Пространственный размерный анализ с использованием подмногообразий конфигурационных пространств

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Размерный анализ в CAD системах является необходимым этапом проектирования конструирования, производства и эксплуатации широкого класса изделий (машин, механизмов, приборов, аппаратов и т.п.).

Полный размерный анализ выполняется в процессе разработки рабочего проекта детали, предварительные расчеты следует производить еще при конструктивной отработке технического проекта.

Изготовление изделий высокого качества в сжатые сроки и оптимизация прибыли требуют точных и эффективных аналитических инструментальных средств, которые тесно интегрированы с CAD-системами твердотельного моделирования.

Точность является важным показателем детали (узла, агрегата), определяющим ее способность выполнять свои рабочие функции. От точности зависят надежность не только самой детали, но и экономичность, производительность, уровень вибраций и шума всей конструкции, что в совокупности характеризует качество продукции.

С развитием технологий и инструментов точность деталей увеличивалась, уменьшался квалитет. Это стало возможно достигнуть  за счет разумного подхода к проектированию, разработки новых алгоритмов расчетов, развития возможностей электронно-вычислительной техники.

На сегодняшний день обработать деталь так, чтобы получить номинальный размер, практически невозможно, так как при обработке неизбежны погрешности. Нельзя также изготовить несколько деталей с абсолютно одинаковыми размерами.

Размерный анализ в CAD-системах помогает оценить влияния размеров и их допусков на собираемость конструкции и на отдельные детали, распознание минимальных и максимальных условий сопряжения деталей. Подобный анализ помогает выявить возможные проблемы собираемости сборки и отдельных деталей на этапе проектирования. Однако в настоящее время весь размерный анализ проходит в плоскости, относительно одной координатной лини. Развитие компьютерных ресурсов позволяет производить более емкие вычисления, работать с более сложными программными комплексами. На сегодняшний день рассматривать размерные цепи линейно уже не достаточно. Однако уже просматривается тенденция рассматривать допуски на размер деталей в трехмерном пространстве а не линейно, как это практикуется сейчас.

В настоящее время задачи проектирования деталей и узлов должны решаться на основе широкого применения вычислительной техники. При конструировании механизмов, машин, приборов и других изделий, проектировании технологических процессов, выборе средств и методов измерений возникает необходимость в проведении размерного анализа, с помощью которого достигается правильное соотношение взаимосвязанных размеров и определяются допустимые ошибки (допуски). Подобные геометрические расчеты выполняются с использованием теории размерных цепей в специализированных модулях систем автоматизированного проектирования. Автоматизация проектирования и создание CAD-программ для расчета размерных цепей позволяют сократить сроки подготовки производства к выпуску новой продукции, уменьшить издержки и повысить качество проектных работ.

В настоящее время переход от линейного размерного анализа к пространственному только начал осуществляться. Вопрос пространственного размерного анализа изучен крайне мало. Так же еще на рынке нет программного продукта, который реализует пространственный размерный анализ. Такой программный комплекс необходим. Он позволит не только сократить время анализа корректности сборочных единиц на этапе проектирования но и проводить анализ в пространстве, учитывая все отклонения как размеров, так и формы и расположения. В связи с этим необходимо изучить допуски и размерный анализ в пространстве.

Глава 1. Моделирование, расчет и анализ заданных допустимых отклонений размеров в современных САПР.

1. Классические методы расчета размерных цепей

Размерные цепи отражают объективные размерные связи в конструкции машины при сборке, а также размерные связи в технологических процессах обработки или измерения деталей.

Размерные цепи позволяют составить метрическую модель изделия и оптимизировать требования к точности геометрических параметров, с целью обеспечения показателей качества функционирования в заданных пределах при установленных затратах на производство.

Размерная цепь — совокупность взаимосвязанных размеров, образующих замкнутый контур и непосредственно участвующих в решении поставленной задачи.

В общем случае размерная цепь может быть представлена в виде зависимости параметров X1, X2, …, Xm-1, влияющих на параметр Y.

Метрическая модель описывается уравнением:

Y= F (X1, X2, …, Xm-1). (1.1)

Уравнение, связывающее отклонения размеров в размерной цепи:

(1.2)

Размерная цепь состоит из составляющих и замыкающего размеров.

Замыкающим называется размер, получающийся последним в результате обработки или сборки изделия. Замыкающий размер получается как результат действий, связанных с обработкой или сборкой изделий.

Составляющими называют все остальные размеры. Составляющие размеры получаются в процессе обработки деталей.

На рисунке 1.1. показана деталь, размеры которой получены в процессе обработки в одной из следующих последовательностей: A1, A2, A3; A1, A3, A2 или A2, A1, A3. Для любой из указанных последовательностей обработки размерная цепь будет состоять из четырёх (m=4) размеров (рис. 1.1). Размеры A1, A2, A3 являются независимыми и поэтому называются составляющими.

Размер A4 специально не изготовляется и не контролируется в процессе обработки детали, а получается результирующим после того, как с заданной точностью будут выполнены размеры A1, A2, A3. Такой размер является замыкающим.

При обозначении составляющих размеров A1, A2,…, Am-1 замыкающий размер обозначается A0. В сборочной размерной цепи замыкающий размер – это всегда размер между осями или поверхностями разных деталей (зазор, натяг, отклонение от соосности и т.п.).

По отношению к замыкающему все составляющие размеры делятся на увеличивающие и уменьшающие. Увеличивающим называют размер, с увеличением которого замыкающий размер увеличивается (т.е. для которого ). Уменьшающим называется размер, с увеличением которого замыкающий размер уменьшается (т.е. передаточная функция отрицательна ).

Размерные цепи, для которых , называют линейными. К нелинейным относят плоские и пространственные цепи с произвольно направленными размерами.

Для обозначения размеров обычно применяют прописные буквы латинского алфавита: A1, A2,…, Am-1 или любые другие.

Рис. 1.1. Обозначение размерной цепи на чертеже.

При расчёте размерных цепей применяются следующие условные обозначения:

Aj — номинальный размер любого составляющего размера;

A0 — замыкающий размер;

Т Aj , ТA0 — допуски составляющего и замыкающего размеров;

Е – обозначение отклонения;

E5 — верхнее отклонение, например E5(Aj), E5(A0);

Ej — нижнее отклонение, например Ej(Aj), Ej(A0).

В размерных цепях применяют отличные от системных обозначений( в которой, как известно, ES, EI – отклонения отверстий; es, ei – отклонения валов), так как многие размеры размерных цепей не подходят под понятия “отверстие” или “вал”.

Ec — среднее отклонение, определяющее середину поля допуска, например Ec(Aj), Ec(A0).

Ajmax, Ajmin, Ajc— наибольший, наименьший предельные и средний размеры составляющего звена;

A0max, A0min, A0c — наибольший, наименьший предельные и средний размеры замыкающего размера.

 — передаточное  отношение (или передаточная функция j – го размера).

1.1.1. Основные соотношения и порядок расчета размерных цепей

На основании свойства замкнутости размерной цепи существует зависимость, которая связывает номинальные размеры звеньев. Для плоских размерных цепей с номинальными звеньями она имеет следующий вид:

, (1.1.1)

где n, m – число увеличивающих и уменьшающих звеньев размерной цепи.

Для определения зависимости, связывающей допуски звеньев в размерной цепи (), определим наибольшее и наименьшее значения замыкающего звена:

, (1.1.2)

, (1.1.3)

Вычтем уравнение (1.1.3) из уравнения (1.1.2):

, (1.1.4)

Окончательно можем записать

, (1.1.5)

где k – количество звеньев размерной цепи, включая замыкающее звено.

Из формулы (1.1.5) следует, что допуск размера замыкающего звена равен сумме допусков размеров составляющих звеньев. Поэтому для обеспечения наибольшей точности замыкающего звена размерная цепь должна состоять по возможности из меньшего числа звеньев.

Аналогичным образом определяются верхние и нижние отклонения замыкающего звена:

, (1.1.6)

. (1.1.7)

Координата середины поля допуска замыкающего звена определяется выражением

. (1.1.8)

Таким образом, если известны размеры и поля допусков составляющих звеньев размерной цепи, то по формулам (1.1.1) – (1.1.8) можно определить все параметры замыкающего звена.

Расчет размерных цепей при решении прямой задачи состоит из следующих этапов:

1. Выявляется замыкающее звено и определяются его номинальный размер, допуск и координата середины поля допуска.
2. Выявляются составляющие звенья и определяются по рабочим чертежам деталей их номинальные размеры. Производится проверка правильности установления номинальных размеров по формуле (1.1.1).
3. Если в изделии несколько размерных цепей, связанных друг с другом, то составляется таблица с указанием для каждой цепи среднего значения номинальных размеров и среднего значения допуска для составляющих звеньев.
4. По среднему значению допуска на составляющие звенья и по величине допуска на замыкающее звено выбирается метод достижения точности замыкающего звена и устанавливается очередность расчета размерных цепей.

Дальнейший порядок расчета размерных цепей зависит от выбранного достижения точности замыкающего звена. При решении обратной задачи порядок расчета размерных цепей будет несколько иным. При этом следует различать теоретические и производственные расчеты. Теоретические расчеты используются технологами сборщиками при внедрении в производство новых изделий с целью установления методов сборки. Производственные расчеты выполняются в условиях, когда изделие уже находится в производстве, и цель их заключается в проверке правильности назначения допусков на составляющие звенья, а при расчете по вероятностному методу и в уточнении принятых значений коэффициентов относительного рассеивания и относительной асимметрии.

Порядок теоретического расчета:

1. Выявляется замыкающее звено и составляющие звенья размерной цепи по сборочному чертежу изделия. По рабочим чертежам деталей устанавливаются номинальные размеры, допуски и предельные отклонения на все составляющие звенья размерной цепи. Составляется схема размерной цепи и определяются типы составляющих звеньев.
2. Выбирается метод расчета размерных цепей.
3. Производится вычисление номинального размера, допуска и координаты середины поля допуска замыкающего звена в зависимости от принятого метода расчета размерных цепей.

При производственном расчете также определяются предельные отклонения замыкающего звена, и выполняется сравнение полученных результатов с теоретическими расчетами. Вносятся соответствующие коррективы.

Основной целью расчета размерных цепей является критический анализ

правильности простановки размеров, допусков и предельных отклонений на размеры составляющих звеньев, а также выбора метода достижения точности замыкающего звена и выбора метода сборки.

Практика показывает, что нередко в рабочих чертежах деталей допуски на ответственные размеры либо отсутствуют, либо установлены слишком жесткими, либо наоборот – очень широкими. В данном случае допуски должны быть изменены и согласованы с конструктором.

1.1.2. Метод полной взаимозаменяемости

Сущность данного метода заключается в том, что требуемая точность замыкающего звена достигается на сборке без какого-либо выбора, подбора или дополнительной обработки деталей, размеры которых включаются в размерную цепь. Точность замыкающего звена рассчитывают по методу максимума и минимума.

Основными преимуществами этого метода являются простота процесса сборки, сводящегося к выполнению различных соединений без пригоночных и регулировочных работ, обеспечение предпосылок для организации поточной сборки и ее автоматизации и простое решение вопроса об обеспечении изделия запасными частями. Недостаток же этого метода в том, что он ужесточает допуски на составляющие звенья, что приводит к увеличению их трудоемкости и себестоимости изготовления, так как основывается на расчете по крайним предельным отклонениям допусков цепи при невыгодном их сочетании. Например, вал изготовлен по минимальному диаметру, а втулка, соединяемая с ним, по максимальному размеру. Именно по этой причине данный метод достижения точности замыкающего звена используется тогда, когда допуск на его размер установлен достаточно широким, что позволяет назначать на составляющие звенья размерной цепи выполнимые в производственных условиях допуски.

Прямая задача. Прямая задача размерной цепи встречается на практике чаще. После определения размеров составляющих звеньев в результате конструирования механизма необходимо рассчитать допуски на эти размеры при заданной точности сборки, т. е. заданном допуске исходного звена. Точность составляющих размеров должна быть такой, чтобы гарантировалась заданная точность исходного звена. Эту задачу можно решать одним из рассмотренных далее способов.

Способ равных допусков применяют, когда все размеры цепи входят в один интервал диаметров и могут быть выполнены с примерно одинаковой точностью, т. е. можно принять

T1 = T2 = …= Tср .

Тогда, используя уравнение (1.1.5), запишем формулу для определения среднего допуска на звено:

.

Этот допуск корректируют для некоторых составляющих размеров в зависимости от их значений, конструктивных требований и технологических возможностей изготовления, но с обязательным выполнением условий по уравнениям (1.1.5)–(1.1.7). При этом выбирают стандартные поля допусков предпочтительного применения.

Способ равных допусков прост, но поскольку корректировка допусков составляющих звеньев произвольна, он недостаточно точен.

Способ допусков одного квалитета применяют, если все составляющие цепь размеры могут быть выполнены с допуском одного квалитета и допуски составляющих размеров зависят от их номинального значения. При решении задач этим способом условно принимают, что возрастание допуска линейных размеров при возрастании номинального размера имеет ту же закономерность, что и возрастание допуска диаметра. Эта закономерность выражена формулой для единицы допуска i. Для размеров от 1 до 500 мм

,

где D – средний геометрический размер для интервала диаметров, к которому относится данный линейный размер.

Таким образом, в общем виде имеем

, (1.1.9)

где a j – число единиц допуска, содержащееся в допуске данного размера.

Количество единиц допуска i в допусках 5 – 16 квалитетов (величина a*i) приведена в таблице 1.1.1.

Табл. 1.1.1. Значение допусков

Значения i для основных интервалов в диапазоне до 400 мм приведены в таблице 1.1.2.

Табл. 1.1.2. Значение единицы допуска i

Подставив выражение (1.1.9.) в выражение (1.1.5) и решив его относительно a , получим

. (1.1.10)

Величины, стоящие в знаменателе, выбирают из таблицы 1.1.2, величина TD задана по условиям задачи. Величина aср , полученная по формуле (1.1.10), путем сравнения с величинами таблицы 1.1.2 показывает, по какому примерно квалитету следует обрабатывать размеры, составляющие цепь. Допуски выбирают из таблицы допусков на диаметры. Полученное значение aср может не совпадать ни с одним из стандартных значений, приведенных в таблице 1.1.2, поэтому можно использовать допуски различных квалитетов, учитывая технологические условия. Критерием правильности выбора служит уравнение (1.1.5), которое должно удовлетворяться. Допустимо, чтобы TD превышало åT i на 5–6 %, если необходимо назначить допуски, взятые из стандарта, и не изменять их. Допуски для охватывающих размеров рекомендуется определять, как для основного отверстия, а для охватываемых – как для основного вала.

Определив допуски, находят значения и знаки верхних и нижних отклонений составляющих размеров так, чтобы они удовлетворяли уравнениям (1.1.6), (1.1.7).

Решение прямой задачи способом назначения допусков одного квалитета более обосновано, чем решение способом равных допусков.

Обратная задача. При необходимости определения номинального размера, допуска и предельных отклонений замыкающего звена по установленным номинальным размерам, допускам и предельным отклонениям составляющих звеньев решается обратная задача.

1.1.3. Метод неполной взаимозаменяемости

При расчете размерных цепей методом максимума-минимума предполагается, что в процессе обработки или сборки возможно одновременное сочетание наибольших увеличивающих и наименьших уменьшающих размеров или обратное их сочетание. Оба случая – наихудшие в смысле получения точности замыкающего звена, но они маловероятны, т. к. отклонения размеров в основном группируются около середины поля допуска. На этом положении и основан теоретико-вероятностный метод расчета размерных цепей.

Применение теории вероятностей позволяет расширить допуски составляющих размеров и тем самым облегчить изготовление деталей при практически отсутствующем риске несоблюдения предельных значений замыкающего размера.

Обратная задача. В результате совместного влияния систематических и случайных погрешностей центр группирования может не совпадать с серединой поля допуска, а зона рассеяния – с величиной допуска. Величина такого несовпадения, выраженная в долях половины допуска на размер, называется коэффициентом асимметрии

,

где M(Aj ) – математическое ожидание, т. е. средний арифметический размер j-го звена;

Cj – размер, соответствующий середине поля допуска.

В этом случае уравнение размерной цепи по средним размерам будет иметь вид

.

Учитывая случайный характер сочетаний действительных размеров деталей в изделии, можно воспользоваться уравнением для определения дисперсии суммы независимых случайных величин

. (1.1.11)

Для перехода от средних квадратичных отклонений s к допускам или полям рассеяния используют коэффициент относительного рассеяния l j . Он является относительным средним квадратичным отклонением (при поле рассеяния wj = Tj)

; (1.1.12)

для закона:

– нормального распределения (при Tj = 6s j )

;

– равной вероятности (при )

;

– треугольника (Симпсона) (при )

.

Подставив выражение (1.1.12) в выражение (1.1.11), получим

, (1.1.13)

где t – коэффициент, зависящий от процента риска, .

Определив TD по формуле (1.1.13), вычисляют по формуле (1.1.8) среднее отклонение замыкающего звена и его предельные отклонения:

; (1.1.14)

. (1.1.15)

Эти же формулы можно использовать для определения Tj .

Прямая задача. Допуски составляющих размеров цепи при заданном допуске исходного размера можно рассчитать четырьмя способами.

При способе равных допусков принимают, что величины Tj , Cj и l j  для всех составляющих размеров одинаковы. По заданному допуску TD, используя уравнение (3.3), определяют средние допуски звеньев

.

Найденные значения Tcj и Cj корректируют, учитывая требования конструкции и возможность применения процессов изготовления деталей, экономическая точность которых близка к требуемой точности размеров. Правильность решения задачи проверяют по формуле (1.1.13).

При способе назначения допусков одного квалитета расчет аналогичен решению прямой задачи методом полной взаимозаменяемости. При этом среднее количество единиц допуска определяется по формуле

. (1.1.16)

Способ прямых расчетов заключается в том, что допуски на составляющие размеры назначают экономически целесообразными для условий предстоящего вида производства с учетом конструктивных требований, опыта эксплуатации имеющихся подобных механизмов и проверенных для данного производства значений коэффициентов l. Правильность расчета проверяют по формуле (1.1.13).

Способ равного влияния применяют при решении плоских и пространственных размерных цепей. Он основан на том, что допускаемое отклонение каждого составляющего размера должно вызывать одинаковое изменение исходного размера.

Расчет по методу Монте-Карло

Этот метод можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений.

Сущность метода Монте-Карло: Х математическое ожидание которой равно :

М(Х)=а.

Оценка погрешности метода Монте-Карло.

Пусть для получения оценки a* математического ожидания "а" случайной величины Х было произведено n независимых испытаний, и по ним была найдена выборочная средняя случайная величина , которая принята в качестве искомой оценки: . Если повторить опыт, то будут получены другие возможные значения Х, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка a*. Отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Ограничимся отысканием лишь верхней границы d допускаемой ошибки с заданной вероятностью (надёжностью) g:

.

Верхняя грань ошибки d — «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов. Рассмотрим следующие три случая.

1. Случайная величина Х распределена нормально и её среднее квадратичное отклонение d известно.

В этом случае с надёжностью g верхняя граница ошибки

,  (1.1.17)

где n число испытаний (разыгранных значений Х); t – значение аргумента функции Лапласа, при котором,

s — известное среднее квадратичное отклонение Х.

2. Случайная величина Х распределена нормально, причём её среднее квадратичное отклонение s неизвестно.

В этом случае с надёжностью g верхняя граница ошибки

, (1.1.18)

где n – число испытаний; s – «исправленное» среднее квадратичное отклонение, находят по таблице распределения случайных чисел.

3. Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального.

В этом случае при достаточно большом числе испытаний (n>30) с надёжностью, приближённо равной g, верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (1.1.17), если среднее квадратичное отклонение s случайной величины Х известно; если же s неизвестно, то можно подставить в формулу (1.1.17) его оценку s – «исправленное» среднее квадратичное отклонение либо воспользоваться формулой (1.1.18). Заметим, что чем больше n, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при распределение Стьюдента стремится к нормальному.

Среди других вычислительных методов, метод Монте-Карло выделяется своей простотой и общностью. Медленная сходимость является существенным недостатком метода, однако, могут быть указаны его модификации, которые обеспечивают высокий порядок сходимости при определённых предположениях. Правда, вычислительная процедура при этом усложняется и приближается по своей сложности к другим процедурам вычислительной математики.

1.1.4. Метод групповой  взаимозаменяемости

Методом групповой взаимозаменяемости называют метод решения размерной цепи, при котором точность замыкающего звена достигается путем включения в нее составляющих звеньев, принадлежащих одной группе, на которые они были предварительно рассортированы.

Сущность метода заключается в изготовлении деталей со сравнительно широкими технологически выполнимыми допусками, выбираемыми из соответствующих стандартов, сортировке деталей на равное число групп с более узкими групповыми допусками и сборке их (после комплектования) по одноименным группам. Такую сборку называют селективной.

Метод групповой взаимозаменяемости применяют, когда средняя точность размеров цепи очень высокая и экономически неприемлемая.

При селективной сборке (в посадках с зазором и натягом) наибольшие зазоры и натяги уменьшаются, а наименьшие увеличиваются, приближаясь с увеличением числа групп сортировки к среднему значению зазора или натяга для данной посадки, что делает соединения более стабильными и долговечными. В переходных посадках наибольшие натяги и зазоры уменьшаются, приближаясь с увеличением числа групп сортировки к значению натяга или зазора, которое соответствует серединам полей допусков деталей.

Для установления числа групп n сортировки деталей необходимо знать требуемые предельные значения групповых зазоров или натягов, которые находят из условия обеспечения наибольшей долговечности соединения, либо допускаемое значение группового допуска TDгр или Tdгр , определяемое экономической точностью сборки и сортировки деталей, а также возможной погрешностью их формы. Отклонения формы не должны превышать группового допуска, иначе одна и та же деталь может попасть в разные (ближайшие) группы в зависимости от того, в каком сечении она измерена при сортировке.

При селективной сборке изделий с посадкой, в которой TD =Td , групповой зазор или натяг остаются постоянными при переходе от одной группы к другой. При TD >Td групповой зазор (или натяг) при переходе от одной группы к другой не остается постоянным, следовательно, однородность соединений не обеспечивается, поэтому селективную сборку целесообразно применять только при TD =Td .