Производственные функции. 5

Министерство  образования РФ

Филиал  государственного федерального бюджетного ОУ высшего профессионального образования

«Воронежский ГАСУ» в г. Борисоглебске. 
 
 
 

Кафедра экономики и управления 
 
 

Курсовая  работа

по дисциплине 

«Экономико-математические методы и модели».

на тему «Производственные функции» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила: студентка группы ЭУС-821

Богданова Е.Ю.

Принял: преподаватель

                                                                                                          Коровина О.В. 
 
 
 
 
 
 

Борисоглебск 2012.

Содержание.

Введение………………………………………………………………………….3

Виды производственных функций……………………………………………..4

Производственная  функция Кобба-Дугласа…………………………………...9

Предельные (маржинальные) и средние значения производственной функции………………………………………………………………………….11

Производственные  функции в темповой записи……………………………...16

Примеры использования  производственных функций в задачах экономического анализа, прогнозирования и планирования………………...19

Заключение………………………………………………………………………23

Используемая литература……………………………………………………….25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

В условиях современного общества ни один человек  не может потреблять только то, что  он сам производит. Для наиболее полного удовлетворения своих потребностей люди вынуждены обмениваться тем, что они производят. Без постоянного производства благ не было бы потребления. Поэтому большой интерес представляет анализ закономерностей, действующих в процессе производства благ, которые формируют в дальнейшем их предложение на рынке.

  Производственный  процесс - это основное и первоначальное понятие экономики. Что же понимается под производством?

  Каждый  знает, что производство благ и услуг  на пустом месте невозможно. Для  того, чтобы  произвести мебель, продукты питания, одежду и другие товары, необходимо иметь соответствующие исходные материалы, оборудование, помещение, клочок земли, специалистов, которые организуют производство. Все, необходимое для организации процесса производства называют факторами производства. Традиционно к факторам производства относят капитал, труд, землю и предпринимательство.

  Для организации производственного  процесса необходимые факторы производства должны присутствовать в определенном количестве. Зависимость максимального  объема производимого продукта от затрат используемых факторов называется производственной функцией. 
 
 
 
 
 
 
 

1. Основные понятия

  Производственная  функция - это функция, независимая переменная которой принимает значения объемов затрачиваемого или используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная - значения объемов выпускаемой продукции

  Точное  толкование понятий затрачиваемого (или используемого) ресурса и  выпускаемой продукции, а также  выбор единиц их измерения зависят от характера и масштаба производственной системы, особенностей решаемых (с помощью ПФ) задач (аналитических, плановых, прогнозных), наличия исходных данных.

  На  микроэкономическом уровне затраты и выпуск могут измеряться как в натуральных, так и в стоимостных единицах (показателях). Годовые затраты труда могут быть измерены в человеко-часах (объем человеко-часов - натуральный показатель) или в рублях выплаченной заработной платы (ее величина - стоимостный показатель); выпуск продукции может быть представлен в штуках или в других натуральных единицах (тоннах, метрах и т.п.) или в виде своей стоимости.

  На  макроэкономическом уровне затраты и выпуск измеряются, как правило, в стоимостных показателях и представляют собой стоимостные (ценностные) агрегаты, т.е. суммарные величины произведений объемов затрачиваемых (или используемых) ресурсов и выпускаемых продуктов на их цены.

  Производственная  функция нескольких переменных - это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных л равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:

  При построении ПФ для региона или страны в целом в качестве величины годового выпуска Y (будем обозначать объем выпуска, или дохода, на макроуровне большой буквой) чаще берут совокупный продукт (доход) региона или страны, исчисляемый обычно в неизменных, а не в текущих ценах, в качестве ресурсов рассматривают основной капитал (х₁ (=К) - объем используемого в течение года основного капитала), живой труд (х₂ (=L) - количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда), исчисляемые обычно в стоимостном выражении. Таким образом строят двухфакторную f(х₁, х₂), или Y=f{K,L). От двухфакторных ПФ переходят к трехфакторным. В качестве третьего фактора иногда вводят объемы используемых природных ресурсов. Кроме того, если ПФ строится по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства может быть включен технический прогресс.

  ПФ  у =f(х₁, х₂) называется статической, если ее параметры и ее характеристика f не зависят от времени t, хотя объемы ресурсов и объем выпуска могут зависеть от времени t, т.е. могут иметь представление в виде временных рядов.

  Пример . Для моделирования отдельного региона или страны в целом (т.е. для решения задач на макроэкономическом, а также и на микроэкономическом уровне) часто используется ПФ вида у = a₀x₁^a₁x₂^a₂, где а_0, а₁, а₂ - параметры ПФ. Это положительные постоянные (часто а₁ + а₂ = 1). ПФ только что приведенного вида называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) по имени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929 г. ПФКД активно применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач благодаря своей структурной простоте. ПФКД принадлежит к классу так называемых мультипликативных ПФ (МПФ). В приложениях ПФКД х₁ = K равно объему используемого основного капитала (объему используемых основных фондов - в отечественной терминологии), x₂=L - затратам живого труда, тогда ПФКД приобретает вид, часто используемый в литературе:

Пример . Линейная ПФ (ЛПФ) имеет вид: у= а₀ + а₁х₁ + a₂x₂. (двухфакторная) и у= а₀ + а₁х₁ + a₂x_{2+ …+}a_nx_n (многофакторная). ЛПФ принадлежит к классу так называемых аддитивных ПФ (АПФ). Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования. Для двухфакторной мультипликативной ПФ

  Выполняя  обратный переход, из аддитивной ПФ получим  мультипликативную ПФ.

  Если а₁ + а₂ = 1, то ее можно записать в несколько другой форме:

  называются  соответственно производителностью труда и капиталовооруженностью труда. Используя новые символы, получим

  т.е. из двухфакторной ПФКД получим формально  однофакторную ПФКД. В связи с  тем, что 0 < a₁< 1, из последней формулы следует, что производительность труда растет медленнее его капиталовооруженности. Однако этот вывод справедлив для случая статической ПФКД в рамках существующих технологии и ресурсов.

  Отметим здесь, что дробь Y / K — называется производительностью капитала или капиталоотдачей, обратные дроби K / Y и L / Y называются соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью выпуска.

  ПФ  называется динамической, если:

  1) время t фигурирует в качестве  самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного фактора  производства), влияющего на объем  выпускаемой продукции;

  2) параметры ПФ и ее характеристика f зависят от времени t.

  Отметим, что если параметры ПФ оценивались по данным временных рядов (объемов ресурсов и выпуска) продолжительностью T₀ лет (т.е. базовый промежуток для оценки параметров имеет продолжительность T₀ лет), то экстраполяционные расчеты по такой ПФ 

  следует проводить не более чем на T₀ / 3 лет вперед (т.е. промежуток экстраполяции должен иметь продолжительность не более чем T₀/3 лет).

  При построении ПФ научно-технический прогресс (НТП) может быть учтен с помощью введения множителя НТП е^pt, где параметр (число) p(p>0) характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП:

  Эта ПФ - простейший пример динамической ПФ; она включает нейтральный, то есть не материализованный в одном из факторов, технический прогресс. В более сложных случаях технический прогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда или капиталоотдачу: Y(t) = f(A(t)-L(t), K(t)) или Y(t) = f(A(t) K(t), L(t)). Он называется, соответственно, трудосберегающим или капиталосберегающим НТП.

  Пример .. Приведем вариант ПФКД с учетом НТП v(t} =

  Выделение существенных видов ресурсов (факторов производства) и выбор аналитической формы функции f называется спецификацией ПФ .

  Преобразование  реальных и экспертных данных в модельную  информацию, т.е. расчет численных значений параметров ПФ на базе статистических данных с помощью регрессионного и корреляционного анализа, называется параметризацией ПФ .

  Проверка  истинности (адекватности) ПФ называется ее верификацией.

  Выбор аналитической формы ПФ (т.е. спецификация) диктуется прежде всего теоретическими соображениями, которые должны явно (или даже неявно) учитывать особенности взаимосвязей между конкретными ресурсами (в случае микроэкономического уровня) или экономических закономерностей (в случае макроэкономического уровня), особенности реальных или экспертных данных, преобразуемых в параметры ПФ (т.е. особенности параметризации). На спецификацию и параметризацию в процессе совершенствования ПФ оказывают влияние результаты верификации ПФ. Отметим здесь, что оценка параметров ПФ обычно проводится с помощью метода наименьших квадратов. 
 
 
 

     2. Производственная функция Кобба-Дугласа 

     Производственная  функция – это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов.  Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология – новая производительная функция. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта.

     Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:

     1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение – не у всех будут места).

     2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).

     В наиболее общем виде производственная функция выглядит следующим образом:

      ,

     где  - объем выпуска;

     K- капитал (оборудование);

     М- сырье, материалы;

     Т – технология;

     N – предпринимательские способности.

     Наиболее  простой является двухфакторная  модель производственной функции Кобба  – Дугласа, с помощью которой  раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К). Эти факторы взаимозаменяемы  и взаимодополняемы.  Еще в 1928 году американские ученые — экономист П. Дуглас и математик Ч. Кобб — создали макроэкономическую модель, позволяющую оценить вклад различных факторов производства в увеличении объема производства или национального дохода. Эта функция имеет следующий вид:

     Q=AK ^α*L ^β ,

     где А – производственный коэффициент, показывающий пропорциональность всех функций и изменяется при изменении базовой технологии (через 30-40 лет);

     K, L- капитал и труд;

     α,β -коэффициенты эластичности объема производства по затратам капитала и труда.

     Если α = 0,25, то рост затрат капитала на 1% увеличивает объем производства на 0,25%.

     На  основе анализа коэффициентов эластичности в производственной функции Кобба - Дугласа можно выделить:

     1)     пропорционально возрастающую производственную функцию, когда

     α+ β=1 ( ).

     2)  непропорционально – возрастающую );

     3) убывающую .

     Рассмотрим  короткий период деятельности фирмы, в  котором из двух факторов переменным является труд. В такой ситуации фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов. График производственной функции Кобба – Дугласа с одной переменной изображен на рис. 1 (кривая ТР_н).

     Рис. 1. Динамика и взаимосвязь общего среднего и предельного продуктов

3.Предельные (маржинальные) и средние значения производственной функции

  называется  средней производительностью i-го ресурса (фактора производства) (СПФ) или средним выпуском по i-му ресурсу (фактору производства). Символика: А_i=f(x)/x_i.

  Напомним, что в случае двухфакторной ПФКД  для средних производительностей Y/K и Y/L основного капитала и труда были использованы соответственно термины капиталоотдача и производительность труда. Эти термины используют и применительно к любым двухфакторным ПФ, у которых х₁=К и x₂=L.

  называется  предельной (маржинальной) производительностью i-го ресурса (фактора производства) (ППФ) или предельным выпуском по i-му ресурсу (фактору производства). Символика: M_i=df(x)/dx_i.

  Следовательно, ППФ (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска у, если объем затрат х i-го ресурса вырастает на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса.

  Отношение предельной производительности M_i i-го ресурса к его средней производительности А_i называется (частной) эластичностью выпуска по i-му ресурсу (по фактору производства) (ЭВФ). Символика:

  Сумма Е₁ + Е₂ = Е_x называется эластичностью производства.

  Е (приближенно) показывает, на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса 1 увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса.

  Обратим внимание на то, что i - номер заменяемого ресурса, j -номер замещающего ресурса. Используется также термин: предельная технологическая норма замены (замещения) i-ого ресурса (фактора производства) j-м ресурсом (фактором производства). Приведем более краткий (но менее точный) термин: (предельная) норма замены (замещения) ресурсов.

Непосредственно проверяется, что  для двухфакторной  ПФ справедливо равенство

  т.е. (предельная) норма замены первого  ресурса вторым равна отношению  эластичностей выпуска по первому и второму ресурсам, умноженному на отношение объема второго ресурса к объему первого ресурса. Если х₁ = К, х₂= L, то отношение x₁/x₂=K/L называется капиталовооруженностью труда. В этом случае (предельная) норма замены основного капитала трудом равна отношению эластичностей выпуска по основному капиталу и труду, поделенному на капиталовооруженность труда.

  Пусть ПФ - двухфакторная. При постоянном выпуске у и малых приращениях Дх₁, и Дх₂, имеем приближенное равенство

  Предельная  норма замены ресурсов R₁₂ (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличатся затраты второго ресурса (при неизменном выпуске у = а), если затраты первого ресурса уменьшатся на одну (малую) единицу.

3. Пример

  Имеются статистические данные по производственному  объединению “Угледобыча": 

  Балансовая  стоимость основных фондов и валовая  продукция производственного объединения  даны с учетом пересчета по индексу  цен.

  Вычислить производственную функцию Кобба-Дугласа; определить коэффициенты эластичности валовой продукции по списочной численности и стоимости основных фондов, а также предельные производительности по этим факторам. По результатам расчетов сформулировать выводы.

  Решение:

  Производственная функция Кобба-Дугласа имеет следующий вид

  где b₀ , b₁ , b₂ – параметры уравнения.

  Для оценки параметров прологарифмируем уравнение  и выполним замену переменных:

  ln y =ln b₀ + b₁ ln x₁ + b₂ ln x₂

  b’₀= ln b₀ , y’= ln y, x’₁= ln x₁, x’₂= ln x₂.

  В результате этих преобразований получим  линейную модель

  y’= b’₀+ b₁ x’₁+ b₂ x’₂. 

  Для определения значений коэффициентов  этой модели прологарифмируем исходные значения у и х₁, х₂, а затем используем метод наименьших квадратов.

  В результате вычислений с помощью  функции ЛИНЕЙН пакетаEXCEL получим 

  b₁ = 0,424, b₂ = 0,680,

  ln b₀ = 2,369 откуда b₀= 10,690.

  Следовательно, производственная функция Кобба-Дугласа  имеет следующий вид

  Y=10,690X₁^0,424X₂^0,68.

  Коэффициент эластичности валовой продукции  по списочной численности (по х1) равен b₁ = 0,424.

  Коэффициент эластичности валовой продукции  по стоимости основных фондов (по х2) равен b₂ = 0,680.

  Следовательно, можно сделать вывод, что при увеличении списочной численности на 1% объём валовой продукции увеличится на 0,424% , а при увеличении стоимости основных фондов на 1% объём валовой продукции увеличится на 0,68%.

  Предельная  производительность по списочной численности  равна 

  M₁ = b₁* Y / X₁ = 0,424* Y / X₁= 0,424* 10,690X₁ ^–0,576 X₂^0,68 ,

  где Y / X₁- производительность труда.

  Предельная  производительность по стоимости основных фондов равна 

  M₂ = b₂* Y / X₂ = 0,680* Y / X₂ =0,680* 10,690X₁^0,424X₂ ^–0,32 ,

  где Y / X₂ -фондоотдача. 
 
 
 
 

4.Производственные функции в темповой записи

Наряду  со связями объемных показателей  выпуска и затрат ресурсов

могут быть рассмотрены связи между  темпами прироста этих

показателей. Будем здесь говорить о макроэкономических производственных

функциях, связывающих величину совокупного продукта

(дохода) 7 с затратами капитала К и труда Ьу но все это легко

обобщается  на любые другие производственные функции. Обозначим

темпы прироста величин У, К и L малыми буквами у , к и I соответственно.

Это могут  быть дискретные темпы прироста

>.-ь  Y,-

прироста

Yt-i , _ Kt~Kt-\

' Kt-y

К,'

lt=

Lt~Lt-\

угу, к,

Lt)

Lt-i

или непрерывные  темпы

Итак, ПФ в темповой записи

имеет вид: у = J[k, I ) .

Теперь  рассмотрим связь ПФ Кобба—Дугласа  в объемной и

темповой  записи. Пусть величины К и L являются непрерывными

дифференцируемыми функциями времени (Kt и L t ) . В таком случае

они представляют не объемы использованных ресурсов за определенный

период  времени, а «интенсивности», их использования  в

каждый  момент времени. От функции Yt = AKfLfe" можно после

ее логарифмирования взять полный дифференциал:

d 1пУ, = ad\nKt + р-dkiLt + у dt,

или dY1 = a.dKl + ^dLl + y.dt^

Yt Kt Lt

Yt Kt Lt

и после  деления обеих частей на dt получаем

99

Yt Kt Lt

Y' Kf Lf

Здесь y, = —, Ь =—-» // = — — непрерывные темпы прироста

выпуска, капитала и труда.

Таким образом, ПФКД в объемных показателях  соответствует

линейная  зависимость темпов прироста:

у, = a kt + Н '+ У-

Эта зависимость  называется производственной функцией Кобба—

Дугласа в темповой записи.

Если  заменить дифференциалы dYb dKh dLt (главные линейные

части приращений) на сами приращения А У,, АК,9 ALh то получим

приближенную  формулу:

yt = akt + р/, + у,

где у,, /;,, /, — дискретные темпы прироста.

Таким образом, и в дискретном случае функции  Кобба—Дугласа в

объемных  показателях соответствует линейная формула связи темпов

прироста  уь kt и /,. Однако при ее анализе и оценивании надо иметь в

виду  следующее. Формулы Yt = AK?Lftn и yt = akt + р/ , + у эквивалентны

при непрерывном  рассмотрении времени. В то же время статистические

данные, по которым оцениваются ПФ, всегда дискретны;

обычно  это погодовые данные. В этих условиях приведенные формулы