Проверка гипотезы на наличие тенденции

Введение.

Для большинства российских предприятий высококвалифицированное управление становится одним из условий выживания и успешного функционирования. При этом обеспечение эффективности такого управления требует умения предвидеть вероятное будущее состояние предприятия и среды, в которой оно существует, вовремя предупредить возможные сбои и срывы в работе. Это достигается с помощью прогнозирования как плановой, так и практической работы предприятия по всем направлениям его деятельности, и в частности, в области прогнозирования сбыта продукции (товаров, работ, услуг).

Многообразие проблем, возникающих при обеспечении жизнедеятельности предприятия и являющихся предметом прогнозирования, приводит к появлению большого количества разнообразных прогнозов, разрабатываемых на основе определенных методов прогнозирования. Поскольку современная экономическая наука располагает большим количеством разнообразных методов прогнозирования, каждый менеджер и специалист по планированию должен овладеть навыками прикладного прогнозирования, а руководитель, ответственный за принятие стратегических решений, должен к тому же уметь сделать правильный выбор метода прогнозирования.

Расширение производства, сохранение высокого качества, расширение дилерской сети, внедрение технологических новинок, расширение ассортимента, введение программы модернизации, проведение авторизации новых сервисных центров. Данные направления деятельности нужно провести предприятиям для обеспечения рынка при увеличении объема спроса на их продукцию. А что бы принять решение :нужно ли это делать и в каком объеме может помочь прогноз. Так как сейчас мы выходим на давно ожидаемый и предсказывавшийся промежуток развития общества, когда ПК становится необходимым элементом жизни каждого современного человека наш прогноз становится «Изменение объема спроса в 2008г на ноутбуки в России» становится актуальным.

Исходным материалом для проведения работы является: данные1 объема спроса на ноутбуки в России с 2000г по 2006г в тыс. шт:

Задача - необходимо построить математическую модель прогноза «Изменение объема спроса в 2008г на ноутбуки в России».

В зависимости от горизонта прогнозирования прогноз может разрабатываться на очень короткий период времени - до месяца (например, недельные и месячные прогнозы объемов продаж, движения наличности), на год, а также на 2-3 года (среднесрочный прогноз), 5 и более лет (долгосрочный прогноз).  В нашем случае прогноз будет среднесрочный.

По типам прогнозирования выделяют поисковые, нормативные и основанные на творческом видении прогнозы. Поисковое прогнозирование - способ научного прогнозирования от настоящего к будущему: прогнозирование начинается от сегодняшнего дня, опирается на имеющуюся информацию и постепенно проникает в будущее. Существуют два вида поискового прогнозирования: а) экстраполятивное (традиционное),  б)   альтернативное (новаторское).

Экстраполятивный подход предполагает, что экономическое и прочее развитие происходит гладко и непрерывно, поэтому прогноз может быть простой проекцией (экстраполяцией) прошлого в будущее.

Альтернативный подход базируется на том, что внешняя и внутренняя среда бизнеса подвержена постоянным изменениям, вследствие чего: а) развитие предприятия происходит не только гладко и непрерывно, но и скачкообразно и прерывисто, б) существует определенное число вариантов будущего развития предприятия.

В зависимости от степени вероятности будущих событий прогнозы делятся на вариантные и инвариантные.

Инвариантный прогноз предполагает только один вариант развития будущих событий. Он возможен в условиях высокой степени определенности будущей среды.

Вариантный прогноз основывается на предположении о значительной неопределенности будущей среды и, следовательно, наличии нескольких вероятных вариантов развития.

По способу представления результатов прогнозы делятся на точечные и интервальные.

Точечный прогноз исходит из того, что данный вариант развития включает единственное значение прогнозируемого показателя.

Интервальный прогноз - это такое предсказание будущего, в котором предполагается некоторый интервал, диапазон значений прогнозируемого показателя.

Единого, универсального, метода прогнозирования не существует. В связи с огромным разнообразием прогнозируемых ситуаций имеется и большое разнообразие методов прогнозирования (свыше 150).

Группа простых методов объединяет однородные по содержанию и используемому инструментарию методы прогнозирования (например, экстраполяция тенденций, морфологический анализ и др.).

Комплексные методы отражают совокупности, комбинации методов, чаще всего реализуемые специальными прогностическими системами (например, методы прогнозного графа, система “Паттерн” и др.).

Кроме того все методы прогнозирования поделены еще на три класса: а)фактографические методы; б) экспертные методы; в) комбинированные методы. В основу их выделения положен характер информации, на базе которой составляется прогноз: 1) фактографические методы базируются на фактическом информационном материале о прошлом и настоящем развитии объекта прогнозирования. Типы прогнозирования : а) поисковые, б) нормативные, в) основанные на творческом видении.

Степень вероятности будущих событий: а) вариантные, б) инвариантные.

Способ представления результатов прогноза :а) точечные, б) интервальные

Не стоит отказывать себе в возможности прогнозирования с применением несложных статистических методов, при правильном использовании они показывают результаты достаточно высокой степени точности. Средняя точность таких прогнозов обычно убывает увеличением горизонта прогнозирования. В определенном смысле можно говорить о правиле «длиннее прогнозы больше ошибки». Каждая из потенциальных составляющих прогноза — экстраполяция временных рядов и связей между ними, внешняя информация, а также мнения экспертов — «ухудшается» при удлинении горизонта прогнозирования. Для прогнозирования отдаленных периодов будущего необходимо применение иных методов.

В данной работе  будет проведена оценка параметров прогнозных моделей методом наименьших квадратов.

1. Проверка гипотезы на наличие тенденции.

Тенденция – это основное направление, закономерность в развитии явления процессов.

Тренд – это аналитическая функция, которая описывает тенденцию изменения явления и связывает единым законом развития все последующие уровни ряда динамики.

Для облегчения восприятия построим график изменения спроса на мобильные компьютеры в России с 2000г по 2007г.  (рис. №1)

Рис.1 График изменения спроса на мобильные компьютеры 2000-2007г.г.

Анализируя данные в целом можно сказать, что объем спроса показывает отчетливую тенденцию к росту за указанный период, и эту общую тенденцию (движения на повышение или понижение) принято называть трендом.

Тренд, однако, не является единственной составляющей ряда. На фоне отчетливого повышения отклика можно выделить периоды ускоренного и замедленного роста, а иногда и падения объема спроса. Считается, что тренд осложнен существованием циклической компоненты (циклической составляющей) и нерегулярной компоненты. При анализе рядов с более коротким шагом (квартальные или месячные данные) могут обнаружится и короткопериодичные отклонения от тренда, повторяющиеся с той или иной устойчивостью из года в год; эти отклонения объясняют существованием сезонной компоненты в отклике.

Факторов, влияющих на значения данного временного ряда очень много, например : изменения в технологии, численности населения, благосостоянии, системе ценностей и т.д..

Прежде чем перейти к выделению тренда, следует проверить гипотезу о том, существует ли он вообще. Проверку проведем методом разности средних уровней.

Метод заключается в том, что весь исходный ряд динамики разбивается на две, приблизительно равные части, каждая их которых рассматривается как самостоятельная независимая нормально распределенная совокупность. Если исходный ряд имеет тенденцию, то средние вычисленные для двух совокупностей должны существенно и значимо различаться между собой. Если расхождение между средними не значимо и случайно, то в ряду динамики отсутствует тенденция среднего уровня. Выдвигается гипотеза о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей. Проверка гипотезы осуществляется на основе расчета и анализа t-критерия Стьюдента, расчетное значение которого определяется по формуле вида   t расч=     (1)

                                                                                   s

Проведем проверку:

1. Исходный  ряд разбиваем на  две  приблизительно  равные части, т.е. n1~ n2 , n1 +n2 = n;

2. Для каждой части вычисляем  средние значение уровней показателя y1 и y2 :

(2)

∑ Y1=(13.1+17.3+21.3+26.3=78, Y1ср=78/4=19.5

∑ Y2=(29.4+34.4+42)=105.8, Y2ср=105.8/3=35.27

и дисперсии S1, S2:

S1                                                    (3)

S12= 95,28/3= 31,76

S22= 1013/2= 337,77

3. Проводим  проверку  с  использованием t- критерия  Стьюдента 

t расч=

                          s

Необходимое значение S определяем по формуле средней взвешенной величины дисперсий отдельных совокупностей:

S=√(n-1)2 S12 + (n2-1)2 S22 / (n1+n2-2)     *  √ 1/n1  + 1/n2

S=√(7-1)2*31.76+(3-1)2 377.77/ (4+3-2)     *  √ 1/4  + 1/3 = 2.8

t расч=(19.5-35,27)/2,8=5,6

ν=n-m, p=0.9  ,  α=0.1 ,  α/2=0.05=5%  ,  tα=2.015

t табл.=2.015 при α=0.1 и р=0.9

Если t расчетное больше t критического, то гипотеза о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей отвергается, следовательно, средние различаются существенно, следовательно, существует тенденция средней и, следовательно, существует тренд . С помощью данного метода мы проверили нулевую гипотезу Н0 о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей. Данная гипотеза означает, что если дисперсии вычисленные для двух совокупностей существенно, значимо различаются между собой, то в целом в ряду динамики существует тенденция дисперсии и, следовательно, существует тренд.

Так как  t расч > t табл. делаем вывод о наличии тренда.

2. Обоснование периода упреждения прогноза.

Период основания прогноза – промежуток времени, на базе которого строится ретроспекция.

Период упреждения прогноза – промежуток времени, на который разрабатывается прогноз.

Считается, что период упреждения прогноза не должен превышать 1/3 периода основания прогноза, либо должен быть достаточен для разработки прогноза. Иначе доверительные интервал для линии тренда, а следовательно, и для прогностических оценок окажутся весьма широкими. Поэтому, задавшись некоторыми ограничениями на размер ошибки прогноза или ошибки уравнения тренда, можно найти минимальное число наблюдений, при котором поставленное условие будет соблюдено.

k=√1/n + 3(n+2z-1)2/n(n2-1),    (4)

k – представляет собой среднюю квадратическую ошибку уравнения, измеренную в единицах среднеквадратического отклонения от тренда.

 Допустим , что средняя квадратическая ошибка не должна превышать 1 при z=1. Тогда

k= √1/n + 3(n+2*1-1)2/n(n2-1) =1,  откуда n=6

Так как по исходным данным мы имеем n=7, то делаем вывод, что этих данных будет достаточно для построения прогноза.

3. Выбор оптимальной прогнозной модели по коэффициенту детерминации.

Для выбора оптимальной прогнозной модели рассмотрим четыре модели линейную, степенную, логарифмическую и экспоненциальную. Определим для каждой из них коэффициент детерминации и  величину стандартной ошибки.

Модель линейная.

Линейный метод наименьших квадратов позволяет по серии наблюдений установить параметры линейного уравнения вида

где ŷ – теоретические уровни;

– средний спрос;

– среднегодовой абсолютный прирост;

 – обозначение времени.

Для определения параметров а и b способом наименьших квадратов воспользуемся формулами:

у=а+bt

По формуле (6)

b=(7*864,2-28*183,8) / (7*204-784)=1.2

По формуле (7)

a=1/7 * (864.2-1.2*28)=118.6

Уравнение тренда имеет вид:

ŷi= а+bti

ŷ (t)= 118.6+1.2t

По формулам (8), (9), (10) соответственно

Sy2 = 499/ (7-2)= 99,8

Sy = 9,98

S12 = 1/(7-1) * 1 205=200.8

S1 =353.74

r=√1- 99,8/200.8=0.7

Коэффициент детерминации будет иметь значение r~0.7

Для наглядности построим график изменения спроса и добавим линию тренда (тип линейный) рис. № 2.

Рис. № 2 График изменения спроса на мобильные компьютеры 2000-2007г.г. с изображением тренда (тип линейный) .

Модель степенная.

Расчетная таблица № 2

По формуле (6)

b=(7*28.9-8.53*22.41) / (7*13.20-72.68)=0.56

По формуле (7)

a’=1/7 * (22.41-0.56*8.53)=2.52

a=exp a’=12.42

Уравнение тренда имеет вид:

ŷ (t)= 12.42t0.56

По формулам (8), (9), (10) соответственно

Sy2 = 225 / (7-2)=45

Sy = 6,7

S12 = 1/(7-1) * 1 205=200.8

S1 =353.74

r=√1- 0.22=0.88

Коэффициент детерминации будет иметь значение r~0.88

Для наглядности построим график изменения спроса и добавим линию тренда (тип степенной) рис. № 3.

Рис. № 3 График изменения спроса на мобильные компьютеры 2000-2007г.г. с изображением тренда (тип степенной) .

Модель экспоненциальная простая.

Расчетная таблица № 3

По формуле (6)

b=(7*94.8-28*22.41) / (7*140-784)=0.18

По формуле (7)

a’=1/7 * (22.41-0.18*28)=17.37

a=exp a’=24.15

Уравнение тренда имеет вид:

ŷ (t)= 24.15*е0.18t

По формулам (8), (9), (10) соответственно

Sy2 = 808 / (7-2)=161.6

Sy = 74.45

S12 = 1/(7-1) * 1 205=200.8

S1 =353.74

r=√1- 200.8/161.6

В этой модели коэффициента детерминации не считается, поэтому модель отбрасывается как неподходящаяя для расчётов (тип экспоненциальный) рис. № 4.

Рис. № 4 График изменения спроса на мобильные компьютеры 2000-2007г.г. с изображением тренда (тип экспоненциальный) .

Полученные данные сведем в таблицу:

Итак, мы рассмотрели два вида регрессии : линейная, степенная,Анализируя величину стандартной ошибки и коэффициент детерминации можно сделать вывод, что лучшей моделью описывающей исходные данные является Степенная Но однозначно этого сказать нельзя, поскольку проверить качество прогноза можно будет только в будущем, сравнив предсказанное значение с реальностью. И все таки следует ожидать, что модель, хорошо описывающая существующие данные, будет также хорошо прогнозировать.

4. Получение точечного и интервального прогноза.

Для получения более точного прогноза и выбора наилучшего результата рассчитаем и сравним прогноз наилучшей модели - экспоненциальная простая с  менее удачной моделью -линейной .

Получим точечный и интервальный прогноз линейной модели:

ŷ (t)= 118.6+1.2t

ŷ (8)= 118.6+1.2*8 =128,2

По формуле (11) дисперсия прогноза равна:

d=tɑ*Sn

tɑ=1-r=1-0.4=0.6 по табл, стьюдена n=7, то есть tɑ= 0.89

Sn= Sy √1+1/n+(tk-tср)2 / ∑(ti-tср)2

Sn=15.31√1+1/7+(8-4) / 42=4.9

d=0.89*4.9=4,361

          ŷ (2014) =128,26±4,361

Получим точечный и интервальный прогноз Степенной модели:

у=аtb

ŷ (t)= 12.42t0.56

ŷ (8) =12.42*80.56=39,744