Производная и её приложения
Оглавление
Введение
1.Понятие производной
1.2. Физический смысл производной
2. Правило дифференцирования
3 Производные высших порядков
4.Изучение функции с помощью производной. Возрастание и убывание функции.
5. Применение производной физике
6. Применение производной в
6.1. Применение производной к доказательству неравенств
7. Заключение
Литература
.
Введение
Понятие функции является одним из основных понятии математики. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а, как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике. Например, изменение площади, объема фигуры в зависимости от изменения ее размеров. Однако древними греками идея функциональной зависимости осознавалась интуитивно.
Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили перед математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися методами математики постоянных величин. Нужны были новые математические методы, отличные от методов элементарной математики.
Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него "геометрический налет". В современных терминах это определение связано с понятием множества и звучит так: «Функция есть произвольный способ отображения множества А = {а} во множество В = {в}, по которому каждому элементу а А поставлен в соответствие определенный элемент в В. Уже в этом определении не накладывается никаких ограничений на закон соответствия (этот закон может быть задан Формулой, таблицей, графиком, словесным описанием). Главное в этом определении: а А !b B. Под элементами множеств А и В понимаются при этом элементы произвольной природы.
В математике XVII в. самым же большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований. Но наряду с интегральными методами складывались и методы дифференциальные. Вырабатывались элементы будущего дифференциального исчисления при решении задач, которые в настоящее время и решаются с помощью дифференцирования. В то время такие задачи были трех видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций, отыскивание условий существования алгебраических уравнений квадратных корней.
Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.
Появление анализа бесконечно малых революционизировало всю математику, превратив ее в математику переменных величин.
Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными.
Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Они встречались у Евклида. Ряд таких задач был решен Архимедом, разработавшим способ проведения касательной, примененный им к спирали, но применимый для других кривых. Основное понятие дифференциального исчисления – понятие производной – возникло в XVII в. В связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики. Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем на основе двух задач: 1) о разыскании касательной к произвольной линии 2) о разыскании скорости при произвольном законе движения. Ещё раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Г. Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
1.Понятие производной
При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом
Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов:
1)
даем аргументу x приращение D x и определяем соответствующее приращение
функции D y = f(x+D x) -f(x);
2) составляем отношение
3) считая x постоянным, а D x ¦0, находим , который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы переходим к пределу.
Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.
Таким образом, , или
Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение при D x¦(0) не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a. Обозначение dy/dx Впервые встречается у Лейбница (1675).Операция нахождения производной называется дифференцированием.
- Геометрический смысл производной
Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x0
f(x)
Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x0, f (х0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .
Так как АС || Ox, то ÐALO = ÐBAC = β (как соответственные при параллельных). Но ÐALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим или tga =f '(x0), так как a-угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох , по определению производной. Но tga = k - угловой коэффициент касательной, значит, k = tga = f '(x0).
Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.
- Физический смысл производной
Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [t0; t0+ ∆t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.
Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.
lim Vср (t) = n(t0) - мгновенная скорость в момент времени t0, ∆t → 0.
а lim = ∆x/∆t = x'(t0) (по определению производной).
Итак, n(t) =x'(t).
Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0
Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.
u(t) = x'(t) - скорость,
a(f) = n'(t) - ускорение, или
a(t) = x"(t).
Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:
φ = φ(t) - изменение угла от времени,
ω = φ'(t) - угловая скорость,
ε = φ'(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).
Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:
m = m(х) - масса,
x Î [0; l], l - длина стержня,
р = m'(х) - линейная плотность.
С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука
F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω2x(t) = 0,
где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).
Уравнение вида у" + ω2y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция
у = Asin(ωt + φ0) или у = Acos(ωt + φ0), где
А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота,
φ0 - начальная фаза.
2. Правило дифференцирования
Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой.
Теорема 1. Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций: Следствие. Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например:
Теорема 2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первой функции на производную второй плюс произведение второй функции на производную первой, т. е.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждой из них на все остальные. Например:
Теорема3. Производная частного двух дифференцируемых функций определяется формулой
Теорема 4. Если — дифференцируемые функции
своих аргументов, то производная сложной функции существует и
равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е.
(C)’= 0 С=const |
|
|
|
(cos x)'=-sin x |
|
(sin x)'=cos x |
|
(tg x)'= |
(ах)'=аx ln a |
(ctg x)'=- |
(ех)'=ex |
|
3. Производные высших порядков
Ясно, что производная функции y =f (x) есть также функция от x:
Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением можем написать
Очень удобно пользоваться также обозначением , указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза. Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x) , называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами .
Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x) обозначается символами
Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную третьего порядка и т.д. Тогда возникает вопрос: сколько производных высших порядков можно получить в случае произвольной функции.
Например:
1) ; ; ; ...;
; .
Разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании. Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие – переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной.
Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков выполняются для производных высших порядков.
4. Изучение функции с помощью производной. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.
Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x2) > f(x1) при x2 > x1.
Рис.1 (а) |
Рис.1 (б) |
Из этого определения следует,
что у возрастающей в интервале (a,b) функции
f(x) в любой точке этого интервала приращения Dx и Dy имеют одинаковые знаки.
График возрастающей функции показан
на рисунке1(а).Если из неравенства x2 > x1 вытекает
нестрогое неравенство f (x2) ³ f (x1), то функция
f (x) называется неубывающей в интервале
(a, b ). Пример такой функции показан на
рисунке 2(а). На интервале [ x0 , x1 ] она сохраняет
постоянное значение C
Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если f(x2) < f(x1) при x2 > x1.
Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b ) функции f (x) в любой точке этого интервала приращения Dx и Dy имеют разные знаки. График убывающей функции показан на рисунке 1(б).
Если из неравенства x2 x1 вытекает нестрогое неравенство f(x2) £ f(x1), то функция f (x) называется невозрастающей в интервале ( a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(б). На интервале [ x0 , x1 ] она сохраняет постоянное значение C.
Теорема 1. Дифференцируемая и возрастающая в интервале ( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неотрицательную производную.
Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале ( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неположительную производную.
Пусть данная непрерывная функция убывает при возрастании x от x0 до x1, затем при возрастании x от x1 до x2 - возрастает, при дальнейшем возрастании x от x2 до x3 она вновь убывает и так далее. Назовем такую функцию колеблющейся. График колеблющейся функции показан на рисунке 3. Точки A, C, в которых функция переходит от возрастания к убыванию, так же, как и точки B, D, в которых функция переходит от убывания к возрастанию, называются точками поворота или критическими точками кривой y = f (x), а их абсциссы - критическими значениями аргумента x в той точке, где функция переходит от возрастания к убыванию, ордината больше соседних с ней по ту и другую сторону ординат. Так, ордината точки A больше ординат, соседних с ней справа и слева и достаточно к ней близких, т.е. значение функции в точке A, абсцисса которой равна x0, больше значений функции в точках, абсциссы которых достаточно близки к x0 : f (x0) > f (x0+∆x).
На рисунке 4(a) изображена функция f (x), непрерывная в интервале ( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она возрастает, на интервале [ x0 , x1 ] - сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале [ x1 , b ) - убывает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)³f (x).
Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное неравенство, называется максимальным значением функции f (x) или просто максимумом.
Определение 3. Максимумом функции f (x) называется такое значение f (x0) этой функции, которое не меньше всех значений функции f (x) в точках x, достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x0 .
Так, на рисунке 3 показаны два максимума: f (x0) и f (x2) .
В той точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, ордината меньше ординат в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от нее. Так ордината точки B меньше ординат в точках соседних и достаточно близких к точке x1 справа и слева. Значение функции в точке, абсцисса которой равна x1 , меньше значений функции в точках, абсциссы которых достаточно мало отличаются от x1 : f (x1) < f (x1+Dx).
На рисунке 4(б) изображена функция f (x), непрерывная в интервале ( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она убывает, на интервале [ x0 , x1 ] - сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале [ x1 , b ) - возрастает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)£f (x).
Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное неравенство, называется минимальным значением функции f (x) или просто минимумом.
Определение 4. Минимумом функции f (x) называется такое значение f (x0) этой функции, которое не больше всех значений функции f (x) в точках x, достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x0 .Так, на рисунке 3 показаны два минимума: f (x1) и f (x3) . По определению наибольшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x0), для которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x0)³f (x), а наименьшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x0), для которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x0)£f (x). Из этих определений следует, что функция может достигать своего наибольшего или наименьшего значения как внутри интервала [ a, b ] , так и на его концах a и b. Здесь же максимум и минимум функции f (x) были определены соответственно как наибольшее и наименьшее значения в некоторой окрестности точки x0 . Если в точке x0 функция f (x) достигает максимума или минимума, то говорят, что функция f (x) в точке x0 достигает экстремума (или экстремального значения). Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала [ a, b ], причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше какого-нибудь максимума.
Таким образом, наибольшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этого интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала. Аналогично наименьшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее из значений функции на концах интервала.
Например функция, изображенная на рисунке 3, достигает наибольшего значения f (x) в точке x2 , наименьшего - в точке x1 интервала [ x0, x3 ]. На рисунке 5 изображена функция, имеющая бесконечное число минимумов и максимумов.
Теорема 3 (необходимый признак экстремума). Если функция f (x) имеет в точке x0 экстремум, то ее производная в данной точке или равна нулю или не существует. Но функция f (x) может иметь экстремумы и в тех точках x0, в которых ее производная не существует. Например функция y = | x | в точке x0 = 0 не дифференцируема, но достигает минимума. Точки такого типа называют угловыми. В них кривая не имеет определенной касательной.
Рис. 6 |
На рисунке 6 изображена функция f (x), не имеющая в точке x0 производной [f' (x0) = ¥] и достигающая в этой точке максимума. При x ® x0 и x < x0 f' (x) ® +¥, при x ® x0 и x > x0 f' (x) ® -¥. Значит касательная кривой y = f (x) при x = x0 перпендикулярна к оси Ox. Такие точки называются точками возврата кривой y=f(x).
Таким образом, необходимым признаком существования в точке x0 экстремума функции f (x) является выполнение следующего условия: в точке x0 производная f' (x) или равна нулю, или не существует.
Этот признак не является достаточным условием существования экстремума функции f (x) в точке x0 : можно привести много примеров функций, удовлетворяющих этому условию при x = x0 , но, однако, не достигающих экстремума при x = x0. Например, производная функции y = x3 при x0 = 0 равна нулю, однако эта функция при x0 = 0 не достигает экстремального значения. 6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции. Достаточные условия экстремума функции.
Теорема 4.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b) неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом интервале.
Теорема 5. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в этом интервале.
Теорема 6. (первый достаточный признак экстремума). Если производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x0 или не существует и при переходе через x0 меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум, если знак меняется с "-" на "+").
Теорема 7. (второй достаточный признак существования экстремума функции). Если в точке x0 первая производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от нуля, то в точке x0 функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f ''(x) > 0, и максимума, если f ''(x) f '(x2 ).
Таким образом мы показали, что если в интервале (a, b) кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x функция y = f '(x) убывает. Поэтому вторая производная f ''(x) функции f(x), как производная убывающей фунции f '(x), будет отрицательна или равна нулю в интервале (a, b): f ''(x)£0.
Рисунок 3. |
Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью
вниз, то из рис.2 непосредственно видно,
что tga > tgj т.е. f '(x2 ) > f '(x1 ), а поэтому
в интервале (a, b) производная f '(x) возрастает.
Тогда вторая производная f ''(x) функции
f (x), как производная возрастающей в интервале
(a, b) функции f '(x), будет положительна или
равна нулю: f ''(x)³0.
Докажем, что и наоборот, если f ''(x)£0 в некотором интервале (a, b),
то в этом интервале кривая y = f (x) обращена
выпуклостью вверх; если f ''(x)³0 в интервале (a, b), то в этом интервале
кривая обращена выпуклостью вниз. Запишем
уравнение касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к кривой
y = f (x) в точке x0, где a =0. Определим
точку перегиба функции. Такой точкой
является точка (0,5;0,6), т.е. при P1/2 спрос
убывает все быстрее.
5.Применение производной в физике
В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.
Задача 1.
Лестница длиной 5м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец находится на высоте 4м. В некоторый момент времени лестница начинает падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с постоянным ускорением 2 м/с2. С какой скоростью удаляется от стены нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте 2м?
Пусть верхний конец лестницы в момент
времени t находится на высоте y(0)= 4м, а
нижний на расстоянии x(t) от стенки. Высота
y(t) описывается формулой:
,так как движение равноускоренное. В момент
t: y(t) = 2, т.е. 2 = 4 - t2, из которого
; В этот момент
по т. Пифагора, т.е.
Скорость его изменения
Ответ:
Задача 2
Дождевая капля падает
под действием силы тяжести; равномерно
испаряясь так, что ее масса m изменяется
по закону m(t) = 1 - 2/3t. (m изменяется
в граммах, t - в секундах). Через
сколько времени после начала
падения кинематическая
6. Применение производной в алгебре 6.1. Применение производной к доказательству неравенств.
Одно из простейших применений производной к доказательству неравенств основано на связи между возрастанием и убыванием функции на промежутке и знаком ее производной. С помощью теоремы Лагранжа доказана теорема:
Теорема 1. Если функция на некотором интервале имеет производную всюду на , то на монотонно возрастает; если же всюду на , то на монотонно убывает.
Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы является следующая:
Теорема 2. Если на промежутке выполняется неравенство , функция и непрерывны в точке и , то на выполняется неравенство .
а) Рассмотрим функцию . Имеем:
Отсюда видно, что при функция возрастает. В частности, она возрастает на интервале Поэтому при неравенство (2) справедливо.
б) на интервале , т.е. убывает. Поэтому при любых и , для которых , неравенство (2) неверно, а верно неравенство противоположного смысла:
Задача 3. Доказать неравенство: при (3).
Воспользуемся теоремой 2. и , верно неравенство : на промежутке и выполнимо условие где , в данном случае равно 0. Следовательно неравенство (3) верно.
Задача4. Доказать неравенство: (4).
Решение: , ;
Неравенство при любых верно. Значит неравенство (4) верно.
Задача5. Доказать, что если , то (5).
Решение: Пусть Тогда
Чтобы найти, при каких значениях функция положительная, исследуем ее производную . Так как при то
Следовательно, функция возрастает при . Учитывая, что и непрерывна, получаем , при .
Поэтому возрастает на рассматриваемом интервале. Поскольку непрерывна и то при . Неравенство (5) верно.
При решении задачи (5) встретился полезный методический прием, если нежно доказать неравенство, в котором участвует несколько букв, то часто целесообразно одну из букв (в данном примере это была буква ) считать применимой (чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы ее заменяли буквой , а значение остальных букв (в данном случае значение буквы ) считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи применить указанный прием несколько раз.
Задача 7. Проверить, справедливо ли при любых положительных неравенство: (6).
Решение: Пусть Рассмотрим функцию
.
При имеем .
Отсюда видно (теорема 1), что убывает на Поэтому при имеем т.е. мы получили неравенство:
