Процесс моделирования простейших финансовых операций. Простые проценты
Министерство образования и науки РФ
ГОУ «Санкт – Петербургский государственный политехнический университет»
Чебоксарский институт экономики и менеджмента (филиал)
Кафедра высшей математики и информационных технологий
Курсовая работа
По курсу «Экономико-математические методы и модели»
На тему: «Процесс моделирования простейших финансовых операций. Простые проценты. Потребительский кредит. Инфляция»
Выполнила студентка
2 курса заочного отделения
специальности «Финансы и кредит»
группы 080105-52 (2)
Касаткина Анастасия Юрьевна
Подпись ___________________
Дата ______________________
Проверила Санаева Т.А.
Чебоксары
2011 г.
Содержание
Введение…………………………………………………………
1. Теоретическая часть …………………………………………………………4
1.1.1. Процесс моделирования простейших финансовых операций………...4
1.1.2.Потоки платежей .………………………………………………………...7
1.2. Простые проценты ………………………………………………………..16 1.3 Потребительский кредит ………………………………………………….20
1.4. Инфляция ………………………………………………………………….23
1.4.1. Причины инфляции ……………………………………………………..25
1.4.2. Виды инфляции …………………………………………………………27
1.4.3. Инфляция издержек ……………………………………………………..27
1.4.4. Типы инфляции ………………………………………………………….28
1.4.5. Последствия инфляции и антиинфляционная политика …………….31
2. Практическая часть………………………………………………………….36
Заключение……………………………………………………
Список использованной литературы ………………………………………….40
Введение
Целью данной курсовой работы является изучение организации и оформления кредитования. Цель исследования обусловила постановку и решение следующих задач:
- дать понятие инфляции.
- выявить основные причины возникновения инфляции.
- выявить и проанализировать основные методы регулирования процесса инфляции.
- изучить сущность потребительского кредитования;
- проследить виды потребительского кредитования;
- раскрыть технологию и схему предоставления потребительского кредита, а также порядок его погашения;
- проанализировать кредитный портфель коммерческого банка, а именно его качество, структуру и динамику, в особенности портфель потребительских кредитов;
- выявить проблемы и перспективы развития системы потребительского кредитования;
- разработать предложения для совершенствования организации потребительского кредитования.
1. Теоретическая часть.
1.1.1. Процесс моделирования простейших финансовых операций.
Простейшим видом финансовой операции (сделки) является предоставление в долг в некоторый начальный момент времени t=0 суммы
S(0) c условием , что в момент t=T (т.е. через время Т, измеряемое, как правило, в годах) будет возвращена сумма S(T).
Эффективность такой операции определяется показателями: p'T и d'T:
p'T=100 pT; pT=[S(T)-S(0)]/S(0);
где p'T - является в статистическом смысле темпом прироста, называемым эффективностью операции (с точки зрения кредитора), процентной ставкой, ставкой процента либо просто интересом, ростом (так как деньги отдаются в рост);
d'T=100 dT; dT=[S(T)-S(0)]/S(T);
где d'T - относительная скидка, дисконт, учетная ставка.
Введенные показатели взаимосвязаны. Действительно:
1+ pT=S(T)/S(0),
1- dT=S(0)/S(T), и, следовательно;
1+ pT=1/(1- dT); pT= dT/(1- dT),
1- dT=1/1+ pT; dT= pT/1+ pT.
Наиболее важными являются соотношения:
S(T)=S(0)( 1+ pT),
S(0)=S(T)( 1- dT).
Последнее выражение используется для определения наращенной суммы(стоимости) S(Т) по первоначальному капиталу S(0) и процентной ставке pT и для определения первоначального капитала S(0) по известным наращенной стоимости S(T) и учетной ставке (дисконту) – VT.
Операция приведения наращенной суммы S(T) в момент t=Т к моменту t=0 называется дисконтированием.
Наряду с дисконтом для операций дисконтирования используется и дисконт-фактор: VT=1- dT=S(0)/S(T)=1/(1+ pT).
В условиях финансовых операций, как правило, оговариваются процентная и учетная ставки за базовый период, равный одному году. Соответствующие показатели за фактический период Т(pT и dT) рассчитываются по формулам, зависящим от дополнительных условий сделки. Будем называть процентную и учетную ставки за год годовыми и обозначать их через р и d.
Рассмотрим приведение годовых процентных и учетных ставок к периоду Т для разных схем, используемых в финансовой практике.
Схема простых процентов
Схема простых процентов предполагает начисление процентов к базовому капиталу S(0). При этом если Т больше года и начисление процентов осуществляется после каждого года, то наращенная сумма будет равна:
S(T)==S(0)×(1+p×T)=S(0)×(1+p1)
(для простоты первоначально полагаем, что Т равна целому числу лет). Из приведенного соотношения следует:
pT=р×Т; dT= pT /1+ pT=T/(1+p×T).
Обычно схема простых процентов используется в практике банковских расчетов для периода Т<1 года.
Схема сложных процентов
Для долгосрочных финансовых операций используется схема сложных процентов. При этом после каждого начисления процентов осуществляется их капитализация, т.е. на следующий год проценты начисляются к наращенной сумме. Наращенная сумма в течение Т лет будет измеряться следующим образом:
S(1)=S(0)×(1+p);
S(2)=S(1)×(1+p)=S(0)×(0)×(1+p)
…………………..
S(T)=S(T-1)×(1+p)=S(0)×(1+p)T.
Из этого соотношения следует:
1+ pT=S(T)/S(0)= (1+p)T pT=(1+p)T-1.
Сопоставим зависимость процентных ставок на интервале Т для схем простых pTпр и сложных pTсл процентов как функции длины интервала Т.
При Т=0 pTпр= pTсл=0, при Т=1 pTпр= pTсл=р. Доказано, что при Т<1 pTпр> pTсл, а при Т> 1 pTпр < pTсл . Из этих зависимостей следует, что для кредитора на интервале Т<1 более предпочтительна схема простых процентов, а на интервале Т>1 – схема сложных процентов.
Если период Т насчитывают нецелое число лет, то часто используется комбинированная схема (сложные проценты начисляются на целое число лет, а простые на остаток).Пусть Т=(Т)+t, где(Т) – целая часть T, t=T-(T)≥0. Тогда при годовой ставке процента р процентная ставка за Т рассчитывается по формуле 1+рТ=(1+р)Т×(1+рТ).
Во многих случаях в практике финансовых расчетов приходится по известным значениям наращенной суммы S(T), капитала S(0) определять период Т или годовую процентную ставку р. Для схемы простых процентов соответствующие отношения имеют вид:
Т=1/р×[S(T)/S(0)-1], p=1/T×[S(T)/S(0)-1],
Для схемы сложных процентов:
T=[lnS(T)-lnS(0)]/ln(1+p), p=[S(T)/S(0)]1/T-1.
Эффективная ставка процента
В практике финансовых расчетов используется и схема, при которой проценты на капитал начисляются несколько раз в году. При этом оговариваются годовая процентная ставка р и количество начислений в течение года m.
За базовый период принимается 1/m часть года со ставкой сложных процентов р/m.
В результате:
S(T)=S(0)×(1+p/m)Tm.
Расчет эффективных ставок необходим для сопоставления и выбора наиболее доходного варианта инвестиций. Так, если в условиях рассматриваемой задачи с многократно в течение года начисляемым процентом рtf оказывается больше процентной ставки р в операции с начислением процентов один раз в год, то первая из операций является наиболее предпочтительной для инвесторов.
Эффективная ставка обладает свойством: ptf≥p.
Моделирование дисконтирования
Рассмотрим процедуру дисконтирования, т.е. приведения будущей суммы S(T) к моменту t=0.
S(0)=S(T)×(1-dT)=S(T)-VT
VT=1-dT=1/(1+pT).
Для приведения дисконта dT и дисконт-фактора VT к базовому периоду (году) будем использовать полученные ранее соотношения для процентных ставок.
Пусть годовая учетная ставка (дисконт) равна d, а дисконт-фактор – V. Тогда для схемы простых процентов:
PT=p×T, VT=1/(1+p×T),
для схемы сложных процентов:
1+ pT=(1+P)T и VT=1/(1+p)T.
При этом дисконтированная сумма равна:
S(0)=S(T)/(1+p)T,
так как 1-d=1/(1+p), то VT=(1-d)T=VT, где V=1-d.
1.1.2. Потоки платежей.
Во многих случаях финансово-банковских операций коммерческие сделки предусматривают не разовые платежи, как это предполагалось в предыдущем разделе, а многократные, распределенные во времени выплаты и поступления. Примером таких операций может служить получение и погашение долгосрочного кредита. Последовательность распределенных во времени выплат и платежей называется потоком платежей. Поток платежей, все составляющие которого положительны и поступают через одинаковые интервалы времени, называется финансовой рентой, или аннуитетом. Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты – величина каждого отдельного платежа, период ренты – величина временного интервала между платежами, срок ренты – время, измеряемое от начала ренты до конца последнего ее периода, процентная ставка – ставка наращения (дисконтирования) платежей, составляющих ренту.
Постоянные финансовые ренты
Графическое представление финансовой ренты приведено на рис. 2.6.3.
C(t)
Рис. 2.6.3
Обозначим поток платежей через C(t). Для постоянной финансовой ренты характерно C(t)=C=const. Кроме того, для простоты предполагаем, что платежи осуществляются ежегодно в течение n лет.
Наращенные суммы постоянных финансовых рент
Рассмотрим наращенную сумму финансовой ренты в момент t=k. При этом следует иметь в виду, что наращение суммы финансовой ренты осуществляется не только за счет начисления процентов, как это имело место для разовых платежей, но и за счет добавления периодических платежей. Чтобы определить величину наращенной суммы, будем рассуждать следующим образом. Платеж С(1) будет наращиваться (n-1) лет и возрастает до величины С(1)=С×(1+р)n-1. Платеж С(2) будет наращиваться в течение
(n-2) лет и увеличится до значения С(2)=С×(1+р)n-2. Вообще платеж С(k), вносимый в момент t=k, в момент времени t=n будет равен C(k)=C×(1+p)n-k.
Наращенная сумма всех периодических платежей потока равна:
S(n)=Ʃ C(k)=C×(1+p) n-k.
Последовательность слагаемых этой суммы, перечисленных от k=n до k=1,имеет вид:
C, C×(1+p), C×(1+p)2, … , C×(1+p)(n-1)
и представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом С и знаменателем С(k)/C(k+1)=1+p. Для n членов геометрической прогрессии а0, а1, а2…а(k-1) со знаменателем а/а(k-1)=q сумма равна величине
S(n)=
В рассматриваемом случае а0=С, q=1+p. В результате:
S(n)=C× (*)
Наращенную сумму финансовой ренты к моменту последнего платежа принято обозначать FV (future value).
Срок накопления n суммы S(n) при заданных процентной ставке р и платеже С может быть определен следующим образом:
×p+1=(1+p)n
или
Платеж С при заданной процентной ставке р, сроке n и конечной сумме S(n) рассчитывается в соответствии с выражением:
С=.
Если же неизвестно значение процентной ставки, то оно определяется как корень уравнения: C×(1+p)n-S×(n)×p-C=0.
Дисконтирование финансовых рент.
Во многих случаях потоки платежей необходимо дисконтировать к некоторому начальному моменту. Результат S(0) приведения потока к моменту t=0 называется современной, или приведенной, величиной (present value) и обозначается PV. Пусть по-прежнему рассматривается поток платежей С(t) = C=const, при 1,2,… k, n.
Обозначим через Vk дисконт-фактор для платежа, выполненного в момент t=k, т.е. С"(k)=V, где С"(k) – дисконтирования величина платежа С(k). Тогда сумма всех величин дисконтированных платежей С(k) к моменту времени t=0 равна:
S(0)=Ʃ С"(k)=Vk×C(k).
Для финансовой ренты с использованием для дисконтирования схемы сложных процентов имеем:
S(k)=C, Vk=Vk.
Здесь по-прежнему предполагаются ежегодные платежи (поток платежей имеет период один год), символ V обозначает годовой дисконт-фактор. В результате можно записать:
S(0) = Ʃ Vk×C=C× Vk, V=1/(1+p).
Последовательность V, V2, V3,…Vn может быть рассмотрена как геометрическая прогрессия a0, a1, a2,…, a(n-1) со знаменателем q=V. Тогда:
n
Ʃ аk=a0×(qn×1)/q×1=Ʃ ×Vk=V×( Vk-1)/V-1
k=1
Поскольку V=1/(1+p)=(1+p), то после подстановки в выражение (I) получим:
S(0)=
Определим предел приведенной величины S(0) при количестве периодов (лет), стремящихся к бесконечности. Так как (1+р)>1,то
lim (1+p)n=0 или lim S(0)=C/p.
Из полученного соотношения следует, что для любого конечного срока n приведенная величина S(0) (дисконтированный поток платежей) такова, что должно выполняться условие S(0)<C/p.
Одним из примеров рассматриваемого потока платежей является погашение долгосрочного кредита. Кредит размером S(0) выдается в момент t=0 и погашается в течение n лет равными платежами (взносами) С. При заданной процентной ставке р кредит может быть представлен как дисконтированный к моменту t=0 поток платежей (рис.2.6.4.).
В этих условиях возникает необходимость расчета различных параметров кредита. Размер периодического платежа по погашению кредита С может быть определен из выражения для приведенной величины S(0) (формула (1.2)).
С=.
C(t) C C C C
0 1 2 3 n t
Рис.2.6.4
Количество платежей n (количество периодов потока платежей) также определяется из формулы (1.1). Действительно, из этого выражения следует:
(1+p)-n=1-
или n=.
Поскольку функция ln существует лишь для положительного аргумента, то из последнего выражения вновь следует требование:
1-S(0)×p/C>0 или S(0)<C/p. В противном случае кредит S(0) никогда не будет погашен периодическими платежами С.
Если требуется рассчитать процентную ставку р, под которую следует предоставлять кредит в размере S(0) c ежегодными выплатами С и сроком погашения n лет, то из выражения для S(0) следует:
S(0)×p=C×(1-(1+p)n)
или S(0)×p×(1+p)n × C×(1+p)n+C=0
Нерегулярные потоки платежей
В общем случае отдельные платежи потока имеют разную величину и поступают в любые (непериодические) моменты времени. Поток платежей с такими свойствами называется нерегулярным потоком.
Наращенные суммы нерегулярных потоков платежей.
Рассмотрим нерегулярный поток, предусматривающий платежи C(t) в момент времени t=t1, t2 … tn. Графическое представление такого потока платежей приведено на рис. 2.6.5.
C(t1) C(t2) C(t3) C(tn)
t1 t2 t3
Рис. 2.6.5
Наращенная сумма такого потока платежей, приведенная к моменту t=T≥tn, определяется выражением:
S(T)=Ʃ C(tk)×[1+p(T-tk)]
Здесь p(T-tk) – процентная ставка на интервале T-tk. При неизменности годовой процентной ставки р на всем интервале времени (0;1) и использовании схемы сложных процентов имеем:
1+p(T-tk)=(1+p)(T-tk) и S(T)=Ʃ C(tk)×(1+p)(T-tk)
Дисконтирование нерегулярных потоков платежей.
Для дисконтирования нерегулярного потока C(t) при t=t1, t2, … tn к моменту времени t=0 для каждого t=tk введем в рассмотрение дисконт-фактор V1k (рис.2.6.6)
C(t)
t1 t2 t3
Рис. 2.6.6
В этом случае сумма всех дисконтированных платежей C(t) к моменту t=0<t, равна:
S(0)= Ʃ C(tk)×VTk.
При неизменности годовой процентной ставки р, учетной ставки d и дисконт-фактора V на всем интервале времени (0,tn) и использовании схемы сложных процентов имеем:
Vk=(1-d)tk=1/(1+p)tk и S(0)= Ʃ C(tk)/(1+p)tk
Двусторонние потоки платежей
Двусторонним называется поток платежей, который предполагает распределенные во времени переходы денежных сумм от одного владельца к другому. С позиций одного участников такой многоэтапной операции можно считать, что поступление денежных средств к нему в момент времени t=tk соответствует положительному платежу (С (tk)<0). Графическое представление такого потока платежей приведено на рис. 2.6.7.
C(t1) C(t3) C(tn)
C(t)
Рис. 2.6.7
Для оценки эффективности в целом финансовой операции, представляемой нерегулярным двусторонним потоком платежей, используются различные показатели. Один из них, называемый чистой приведенной величиной (NPV-net present value), рассчитывается как приведенная (современная) величина потока по формуле:
NPV= S(0)= Ʃ C(tk)-Vtk
где C(tk) – поступления или выплаты потока, рассматриваемые как платежи потока с соответствующими знаками
Операция считается эффективной для участника, если показатель для него является положительным.
При неизменности годовой процентной ставки р и использовании схемы сложных процентов:
NPV= S(0)= Ʃ C(tk)/(1+p)tk
Заметим, что знак показателя NPV не зависит от момента времени, к которому приводится поток платежей. Таким образом, для оценки эффективности любой многоэтапной финансовой операции достаточно рассчитать NPV для любого момента приведения и определить знак этого показателя.
1.2. Простые проценты.
Простая процентная ставка - процентная ставка, которая применяется к одной и той же, начальной сумме на протяжении всего срока ссуды либо депозита. Обычно простая процентная ставка используется для начисления выплат и процентов по краткосрочным ссудам со сроком до одного года.
Для расчета суммы, которую заемщик заплатит по окончанию срока кредитования, используя простую процентную ставку, применяется следующая формула:
C=CK * (1 + ПС*КП)
где:
С – сумма, которую заемщик заплатит в конце срока кредитования
СК – сумма кредита;
ПС - процентная ставка (при ежемесячных выплатах годовую процентную ставку следует разделить на 12, при ежеквартальных – на 4, если же проценты начисляются ежедневно, то годовую процентную ставку следует разделить на количество дней в году, в зависимости от используемой банком базы, это может быть либо 360 дней, либо 365 (366) дней (фактическая база));
КП - количество периодов начисления процентов (срок, на который выдан кредит).
В основе любой кредитной операции, т. е. передачи денег в долг заемщику от кредитора, лежит стремление получить доход. Абсолютная величина дохода, получаемого кредитором за передачу денег в долг, называется процентными деньгами или процентами. Происхождение этого названия связано с тем, что величина платы за кредит определяется обычно как соответствующий процент (в математическом смысле) от суммы кредита. Плата за кредит может взиматься как в конце срока кредита, так и в его начале (авансовый процентный доход). В первом случае проценты начисляются в конце срока исходя из величины предоставляемой суммы, и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами. Такой способ начисления процентов называется декурсивным. Во втором случае процентный доход приходуется авансом (выплачивается в начале срока), при этом должнику выдается сумма, уменьшенная на его величину, а возврату в конце срока подлежит лишь исходная ссуда. Процентный доход, выплачиваемый таким образом, называется дисконтом (т. е. скидкой с суммы ссуды), а способ начисления процентов — антисипативным. В мировой практике декурсивный способ начисления процентов получил большее распространение, поэтому термин "декурсивный" обычно опускают, говоря просто о проценте или о ссудном проценте. При использовании же антисипативных процентов используют полное наименование.
Виды процентных ставок
Рассмотрим сначала декурсивный способ, когда проценты начисляются в конце срока кредита. С количественной стороны кредитная операция характеризуется следующим основным соотношением:
(1.1.1)
где Р — первоначальная сумма (сумма кредита); I — процентный доход - сумма платы за кредит; S — сумма, подлежащая возврату (полная стоимость кредита). Сумма платы за кредит I обычно определяется в виде процента от суммы самого кредита - iT. Это отношение называется ставкой процентов, точнее, ставкой процентов за период Т:
iT = i/P=(S-P)/P
(1.1.2)
Временной период, в конце которого приходуется процентный доход, называют еще периодом начисления процентов (часто встречается термин "период конверсии"). Процентная ставка относится ко всему периоду действия кредитного соглашения. Поскольку сроки кредитов меняются в широком диапазоне (от нескольких дней до десятков лет), то для сравнения условий различных кредитов процентную ставку задают по отношению к некоторому базовому периоду. Наиболее распространен годовой базовый период — в этом случае говорят о годовой процентной ставке. Если период конверсии совпадает с базовым, то годовая процентная ставка совпадает с фактической (1.1.2). Если же срок сделки имеет другую длительность, то годовая процентная ставка, служащая основой для определения процентной ставки за период (фактической процентной ставки), называется номинальной. Процентная ставка за период вычисляется по формуле
iT= iT,
(1.1.3)
где i — номинальная годовая процентная ставка; Т — срок действия соглашения, по истечении которого кредит должен быть возвращен вместе с процентами. Если период конверсии укладывается целое число раз в году, то ставка за период вычисляется по формуле
iT= i/T,
(1.1.4)
где Т = 1/m; m — число периодов начисления процентов в году, или частота начисления процентов.
Закон наращения по простой процентной ставке. Дисконтирование; будущая и текущая стоимость денег.
Процентный доход по закону простых процентов вычисляется исходя из того, что номинальная процентная ставка не зависит от периода начисления процентов:
I=PiT,
(1.1.6)
Сумму S также называют накопленным (наращенным) значением исходной суммы Р. Используя формулы 1.1.1, 1.1.6, получим:
S=P(1+ iT) =Ps(T),
