Проникновение математики в экономическую науку
CОДЕРЖАНИЕ
Введение |
3 |
|
5 |
|
6 |
|
9 |
|
11 |
|
21 |
Список литературы |
24 |
Приложение |
25 |
ВВЕДЕНИЕ
Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки.
Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система.
Наиболее распространено понимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой системы является эмерджентность - наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований - в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.
Сложность системы определяется
количеством входящих в нее элементов,
связями между этими
Сложность экономики
иногда рассматривалась как
Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.
1.РЕАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Фирма занимается производством 5 различных вариантов ковриков для манипуляторов (мыши). Для их производства используются 5 видов ресурсов: текстиль синтетический, резина, каучук, пробка, тифлон.
Норма затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида представляется в таблице.
Ресурсы |
Нормы затрат сырья на одно изделие |
Общее кол-во ресурсов | ||||
Арт1 |
Арт2 |
Арт3 |
Арт4 |
Арт5 | ||
Текстиль синтетический |
10 |
12 |
11 |
5 |
7 |
990 |
Резина |
6 |
8 |
2 |
3 |
4 |
620 |
Каучук |
4 |
5 |
6 |
3 |
9 |
510 |
Пробка |
1 |
2 |
5 |
4 |
3 |
390 |
Тифлон |
12 |
6 |
5 |
1 |
2 |
900 |
Прибыль от реализации, р. |
12 |
14 |
17 |
28 |
7 |
|
Теперь нужно определить, сколько ковриков для манипуляторов (мышь) и в каких артикулах необходимо изготавливать, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.
2.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ
При решении задачи симплексным методом данный раздел должен включать в себя:
- запись математической модели в форме стандартной задачи линейного программирования
- переход к форме основной задачи линейного программирования
- переход к расширенной задаче (метод искусственного базиса), если есть в этом необходимость
- запись задачи в векторной форме
Для изготовления различных изделий предприятие использует пять различных видов сырья. Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием приведены в таблице.
Ресурсы |
Нормы затрат сырья на одно изделие |
Общее кол-во ресурсов | ||||
Арт1 |
Арт2 |
Арт3 |
Арт4 |
Арт5 | ||
Текстиль синтетический |
10 |
12 |
11 |
5 |
7 |
990 |
Резина |
6 |
8 |
2 |
3 |
4 |
620 |
Каучук |
4 |
5 |
6 |
3 |
9 |
510 |
Пробка |
1 |
2 |
5 |
4 |
3 |
390 |
Тифлон |
12 |
6 |
5 |
1 |
2 |
900 |
Прибыль от реализации, р. |
12 |
14 |
17 |
28 |
7 |
|
Изделия могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), но производство ограничено выделенным предприятию сырьем каждого вида. Нужно составить план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции будет максимальной.
Составим математическую модель задачи. Обозначим через х1- Арт1,х2- Арт2, х3- Арт3, х4-Арт4, х5-Арт5.Поскольку имеются ограничения на выделенный предприятию фонд сырья каждого вида, переменные x1, x2, x3, x4 и x5 должны удовлетворять следующей системе неравенств.
10x1+12x2+11x3+5x4+7x5 990
6x1+8x2+2x3+3x4+4x5 720
4x1+5x2+6x3+3x4+9x5
600
1x1+2x2+5x3+4x4+3x5 500
12x1+6x2+5x3+ 1x4+2x5 640
Общая прибыль произведенной предприятием продукции при условии выпуска x1- Арт1,x2- Арт2,x3- Арт3,x4- Арт4, x5 – Арт5 составляет:
F=12+14+17+28+7=78 рублей (2)
По своему экономическому содержанию переменные x1, x2, x3, x4 и x5 могут принимать только неотрицательные значения:
x1, x2, x3, x4, x5 0 (3)
Таким образом, приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений системы неравенств требуется найти такое, при котором функция F принимает максимальное значение.
Запишем эту задачу в форме основной задачи линейного программирования. Для этого перейдем от ограничений- неравенств к ограничениям- равенствам. Введем пять дополнительных переменных, в результате чего ограничения запишутся в виде системы уравнений:
10x1+12x2+11x3+5x4+7x5+x6 990
6x1+8x2+2x3+3x4+4x5+x7 720
4x1+5x2+6x3+3x4+9x5+x8
600
1x1+2x2+5x3+4x4+3x5+x9 500
12x1+6x2+5x3+ 1x4+2x5+x10 640
Эти дополнительные переменные по экономическому смыслу означают не используемое при данном плане производства количество сырья того или иного вида, например, x6- неиспользуемое количество сырья 1-ого вида.
Преобразованную систему уравнений запишем в векторной форме:
x1P1+ x2P2+ x3P3+ x4P4+ x5P5+ x6P6+ x7P7+ x8P8+ x9P9+ x10P10=P0,
где:
P1=
3.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНОГО ПЛАНА
При решении задачи симплексным методом опорный план можно непосредственно записать, пользуясь векторной формой записи задачи. Система единичных векторов образует базис. В опорном плане базисные переменные равны нулю, а остальные равны соответствующим свободным членам b j системы уравнений.
В примере первоначальный опорный план равен
x0 = (0,0,0,0,0,990,620,510,390,
Составим первую симплексную таблицу.
В примере эта таблица имеет вид:
I |
БАЗИС |
Cб |
P0 |
12 |
14 |
17 |
28 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 | ||||||||||||||
P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
P5 |
P6 |
P7 |
P8 |
P9 |
P10 | ||||||||||||||||||
1 |
P6 0 990 | 10 |
12 |
11 |
5 |
7 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 | ||||||||||||||||
2 |
P7 |
0 |
620 |
6 |
8 |
2 |
3 |
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 | ||||||||||||||
3 |
P8 |
0 |
510 |
4 |
5 |
6 |
3 |
9 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 | ||||||||||||||
4 |
P9 |
0 |
390 |
1 |
2 |
5 |
4 |
3 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 | ||||||||||||||
5 |
P10 |
0 |
900 |
12 |
6 |
5 |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 | ||||||||||||||
6 |
F0=0 |
-12 |
-14 |
-17 |
-28 |
-7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 | ||||||||||||||||
Исходя из таблицы
делаем вывод, является ли
В примере план x0 оптимальным не является. Это видно из 6-й строки таблицы, так как в ней имеется пять отрицательных числа: z1- c1 = -12,
z2- c2 = -14, z3- c3 = -17, z4- c4 = -28, z5- c5 = -7. Отрицательные числа не только свидетельствуют о возможности увеличения общей стоимости производимой продукции, но и показывают, насколько увеличится эта сумма при введении в план единицы того или иного вида продукции.
Если в основной форме задачи линейного программирования нет m единичных векторов среди Pj, то составляется расширенная задача. С помощью обычных вычислений симплекс – метода исключают искусственные векторы из базиса. Полученный после исключения искусственных векторов план и является опорным планом исходной задачи.
4.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА
При решении задачи симплексным методом оптимальный план задачи определяется в следующей последовательности:
- Если первоначальный план не является оптимальным, то изучить возможность улучшения оптимального плана. Если такая возможность имеется, т.е. есть хотя бы одно отрицательное число Δj, то составить 2-ю симплекс – таблицу или установить неразрешимость задачи.
- Найти направляющие столбец и строку. Направляющий столбец определяется наибольшим по абсолютной величине отрицательным числом Δj, а направляющая строка – минимальным из отношений компонент столбца вектора P0 к положительным компонентам направляющего столбца.
- По формулам (7) – (10) определить положительные компоненты нового опорного плана, коэффициенты разложения векторов Pj по векторам нового базиса и числа F0’, Δj. Все эти числа записать в новой симплекс – таблице.
b0’=
a’ij = (8)
F0’ = F0 – (br / ark)*Δk (9)
Δ’j = Δj – (arj / ark)*Δk (10)
- Проверить найденный опорный план на оптимальность. Если план не оптимален, то необходимо составить новую симплекс – таблицу и перейти к новому опорному плану, а в случае получения оптимального плана или установления неразрешимости задачи закончить процесс решения.
- Привести найденный оптимальный план, если он существует, и величину функции стоимости.
Для примера найдем оптимальный план. Как видно из таблицы план не оптимальный.
Таблица 4
I |
БАЗИС |
Cб |
P0 |
12 |
14 |
17 |
28 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 | ||||||||||||||
P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
P5 |
P6 |
P7 |
P8 |
P9 |
P10 | ||||||||||||||||||
1 |
P6 |
0 990 | 10 |
12 |
11 |
5 |
7 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 | |||||||||||||||
2 |
P7 |
0 |
620 |
6 |
8 |
2 |
3 |
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 | ||||||||||||||
3 |
P8 |
0 |
510 |
4 |
5 |
6 |
3 |
9 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 | ||||||||||||||
4 |
P9 |
0 |
390 |
1 |
2 |
5 |
4 |
3 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 | ||||||||||||||
5 |
P10 |
0 |
900 |
12 |
6 |
5 |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 | ||||||||||||||
6 |
F0=0 |
-12 |
-14 |
-17 |
-28 |
-7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 | ||||||||||||||||
Это видно из 6-й строки таблицы, так как в ней имеется пять отрицательных числа: z1- c1 = -12, z2- c2 = -14, z3- c3 = -17, z4- c4 = -28, z5- c5 = -7. Отрицательные числа не только свидетельствуют о возможности увеличения общей стоимости производимой продукции, но и показывают, насколько увеличится эта сумма при введении в план единицы того или иного вида продукции. Так, число –2 означает, что при включении в план производства одного Арт1”, то обеспечивается увеличение выпуска продукции на 2 руб. Если включить в план производства по одному изделию Арт2, Арт3, Арт4 и Арт5, то общая стоимость изготовляемой продукции возрастет соответственно на 5, 6, 3 и 5 руб.
Поэтому с экономической точки зрения наиболее целесообразным является включение в план производства Арт3. Это же необходимо сделать и на основании формального признака симплексного метода, поскольку максимальное по абсолютной величине отрицательное число Δj стоит в 6-й строке столбца вектора P3. Определяем вектор, подлежащий исключению из базиса.
Для этого находим θ0 = min (bj / ai5) для ai5 > 0, т.е.
θ0 = min (990/5; 620/3; 510/3; 390/4; 900/1) =390/4
Найдя число 390/4 = 97,5, мы тем самым с экономической точки зрения определили, какое количество Арт3 предприятие может изготавливать с учетом норм расхода и имеющихся объемов сырья каждого вида. Так как сырья данного вида соответственно имеется 990, 620, 510, 390 и 900, а на одно изделие Арт3 требуется затратить сырья каждого вида соответственно 3, 4, 2, 4 и 0, то максимальное число Арт3, которое может быть изготовлено предприятием, равно min (990/5; 620/3; 510/3; 390/4; 900/1) =390/4 = 97.5, т.е. ограничивающим фактором для производства изделий Арт3 является имеющейся Пробкой. С учетом его наличия предприятие может изготовить 97.5 изделия Арт3. При этом Пробка будет полностью использована.
Следовательно, вектор P9 подлежит исключению из базиса. Столбец вектора P4 и 4-я строка являются направляющими. Составляем таблицу для 2-ой итерации.
Таблица 5
I |
БАЗИС |
Cб |
P0 |
12 |
14 |
17 |
28 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 | |
P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
P5 |
P6 |
P7 |
P8 |
P9 |
P10 | |||||
1 |
P6 |
0 |
502,5 |
8,75 |
9,5 |
4,75 |
0 |
3,25 |
1 |
0 |
0 |
-1,25 |
0 | |
2 |
P7 |
0 |
327,5 |
5.25 |
6,5 |
1,75 |
0 |
1,75 |
0 |
1 |
0 |
-0,75 |
0 | |
3 |
P8 |
0 |
217,5 |
3.25 |
3,5 |
2,25 |
0 |
2,25 |
0 |
0 |
1 |
-1/2 |
0 | |
4 |
P4 |
28 |
97.5 |
1/4 |
1/2 |
5/4 |
1 |
3/4 |
0 |
0 |
0 |
1/4 |
0 | |
5 |
P10 |
0 |
802,5 |
11,75 |
5,5 |
3,75 |
0 |
3,75 |
0 |
0 |
0 |
-0,25 |
1 | |
6 |
2730 |
-5.5 |
0 |
18 |
0 |
14 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 | |||
Сначала заполняем строку вектора, вновь введенного в базис, т.е. строку, номер которой совпадает с номером направляющей строки. Здесь направляющей является 4-я строка. Элементы этой строки таблицы 5 получаются из соответствующих элементов таблицы 4 делением их на разрешающий элемент. При этом в столбце Сб записываем коэффициент С4 = 28, стоящий в столбце вводимого в базис вектора P4. Затем заполняем элементы столбцов для векторов, входящих в новый базис. В этих столбцах на пересечении строк и столбцов одноименных векторов проставляем единицы, а все остальные полагаем равными нулю.
P0 = 390/4 = 97,5 ; P1 = 1/4; P2 = 1/2; P3 = 5/4; P4 = 1; P5 = 3/4;
P6 =0; P7 =0; P8 =0; P9 = 1/4; P10 = 0.
Для определения остальных элементов таблицы 5 применяем правило треугольника. Эти элементы могут быть вычислены и непосредственно по рекуррентным формулам.
Вычислим элементы таблицы 5, стоящие в столбце вектора P0. Первый из них (P6) находится в 1-й строке этого столбца. Для его вычисления находим три числа:
- число, стоящее в таблице 4 на пересечении столбца вектора P0 и 1-й строки (990);
- число, стоящее в таблице 4 на пересечении столбца вектора P4 и 1-й строки (5);
- число, стоящее в таблице 5 на пересечении столбца вектора P0 и 4-й строки (97,5).
Вычитая из первого числа произведение двух других, находим искомый элемент:
990 – 5 * 97,5 = 502,5; записываем его в 1-й строке столбца вектора P0 таблицы 5.
Четвёртый элемент столбца вектора P0 таблицы 5 был уже вычислен ранее (97,5). Для вычисления остальных элементов (P7, P8, P10) столбца вектора P0 также находим три числа и вычисляем их.
P7 = 620 – 3 * 97,5 = 327,5;
P8 = 510 – 3 * 97,5 = 217,5;
P10 = 900 – 1 * 97,5 = 802,5.
Значение F0 в 6-й строке столбца вектора P0 можно найти двумя способами:
- по формуле F0 = (C, P0), т.е.
F0 = 0 * 502,5 + 0 * 327,5 + 0 * 217,5 + 28 * 97,5 + 0 * 802,5 = 2730
- по правилу треугольника; в данном случае треугольник образован числами 0, -6, 97,5. Этот способ приводит к тому же результату:
0 – (-28) * 97,5 = 2730.
При определении по правилу треугольника элементов столбца вектора P0 третье число, стоящее в нижней вершине треугольника, все время оставалось неизменным, и менялись лишь первые два числа. Учтем это при нахождении элементов столбца вектора P1 таблицы 5. Для вычисления указанных элементов первые два числа берем из столбцов векторов P1 и P4 таблицы 4, а третье число – из таблицы 5. Это число стоит на пересечении 5-й строки и столбца вектора P1 последней таблицы. В результате получаем значения искомых элементов:
10 – 5 * 1/4 = 8,75;
6 – 3 * 1/4 = 5,25;
4 – 3 * 1/4 = 3,25;
12 – 1 * 1/4 = 11,75.
по правилу треугольника получим -12 – 1/4* (-28) = -5,
Аналогично находим элементы столбцов векторов P2, P4, P5 и P9.
Элементы столбца вектора P2:
12 - 5 * 1/2= 9,5;
8 - 3 * 1/2= 6,5;
5 – 3 * 1/2= 3,5;
6 - 1 * 1/2= 5,5;
F2 = -14 – 1/2* (-28) = 0
Элементы столбца вектора P3:
11 - 5/4 * 5 = 4,75;
2 - 5/4* 3 = -1,75;
6 - 5/4 * 3 = -2,25;
5 – 5/4 * 1 =3,75;
F3= -17 - 5/4 * (-28) = 18.
Элементы столбца вектора P5:
7 - 5*3/4 = 3,25;
4 - 3*3/4 = 1,75;
9 - 3*3/4 = 6,75;
2 - 1*3/4 = 1,25;
F5= -7-3/4*(-28) = 14.
Элементы столбца вектора P9:
0 - 5*1/4 = 1,25;
0 - 3*1/4 = -0,75;
0 - 3*1/4 = -0,75;
0 - 1*1/4 = -0,25;
F9= 0 – 1/4*(-28) = 7.
I |
БАЗИС |
Cб |
P0 |
12 |
14 |
17 |
28 |
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 | |||||||||||||||
P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
P5 |
P6 |
P7 |
P8 |
P9 |
P10 | |||||||||||||||||||
1 |
P6 |
0 502,5 | 8,75 |
9,5 |
4,75 |
0 |
3,25 |
1 |
0 |
0 |
-1,25 |
0 | ||||||||||||||||
2 |
P7 |
0 |
327,5 |
5.25 |
6,5 |
1,75 |
0 |
1,75 |
0 |
1 |
0 |
-0,75 |
0 | |||||||||||||||
3 |
P8 |
0 |
217,5 |
3.25 |
3,5 |
2,25 |
0 |
2,25 |
0 |
0 |
1 |
-1/2 |
0 | |||||||||||||||
4 |
P4 |
28 |
97.5 |
1/4 |
1/2 |
5/4 |
1 |
3/4 |
0 |
0 |
0 |
1/4 |
0 | |||||||||||||||
5 |
P10 |
0 |
802,5 |
11,75 |
5,5 |
3,75 |
0 |
3,75 |
0 |
0 |
0 |
-0,25 |
1 | |||||||||||||||
6 |
2730 |
-5.5 |
0 |
18 |
0 |
14 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 | |||||||||||||||||
