Простые задачи на умножение и деление

Логико-дидактический  анализ темы «Простые задачи на умножение  и деление»

Введение 

    В общей системе обучения математики решение задач является одним  из видов эффективных упражнений. Решение задач имеет чрезвычайно  важное значение, прежде всего для формирования у детей полноценных математических понятий, для усвоения ими теоретических знаний, определяемых программой. При обучении математике в начальной школе роль текстовых задач велика. Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение решение текстовых задач имеет в воспитании личности учащегося.

     В программе «Гармония» Н. Б. Истоминой  в основе построения курса лежит  методическая концепция, выражающая необходимость целенаправленной и систематической работы по формированию у младших школьников приёмов умственной деятельности: анализа и синтеза, сравнения, классификации, аналогии и обобщения в процессе усвоения математического содержания.

     Курс  построен по тематическому принципу и сориентирован на усвоение системы понятий и общих способов действий. Каждая следующая органически связана с предыдущим, что позволяет осуществлять повторение ранее изученных вопросов на более высоком уровне. В методическом подходе к формированию понятий и обобщающих способов действий, в основе которого лежит установление соответствия между предметными, вербальными, схематическими и символическими моделями. Данный подход позволяет учитывать индивидуальные особенности ребёнка, его жизненный опыт, предметно-действенное и наглядно-образное мышление и постепенно вводить его в мир математических понятий, терминов, символов, т.е. в мир математических знаний, способствуя развитию как эмпирического, так и теоретического мышления.

     Система учебных заданий, которая адекватна концепции курса, логике построения его содержания и нацелена на осознание учебных задач, направлена на овладение способами их решения и на формирования у них умения контролировать свои действия. В связи с этим процесс выполнения учебных заданий носит продуктивный характер, который определяется соблюдением баланса между логикой и интуицией, словом и наглядным образом, между догадкой и рассуждением.

     Методика обучения решению текстовых задач сориентирована на формирование у учащихся обобщенных умений: читать задачу, выделять условие и вопрос, известные и неизвестные величины, устанавливать взаимосвязь между ними и на этой основе выбирать те арифметические действия, выполнение которых позволяет ответить на вопрос задачи.

     В соответствии с этой методикой учащиеся знакомятся с текстовой задачей  только после того, как у них  сформированы те знания, умения и навыки, которые необходимы им для овладения  обобщенными умениями решать текстовые  задачи. В их число входят: а) навыки чтения б) усвоение конкретного смысла действий сложения и вычитания, отношений «больше на», «меньше на», разностороннего сравнения; в) приобретение опыта в соотнесении предметных, вербальных, схематических и символических моделей; г) сформированность приемов умственной деятельности (анализ и синтез, сравнение, аналогия, обобщение); д) умение складывать и вычитать отрезки; е) знакомство со схемой как способом моделирования.

     Такая подготовительная работа позволяет  построить методику формирования обобщенных умений решению текстовых задач адекватно концепции курса и сориентировать тем самым процесс решения текстовых задач на развитие мышления младших школьников.

Содержание  программы полностью составлено по тематическому принципу.   

     Понятие задача и ее структура в системе УМК «Гармония» вводится только во 2 классе, во ІІ четверти. Учащиеся должны уметь решать простые задачи, записывать их решение, использовать в процессе задач схемы.

     При изучении тем «Четырехзначные числа» и «Пятизначные и  шестизначные числа» дети со 2-го по 4 класс знакомятся с задачами с величинами: «цена», «количество», «стоимость». В 3 классе дети так же знакомятся с текстовыми задачами, при решении которых используются величины: цена, количество, стоимость,  понятия «увеличить в», «уменьшить в».

     Значительное  место в программе 4 класса отводится  решению задач с величинами: «скорость», «время», «расстояние». Эта работа проводится в теме «Скорость движения».

     По  программе, главными авторами которой являются М.И. Моро М.А Бантова начальный курс математики – курс интегрированный: в нем объединены арифметический, алгебраический и геометрический материалы. При этом основу начального курса составляют представления о натуральном числе и нуле, о четырех арифметических действиях с целыми неотрицательными числами и важнейших их свойствах, а также основанное на этих знаниях осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений.

     Изучение  начального курса должно создать  прочную основу для дальнейшего обучения. Материал сгруппирован так, что изучение связанных между собой понятий, действий, задач сближено во времени.

Концентрическое построение курса, связанное с последовательным расширением области чисел, позволяет соблюсти необходимую постепенность в нарастании трудности учебного материала и создает хорошие условия для совершенствования формируемых знаний, умений, навыков.

     Важнейшей особенностью начального курса математики является то, что рассматриваемые в нем основные понятия, отношения, взаимосвязи, закономерности раскрываются на системе соответствующих конкретных задач.

Например, решение так называемых простых задач (задач, решаемых одним действием) способствует более осознанному усвоению детьми смысла действий.

Именно  на простых текстовых задачах  дети знакомятся и со связью между такими величинами: как цена- количество- стоимость; норма расхода материала; скорость- время- путь.

     Такие задачи предусмотрены программой каждого  года обучения. Система в их подборе и расположении во времени построена с таким расчетом, чтобы обеспечить наиболее благоприятные условия для сопоставления, сравнения, противопоставления задач, а также задач взаимообратных. Это исключает возможность выработки штампов, и натаскивания в решении задач: дети с самого начала будут поставлены перед необходимостью каждый раз проводить анализ задачи, устанавливая связь между данными и искомым, прежде чем выбрать то или иное действие для ее решения.

     К общим умениям работы над задачей  относится и умение моделировать описанные в ней взаимосвязи между данными и искомым с использованием разного вида схематических и условных изображений, краткой записи задачи. Дети учатся анализировать содержание задачи, объясняя, что известно и что неизвестно в ней, что можно узнать по данному условию и что нужно для ответа на вопрос задачи, какие арифметические действия, и в какой последовательности должны быть выполнены для получения ответа на вопрос задачи, основывать выбор каждого действия и пояснить полученные результаты, записывать решения задачи на первых порах только по действиям, устно давать полный ответ на вопрос задачи и проверять правильность её решения.

     В процессе работы над задачами дети упражняются в самостоятельном  составлении задач по различным заданиям учителя.

 Числовой  и сюжетный материал берётся  как из учебников, так и окружающей действительности.

 Работе  над задачей можно придать  творческий характер, если изменить  вопрос задачи или её условие при сохранении вопроса, поставить дополнительный вопрос или снять его, предложив учащимся самим определить, что можно узнать из условия задачи.

       Решение задач укрепляет связь  обучения с жизнью, пробуждает  у учащихся интерес к математическим знаниям и пониманию их практического значения.

 Решение  задач при соответствующем их  отборе позволяет расширить кругозор  ребёнка, знакомя его с самыми разными сторонами окружающей действительности.

       Простые задачи на умножение  и деление вводятся позднее – в конце 2-го класса, в последнем разделе.

     К концу 2-го класса обучающиеся должны знать: все компоненты действий умножения и деления и уметь решать задачи в одно действие, раскрывающие конкретный смысл умножения и деления.

В 3 классе продолжается раздел «Числа от 1-го до 100» в него входит: табличное умножение и деление в этом разделе дети знакомятся с величинами: цена, количество, стоимость; с компонентами: умножение и деление; отношения «больше, меньше, ровно».

     Итак, при обучении математике важно научить детей самостоятельно находить пути решения предлагаемых программой задач, применять простейшие общие подходы к их решению.

Учащиеся  должны овладеть системой теоретических знаний, а также рядом умений и навыков, которые определяются программой.

При обучении математике должны закладываться начатки  материалистического мировоззрения учащихся.

Программа начального курса математики  предусматривает  усвоение математических понятий на конкретном жизненном (уровне) материале, а это дает возможность показать детям, что все те понятия и правила, с которыми они знакомятся на уроках, служат практике и родились из потребностей жизни. Это дает начало правильному пониманию связи между наукой и практикой. Программа по математике открывает больше возможности для того, чтобы вооружить детей знаниями, умениями и навыками необходимых для самостоятельного решения новых вопросов, новых учебных и практических задач. В общей системе обучения математике решение задач является одним  из видов эффективных упражнений. Решение задач имеет черезвычайно важное значение прежде всего для формирования у детей полноценных знаний определяющих программой. Выступая в роли конкретного материала,  для формирования знаний, задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Решение задач формирует у детей практические умения, необходимые каждому человеку в повседневной жизни. Например, подсчитать стоимость покупки, ремонта квартиры и т.д.

      С помощью решения простых задач  формируется одно из центральных  понятий НКМ – понятие об арифметических действиях и ряда других математических понятий. Умение решать простые задачи является подготовительной ступенью овладения учащимися умением решать составные задачи, т.к. решение составной задачи сводится  к решению ряда простых задач. При решении простых задач происходит первое знакомство с задачей и ее составными частями. Решение задач на умножение и деление помогает учащимся усвоить связь между компонентами и результатами арифметических действий.

Замечание: много лишнего, нет четкости речь должна идти о конкретном виде задач. 

І Логический анализ.

1. Логический анализ основных понятий темы.

     В данной теме можно выделить следующие понятия, определяемые явно: умножение, произведение, деление, частное, задача и её составные части; виды задач; способы решения задачи; приемы проверки задачи; этапы решения задачи;

    Схематично  структуру явно определяемых понятий  можно представить следующим образом:

    Пользуясь этой схемой, можно составить таблицу  определений понятий, рассмотренных выше: 

        Рассмотренные нами понятия определяют явно, через родовое понятие и видовое отличие. Однако в начальном курсе математики эти понятия вводятся неявно - остенсивно – контекстуально, через показ и введение специального математического термина (исключение: скорость, понятие о которой дается явным способом, т.е. определяется).  
 

и

Для решения задачи используются для каждого этапа прием:

       Подготовительный этап – практический;

Чтение  и осознание текста – предварительная беседа, чтение;

Составление плана и решения задачи – схема, выбор вопросов, условия к данному  вопросу, выбор данных, изменение  текста задачи в соответствии с данным решением, поставить вопрос соответствующий данной схеме, выбор решения задачи (практический, арифметический, алгебраический, графический);

Реализация  плана – решение в одно действие, с пояснением (ответ развернутый), с вопросом (ответ краткий).

Проверка  решения задачи – прикидка, заключается в прогнозировании с некоторой степенью точности, правильности результата решения; Соотнесение полученного результата с условием задачи; Составление и решение обратных задач; Решение задач другими способами.

Рассмотренные нами понятия являются явными через  родовое понятие и видовое  отличие. Но в НКМ эти понятия  вводятся не явно (остенсивно через показ) и контекстуально через рассказ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Логический анализ системы понятий. 

Основные  понятия, вводимые при изучении темы: «Простые задачи на умножение и деление» взаимосвязаны. Связь между ними можно представить в виде схемы:              

                                Условие

Задача                                                    Решение                        Ответ

                                Вопрос 

                                                       процесс и их результат 
 

Задача 
 

                         Простая                                                                 Составная

                                                               Обратная                     

Задачи раскрывающие                Задачи, раскрывающие   

смысл арифметических               связь между компонентами

действий.                                         и результатом  арифметич.

                                                           действий.

                                                  Задачи, раскрывающие

                                                   смысл разности  и отношения. 

Из данной схемы видно, как связаны между собой понятия. Нас же интересуют задачи на умножение и деление: 
 

Задачи  на умножение и  деление

I группа 
 

Задачи на нахождение                 Задачи на деление на            Задачи на деление 

произведения.                                равные части.                        по содержанию. 

II группа 
 

Задачи  на нахождение            Задачи на нахождение        Задачи на нахождение      Задачи на нахо-

первого множителя                 второго множителя              делимого по известным ждение делителя

по известным произ-               по известным про-               делителю и частному.      по известным

ведению и второму                  изведению и первому                                                     делимому и

множителю.                              множителю.                                                                     частному.  

III группа 
 

Задачи  на кратное сра-            Задачи на кратное         Задачи на увеличение      Задачи на уменьше-

внение  чисел или нахо-          сравнение чисел             числа в несколько раз       ние числа в неско-

ждение  отношения                  или нахождение             (Прямая или косвенная     лько раз (прямая

двух  чисел.                               отношения двух                форма)                              или косвенная

                                                 чисел.                                                                        форма) 
 

     Порядок введения простых задач подчиняется содержанию программного обучения. Во 2ом классе в связи с изучением действий умножения и деления вводятся простые задачи – решаемые этими действиями. 
 
 
 

Логический  анализ всего материала.

         Понятие о задаче, обучение младших  школьников решению простых задачах  рассматривается в определенной последовательности, при этом учитель опирается на жизненный опыт ребенка и на имеющиеся к этому времени знания.

Покажем  это с помощью следующей  таблицы:

     Таким образом, во 2 классе в связи с изучением действий умножения и деления вводятся простые задачи, решаемые этими действиями. На умножение: 1. Нахождение суммы одинаковых слагаемых (произведения) В живом уголке жили кролики в трех клетках, по два кролика в каждой. Сколько всего кроликов в живом уголке? 2. Увеличение числа в несколько раз.  Колхоз купил 8 тракторов, а сеялок в три раза больше. Сколько сеялок купил колхоз? Вид задач.. Материал изучается от более простого к более сложному, от легкого к трудному. Новый материал вводится с опорой на опыт детей и на ранее изученный материал.

Замечание: поработай над последней таблицей, обрати внимание на заполнение колонки  «Использование» 
 
 

Сравнительный анализ изложения  темы в учебниках  двух программ.

Простые задачи в системе обучения математике играют чрезвычайно важную роль. Умение решать простые задачи являются подготовительной ступенью овладения учащимися умением решать составные задачи, т.к. решение составной задачи сводятся к решению ряда простых задач. При решении простых задач происходит знакомство с ее составными частями. Материал в разных учебниках изложен по-разному. Для этого рассмотрим учебники двух программ в таблице  

     Вывод: Анализ таблицы показывает: авторы этих программ  по-разному подходят к рассмотрение данной темы. Тема впервые дается в разных классах, в программе «Школа России» проводится большая подготовительная работа, затем дается понятие «простые задачи на умножение и деление» и предлагается задача. Затем решаются задачи на умножение и деление. На следующем этапе идет работа над составными задачами всех указанных видов.  По учебнику Н.Б Истоминой тема изучается во 2м классе. Новые знания  дети получают в процессе выполнения специальных упражнений. По каждой программе после завершения  темы работа над задачами не заканчивается, она продолжается  в оставшихся  темах начального курса  математики.  Учебник традиционного обучения более красочный, усвоение материала идет на более глубоком уровне, учебник развивающего обучения - изучение идет быстрым темпом, более усложненный.

Замечания: предлагаемое содержание не отражает действительное положение задач  данного вида в  указанных программах, вывод не соответсвует  реальному.  

Дидактический анализ.

Различные способы введения понятий.

В курсе математики начальной школы существует два  основных способа введения понятий: индуктивный и дедуктивный.

  Индуктивным  или рекуррентным  способом (от  слова «индукция», т.е.  наведение на рассуждение от частного к общему) называют такой способ, при котором учитель при ознакомлении с новым материалом, проводя беседу, предлагает учащимся ряд упражнений.  Учащиеся выполняют их, затем, анализируя, выделяют существенные стороны формируемого знания, в результате чего делают соответствующий вывод, т.е. приходят к обобщению

  Дедуктивный  способ – это такой способ, при котором при ознакомлении  с новым материалом учитель формулирует общее определение, а затем уже рассматриваются частные случаи, т.е. это способ рассуждения от общего к частному.

В традиционном учебнике и в учебнике Н.Б. Истоминой  понятия вводятся по-разному. Рассмотреть  это можно в таблице на примере  темы «Задача». Установление основных особенностей задачи, отличающих её от других заданий.