ВЯТСКИЙ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ 

Факультет информационных технологий 

Кафедра информатики и вычислительной техники 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Производственная  функция Кобба-Дугласа

Курсовая  работа

                                                 Дисциплина: Математическая экономика

               Группа: ИО-31

         Разработал студент:  Чучалин Н.А

        Руководитель : Здоровенко М. Ю. 
 
 
 
 
 
 

Дата  сдачи курсовой работы: <___> ______________2010 г.

Дата  защиты:<___>______________2010 г.

Оценка:_____________ 
 
 
 
 
 

Киров. 2010 
 
 

      Содержание 

      Введение                                                                   

      1.   Производственная  функция. Основные понятия          4                        

      2. Закон убывающей отдачи                                                8 

      3. Эффект масштаба                                                             10

      4. Эластичность                                                                    12     

      5.  Экономический анализ функции                                    13                    
 
 
 

      Приложения 

      Блок-схема                                                                             20            

      Листинг программы                                                              21         

      Заключение                                                                            24           

          Список использованных источников                                  25       

Введение 
 

     Функция Кобба-Дугласа находит широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

     Цель  работы:

     Изучить производственную функцию Кобба-Дугласа .

     Задачи  работы:

1. Дать определение производственной функции Кобба-Дугласа.
2. Рассмотреть Закон убывающей отдачи.
3. Рассмотреть Эффект масштаба.
4. Изучить эластичность функции.
5. Рассмотреть экономический анализ функции.
6. Написать и отладить программу, которая находит оптимум               фирмы в условиях совершенной конкуренции .

1. Производственная  функция. Основные  понятия. 

      Производственная функция – это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов.  Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология – новая производительная функция. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта.

      В эконометрических исследованиях часто  применяют производственную функцию, имеющую постоянные эластичности производственных факторов.

    Наиболее  простой является двухфакторная  модель производственной функции Кобба  – Дугласа, с помощью которой  раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К). Эти факторы взаимозаменяемы  и взаимодополняемы.  Еще в 1928 году американские ученые — экономист  П. Дуглас и математик Ч. Кобб —  создали макроэкономическую модель, позволяющую оценить вклад различных  факторов производства в увеличении объема производства или национального  дохода. Эта функция имеет следующий  вид: 

Q=AK ^α*L ^β , 

где А – производственный коэффициент, показывающий пропорциональность всех функций и изменяется при изменении базовой технологии (через 30-40 лет);

K, L- капитал и  труд;

α,β -коэффициенты эластичности объема производства по затратам капитала и труда.Если α = 0,25, то рост затрат капитала на 1% увеличивает объем производства на 0,25%.

На основе анализа  коэффициентов эластичности в производственной функции Кобба - Дугласа можно  выделить:

1)     пропорционально возрастающую производственную функцию, когда

α+ β=1 (

2)  непропорционально – возрастающую  

3) убывающую  

Для случая двух факторов, K (капитал, основные фонды) и L (труд, трудозатраты)   функция   Кобба-Дугласа в логарифмических координатах линейна, т.е. имеет вид

;

Переходя к  переменным K,L получаем: 

где  - постоянные эластичности выпуска по капиталу и труду,  -масштабирующая постоянная.  

      Если выпуск продукции при увеличении всех факторов в одинаковой степени увеличивается в такой же степени, т.е 

  то и функция   Кобба-Дугласа принимает вид:  

Определим предельную норму замещения для  функции   Кобба-Дугласа . Легко проверить, что  предельная норма замещения капитала трудом 
 
 
 
 

где K/L = F - фондовооруженность производства.  

Введя переменные F и , получим, что 

или                                              ;

откуда 

т.е. эластичность предельной нормы замещения труда капиталом по фондовооруженности для производственной   функции   Кобба-Дугласа равна единице.  

Вместе с тем  обработка эмпирической экономической  статистики показывает, что эта величина может быть и не равна единице. В качестве простейшего обобщения  функции   Кобба-Дугласа  можно предположить, что: 

+const;

где  const - некоторая константа. При этом 

Решая это дифференциальное уравнение, получаем  
 

Эта производственная функция сокращенно называется CES-функция -производственная функция с постоянной эластичностью предельной нормы замещения.  

Предельная норма  замещения для функции CES определяется следующей формулой: 

Таким образом, она зависит как от K и L, так и от  и 1- . Выписав частные производные R по K и L, получаем: 
 
 

а эластичность замещения можно записать следующим  образом:  

Таким образом  параметр  R характеризует эластичность замещения и вместе с тем  не зависит от значений Q,K,L. Этим и объясняется название функции - ''производственная функция с постоянной эластичностью замещения''. При увеличении затрат K и L в раз объем выпускаемой продукции изменится следующим образом: 

= 

Таким образом, представляет собой параметр, который характеризует поведение эффективности производства. Как и в случае  производственной   функции   Кобба-Дугласа , поведение эффективности определяется выбором значений параметров и не зависит от величин K и L.

2. Закон убывающей отдачи

В краткосрочном  периоде действует закон убывающей  предельной производительности.  Закон  убывающей предельной производительности действует в краткосрочном временном  интервале, когда один производственный фактор остается неизменным. Действие закона предполагает неизменное состояние  техники и технологии производства, если в производственном процессе будут  применены новейшие изобретения  и другие технические усовершенствования, то рост объема выпуска может быть достигнут при использовании  тех же самых производственных факторов. То есть технический прогресс может  изменить границы действия закона.

Если капитал  является фиксированным фактором, а  труд – переменным, то фирма может  увеличить производство за счет использования  большего количества трудовых ресурсов. Но по закону убывающей предельной производительности, последовательное увеличение переменного ресурса при неизменности других ведет к убывающей отдаче данного фактора, то есть к снижению предельного продукта или предельной производительности труда. Если же наем рабочих будет продолжаться, то в конечном итоге, они будут мешать друг другу (предельная производительность станет отрицательной) и объем выпуска сократится.

Предельная производительность труда (предельный продукт труда  – MP_L) – это прирост объема производства от каждой последующей единицы труда  

т.е. прирост  производительности к совокупному  продукту (TP_L) 

Аналогично определяется предельный продукт капитала MP_K.

Основываясь на законе убывающей производительности, проанализируем взаимосвязь общего (TP_L), среднего (АP_L) и предельного продуктов (MP_L) .

    В движении кривой общего продукта (ТР) можно выделить три этапа. На этапе 1 она поднимается вверх ускоряющимися темпами, так как предельность продукта (MP) возрастает (каждый новый рабочий приносит больше продукции, чем предыдущий) и достигает максимума в точке А, то есть скорость роста функции максимальна. После точки А (этап 2) в силу действия закона убывающей отдачи, кривая MP падает, то есть каждый нанятый рабочий дает меньшее приращение общего продукта по сравнению с предшествующим, поэтому темп роста ТР после ТС замедляется. Но пока МР будет положительным, ТР будет все равно увеличиваться и достигнет максимума при МР=0.

На 3 этапе, когда  количество рабочих становится избыточным по отношению к фиксированному капиталу (станки), МР приобретает отрицательное  значение, поэтому ТР начинает снижаться. Конфигурация кривой среднего продукта АР также обусловлена динамикой  кривой МР. На 1 этапе обе кривые растут, пока приращение объема выпуска от вновь нанятых рабочих будет  большим, чем средняя производительность (АР_L) ранее нанятых рабочих. Но после точки А (max MP), когда четвертый рабочий добавляет к совокупному продукту (ТР) меньше чем третий, МР уменьшается, поэтому средняя выработка четырех рабочих также сокращается.

3. Эффект масштаба

1. Проявляется в изменении долговременных средних издержек производства (LATC).

2. Кривая LATC является огибающей минимальных краткосрочных средних затрат фирмы на единицу продукции (рис. 1).

3. Долгосрочный период в деятельности фирмы характеризуется изменением количества всех используемых производственных факторов.

 
Рис. 1. Кривая долгосрочных и средних издержек фирмы 

Реакция LATC на изменение  параметров (масштаба) фирмы может быть различной (рис. 2). 

Рис. 2. Динамика долгосрочных средних издержек 

4. Эластичность функции  (спроса). 

    Эластичностью  называется относительное  приращение  к относительному приращению  

α+β=1

c-const. 
 
 
 

E= 
 
 

      Если  процесс описан функцией Кобба-Дугласа, то она постоянна и  равна  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      5. Экономический анализ функции 

     Как уже было сказано, производственная функция отражает функциональную связь  между объёмом эффективно используемых факторов производства (трудом и имущественным  капиталом) и с их помощью достигаемым  выпуском при существующем техническом  и организационном знании.

     При субституционной производственной функции производство может быть увеличено за счёт повышения количественной характеристики одного из факторов, в  то время как количественная характеристика другого фактора остаётся без  изменения, в другом варианте же производство остаётся без изменения при различных  количественных комбинациях факторов труда и имущественного капитала.

     Субстиционная производственная функция имеет  в общем следующее выражение:

     где:

     K – число производственного капитала

     L – число производственных трудовых часов или, другими словами, число производственных единиц гуманного капитала

     На  основе условно введённой субстиционности  факторов производства можно сделать  следующие два вывода относительно функциональной взаимосвязи данных факторов:

     При прочих равных увеличение одного из факторов производства ведёт к увеличению выпуска – первая производная  положительна.

     Однако  предельная производительность возрастающего  фактора уменьшается с увеличением  величины данного фактора – вторая производная отрицательна.

     Уровень организационных и технических  знаний отображается в соответствующих  формах взаимодействий факторов. В  рассматриваемом случае уровень  знаний постоянен, т.е. в данных рамках предполагается отсутствие технического прогресса. Таким образом, субстиционная  функция производства может быть представлена в виде следующего изображения, отражающего взаимосвязь между  количеством труда и выпуском при заданном количестве имущественного капитала (рисунок 3

     ):

Рисунок 3. Связь между производством и производственным трудом

     Каждое  увеличение количественного параметра  имущественного капитала означает смещение кривой вверх и одновременного увеличения предельной производительности труда  при заданном количестве рабочей  силы, т.е. на основе вытекающего непосредственно  из описанного вывода означает и более  высокую величину выпуска при  увеличении производственного фактора  «труд»: кривая OK₁ на рисунке показывает более крутой наклон по сравнению с кривой OK₀ при любом числе занятых трудом.

     С увеличением количественного параметра  имущественного капитала увеличивается  и средняя производительности труда, которая является частным от деления  величины выпуска на величину затраченного труда. Однако при этом уменьшается  коэффициент труда, определяющий среднее  количество затраченного труда на каждую единицу выпуска и являющийся таким образом обратной величиной  средней производительности труда.

     Величина  имущественного капитала принимается  в рамках данного кратковременного анализа как экзогенно заданная, поэтому в модели и описании не учитывается технический прогресс, а также эффект увеличения производственных мощностей за счёт инвестиций.

     В 1927 г. Пол Дуглас обнаружил, что если совместить графики зависимости от времени логарифмов показателей реального объема выпуска (y), капитальных затрат (К) и затрат труда (L), то расстояния от точек графика показателей выпуска до точек графиков показателей затрат труда и капитала будут составлять постоянную пропорцию. Затем он обратился к Чарльзу Коббу с просьбой найти математическую зависимость, обладающую такой особенностью, и Кобб предложил следующую субституционную функцию:

     Эта функция была предложена примерно 30 годами раньше Филипом Уикстидом (Wicksteed), но они были первыми, кто использовал  для ее построения эмпирические данные.

     Однако  при больших значениях K и L эта функция не имеет экономического смысла, т.к. выпуск все время возрастает при возрастании затрат.

     Кинетическая  функция  (где g - норма технического прогресса за единицу времени) получена умножением функции Кобба-Дугласа на e^g, что снимает данную проблему и делает функцию Кобба-Дугласа экономически интересной.

     Эластичность  выпуска продукции по капиталу и  труду равна соответственно a и b, так как

     и аналогичным образом легко показать, что (dy/dL)/(y/L) равно b.

     Следовательно, увеличение затрат капитала на 1% приведет к росту выпуска продукции  на a процентов, а увеличение затрат труда на 1% приведет к росту выпуска на b процентов. Можно предположить, что обе величины a и b находятся между нулем и единицей. Они должны быть положительными, так как увеличение затрат производственных факторов должно вызывать рост выпуска. В то же время, вероятно, они будут меньше единицы, так как разумно предположить, что уменьшение эффекта от масштаба производства приводит к более медленному росту выпуска продукции, чем затрат производственных факторов, если другие факторы остаются постоянными.

     Если a и b в сумме превышают единицу, то говорят, что функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства (это означает, что если К и L увеличиваются в некоторой пропорции, то y растет в большей пропорции). Если их сумма равна единице, то это говорит о постоянном эффекте от масштаба производства (y увеличивается в той же пропорции, что и К и L). Если их сумма меньше, чем единица, то имеет место убывающий эффект от масштаба производства (y увеличивается в меньшей пропорции, чем К и L).

     В соответствии с допущением о конкурентности рынков факторов производства  и b имеют дальнейшую интерпретацию как прогнозируемые доли дохода, полученного соответственно за счет капитала и труда. Если рынок труда имеет конкурентный характер, то ставка заработной платы (w) будет равна предельному продукту труда (dy/dL):

     Следовательно, общая сумма заработной платы (wL) будет равна by, а доля труда в общем выпуске продукции (wL/Y) составит постоянную величину b. Аналогичным образом норма прибыли выражается через dy/dK:

     и, следовательно, общая прибыль (rК) будет равна ay, а доля прибыли будет постоянной величиной a.

     Существует  ряд проблем по применению такой  функции, особенно в тех случаях, когда она используется для экономики  в целом. В частности, даже в тех  случаях, когда между выпуском продукции, производственным оборудованием и  трудом в производственном процессе существует технологическая зависимость, то совершенно необязательно, что подобная зависимость существует тогда, когда  указанные факторы комбинируются в масштабах экономики в целом. Во-вторых, даже если такая зависимость для экономики в целом существует, то нет никаких оснований считать, что она будет иметь простую форму.

     При построении производственной функции  Кобба–Дугласа параметры A, a, b можно оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов (МНК):

     1) Производственную функцию Кобба–Дугласа приводят к линейному виду путем логарифмирования

     2) При применении МНК цель заключается в минимизации суммы квадратичных отклонений (SSD) между наблюдаемыми величинами ln(y_i), (i=1…N; N – количество наблюдений) и соответствующими оценками .

     3) Введем векторы

      ;   ;

      ; 

     и матрицу  

     Тогда критерий можно записать в виде

     Дифференцируя SSD по вектору Х и приравнивая  производную к нулю систему уравнений  МНК

     или

     4) Для оценки критерия значимости выборочных коэффициентов регрессии оценивают дисперсию выборочных коэффициентов

     где c_ii – элементы главной диагонали матрицы .

     s² – дисперсия погрешности измерений.

     Оценка s² определяется по формуле

     Рассчитывается  значение t – параметра

     Если  полученное значение t больше, чем табличное t_a при (N-3-1) степеней свободы, тогда X_i существенно отлично от нуля при уровне a.

     Доверительные границы для  определяются по формуле

     Тогда вероятность того, что величина X_i действительно находится в этих пределах, составит 1–a.

     5) Для оценки адекватности регрессивной модели наблюдаемым величинам объема выпуска y рассчитывается коэффициент множественной детерминации: