся) графиков и звукового сопровождения. Тут же текстовый, формульный и графический редакторы, объединенные с мощным вычислительным потенциалом. Предусмотрена и возможность объединения с другими математическими и графическими системами для решения особо сложных задач.

 

Состав системы Mathcad.

 

Как интегрированная система Mathcad 2000 содержит следующие основные компоненты:

1. Редактор документов - редактор с возможностью вставки  математических выражений, шаблонов  графиков и текстовых комментариев;

2. MathConnex - системный  интегратор, обеспечивающий интеграцию Mathcad с рядом иных программных продуктов;

3. Центр ресурсов - система управления ресурсами  системы;

4. Электронные  книги - электронные книги с  описанием типовых расчетов в  различных областях науки и  техники;

5. Справочная  система - система для получения справочных данных по тематическому и индексному каталогу, а также для поиска нужных данных по ключевому слову или фразе;

6.Быстрые шпаргалки  QuickSheets - короткие примеры с минимальными  комментариями, описывающие применение  всех встроенных операторов и функций системы;

7. Браузер Интернета  - собственное средство выхода  в Интернет.

Системы реализуют  типовые и весьма обширные возможности Windows 95/98/NT, включая доступность множества  шрифтов, работу со всеми типами принтеров, одновременное выполнение нескольких разнохарактерных задач и (в последних версиях) реализацию технологии обмена объектами OLE2. В режиме редактирования возможна одновременная работа с рядом документов и перенос объектов из одного окна в другое.

Предусмотрен также импорт любых графических изображений - от простых и специальных графиков функций до многокрасочных репродукций художественных произведений. Введены средства анимации рисунков и воспроизведения видеофайлов со звуковым стереофоническим сопровождением. Это наряду с улучшенной визуализацией сложных расчетов позволяет пользователю готовить электронные статьи и книги высокого качества. Начиная с версии Mathcad 8.0, было предусмотрено упрощенное построение двумерных графиков и вращение трехмерных графиков мышью. Теперь в версию Mathcad 2000 введено упрощенное построение и трехмерных графиков.

 

Достоинства Mathcad:

 

• удобный для описания аналитических моделей дружественный интерфейс, ориентированный на классическую форму языка математики. Программа, в отличие, например от MathLab’а, достаточно проста в освоении для того, чтобы ее применяли не только ученые, инженеры или студенты вуза, но и школьники старших классов. Как калькулятор в свое время упростил изучение арифметики в школе, так и Mathcad может позволить упростить освоение школьниками алгебры и геометрии, да и математического аппарата школьной физики;
• возможность не только численного, но и символьного решения многих задач. Последнее особенно впечатляет: программа аналитически определяет значения производных, сумм и интегралов, упрощает аналитические выражения и т.п.
• наличие интерактивного учебника и множества шаблонов для решения типовых задач математики, физики, техники, бизнеса и др.
• Возможность вставки документа Mathcad в другое приложение, например в VisSim, который будет обмениваться информацией с программой Mathcad, и использовать его вычислительно-аналитические ресурсы в процессе моделирования. Однако если сравнить VisSim со скакуном, то Mathcad в таком случае можно приравнять к плугу: вставка элемента программы Mathcad в VisSim существенно тормозит работу последнего. Во многих случаях моделирования это не критично, а совокупная вычислительная мощность упрощает работу исследователя и делает ее более эффективной.
• Наличие встроенного языка программирования. С одной стороны это вынужденная мера, поскольку разработчики не могут предвосхитить и обеспечить все потенциальные требования пользователей.

Необходимость освоения языка является недостатком  программы. С другой стороны, синтаксис  языка довольно простой, его использование может существенно расширить круг задач, решаемых исследователями, при этом вспомогательные инструменты, в частности построение графиков всегда у него под рукой.

 

МЕТОДЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ  И ИНТЕГРИРОВАНИЯ

 

1.1 Дифференцирование

 

С помощью Mathcad можно вычислять производные скалярных функций любого количества аргументов, от 0-го до 5-го порядка включительно. И функции, и аргументы могут быть как действительными, так и комплексными. Невозможно дифференцирование функций только вблизи точек их сингулярности.

Вычислительный  процессор Mathcad обеспечивает превосходную точность численного дифференцирования. Но больше всего пользователь оценит возможности символьного процессора, который позволяет с легкостью  осуществить рутинную работу вычисления производных громоздких функций, поскольку, в отличие от всех других операций, символьное дифференцирование выполняется успешно для подавляющего большинства аналитически заданных функций.

В Mathcad П для  ускорения и повышения точности численного дифференцирования функций, заданных аналитически, автоматически задействуется символьный процессор

 

1.1.1 Первая производная

 

Для того чтобы  продифференцировать функцию f (x) в  некоторой точке:

1. Определите  точку х, в которой будет  вычислена производная, например  х:=1.

2. Введите оператор дифференцирования нажатием кнопки Derivative (Производная) на панели Calculus (Вычисления) или введите с клавиатуры вопросительный знак <?>.

3. В появившихся  местозаполнителях (рис. 7.3) введите  функцию, зависящую от аргумента  х, т. е. f (x), и имя самого аргумента х.

4. Введите оператор <=> численного или <>> символьного вывода для получения ответа.

Рис. 1. Оператор дифференцирования

Пример дифференцирования  функции f(x)=cos(x)ln(x) приведен в листинге 1.

Листинг1. Численное Часть и символьное дифференцирование

Внимание!

He забывайте предварительно определять точку, в которой производится численное дифференцирование, как это сделано в первой строке листинга 1 Иначе будет выдано сообщение об ошибке, показанное на рис. 2, гласящее, что переменная или функция, входящая в выражение, ранее не определена. Между тем, символьное дифференцирование не требует обязательного явного задания точки дифференцирования. В этом случае вместо значения производной (числа или числового выражения) будет выдана аналитическая зависимость (см. верхнюю часть рис. 2).

Рис2. Ошибка в  применении оператора дифференцирования

 

Конечно, можно, как и при использовании других операторов, предварительно определить функцию в отдельном выражении, а затем посчитать ее производную (см. листинг 2); или применить оператор дифференцирования для определения собственных функций пользователя (см. листинг 3).

Листинг 2. Символьное и численное дифференцирование  функции пользователя

Листинг 3. Определение функции через оператор дифференцирования

В обоих листингах первой строкой определяется функция f (x)=1/x. Во второй строке листинга 2 с помощью символьного процессора находится аналитическое выражение ее производной, а в оставшейся части, подобно листингу 1, сначала численно, а затем аналитически определяются значения этой производной в точке х=0.1. В листинге 3 через производную от f (х) определяется еще одна пользовательская функция g(x) и затем находится ее конкретное значение в той же точке х=0.1.

Как Вы заметили, оператор дифференцирования, в основном, соответствует его общепринятому математическому обозначению. Однако в некоторых случаях при его вводе следует проявить осторожность. Рассмотрим один показательный пример, приведенный в листинге 4. Его первые две строки вычисляют производную sin(x) в точке х=0.5. Последняя строка демонстрирует неправильное применение оператора дифференцирования. Вместо вычисления производной sin(x) в той же точке, как этого можно было ожидать, получено нулевое значение. Это случилось потому, что аргумент функции sin(x) введен не в виде переменной х, а в виде числа. Поэтому Mathcad воспринимает последнюю строку как вычисление сначала значения синуса в точке х=0.5, а затем дифференцирование этого значения (т. е. константы) также в точке х=0.5, в соответствии с требованием первой строки листинга. Поэтому ответ, на самом деле, неудивителен — в какой точке ни дифференцируй константу, результатом будет ноль.

Листинг 4. Пример правильного и неправильного применения дифференцирования

Для численного дифференцирования Mathcad применяет довольно сложный алгоритм, вычисляющий производную с колоссальной точностью до 7—8-го знака после запятой. Этот алгоритм (метод Риддера) описан во встроенной справочной системе Mathcad, доступной через меню Help (Справка). Погрешность дифференцирования не зависит от констант TOL ИЛИ CTOL, В противоположность большинству остальных численных методов, а определяется непосредственно алгоритмом. Исключение составляют функции, которые дифференцируются в окрестности сингулярной точки; например для рассмотренной нами функции f (x)=1/x это будут точки вблизи х=0. При попытке найти ее производную при х=0 будет выдано сообщение об одной из ошибок деления на ноль "Can't divide by zero" (Деление на ноль невозможно) или "Found a singularity while evaluating this expression. You may be dividing by zero" (Найдена сингулярность при вычислении этого выражения. Возможно, Вы делите на ноль). Если попробовать численно определить производную очень близко к нулю, например, при х=10 то может появиться сообщение об ошибке "Can't converge to a solution" (Невозможно найти решение). Встретившись с одной из упомянутых ошибок, присмотритесь повнимательнее к дифференцируемой функции и убедитесь, что Вы не имеете дело с точкой сингулярности.

 

1.2 Интегрирование

 

   Интегрирование  как и дифференцирование - самые простые, с вычислительной точки зрения, операции, реализованные в MathCAD в виде операторов. Тем не менее, если расчеты выполняются с помощью вычислительного процессора, необходимо хорошо представлять себе особенности численных алгоритмов, действие которых остается для пользователя «за кадром».

  Интегрирование, как и множество других математических действий, устроено в MathCAD по принципу "как пишется, так и вводится". Чтобы вычислить определенный интеграл, следует напечатать его обычную математическую форму в документе. Делается это с помощью панели Calculus (Вычисления) нажатием кнопки со значком интеграла или вводом с клавиатуры сочетания клавиш +<7> (или символа "&", что то же самое). Появится символ интеграла с несколькими местозаполнителями , в которые нужно ввести нижний и верхний интервалы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования.

Можно вычислять интегралы с одним или обоими бесконечными пределами. Для этого на месте соответствующего предела введите символ бесконечности, воспользовавшись, например, той же самой панелью Calculus (Вычисления). Чтобы ввести -°° (минус бесконечность), добавьте знак минус к символу бесконечности, как к обычному числу.

Чтобы получить результат интегрирования, следует  ввести знак равенства или символьного  равенства. В первом случае интегрирование будет проведено численным методом, во втором - в случае успеха, будет найдено точное значение интеграла с помощью символьного процессора MathCAD.

Рис. 4.1. Оператор интегрирования

 

1.2.1 Об алгоритмах интегрирования

 

Результат численного интегрирования - это не точное, а  приближенное значение интеграла, определенное с погрешностью, которая зависит от встроенной константы TOL. Чем она меньше, тем с лучшей точностью будет найден интеграл, но и тем больше времени будет затрачено на расчеты. По умолчанию TOL=0.001. Для того чтобы ускорить вычисления, можно установить меньшее значение TOL.

Кроме нее, пользователь имеет возможность выбирать сам  алгоритм численного интегрирования. Для этого:

1. Щелкните правой  кнопкой мыши в любом месте  на левой части вычисляемого  интеграла.

2. В появившемся  контекстном меню выберите один  из четырех численных алгоритмов.

Обратите внимание, что перед тем как один из алгоритмов выбран впервые флажок проверки в  контекстном меню установлен возле  пункта AutoSelect (Автоматический выбор). Это  означает, что алгоритм определяется MathCAD, исходя из анализа пределов интегрирования и особенностей подынтегральной функции. Как только один из алгоритмов выбран, этот флажок сбрасывается, а избранный алгоритм отмечается точкой.

Разработчиками MathCAD запрограммированы четыре численных  метода интегрирования:

- Romberg (Ромберга) - для большинства функций, не содержащих особенностей;

- Adaptive (Адаптивный) - для функций, быстро меняющихся  на интервале интегрирования;

- Infinite Limit (Бесконечный  предел) - для интегралов с бесконечными  пределами ();

- Singular Endpoint - для интегралов с сингулярностью на конце. Модифицированный алгоритм Ромберга для функций, не определенных на одном или обоих концах интервала интегрирования.

Если подынтегральная  функция "хорошая", т.е. не меняется на интервале интегрирования слишком быстро и не обращается на нем в бесконечность, то численное решение интеграла не принесет никаких неприятных сюрпризов.

Для вычисления двукратных интегралов необходимо:

1.  Введите,  как обычно, оператор интегрирования.

2.  В соответствующих  местозаполнителях введите имя первой переменной интегрирования и пределы интегрирования по этой переменной.

3.  На месте  ввода подынтегральной функции  введите еще один оператор  интегрирования.

4.  Точно так  же введите вторую переменную, пределы интегрирования и подынтегральную функцию (если интеграл двукратный) или следующий оператор интегрирования (если более чем двукратный) и т. д., пока выражение с многократным интегралом не будет введено окончательно. Обратите внимание, что символьный процессор "угадывает" точное значение интеграла, а вычислительный определяет его приближенно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. ПРИМЕР РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ПРОГРАММЕ Mathcad.

 

1. Дифференцирование

 

 

2.1.1 Аналитическое дифференцирование функции

 

Пример аналитического дифференцирования

визуализация  операции дифференцирования с помощью графика

 

Вычисление  производной функции в точке

 

2.1.2 Аналитическое дифференцирование в точке

 

 

Правильное  использование оператора дифференцирования.

Определение функции  посредством оператора дифференцирования

 

2.1.3 Дифференцирование в точке

 

Численное дифференцирование  функцию в точке 

 

2.1.4 Производные высших порядков

 

Пример вычисления второй производной функции в  заданной точке.

     

Пример аналитического поиска второй производной функции

Численное и  символьное вычисление шестой производной

Аналитически  вычисляется шестая производная  функции, а попытка численного вывода результата того же выражения приводит к ошибке.

Попытка численного поиска шестой производной функции  в точке дает неправильный результат

 

2.1.5 Частные производные

 

Аналитическое вычисление частных производных

Символьное  и численное вычисления частных  производных в точке

                                                  

                  

Вычисление второй частной производной

         

 

 

2. Интегрирование

 

2.2.1 Определенный интеграл

 

Численное и  символьное вычисление определенного  интеграла

 

Вычисление  интеграла с бесконечными пределами.

 

Интегрирование  функции двух переменных по разным переменным

  

 

 

2.2.2 Неопределенный интеграл

 

Символьное  интегрирование

Аналитическое вычисление неопределенного интеграла

 

Аналитическое интегрирование невозможно

Вычисление  расходящегося интеграла

Данный  пример демонстрирует невозможность численного расчета интеграла.

Плохо выбранный  численный алгоритм (в данном случае, адаптивный) неверно находит расходящийся интеграл

 

Интеграл с  переменным пределом

Аналитическое вычисление интеграла с переменным верхним пределом

 

 

2.2.3 Кратные интегралы

 

Символьное  и численное вычисление кратного интеграла

 

Символьное  вычисление кратных интегралов:

пределы интегрирования [а,b] относятся к переменной у

пределы интегрирования [а,b] относятся к переменной х.

Пример: длина  дуги кривой

Расчет длины дуги кривой

график функции  определяет дугу некоторой длины

 

 

 

 

 

 

Выводы:

 

Основные проблемы при использовании программы MathCad заключаются в следующем:

а) программа  даёт ответ не в виде привычных  элементарных функций, а виде специальных функций, известных далеко не всем;

б) в некоторых  случаях "отказывается" давать ответ, хотя решение у задачи имеется;

в) иногда невозможно воспользоваться полученным результатом  из-за его громоздкости;

г) решает задачу не полностью и не делает анализа.

Для того чтобы решить эти проблемы, необходимо использовать сильные и слабые стороны программы.

С её помощью  легко и просто вычислять интегралы  от дробно-рациональных функций. Поэтому  рекомендуется использовать метод  замены переменной, т.е. предварительно подготовить интеграл для решения. Также следует иметь в виду, что полученные результаты необходимо исследовать на совпадение областей определения исходной функции и полученного результата. Кроме этого, некоторые полученные решения требуют дополнительного исследования.

Программа MathCad освобождает от рутинной работы, но не может освободить его от дополнительного  анализа как при постановке задачи, так и при получении каких-либо результатов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В связи с  повсеместным распространением компьютеров и появлением систем компьютерной математики, в частности Mathcad, можно и нужно существенно изменить характер и уровень преподавания школьных курсов физики и математики. Целесообразность широкого применения Mathcadа можно мотивировать следующим образом:

Mathcad делает  изучение физики более легким, поскольку избавляет учащегося  от массы рутинной вычислительной  работы.

Mathcad делает  изучение физики более интересным, поскольку позволяет рассмотреть  множество интересных и ранее  недоступных вопросов на очень высоком и часто профессиональном уровне.

Mathcad интуитивно  понятен, легко осваивается на  практике и не требует для  изучения и применения чтения  толстых книг, ведения конспектов  и заучивания сложных правил.

Mathcad соответствует  психологии школьника в том смысле, что решение интересующей проблемы можно получить в течение короткого периода времени, а не тренировать у компьютера усидчивость.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение

1. Дифференцирование и интегрирование
1. Дифференцирование
1. Первая производная
2. Интегрирование

     1.2.1 Об алгоритмах интегрирования

2. Примеры решения задач в программе Mathcad

2.1 Дифференцирование

2.1.1 Аналитическое  дифференцирование функции

2.1.2 Аналитическое  дифференцирование в точке

2.1.3 Дифференцирование  в точке

2.1.4 Производные  высших порядков

2.1.5 Частные  производные

2.2 Интегрирование

2.2.1 Определенный  интеграл

2.2.2 Неопределенный  интеграл

2.2.3 Кратные  интегралы

Заключение

Список используемых источников

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Костанайский  Государственный Педагогический Институт

Естественно –  математический факультет

Кафедра физики и общетехнический дисциплин

 

 

 

 

 

 

 

Отт Александра Андреевна

 

 

 

 

МЕТОДЫ  ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ В СРЕДЕ Mathcad

 

 

Курсовая работа

 

 

 

 

 

Научный руководитель: Ченец В. Н.

 

 

 

 

Костанай, 2011г.

Список используемых источников

1. Д. Кирьянов -  «Самоучитель Mathcad 11»
2. Х. Гулд, Я. Тобочник – «Компьютерное моделирование в физике», часть 1
3. Д. Кирьянов – «Самоучитель Mathcad 13»
4. Х. Гулд, Я. Тобочник – «Компьютерное моделирование в физике», часть 2
5. Е. Макаров – «Расчеты в Mathcad»