МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СМОЛЕНСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 
 
 
 

Курсовая  работа

Студента

физико-математического

факультета  специальности

«Математика и информатика»

Группы 32МиИ

Наумова А. А. 

Производная в задачах на максимум и минимум 
 
 

Научный руководитель:

доцент  Полухин А.А. 
 
 
 

Смоленск, 2010

Оглавление

Оглавление 2

Введение 3

1. Историческая справка. 4

2. Теоретические сведения. 6

2.1. Необходимое условие. 6

2.2. Достаточное условие. Первый признак. 7

2.3. Достаточное условие. Второй признак. 8

2.4. Использование производных высших порядков 11

3. Применение производной к решению задач. 13

Заключение 31

Список литературы. 32

Введение

     В мире не происходит ничего, в чем  бы не был виден

     Смысл какого-нибудь максимума или минимума.

     Л.Эйлер. 

     В математике изучение задач на нахождение максимума и минимума началось очень  давно. Но только лишь в эпоху формирования математического анализа были созданы  первые методы решения и исследования задач на экстремум.

     Потребности практической жизни, особенно в области  экономики и техники, в последнее  время выдвинули такие новые  задачи, которые старыми методами решить не удавалось. Надо было идти дальше.

     Цель  данной курсовой работы – показать значимость понятия производной к решению таких распространенных типов задач, как задачи на максимум и минимум.

     Для достижения этой цели, я поставил пред собой следующую задачу: рассмотреть  несколько задач данного типа из различных областей науки и техники и показать как применение производной к ним упрощает их решение.

1. Историческая  справка.

     В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наилучшее  возможное (иногда говорят - оптимальное) решение. Огромное число подобных проблем  возникает в экономике и технике. При этом часто случается так, что полезно прибегнуть к математике.

     В математике исследование задач на максимум и минимум началось очень давно  – двадцать пять веков назад. Долгое время к задачам на отыскание  экстремумов не было сколько-нибудь единых подходов. Но примерно триста лет  назад – в эпоху формирования математического анализа – были созданы первые общие методы решения  и исследования задач на экстремум.

     Накопление  методов дифференциального исчисления приняло наиболее явную форму  у Ферма. В 1638 году он сообщил в  письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений функции. Ферма составлял уравнение и после преобразований в левой части полагал , вопреки мнению позднейших исследователей, которые видели в этой идеи исчисления бесконечно малых. В действительности, Ферма нашел это условие и аналогичное при ещё алгебраическими путями.

     К сожалению, Ферма не стремился публиковать  свои работы, кроме того, пользовался  труднодоступными для усвоения алгебраическими  средствами  Виета с его громоздкой символикой. Видимо, поэтому он не сделал последнего, уже небольшого, шага на пути к созданию дифференциального  исчисления.

     Правила определения экстремумов функции  одной переменной  были даны Маклореном. Эйлер разработал этот вопрос для функции двух переменных. Лагранж показал (1789), как отличать вид условного экстремума для функции многих переменных.

     В XVIII веке возникло исчисление вариаций. В трудах Эйлера и Лагранжа оно приобрело вид логически стройной математической теории. Главной задачей, решаемой средствами этого исчисления, являются отыскание экстремумов функционалов.

2. Теоретические сведения.

1. Необходимое условие.

     Пусть функция , определенная и непрерывная в промежутке , не является в нем монотонной.

     Говорят, что функция  имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью , содержащейся в промежутке , где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство.

       (или )

     Иными словами, точка  доставляет функции максимум (минимум), если значение оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки .

     Заметим, что для обозначения максимума  или минимума существует и объединяющий их термин – экстремум.

     Понятия максимум () и минимум () являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке . Понятия наибольшего () и наименьшего () значений относятся к конечному отрезку и являются глобальными свойствами функции на отрезке.

     Поставим  задачу о разыскании всех значений аргумента,  доставляющих функции  экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.

     Предположим сначала, что для функция  в промежутке существует конечная производная. Если в точке функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку , о которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что ^в этом состоит необходимое условие экстремума.

     Сформулируем  его.

     Если  функция , заданная на некотором промежутке, имеет экстремум в какой-либо внутренней точке этого промежутка, то производная ^при равна нулю (если она существует в рассматриваемой точке).

     Не  следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная  равна нулю, доставляет функции экстремум: указанное только что необходимое условие не является достаточным.

2. Достаточное условие. Первый признак.

     Напомним, что точки, где производная равна  нулю, называются стационарными; а точки, где производная не существует называются критическими.

     Итак, если точка  есть стационарная точка для функции , или если в этой точке не существует для неё производной, то точка представляется, так сказать лишь «подозрительной» по экстремуму и подлежит дальнейшему испытанию.

     Это испытание состоит а проверке достаточных условий для существования  экстремума, которые мы сейчас установим.

     Предположим, что в некоторой окрестности  точки (по крайней мере, для ) существует конечная производная и как слева от , так и справа от (в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:

     1) при и при , т. е. производная при переходе через точку меняет знак плюс на минус. В этом случае, в промежутке функция возрастает, a в промежутке   убывает, так что значение будет наибольшим в промежутке , т. е. в точке функция имеет собственный максимум.

     2) при и при , т. е. производная при переходе через точку меняет знак минус на плюс. В этом случае аналогично убеждаемся, что в точке функция имеет собственный минимум.

     3) Функция при переходе через , не меняет знака. Тогда функция либо всё время возрастает, либо всё время убывает; в любой близости от с одной стороны найдутся точки в которых , а с другой – точки , в которых так что в точке никакого экстремума нет.

3. Достаточное условие. Второй признак.

     Нередко более удобным на практике оказывается  другой признак существования экстремума, основанный на выяснении знака второй производной в стационарной точке.

     Справедлива следующая теорема.

     Если  х₀ есть стационарная точка функции и , то в точке функция имеет максимум, а если , то функция имеет в точке минимум.

     Доказательство:  По определению второй производной 

     По  условию теоремы . Поэтому 

     Допустим, что . Тогда по теореме о пределах функции найдётся такой интервал , в котором переменная величина сохраняет знак своего предела, т. е. выполняется неравенство

       ()

     Отсюда  следует, что  , если , или, и , если , или . На оснавании первого достаточного признака существования экстремума заключаем, что в точке функция имеет максимум. Аналогично показывается, что условие обеспечивает минимум функции

     Что и требовалось доказать.

     Следует заметить что, если ,то это правило теряет силу и нужно воспользоваться первым признаком нахождения экстремумов. При этом экстремум может существовать , а может и не существовать. (Например, как для функции , так и для функции , вторая производная обращается в нуль в точке , но первая из них не имеет экстремумов в точке , а вторая имеет в ней минимум).

     В этом пункте рассмотрим еще одну теорему, которая полезна для решения  задач. Часто на практике известно, что функция на рассматриваемом сегменте имеет единственную точку экстремума. Поэтому рассмотрим следующую теорему следующую теорему.

     Если  непрерывная на данном сегменте функция имеет экстремум в единственной точке х₀ интервала , а именно максимум (минимум), то этот максимум (минимум) является и наибольшим (наименьшим) значением функции на данном сегменте, причем это значение принимается ею лишь однажды на этом  сегменте.

     Доказательство:

     Докажем теорему, например, для случая максимума. Непрерывная на сегменте   функция принимает на нем наибольшее значение М. Докажем, что принимает это наибольшее значение как раз в данной точке .

     Предположим, от противного, что оно принимается функцией в некоторой точке из .

     Точка не может быть внутренней точкой сегмента , так как иначе в этой точке также был бы экстремум (максимум), противоречило бы условию. Значит, либо, либо Остановимся лишь на случае: (случай разбирается аналогично). 

           Функция , непрерывная на сегменте , должна иметь на нем наименьшее значение m; пусть оно принимается ею в некоторой точке с этого сегмента. Поскольку имеет на экстремум лишь в одной точке , то с совпадает с одним из концов сегмента , либо с = а, либо с = х₀.

          В первом  случае т. е. , отсюда следует, что = const на , а это противоречит тому, что имеет экстремум лишь в одной точке.

            Во втором случае  , с одной стороны,  , и, значит, для всех точек х из с другой стороны, поскольку в точке х₀ функция имеет максимум на , можно подыскать такую окрестность , что для всех х из этой окрестности и, в частности,  для , имеем: так что для всех х из , , а это снова противоречит тому, что имеет экстремум лишь в единственной точке сегмента

          Итак, наибольшее значение функции не может быть принято ею ни в какой  отличной от точке сегмента , а тогда, во-первых  –наибольшее значение функции и, во-вторых, не может  повторить это значение ни в какой другой точке сегмента . Теорема доказана. Она остается в силе и для интервала (или полусегментов .

              Рассматриваемая задача также легко решается тогда, когда функция оказывается монотонной на . Монотонно возрастающая (убывающая) на сегменте   функция будет при иметь наименьшее (наибольшее) значение, а при – наибольшее (наименьшее).

4. Использование производных высших порядков

     В случае, когда  экстремум может быть, а может и не быть. Рассмотрим общий случай.

     Теорема: Если функция  имеет в некоторой окрестности данной точки последовательные производные до -го порядка включительно, а хотя бы в самой этой точке имеет еще и производную -ого порядка, причем , тогда как , то при четном имеет в точке экстремум: минимум, если , максимум, если , а при нечетном вовсе не имеет в этой точке экстремума.

3.   Применение производной к решению задач.

     Во  многих задачах по физике, алгебре, геометрии и экономики бывает нужно найти значение величины, при котором зависимая от неё другая физическая величина принимает максимальное или минимальное значение. И именно в такого рода задачах производная функции нашла свое широкое применение, оказавшись при этом очень серьезным и эффективным средством решения. Благодаря теоремам, которые я привел выше в теоретической части своей работы, решение поставленных задач не составляет особого труда.

     Для решения подобных задач с большим  успехом можно использовать стандартный  алгоритм исследования непрерывной  функции на максимум или минимум. Напомним его.

     Первый  этап этого алгоритма – составление  математической модели, т.е., с помощью физических, математических, геометрических составить уравнение, выражающее зависимость одной величины от другой.

     Второй  этап – определение критических  значений независимой переменной. Для  этого надо найти производную  полученной функции и приравнять её нулю.

     Как правило, в задачах по физике на области  определения имеется всего одна критическая точка и заранее  известно, какое значение – максимальное или минимальное – будет иметь  функция в этой точке. Если это  не очевидно, то необходимо определить знак производной слева и справа от критической точки.

     В своей курсовой работе я постарался рассмотреть задачи, приведенные ниже, из перечисленных мной областей, чтобы доказать что производная действительно реализуется в различных областях науки.

     Задача 1.

     Объем цилиндра V. Найти радиус основания, про котором цилиндр имеет наименьшую полную поверхность.

     Решение:

     Полную  поверхность цилиндра принимаем  за функцию , где H – высота цилиндра, R – радиус основания.

     Объем цилиндра , отсюда , исключая H из выражения полной поверхности цилиндра, получим . Вычисляем производную по R: . Затем приравниваем ее к нулю . Решая это уравнение получаем что минимум наименьшей полной поверхности будет при радиусе .

     Задача 2.

     В данный шар вписать конус с  наибольшим объемом.

     Решение:

     Объем конуса вписанного в шар, равен  , где H – высота конуса, r – радиус основания.

     Обозначим за R – радиус шара, тогда из треугольника имеем:

     , Далее подставляем в выражение для объема получаем . Принимаем объем конуса за функцию, наибольшую его величину находим, исследуя эту функцию на экстремум: При , функция естественно, не может иметь наибольшего объема. При , производная меняет знак с плюса на минус, то есть функция имеет максимум. Следовательно наибольший объем конуса, вписанного в шар, при высоте конуса  , где радиус шара .

     Задача 3.

     Число 64 разложить на два таких сомножителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

     Решение:

     Обозначим множители за и , тогда . Сумму квадратов обозначим за , . Найдем минимум функции: , , .  Производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку

       функция имеет минимум. В итоге  получаем что при  сумма квадратов наименьшая.

     Задача 4.

     Из  углов квадратного листа железа со стороной нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы, согнув лист по пунктирным линиям, получить коробку наибольшей вместимости. Какова должна быть сторона вырезанного квадрата?

     Решение:

     Если  обозначить сторону вырезаемого  квадрата через , то сторона основания коробки будет равна , а высота – . Объем коробки выразится функцией , причем Находим максимум этой функции: .

     Разложим  на множители , приравняем к нулю Производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку . Следовательно, наибольшая вместимость коробки будет при стороне вырезаемых квадратов равных  .

     Задача 5. 

       Кусок угля массы т, лежащий на горизонтальной конвейерной ленте, должен быть сдвинут приложенной к нему силой (смотри рисунок). Под каким углом к горизонту следует приложить эту силу, чтобы величина ее была бы наименьшей, если коэффициент трения угля по резине = О,6 ? 

     Решение: 

     Разложим  силу на горизонтальную и вертикальную составляющие: и. – сдвигающая сила. Прижимающую силу находим, как разность силы веса куска и вертикальной составляющей , где - ускорение свободного падения. Согласно закону Кулона сдвигающая сила равна прижимающей, умноженной на коэффициент трения, т.е.  ). Откуда имеем:

     Наименьшее  значение силы будет при наибольшем значении знаменателя . Для отыскания наибольшего   значения     приравниваем     к   нулю,  получим , при Поскольку , при , то знаменатель принимает наибольшее значение, а соответственно, сила – наименьшее, т. е. прилагать силу под углом наиболее выгодно. Угол - называется углом трения и в нашем случае равен .

     Задача 6.

     Сопротивление балки прямоугольного поперечного  сечения на изгиб пропорционально  произведению ширины этого сечения  на квадрат его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром , чтобы ее сопротивление на изгиб было наибольшим?

     Решение:

     Обозначим высоту балки через, ширину через (Смотри рисунок).

     Сопротивление на изгиб определяется функцией. Так как , то . Исследуем эту функцию на экстремум:. Найдем вторую производную,   при Поскольку , то сопротивление балки на изгиб при будет наибольшим, высота балки при этом будет.

     Задача 7.

     Тело  движется по закону. Найти его максимальную скорость. 

     Решение.

     Обозначим скорость за функцию, которую

     необходимо  исследовать, получим:  .

     Исследуем функцию: , при производная . Так как для любого , то при функция имеет максимум, т. е. ед.скорости.

     Задача 8. 

       Два источника света расположены друг от друга на расстоянии 25м. На прямой, соединяющей эти точки, найти наименее освещенную точку, если силы света источников относятся, как 27:8. 

     Решение. 

     Пусть источники находятся в точках А и B, причем в точке А находится наиболее сильный источник. Считаем, что точка С наименее освещена и отстоит от точки А на расстоянии х (Смотри рисунок), тогда СВ =. Если силу света более сильного источника принять за , то сила света другого источника будет .

     Поскольку освещенность точки прямо пропорциональна  силе света и обратно пропорциональна  квадрату расстояния от точки до источника  света, то, учитывая, что выбранная  точка освещается обоими источниками  света, функция освещенности в зависимости  от расстояния примет вид .

     Находим производную  и приравниваем ее к нулю, откуда или.

     Таким образом, наименее освещенная точка  отстоит от источника А на расстоянии = 15м.

     Докажем это. Возьмем вторую производную  от освещенности . Нетрудно заметить, что при, следовательно, точка С есть точка минимума функции.

     Задача 8. 

       Электрическая лампа висит над центром круглого стола радиуса . На какой высоте над столом должна находится лампа, чтобы книга, лежащая у края стола, была лучше всего освещена? 

     Решение: 

     Обозначим высоту через (Смотри рисунок). 

       Зная, что освещенность  прямо пропорциональна косинусу угла падения и обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света, составим функцию: , где   Из треугольника SAO находим:,  . Тогда .

     Находим производную  и приравниваем ее к нулю. Затем получаем , откуда . Чтобы выяснить, имеет ли функция при данном значении   максимум, находим знак второй

     производной при : ,   - следовательно, функция имеет максимум и при высоте лампочки

     книга лучше всего освещена.

     Задача 9. 

     Завод А отстоит от железной дороги, проходящей через город В, считая по кратчайшему расстоянию, на км. Под каким углом к железной дороге надо провести шоссе с завода А, чтобы доставка грузов из А в В была наиболее дешевой, если стоимость перевозок по шоссе в два раза дороже, чем по железной дороге?