Производственные функции. 4

Министерство  образования и  науки

Российской  Федерации 

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ 

ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО 
 
 
 

                                                                       Кафедра математической экономики 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа: 
 
 
 
 

Производственные  функции. 
 
 

      Выполнила:

                                                                                                       студентка 2го  курса

      241 группы

Перова  Валерия 
 
 

                                                                                      

Заведующий  кафедрой                                                                              Научный руководитель

д.ф.-м.н., профессор      к.ф.-м.н., доцент

___________С.И. ДУДОВ                                               ________Н.Ю.ТРОШИНА         
 
 
 
 
 

Саратов,2011г. 

Содержание 

     Введение……………………………………………………………………3 

  1. Понятие производственной функции одной переменной………………………………………………………………..4
 
  1. Производственные  функции нескольких переменных……………………………………………………………….5
 
  1. Свойства  и основные характеристики производственных

    функций…………………………………………………………………..7 

    Заключение……………………………………………………………….12 

         Список использованной литературы………………………………… .13 
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

Введение

         В условиях современного общества ни один человек не может потреблять только то, что он сам производит. Для наиболее полного удовлетворения своих потребностей люди вынуждены обмениваться тем, что они производят. Без постоянного производства благ не было бы потребления. Поэтому большой интерес представляет анализ закономерностей, действующих в процессе производства благ, которые формируют в дальнейшем их предложение на рынке.

  Производственный  процесс - это основное и первоначальное понятие экономики.

  Каждый  знает, что производство благ и услуг на пустом месте невозможно. Для того, чтобы  произвести мебель, продукты питания, одежду и другие товары, необходимо иметь соответствующие исходные материалы, оборудование, помещение, клочок земли, специалистов, которые организуют производство. Все, необходимое для организации процесса производства называют факторами производства. Традиционно к факторам производства относят капитал, труд, землю и предпринимательство.

  Для организации производственного  процесса необходимые факторы производства должны присутствовать в определенном количестве. Зависимость максимального объема производимого продукта от затрат используемых факторов называется производственной функцией. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    1.Понятие производственной функции одной переменной

  Рассмотрение  понятия «производственная функция» начнем с наиболее простого случая, когда производство обусловлено только одним фактором. В этом случае производственная функция – это функция, независимая переменная которой принимает значения используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная – значения объемов выпускаемой продукции

y=f(x).

В этой формуле y есть функция одной переменной x. В связи с этим производственная функция (ПФ) называется одноресурсной или однофакторной. Ее область определения – множество неотрицательных действительных чисел. В микроэкономической теории принято считать, что y – максимально возможный объем выпуска продукции, если ресурс затрачивается или используется в количестве x единиц. В макроэкономике такое понимание не совсем корректно: возможно при другом распределении ресурсов между структурными единицами экономики выпуск мог бы быть и большим. В этом случае ПФ – статистически устойчивая связь между затратами ресурса и выпуском. Более правильной является символика

y=f(x, а),

где а  – вектор параметров ПФ.

      ПФ  могут иметь разные области использования. Принцип "затраты-выпуск" может  быть реализован как на микро-, так  и на макроэкономическом уровне. Сначала  остановимся на микроэкономическом уровне. ПФ у=axb может быть использована для описания взаимосвязи между величиной затрачиваемого или используемого ресурса х в течении года на отдельном предприятии (фирме) и годовым выпуском продукции у этого предприятия (фирмы). В роли производственной системы здесь выступает отдельное предприятие (фирма) – имеем микроэкономическую ПФ (МИПФ). На микроэкономическом уровне в роли производственной системы может выступать также отрасль, межотраслевой производственный комплекс. МИПФ строятся и используются в основном для решения задач анализа и планирования, а также задач прогнозирования.

      ПФ  может быть использована для описания взаимосвязи между годовыми затратами  труда в масштабе региона или  страны в целом и годовым конечным выпуском продукции (или доходом) этого  региона или страны в целом. Здесь  в роли производственной системы выступает регион или страна в целом – имеем макроэкономический уровень и макроэкономическую ПФ (МАПФ). МАПФ строятся и активно используются для решения всех трех типов задач (анализа, планирования и прогнозирования).

       

    2.Производственные функции нескольких переменных

      Перейдем  теперь к рассмотрению производственных функций нескольких переменных.

      Производственная  функция нескольких переменных – это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных n равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:

            y=f(x)=f(x1,…,хn).     (2)

      В формуле (2) у (у 0) – скалярная, а х – векторная величина, x1,…,хn --координаты вектора х, то есть f(x1,…,хn) есть числовая функция нескольких переменных x1,…,хn. В связи с этим ПФ f(x1,…,хn) называют многоресурсной или многофакторной. Более правильной является такая символика f(x1,…,хn,а), где а – вектор параметров ПФ.

      Для отдельного предприятия (фирмы), выпускающего однородный продукт, ПФ f(x1,…,хn) может связывать объем выпуска с затратами рабочего времени по различным видам трудовой деятельности, различных видов сырья, комплектующих изделий, энергии, основного капитала. ПФ такого типа характеризуют действующую технологию предприятия (фирмы).

      При построении ПФ для региона или  страны в целом в качестве величины годового выпуска Y чаще берут совокупный продукт (доход) региона или страны, исчисляемый обычно в неизменных, а не в текущих ценах, в качестве ресурсов рассматривают основной капитал (х1(=К) – объем используемого в течение года основного капитала) и живой труд (х2(=L) – количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда), исчисляемые обычно в стоимостном выражении. Таким образом, строят двухфакторную ПФ Y=f(K,L). От двухфакторных ПФ переходят к трехфакторным. Кроме того, если ПФ строится по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства может быть включен технический прогресс.

      ПФ  y=f(x1,x2) называется статической, если ее параметры и ее характеристика f не зависят от времени t, хотя объемы ресурсов и объем выпуска могут зависеть от времени t, то есть могут иметь представление в виде временных рядов: 

x1(0), x1(1),…, x1(Т); x2(0), x2(1),…, x2(Т); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x1(t), x2(t)). Здесь t – номер года, t=0,1,…,Т;

t= 0 – базовый год временного промежутка, охватывающего годы 1,2,…,Т.                    

      Для моделирования отдельного региона  или страны в целом (то есть для  решения задач на макроэкономическом, а также на микроэкономическом уровне) часто используется ПФ вида y= , где а0, а1, а2 – параметры ПФ. Это положительные постоянные (часто а1 и а2  таковы, что а1+а2=1). ПФ только что приведенного вида называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) по имени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929г.

      ПФКД  активно применяется для решения  разнообразных теоретических и  прикладных задач благодаря своей  структурной простоте. ПФКД  принадлежит  к классу, так называемых, мультипликативных ПФ (МПФ). В приложениях ПФКД  х1=К равно объему используемого основного капитала, - затратам живого труда, тогда ПФКД  приобретает вид:

Y=

. 

ПФ называется динамической, если:

  1. время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины влияющего на объем выпускаемой продукции;
  2. параметры ПФ и ее характеристика f зависят от времени t.

   При построении ПФ научно-технический прогресс (НТП) может быть учтен с помощью  введения множителя НТП  , где параметр р (р>0) характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП:

  (t=0,1,…,Т).

      Эта ПФ – простейший пример динамической ПФ; она включает нейтральный, то есть нематериализованный в одном из факторов технический прогресс. В более сложных случаях технический прогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда или капиталоотдачу:

Y(t)=f(A(t)×L(t),K(t)) или Y(t)=f(A(t)×K(t), L(t)).

Он называется, соответственно, трудосберегающим или капиталосберегающим НТП. 

  1.   Свойства и основные характеристики производственных функций

      Для производства конкретного продукта требуется сочетание разнообразных факторов. Несмотря на это, различные производственные функции обладают рядом общих свойств.

   Для определенности ограничимся производственными  функциями двух переменных . Прежде всего, необходимо отметить, что такая производственная функция определена при . ПФ удовлетворяет следующему ряду свойств:

  1. без ресурсов нет выпуска, т.е. f(0,0,a)=0;
  2. при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска, т.е. ;
  3. с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет;
  4. с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет, т.е. если x>0, то ;
  5. с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности), т.е. если то ;
  6. при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает, т.е. если x>0, то ;
  7. ПФ является однородной функцией, т.е. ; при р>1 имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства; при р<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства; при р=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.

      Линия уровня ПФ – это множество точек, на котором ПФ принимает постоянное значение. Иногда линии уровня называют изоквантами ПФ. Возрастание одного фактора и уменьшение другого могут происходить таким образом, что общий объем производства остается на прежнем уровне. Изокванты как раз и определяют все возможные комбинации факторов производства, необходимых для достижения заданного уровня продукции.

      

Рис.2.

        Из рисунка 2 видно, что вдоль изокванты выпуск продукции постоянный, то есть прирост выпуска отсутствует. Математически это означает, что полный дифференциал ПФ на изокванте равен нулю:

      

.

      Изокванты являются подобием кривых безразличия  с той лишь разницей, что они отражают ситуацию не в сфере потребления, а в сфере производства. Отрицательный наклон изоквант объясняется тем, что увеличение использования одного фактора при определенном объеме выпуска продукта всегда будет сопровождаться уменьшением количества другого фактора. Крутизна наклона изокванты характеризуется предельной нормой технологического замещения факторов производства (MRTS). Рассмотрим эту величину на примере двухфакторной производственной функции Q(y,x). Предельная норма технологического замещения измеряется соотношением изменения фактора y к изменению фактора х. Поскольку замена факторов происходит в обратном отношении, то математическое выражение показателя MRTS берется со знаком минус:   .

      На  рисунке 3 изображена одна из изоквант ПФ Q(y,x)

      Рис. 3.

      Если  взять какую-либо точку на этой изокванте, например, точку А и провести к  ней касательную КМ, то тангенс  угла даст нам значение MRTS:

       .          Можно отметить, что в верхней части изокванты угол будет достаточно велик, что говорит о том, что для изменения фактора х на единицу требуются значительные изменения фактора y. Следовательно, в этой части кривой значение MRTS будет велико. По мере движения вниз по изокванте значение предельной нормы технологического замещения будет постепенно убывать. Это означает, что для увеличения фактора х на единицу потребуется незначительное уменьшение фактора y. При полной заменяемости факторов изокванты из кривых преобразуются в прямые.

      Рис. 4.

      Остановимся на некоторых характеристиках производственных функций, наиболее важных для экономического анализа. Рассмотрим их на примере ПФ вида .   Как уже было отмечено выше, отношение (i=1,2) называется средней производительностью i-го ресурса или средним выпуском по i-му ресурсу. Первая частная производная ПФ (i=1,2) называется предельной производительностью i-го ресурса или предельным выпуском по i-му ресурсу. Эту предельную величину иногда интерпретируют, используя близкое к ней отношение малых конечных величин . Приближенно она показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска y, если объем затрат i-го ресурса возрастет на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса.

      Например, в ПФКД для средних производительностей  основного капитала у/К и труда  у/L используются соответственно термины капиталоотдача и производительность труда:

.

      Определим для этой функции предельные производительности факторов:

                 и  .

      Таким образом, если , то (i=1,2), то есть предельная производительность i-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса. Отношение предельной производительности i-го фактора к его средней производительности называется эластичностью выпуска по i-му фактору производства          или приближенно     .

      Таким образом, эластичность выпуска (объема производства) по некоторому фактору (коэффициент  эластичности) приближенно определяется как отношение темпов прироста у  к темпам прироста этого фактора, то есть показывает на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса. Сумма + =Е называется эластичностью производства.  
 

    Заключение 

       Выше  достаточно подробно были изучены разные виды  ПФ . Производственная функция – это математическая зависимость между максимальным объемом выпуска продукции в единицу времени и комбинацией факторов, его создающих, при имеющемся уровне знаний и технологий. При этом, главная задача математической экономики с практической точки зрения состоит в выявлении этой зависимости, то есть, в построении производственной функции для конкретной отрасли или конкретного предприятия. В теории производства в основном используют двухфакторную производственную функцию

      Также были построены изокванты и изоклинали , найдены нормы замены ресурсов, было выяснено, что полный дифференциал ПФ на изокванте равен нулю. К основным выводам работы также можно отнести: 

  1. В производственной функции с одним переменным фактором величина общего продукта, начиная  с определенного объема данного  переменного фактора, убывает.
  2. Изокванта показывает максимальную величину продукта, которую можно получить при различных комбинациях переменных факторов.
  3. При возрастании объемов производства возникает три варианта эффекта масштаба производства: постоянная, возрастающая и убывающая отдача от масштаба.
  4. Отношение предельной производительности i-го фактора к его средней производительности называется эластичностью выпуска по i-му фактору производства.
 
 
 
 
 
 

    Литература

  1. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Финансы и статистика, 2001.
  2. Колемаев В.А. Математическая экономика.  Учебник для вузов. – М., 2002.
  3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.П. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: Изд. «ДИС», 1997.
  4. Салманов О. Математическая экономика. –  
    М.: BHV,  2003.
  5. Курс экономической теории: учебник. – Киров: «АСА», 1999.
  6. Микроэкономика/ Под ред. Проф. Яковлевой Е.Б. – М.: СПб. Поиск, 2002.