Прогрессии

                                                     Содержание.

1. Введение __________________________________________________3
2. Глава 1. Прогрессии.

      §1 Последовательность_________________________________________4

           §2 Арифметическая прогрессия_________________________________6

           §3 Геометрическая прогрессия__________________________________9

           §4 Понятия гармонической прапорции и гармонической прогрессии__17

3. Глава 2. Задачи.____________________________________________19
4. Заключение _______________________________________________25
5. Литература ________________________________________________26 
   

Введение.

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором  Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно  продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее  время термин «прогрессия» в первоначально  широком смысле не употребляется. Два  важных частных вида прогрессий –  арифметическая и геометрическая –  сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением  которых занимались древние греки. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас  из древности, были связаны с запросами  хозяйственной жизни: распределение  продуктов, деление наследства и  др.. Некоторые формулы, относящиеся  к прогрессиям, были известны китайским  и индийским ученым. Ариабхатта(v в.) применял формулы общего числа, суммы  арифметической прогрессии....

Геометрическая прогрессия играет большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и в дальнейшем обучении в высших учебных заведениях. Важность этого  на первый взгляд небольшого раздела  школьного курса заключается  в его чрезвычайно широких  областях применения, в частности  он часто применяется в теории рядов, рассматриваемой на II-III курсах университета. Поэтому крайне важно дать полное описание этого курса, дабы читатель мог повторить уже известный ему из школьного курса материал, или даже почерпнуть много нового и интересного.

В своей работе я  рассматриваю определения арифметической, геометрической и бесконечно убывающей  геометрической прогрессий, а так  же свойства членов прогрессий, сумму  n-членов арифметической и геометрической прогрессий. Ввожу понятия гармонической пропорции и гармонической прогрессии. Так же в этой работе целая глава посвещана задачам по данной теме.

Цель курсовой работы упрощение решения практических задач и применение свойств арифметической и геометрической прогрессии при  решении задач.

Глава 1.Прогрессии.

§1 Последовательность

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТь-совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде , ,..., ,... или коротко {}.

ЧИСЛОВАЯ  ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f(x), где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y₁, y₂,…, y_n,…. Значения y₁, y₂, y₃,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для  функции y = n² можно записать:

y₁ = 1² = 1;

y₂ = 2² = 4;

y₃ = 3² = 9;…y_n = n²;…

Способы задания последовательностей.

Последовательности  можно задавать различными способами, среди которых особенно важны  три: аналитический, описательный и  рекуррентный.

1. Последовательность  задана аналитически, если задана  формула ее n-го члена:

y_n = f(n).

Пример. y_n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены  последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность  состоит из всех простых чисел  в порядке возрастания». Таким  образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания  последовательности в данном примере  трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й  элемент последовательности.

3. Рекуррентный  способ задания последовательности  состоит в том, что указывается  правило, позволяющее вычислить  n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y₁ = 3; y_n = y_n–1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y₁ = 3; y₂ = 3 + 4 = 7; y₃ = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что  полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y_n = 4n – 1.

Пример 2. y₁ = 1; y₂ = 1; y_n = y_n–2 + y_n–1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y₁ = 1; y₂ = 1; y₃ = 1 + 1 = 2; y₄ = 1 + 2 = 3; y₅ = 2 + 3 = 5; y₆ = 3 + 5 = 8;

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку  она обладает рядом интересных свойств  и приложений. Ее называют последовательностью  Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень  легко, а аналитически – очень  трудно. n-е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .

На первый взгляд, формула для n-го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n.

Свойства  числовых последовательностей.

 Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {y_n} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y₁ < y₂ < y₃ < … < y_n < y_n+1 < ….

Определение. Последовательность {y_n} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y₁ > y₂ > y₃ > … > y_n > y_n+1 > … .

Возрастающие  и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y₁ = 1; y_n = n^{2</SUP– последовательность.}

^{Пример 2. y}₁ ^{= 1; – убывающая последовательность.}  
 
 
 

§2  Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией  называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная  со второго, равен предыдущему  члену, сложенному с одним и тем же числом  d,которое называется разностью прогрессии.

Для всех элементов  прогрессии, начиная со второго выполнимо  равенство:

Если d > 0, то прогрессия является возрастающей. Если d < 0, то прогрессия является убывающей.

Арифметическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются  только ее первые несколько членов. 

= + d = (+ d) + d = + 2d,

= + d = (+ 2d) + d = + 3d,

  = + d(n-1)  

= + d(n-1) - формула n-го члена арифметической прогрессии.(n≥1)

Пример

• 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30 — арифметическая прогрессия из десяти членов с шагом 3.

Свойства

      1.

2.Если  шаг d > 0, прогрессия является возрастающей; если d < 0, — убывающей.

3.Любой  член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии: 
     .

• Обратное также верно, то есть это свойство является признаком арифметической прогрессии.
• Доказательство:

Обратное  аналогично

4.Сумма  n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами

• Доказательство:
• Через сумму:

• По индукции:

5.Сумма  n последовательных членов арифметической  прогрессии начиная с члена  k:

6.Пример  суммы арифметической прогрессии  является сумма ряда натуральных  чисел до n включительно:

Задача 1.При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член и разность прогрессии.

Решение:   …,- арифметическая прогрессия

: остаток 5) 
 

Используя формулу n-го члена прогрессии получаем систему уравнений: 
 

      Откуда  4(2d-5)=3d,то 5d=20,то d=4

                       =3

Ответ:      d=4

Задача 2. Известно, что  при любом n сумма Sn членов некоторой арифметической прогрессии выражается формулой Sn=4n²-3n. Найти три первых члена этой прогрессии.

Решение:

Пусть    n=1 .

Пусть    n=2 .  

 Так как     ,то 

Ответ: ,, 

Задача 3. Найти сумму 

Решение: перепишем  сумму в виде: 
 

Ответ:

Задача 4. Найти сумму =++ +…+

Решение: заметим,что =-

Тогда перепишем  сумму в виде разности:

=(1 -)+( - )+( - )+…+( - )+( - )=1 - =

Ответ: =.

§3 Геометрическая прогрессия

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , и обычно предполагают, что

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

Если b₁ > 0 и q > 1, прогрессия является возрастающей последовательностью, если 0 < q < 1, — убывающей последовательностью, а при q < 0 — знакопеременной

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

=

т.е. каждый член равен среднему геометрическому его соседей.

Пример

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со  знаменателем 2 из тринадцати членов.

Свойства

1)=*

Доказательство:

0; q0

=*q

=*q=*

=*q=*

=*

2)Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию

Доказательство

Пусть w_n — последовательность :

Полученное  соотношение является характеристическим для арифметической прогрессии.

3)

Доказательство

4)Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

,

Доказательство

5)Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:

Доказательство

6)Сумма n первых членов геометрической прогрессии:

, при 

, при 

Доказательство

1)Через сумму:

2)по n:

7)Если , то при , и

при . 

Задача 1

Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ...

Решение.

Здесь a1 = 3 и q = 2. Для n = 8 получаем

=*=3*=3*=756

Задача 2

Найти сумму ряда 1-0,37+-+…

Решение.

Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией  со знаменателем q = − 0,37. Следовательно, прогрессия сходится и ее сумма равна

S===

Задача 3

Найти сумму ряда

=1-+ - + - +

Решение.

Здесь мы имеем дело с конечной геометрической прогрессией, знаменатель которой равен q= -

Поскольку сумма  геометрической прогрессии выражается формулой 

то получаем следующий  результат 

Задача4

Выразить бесконечную  периодическую дробь 0,131313... рациональным числом.  

Решение.

Запишем периодическую  дробь в следующем виде: 

     Используя формулу суммы бесконечно убывающей  геометрической прогрессии знаменателем , получаем 

Задача 5.

Показать, что

при условии x > 1.  

Решение.

Очевидно, что если x >1,то Тогда левая часть в заданном выражении представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Используя формулу , левую часть можно записать в виде

что доказывает исходное соотношение.

Задача 6.

Решить уравнение

Решение.

Запишем левую часть  уравнения в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Тогда уравнение  принимает вид 

Находим корни квадратного  уравнения:

Поскольку |x| < 1, то решением будет . 

Задача 7.

Известно, что второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равен 21, а сумма  равна 112. Найти первый член и знаменатель  прогрессии.  

Решение.

Используем формулу  бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Так как второй член прогрессии равен  , то получаем следующую систему уравнений для определения

Решая систему, получаем квадратное уравнение:

Это уравнение имеет  два корня:

Для каждого знаменателя q найдем соответствующие первые члены:

Таким образом, задача имеет два решения:

БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩАЯ  ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

При |q| < 1,

  поэтому в этом случае геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число ,     

где Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии. 

Сумма бесконечно убывающей  геометрической прогрессии (|q| < 1) равна 

Для доказательства достаточно заметить, что 

 В предпоследнем  переходе использовались свойства пределов последовательностей. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§4 Понятие гармонической прапорции и гармонической прогрессии.

Последовательность  чисел а1, а2, а3, а4 …называется гармонической  прогрессией, если последовательность чисел, обратных данным 1/а1, 1/а2,1/а3, …  образует арифметическую прогрессию. Любой член такой последовательности называется средним гармоническим  двух соседних членов, поэтому, для  того, чтобы найти среднее гармоническое  двух заданных чисел а и b, сначала  находим среднее арифметическое обратных им чисел, а затем число, обратное этому среднему. Таким образом, среднее гармоническое равно: 2ab/(a+b).

В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = c : d.

Отрезок прямой АВ можно  разделить точкой C на две части  следующими способами:

на две равные частиАВ : АC = АВ : ВC;

на две неравные части в любом отношении (такие  части пропорции не образуют);

таким образом, когда  АВ : АC = АC : ВC.

Последнее и есть золотое деление или деление  отрезка в крайнем и среднем  отношении.

Золотое сечение - это  такое пропорциональное деление  отрезка на неравные части, при котором  весь отрезок так относится к  большей части, как сама большая  часть относится к меньшей; или  другими словами, меньший отрезок  так относится к большему, как  больший ко всему

a : b = b : c или с : b = b : а. 

  Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью 0,618..., если c принять за единицу, a = 0,382. Числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.

Прямоугольник с  таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Он также  обладает интересными свойствами. Если от него отрезать квадрат, то останется  вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. А если провести диагональ первого  и второго прямоугольника, то точка  их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам.

Разумеется есть и золотой треугольник. Это равнобедренный треугольник, у которого отношение  длины боковой стороны к длине  основания равняется 1.618.

Есть и золотой  кубоид- это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

В звездчатом пятиугольнике  каждая из пяти линий, составляющих эту  фигуру, делит другую в отношении  золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 2. Нестандартные задачи.

1) В  сосуде  находится  10  литров  чистого   спирта(алкоголь  100%  концентрации). Из  сосуда  извлекли  литр  спирта  и  добавили  литр  воды, перемешали,  снова  извлекли  литр  жидкости  и  добавили  литр  воды  и  так  далее. a).Каково  содержание  спирта  в  сосуде  после  15  таких   действий?      b).Через   какое  количество  таких   процедур  содержание  алкоголя  станет  впервые  меньше  10%?

Решение. a).После  первой  процедуры  извлечения  и  добавления  одного  литра  в  сосуде  останется  9  литров  чистого  спирта  и  1  литр  воды, поэтому  содержание  алкоголя  будет  0.9. В  литре  жидкости, извлеченной  во  второй  раз,  было  уже  0.9  литра  спирта  и  0.1  литр  воды. Значит  в  сосуде  осталось  8.1  литра  чистого  спирта   (9 - 0.9)  и  0.9  литра  воды (1 - 0.1). После  добавления  в  сосуд  второго  литра  воды количество  спирта  в  нем  не  изменится, т.е  будет  8.1  литра  алкоголя  и  1.9  литра  воды (1 + 0.9). Всего  в  сосуде  10  литров  жидкости, поэтому  после  двух  таких  операций  содержание  в  нем  алкоголя  0.81, а  содержаниее  воды  0.19. Отсюда  следует, что  каждая  операция  извлечения  и  долива  одного  литра  уменьшает  содержаниее  алкоголя  в  0.9  раза. На  самом  деле  здесь  получается  геометрическая  прогрессия  с  a1 = 0.9  и  q = 0.9.   Поэтому  после  15  описанных  операций   содержание  спирта  будет  0.9×0.914 = ... = 20.6%.

2)Из  сосуда, в   котором 100  литров  алкоголя  60%  концентрации,  извлекают  10  литров, переливают  во  вторую  емкость, а  вместо  них   в  первую  добавляют  10  литров  воды. Затем  снова  берут   из  первой  емкости  10  литров  жидкости, переливают  во  вторую  емкость  и  добавляют   в  первую  10  литров  воды. Вычисли   содержание  спирта  во  втором  сосуде  после  20  таких  действий.

Решение. Количество  спирта, помещенного  во  вторую  емкость  в результате  первой  операции  10×0.6 = 6 литров. Затем  добавили  10  литров  воды  в  первую  емкость, поэтому  содержание  спирта  в  ней  сейчас  составляет  90%  от  прежней  концентрации(см. пример  e’  на  стр. 90), т.е. содержание  теперь  0.6×0.9 = 0.54.  Значит  количество  спирта  во  второй  порции  10×0.54 = 5.4  литра. Т.е. получается  геометрическая  прогрессия  с  a1 = 6, q = 0.9, n = 20.  Вычислим  сумму  алкоголя  во  всех  порциях: S20 = 6(1 - 0.920)/(1 - 0.9) = 52.71 литров. Всего  же  перелили  во  вторую  емкость  10×20 = 200  литров  жидкости. Поэтому  содержание  в  ней  спирта  равно       52.71×100/200 = 26.35% .

3) Вычисли  суммы   следующих  бесконечных  геометричееских   прогрессий:       a). 1/2, 1/4, 1/8, ...              b). 9, -6, 4, ...

Решения. a). Согласно  задания  a1 = 1/2, q = 1/2  и  поэтому  S = ... = 1.

b). Здесь  a1 = 9, q = -2/3  и  поэтому  S = ... = 5.4.

4) Мяч  упал  с  высоты  1.2  м, отскочил  и  затем  поднимался  всякий  раз  до  высоты, составляющей  3/4  высоты, с  которой  он  опускался  предыдущий  раз.  Вычисли  общий  путь, пройденный  мячем  до  его  остановки   на  земле. 

Решение. Решим  эту  задачу  в  предположении, что  мяч  остановится  после  бесконечного  числа  падений  и  подъемов. Предел  суммы  всех  падений  будет(a1 = 1.2) S = 1.2/(1 - 3/4) = 4.8 м, а предел  суммы  всех  подъемов  будет(a1 = 0.9)

S = 0.9/(1 - 3/4) = 3.6 м. Поэтому   общий  путь  мяча  составит  4.8 + 3.6 = 8.4 м.

5) Сумма  бесконечного  убывающего  геометрического   ряда  равна  12, а  сумма   квадратов  его  членов  равна  48. Найди  первый  член  и   знаменатель  исходного  ряда.   

Решение. Если a1  и  q  есть,  соответственно,  первый  элемент  и  знаменатель  исходного  ряда, то a12  и  q2  суть,  соответственно,  первый  элемент  и  знаменатель  нового  ряда. Полученные  уравнения: a1/(1 - q) = 12, a12/(1 - q2) = 48. Возведем  во  вторую  степень  обе  части  левого  уравнения  и  затем  разделим  на  соответственные  части  правого  уравнения, получим  после  сокращений  (1 + q)/(1 - q) = 3. Решение  этого  уравнения   q = 1/2.  В  результате  подстановки  получаем  a1 = 6.