Производная функции

Содержание

Введение 2

§1. Производная функции 4

1.1. Определение производной 4

1.2. Геометрический смысл производной 4

1.3. Механический смысла производной 5

1.4. Основные теоремы дифференциального исчисления 6

§2. Приложение производной к исследованию функции 10

2.1. Исследование функции на возрастание и убывание 10

2.2. Исследование функции на экстремумы 10

2.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке 12

2.4. Выпуклость функции. Точки перегиба 13

§3. Применение производной в экономике 15

3.1. Использование понятия производной в экономике 15

3.2. Приложения производной в  экономической теории 16

Заключение 18

Список использованных источников 19

Введение

Современная экономическая  наука характеризуются широким  использованием математики. Математические методы стали составной частью методов экономической науки. Авторы учебного пособия [3] перечисляют следующие цели использования математических методов в экономике:

1. выделение и формальное описание наиболее важных и существенных связей экономических переменных и объектов;
2. получение из исходных данных и соотношений методами дедукции выводов, адекватных изучаемому объекту;
3. получение новых знаний об объекте индуктивным путем, используя методы математики и статистики;
4. четкое и компактное изложение положений экономической теории с помощью языка математики.

В экономике используются различные разделы математики (математический анализ, математическая статистика, теория игр, линейное программирование и др.).

 Представленная работа  посвящена использованию производной  в решении задач с экономическим содержанием. Дифференциальное исчисление широко используется в экономической теории. Примерами использования производной в экономике являются анализ производственной функции, эластичность спроса (величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены), предельный анализ (предельная стоимость, предельный доход, предельные издержки, предельная полезность и т.д.).

Появление дифференциального  исчисления относят к XVII веку. А в XIX веке в экономической теории сложилось новое направление исследований, использующее понятие предельных (маржинальных) величин. На сегодняшний день активное использование производной для решения экономических задач (наряду с техническими) обусловлено, в том числе, и развитием вычислительных систем.

Целью представленной работы является обобщение материала по использованию производной в задачах с экономическим содержанием. Для реализации этой цели были поставлены следующие цели:

1. исследовать математические основы темы «Производная»;
2. выделить основные типы задач, решаемых с помощью производной, и раскрыть способы их решения;
3. выделить типы задач с экономическим содержанием,  требующих для своего решения применения производной.

§1. Производная функции

1.1. Определение производной

Пусть функция f определена на некотором промежутке Х. Придадим точке х₀ произвольное приращение так, чтобы x₀+ x Х. Тогда функция f(x) получит приращение

_.

Производной функции f в точке х₀ называется предел при отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, если этот предел существует.

Обозначается  , , , , .

Таким образом, по определению . 

Обозначения ввёл Лейбниц (1646-1716), а , -Лагранж (1736-1813).

1.2. Геометрический смысл производной

Пусть y=f(x) определена в и дифференцируема в некоторой внутренней точке . Пусть M₀(x₀;y₀) - некоторая точка графика функции, а М(х;у)- некоторая другая точка. Прямая М₀М называется секущей кривой y=f(x). Если оставить точку М₀ неподвижной, а точку М перемещать по кривой в направлении к М₀, то секущая будет поворачиваться вокруг М₀. При М М₀ она будет стремиться к некоторому предельному положению М₀Т.

Касательной к кривой называется предельное положение секущей М₀М, когда М М₀ по кривой.

Dх=х-х₀ .

Пусть секущая р, проходящая через точки М₀(х₀;y₀) и М(х₀+Dх;у₀+Dy) образует с положительным направлением оси Ох угол . Из DМ₀АМ

  , (1)

т.е. j=j(Dx). Если Dх 0, то М М₀ по графику функции, и Dy 0. Следовательно, секущая будет поворачиваться, и угол j будет изменяться. Так как arctgx - непрерывная функция то

.

То есть существует правой части (1). Значит, существует и левой части, т.е. существует , и имеет место равенство . Следовательно, существует предельное положение угла j, которое обозначим через j₀, т.е существует предельное положение М₀Т секущей М₀М при М М₀. Следовательно, М₀Т- касательная к графику у=f(x) в точке М₀ и

 Û .

Геометрический смысл производной состоит в следующем: производная функции f(x) в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной к кривой y=f(x) в точке (х₀;f(x₀)) (равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох)

1.3. Механический смысла производной

1) Пусть - закон движения материальной точки. В момент времени t₀ точка прошла путь S₀. В момент времени точка прошла путь S. За время Dt точка прошла путь .

- средняя скорость движения  точки между моментами времени t₀ и , - называется скоростью движения материальной точки в момент времени t₀.

,  .

DS - путь, фактически пройденный материальной точкой за промежуток времени Dt (между t₀ и ) с переменной скоростью.

dS - путь, который прошла бы точка за момент времени Dt, если бы она двигалась с постоянной скоростью ( скоростью в момент времени t₀).

Если  , то .

2) - закон изменения скорости. Рассуждаем аналогично примеру 1: - среднее ускорение за время между t₀ и , - ускорение в момент времени t₀.

1.4. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема 1 (Ферма, фр., 1601-1665). Пусть функция y=f(x) определена на некотором промежутке <a;b> и в некоторой точке x₀Î<a;b> имеет наименьшее или наибольшее значение. Тогда если функция дифференцируема в точке x₀, то f¢ (x₀)=0.

Доказательство.

 Пусть f(x₀) – наибольшее значение функции f(x) на <a;b>. Тогда по определению "xÎ<a;b> выполнено f(x)≤ f(x₀).

Если x< x₀, то ; если x> x₀, то .

По условию $ f¢ (x₀), то есть $ f¢ (x₀+0), $ f¢ (x₀-0) и f¢ (x₀+0)= f¢ (x₀-0)=f¢ (x₀).

Тогда по теореме о предельном переходе в неравенствах ,

.

Из того, что  следует, что f¢ (x₀)=0.

Аналогично рассматривается  случай, когда f(x₀) – наименьшее значение функции.

Теорема 2 (Ролля, фр., 1672-1719). Пусть функция f(x) определена на [a;b], причем

1. f(x)ÎC[a;b],
2. f(x) дифференцируема на (a;b),
3. f(a)= f(b).

Тогда существует точка сÎ(a;b), такая что f¢ (c)=0.

Доказательство.

 Так как f(x) непрерывна на [a;b], то она имеет наименьшее значение, равное m и наибольшее значение, равное М (по 2-й теореме Вейерштрасса), то есть "xÎ[a;b] выполнено m≤ f(x)≤M.

1. Если m=M, то f(x)=М "xÎ[a;b]. Следовательно, f¢ (x)=0 и, значит, в качестве точки с можно взять любую точку из (a;b).
2. Пусть m¹M, m<M.

Þ одно из чисел m или M отлично от f(a). Пусть M¹f(a), M¹f(b). Т. к. f – непрерывная функция, то по 2-й теореме Вейерштрасса существует точка сÎ[a;b], такая что f (c)=М. Она может быть только внутренней точкой, т. к. из того, что M¹f(a) Þ с¹а, а из того, что M¹f(b) Þ с¹b Þ сÎ(a;b).

Т. о., f имеет наибольшее значение в некоторой внутренней точке сÎ(a;b), f дифференцируема в точке с, следовательно, по теореме Ферма f¢ (c)=0.

Теорема 3 (Лагранжа, фр., 1736-1813, теорема о конечных приращениях). Пусть функция f(x) определена на [a;b], причем

1. f(x)ÎC[a;b],
2. f(x) дифференцируема на (a;b).

Тогда существует точка сÎ(a;b), такая что . (1)

Доказательство.

 Рассмотрим на [a;b] вспомогательную функцию

Она удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1. j(х) непрерывна на [a;b] как разность непрерывной функции f(x) и линейной функции;
2. Þ $j¢ (х) "хÎ(a;b);
3. j(b)=f(b)-f(a)-(f(b)-f(a))=0; j(a)=f(a)-f(a)=0 Þ j(a)=j(b).

Следовательно, по теореме  Ролля $ сÎ(a;b): j¢ (c)=0, т. е. 

Формула (1) называется формулой Лагранжа. Ее другая форма записи:

f(b)-f(a)=f¢(c)(b-a). (2)

Теорема 4 (Коши, обобщенная теорема о конечных приращениях). Пусть на [a;b] определены функции f(x) и g(x), причем

1. f(x), g(x)ÎC[a;b],
2. f(x), g(x) дифференцируемы на (a;b),
3. g¢ (x)¹0 "хÎ(a;b).

Тогда существует точка сÎ(a;b), такая что . (4)

Доказательство.

 Левая часть равенства  (4) имеет смысл, т. к. выполнено  условие 3). Действительно, если  бы g(b)=g(a), то к функции g(x)можно было бы применить теорему Ролля, и оказалось бы, что , но это противоречит условию 3). Следовательно, g(b)¹g(a) и формула (4) имеет смысл.

Рассмотрим вспомогательную  функцию 

Эта функция удовлетворяет  на [a;b] условиям теоремы Ролля:

1. F(х) непрерывна на [a;b] как линейная комбинация непрерывных функций,
2. F(х) дифференцируема на (a;b): ;
3. F(a)=0, F(b)=0, т. е. F(a)=F(b).

По теореме Ролля 

 Þ .

§2. Приложение производной к исследованию функции

2.1. Исследование функции на возрастание и убывание

Пусть f(x) определена в V(x₀).

Функция f называется возрастающей в точке x₀, если $V(x₀,d) точки x₀, такая, что

f(x)<f(x₀) при x<x₀ ("xÎ(x₀-d, x₀),

f(x)>f(x₀) при x>x₀ ("xÎ(x₀, x₀+d).

Функция f называется убывающей в точке x₀, если $V(x₀,d) точки x₀, такая, что

f(x)>f(x₀) при x<x₀ ("xÎ(x₀-d, x₀),

f(x)<f(x₀) при x>x₀ ("xÎ(x₀, x₀+d).

Теорема (достаточное условие монотонности функции). Если функция f дифференцируема в точке x₀ и f¢ (x₀)>0 (f¢(x₀)<0), то f возрастает (убывает) в точке x₀.

Пример. Найти интервалы возрастания и убывания функции

f(x)=х³-6х²+5.

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, а ее производная равна f´(x) = 3x²-12x=3(x-2)(x+2). Функция f(x) возрастает тогда и только тогда, когда f´(x)>0, т.е. (x-2)(x+2)>0, откуда . Аналогично, данная функция убывает, когда f´(x)<0, т.е. (x-2)(x+2)<0, откуда .

Таким образом, функция f(x) возрастает на интервалах и , а убывает на интервале (-2; 2).

2.2. Исследование функции на экстремумы

Пусть f(x) определена в V(x₀).

Точка х=х₀ называется точкой максимума функции f, если существует окрестность V(x₀,d)ÌV(x₀), в пределах которой выполнено неравенство f(x)£f(x₀). Значение функции в точке x₀ называется максимумом функции.

Точка х=х₀ называется точкой минимума функции f, если существует окрестность V(x₀,d)ÌV(x₀): "xÎV(x₀,d) выполнено f(x)³ f(x₀). Значение функции в точке x₀ называется минимумом функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в них – экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть f(x) определена в V(x₀). Если функция имеет в точке x₀ экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю или не существует.

Пусть f(x) определена в V(x₀). Точка x₀ называется стационарной точкой функции f, если f ¢(x₀)=0. Точка x₀ называется критической точкой функции f, если f ¢(x₀)=0 или не существует.

Т. о., критические точки  являются точками возможного экстремума. Найдя критические точки, необходимо подвергнуть их дальнейшему исследованию.

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Пусть f дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, самой точки x₀, в которой она непрерывна. Пусть f ¢(x) сохраняет знак в отдельности как слева, так и справа от точки x₀, т. е. в интервалах (x₀-d; x₀), (x₀;x₀-d). Если:

1) f ¢(x)>0 при x<x₀ и f ¢(x)<0 при x>x₀, то x=x₀ - точка максимума;

2) f ¢(x)<0 при x<x₀ и f ¢(x)>0 при x>x₀, то x=x₀ - точка минимума;

3) f ¢(x)>0 или f ¢(x)<0 "xÎV(x₀), то x=x₀ не является точкой экстремума.

Теорема (второе достаточное условие экстремума). Пусть для функции f в стационарной точке x₀ . Тогда функция имеет в точке x₀ максимум, если и минимум, если .

Пример. Найти экстремумы функции f(x)= x³-9x²+15x.

Решение. Функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой, причем f ¢(x)=3х²-18х+15=3(х-1)(х-5). Критические точки х₁=1, х₂=5. Воспользуемся вторым достаточным условием экстремума, для чего найдем f¢¢(1) и f¢¢(5): f¢¢(х)=6х-18. Откуда, f¢¢(1)=-12, f¢¢(5)=12.

Поскольку f¢(1)=0, а f¢¢(1)<0, то х=1 является точкой максимума, причем f(1)=7. Так как f¢(5)=0, а f¢¢(5)>0, то х=5 является точкой минимума, причем f(5)=-25.

2.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Пусть функция f(x) дифференцируема на отрезке [a;b]. Тогда она непрерывна на этом отрезке и, в силу II – й теоремы Вейерштрасса, достигает на нем наибольшего и наименьшего значений. Если функция имеет наибольшее значение на (a;b), то это – один из максимумов. Но функция может иметь наибольшее значение и на концах отрезка [a;b]. Аналогичные рассуждения – для минимума. Значит, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a;b] надо:

1) найти все критические  точки функции, принадлежащие  отрезку [a;b];

2) вычислить значения функции  в этих точках и на концах  отрезка;

3) из полученных значений  выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

у = (х-2)²е^-х на отрезке [0;5].

Решение. Найдем производную заданной функции:

y¢ = 2(x-2)e^-x-(x-2)²e^-x=- e^-x(x-2)(x-4).

Производная обращается в  нуль при х=2 и х=4. Откуда, х₁=2  и х₂=4 – критические точки.

Найдем значение функции  в критических точках и на концах отрезка [0;5]:

y(2) = 0;; у(0) = 4; .

Таким образом наибольшее значение функции - у(0) = 4, а наименьшее - y(2) = 0.

2.4. Выпуклость функции. Точки перегиба

Пусть функция f(x) дифференцируема на <a;b>. Тогда существует касательная к графику функции f(x) в любой точке М(x;f(x)), xÎ<a;b>, причем эти касательные не параллельны оси Оу.

Функция f(x) называется выпуклой вверх (вниз) на <a;b>, если график функции в пределах <a;b> лежит не выше (не ниже) любой из своих касательных.

Теорема . Пусть функция f(x) дважды дифференцируема на <a;b>. Тогда если f ²(x)³0 (f ²(x)£0) на (a;b), то функция выпукла вниз (вверх) на <a;b>.

Пусть f(x) определена и непрерывна в V(x₀).

Точка x₀ называется точкой перегиба функции f(x), если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости функции f(x).

Теорема (необходимое условие перегиба). Если в точке перегиба x₀ функции f(x) вторая производная существует и непрерывна, то она в этой точке равна нулю.

Пример.  Найти точки перегиба функции .

Решение. , . Следовательно, в точке х₀=0 f ² не существует. При x>0 f ²(x)>0 Þ на (0;+¥) функция выпукла вниз. При x<0 f ²(x)<0 Þ на (-¥;0) функция выпукла вверх. Значит, х₀=0 - точка перегиба.

Теорема  (первое достаточное условие перегиба). Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в , где x₀ – точка возможного перегиба. Если

1) f ²(x) меняет знак при переходе через x₀, то x₀ - точка перегиба функции f(x);

2) f ²(x) не меняет знака при переходе через x₀, то x₀ не является точкой перегиба функции f(x).

Теорема. (второе достаточное условие перегиба). Если f ²(x₀)=0, а , то x₀ - точка перегиба функции f(x).

Пример. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции .

Решение. Функция определена и дважды дифференцируема на всей числовой оси. Найдем вторую производную:

Отсюда получим: функция  выпукла вверх тогда и только тогда, когда f²(x)<0, т.е. или .. Функция выпукла вниз тогда и только тогда, когда , т.е. .

Таким образом, функция выпукла  вверх на , выпукла вниз на и на . Откуда ясно, что точки   и являются точками перегиба данной функции. 

§3. Применение производной  в экономике

3.1. Использование понятия производной в экономике

В первом параграфе работы были раскрыты геометрический и механический смыслы производной. Однако понятие производной может иметь и экономический смысл.

Рассмотрим функцию u = u(t), которая выражает количество произведенной продукции u за время t. Найдем производительность труда в момент времени t₀. За период времени от t₀ до t₀+Δt количество произведенной продукции изменится от u₀+u(t₀ ) до u₀+Δu=u(t₀+Δt). Найдем среднюю производительность труда за этот период времени:. Очевидно, что производительность труда в момент времени t₀ можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t₀ до t₀+Δt при т.е.

 .

 Таким образом, производительность труда есть производная объема произведенной продукции по времени.

Пример. Объём продукции u цеха в течение рабочего дня представляет функцию где t – время (ч). Найти производительность труда через 2 часа после начала работы.

Решение. За период времени от t₀=2 до (t₀ + Dt) количество произведенной продукции изменится от u₀=u(t₀) до значения u₀+Du = u(t₀+Dt). Средняя производительность труда за этот период времени составит Du/Dt. Следовательно, производительность труда в момент t₀ можно определить, как предельное значение средней производительности труда за период времени от t₀ до (t₀+Dt) при Dt®0, то есть

u'(t)=

Итак, производительность труда в момент времени через 2 часа после начала работы составит 43 единицы продукции в час.

Также с помощью производной  могут быть определены такие экономические понятия, как предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины.

Исследование экономических объектов и процессов с помощью методов дифференциального исчисления получило название предельного анализа. Преимущество использование предельного анализа по сравнению с исследованием средних и суммарных величин заключается в том, что они позволяют характеризовать не состояние, а процесс, изменение экономического объекта или процесса.¹

3.2. Приложения производной в экономической теории

В экономике очень часто  требуется найти наилучшее, или  оптимальное значение того или иного  показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.п. Так как каждый из перечисленных  показателей может быть выражен  функцией, то задача сводится к задаче нахождения максимума (минимума) функции. Для решения подобных задач удобно использовать методы дифференциального исчисления.

Пример. Функция спроса имеет вид Q_D=100 – 20p, постоянные издержки TFC (total fixed costs) составляют 50 денежных единиц, а переменные издержки TVC (total variable costs) на производство единицы продукции – 2 денежные единицы. Найти объём выпуска, максимизирующий прибыль монополиста.

Решение. Прибыль есть выручка минус издержки: П=TR – TC, где TR=p*Q; TC=TFC+TVC.

Найдём цену единицы продукции: 20p=100 – Q p=5 – Q/20. Тогда П=(5 – Q/20)Q – (50 + 2Q)= – Q² + 60Q - 1000 ® max

Найдём производную: П'(Q)= –2Q+60.

Приравняем  производную к нулю: –2Q+60=0 Q=30.

При переходе через точку Q=30 функция П(Q) меняет свой знак с плюcа на минус, следовательно, эта точка является точкой максимума, и в ней функция прибыли достигает своего максимального значения. Таким образом, объём выпуска, максимизирующий прибыль, равен 30 единицам продукции.

Помимо задачи нахождений экстремумов,  в экономической теории можно исопользуется комплексный анализ функции  помощью производной.

Пример. Зависимость спроса от цены выражается формулой (p >= 0). Выручка от реализации товара по цене p составляет: денежных единиц. Исследуем эту функцию с помощью производной. Производная этой функции: положительна, если p<0.5, и отрицательна для p>0.5, это означает, что с ростом цены выручка вначале увеличивается (несмотря на падение спроса) и при p= 0.5 достигает максимального значения. Дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т. к. оно ведет к сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной                     .

При – темп положительный, при – темп отрицательный. На промежутке (0; 0.5) функция возрастает все медленнее, то есть дальнейшее повышение цены невыгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом для , а затем темп убывания становится положительным, и для выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены.

Заключение

Анализ учебной  и научной литературы по вопросу  использования производной при  решении задач с экономическим  содержанием позволил сделать вывод, что дифференциальное исчисление используется для решения довольно широкого круга  экономических задач.  Использование  методов дифференциального исчисления в экономике даже выделяют в отдельную  область исследования, которая носит  название предельного анализа.

В ходе исследования были выявлены математические основы темы (понятие производной, ее геометрический и физический смысл, основные теоремы дифференциального исчисления); представлены примеры использования производной для решения задач на исследование функций. 

Говоря об использовании произоводной в экономике  можно выделить два аспекта:

1. определение экономических понятий с помощью понятия производной (предельные величины);
2. использование методов дифференциального исчисления для исследования экономических функций.

При этом стоит  отметить, что наиболее широкое распространение  получает использоваение производной  для нахожения экстримальных  значний функций.

Обобщая, можно  сформулировать экономический смысл производной следующим образом: производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.

Список использованных источников

1. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям/[Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 3 – е изд. – М.: ЮНИТИ –  ДАНА, 2006. – 479 с. – (Серия «Золотой фонд российских учебников»)
2. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Рольф, 2001.
3. Математические методы в экономике: Учебник/Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича; МГУ им.Ломоносова. – 3-е изд., перераб. – М.: Дело и Сервис», 2001.- 386 с.
4. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/ Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2001
5. http://www.rusnauka.com1_NIO_2011Economics77694.doc.htm
6. http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/prakt1/razdpr1_2/teo1_2_6.htm
7. http://slovari.yandex.ru/~книги/Лопатников/Предельный%20анализ

¹ Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов под редакцией проф. Н.Ш. Кремера