Проверка статистических гипотез. 4

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и науки РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ М.Т. КАЛАШНИКОВА»

 

ФАКУЛЬТЕТ «МАТЕМАТИКА И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ»

 

КАФЕДРА «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ПРОЦЕССОВ И ТЕХНОЛОГИЙ»

 

 

 

 

курсовая работа по дисциплине

«МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

тема: СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ. Вариант XVIII

 

 

 

УТВЕРЖДАЮ        

Зав.каф.ММПТ,

д.ф.-м.н., профессор       К.В. Кетова

 

Руководитель работы

к.ф.-м.н., доцент                                                             В.Г. Суфиянов

 

Выполнил

Студент группы 6-52-8       О.В. Пономарева

 

 

 

 

ИЖЕВСК 2013

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………..3

Глава 1. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ….………….4

    1. Определение и виды………………………….…………………….4
    2. Общая статистическая схема статистического критерия..………5
    3. Характеристики качества критерия..……………………………...7
    4. Построение статистического критерия...........................................9
    5. Уровень значимости и мощность критерия.…………………….11

Глава 2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ…..………13

Задание 1…………………………………………………………………14

Задание 2…………………………………………………………………15

Задание 3…………………………………………………………………16

Задание 4…………………………………………………………………16

Задание 5…………………………………………………………………17

Задание 6…………………………………………………………………17

Задание 7…………………………………………………………………18

Задание 8…………………………………………………………………18

Задание 9…………………………………………………………………19

Задание 10………………………………………………………………..19

Задание 11………………………………………………………………..20

Задание 12………………………………………………………………..20

Задание 13………………………………………………………………..21

Задание 14………………………………………………………………..21

Задание 15………………………………………………………………..22

Задание 16………………………………………………………………..23

Задание 17………………………………………………………………..24

Заключение………………………………………………………….26

Список литературы……………………………………………….27

ВВЕДЕНИЕ

 

На разных этапах статистического исследования возникает необходимость в формулировании и экспериментальной проверке некоторых предположительных утверждений (гипотез). 

Во многих прикладных задачах исследователь сталкивается с наблюдениями (различными явлениями природы, результатами эксперимента) имеющими случайных характер. В таких случаях исследователю необходимо принять решения об истинном состоянии явления, однако это решение не может быть априорно правильным (возможны ошибки), так же не существует очевидного и единственно верного правила выбора этого решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

 

    1. Определение и виды

 

Статистическая гипотеза – любое предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах известных распределений, которое может быть проверено по результатам наблюдений (по результатам выборки).

Предположим, что на основании имеющихся данных есть основания выдвинуть предположения о законе распределения или о параметре закона распределения случайной величины (или генеральной совокупности, на множестве объектов которой определена эта случайная величина). Задача проверки статистической гипотезы заключается в подтверждении или опровержении этого предположения на основании выборочных (экспериментальных) данных.

Проверка статистической гипотезы означает проверку соответствия выборочных данных выдвинутой гипотезе. Параллельно с выдвигаемой основной гипотезой , рассматривают и противоречащую ей гипотезу, которая называется конкурирующей или альтернативной и обозначается . Альтернативная гипотеза считается справедливой, если основная выдвинутая гипотеза отвергается.

Например, если проверяется гипотеза о равенстве параметра некоторому заданному значению , т.е. : = , то в качестве альтернативной можно рассмотреть следующие гипотезы: ; ; ; ,  где – заданное значение, .

Существуют параметрические и непараметрические гипотезы.

Параметрическая гипотеза – предположение, сформулированное относительно значений параметров функции распределения, при условии, что закон распределения генеральной совокупности  известен. Например, гипотеза о том, что параметр показательного распределения равен 5 является простой параметрической гипотезой.

Непараметрическая гипотеза – предположение, не предполагающее знания закона распределения генеральной совокупности.

Также гипотезы бывают простыми и сложными.

Статистическая гипотеза называется простой, если она однозначно определяет  распределение случайной величины , в противном случае гипотеза называется сложной. Например, гипотеза о том, что случайная величина распределена по нормальному закону (10,2) является простой, если же высказывается предположение, что случайная величина имеет нормальный закон  ( , 2), где , то это сложная гипотеза.

Статистические гипотезы подразделяются на:

  1. Гипотеза о равенстве параметров номинальному значению генеральной совокупности, .
  2. Гипотеза о равенстве параметров нескольких генеральных совокупностей

,

  и тд.

  1. Гипотеза согласия (о виде распределения)

1.2 Общая статистическая схема статистического критерия

 

Процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющейся выборкой осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и называется статистической проверкой гипотез.

Статистические критерии проверки гипотез разнообразны, но у них единая логическая схема построения, которую представим на рис. 1.2

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.2 – Общая схема статистического критерия

 

Этапы проверки статистических гипотез

 

  1. Располагая выборочными данными , формулируются основная и альтернативная гипотезы;
  2. Задается уровень значимости ;
  3. Выбирается статистика критерия для проверки нулевой гипотезы ;
  4. Определяется критическая область ;
  5. Вычисляется выборочное значение статистики критерия;
  6. Принимается решение: если , то гипотеза  отклоняется в виду значимого расхождения с выборочными данными; если   , то гипотеза не отклоняется, в этом случае считается, что не противоречит результатам наблюдений. 

 

 

1.3 Характеристики качества критерия

 

Правило, по которому принимается решение  принять или отвергнуть гипотезу  называется критерием . Поскольку решение принимается на основании выборочных данных, необходимо найти случайную величину , которая являясь функцией выборки , имела бы известные условные законы распределения   относительно проверяемой гипотезы и конкурирующей с ней гипотезы и позволяла бы судить о расхождении выборочных данных с гипотезой .  Величина называется статистикой критерия  .

Статистические критерии называются соответственно по тому закону распределения, которому они подчиняются, т.е. F-критерий подчиняется распределению Фишера – Снедекора, χ2-критерий подчиняется χ2 – распределению, t-критерий подчиняется распределению Стьюдента, U – критерий подчиняется нормальному распределению.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) или критической областью называется множество возможных значений статистического критерия, при которых основная гипотеза принимается. Если наблюдаемое значение статистического критерия, рассчитанное по данным выборочной совокупности, принадлежит критической области, то основная гипотеза отвергается. Если наблюдаемое значение статистического критерия принадлежит области принятия гипотезы, то основная гипотеза принимается. [2]

Значения критерия, разделяющие совокупность значений критерия на область допустимых значений (наиболее правдоподобных в отношении нулевой гипотезы ) и критическую область (область значений, менее правдоподобных в отношении нулевой гипотезы ), определяемые на заданном уровне значимости по таблицам распределения случайной величины критерия, выбранной в качестве критерия, называются критическими точками (Ккр).

В зависимости  от формулировки альтернативной гипотезы,  вида и распределения статистики критерия , возможны три вида расположения критической области. Например, проверяется нулевая гипотеза , а альтернативные гипотезы формулируются, как:

а) , в этом случае критическая область является правосторонней , где определяется из условия

и при известном законе распределения  статистики критерия = , где – квантиль распределения уровня ;

 

 

 

 

 

Рисунок 1.3.1 – Правосторонняя критическая область

 

б) , в этом случае критическая область является левосторонней , где определяется из условия

                                            

и при известном законе распределения  статистики критерия = , где – квантиль распределения уровня ;

 

 

 

 

 

Рисунок 1.3.2 – Левосторонняя критическая область

в) , в этом случае критическая область является двусторонней , где определяются соответственно из условий

  и 

и при известном законе распределения  статистики критерия = и , где , – квантили распределения уровня . [5]

 

 

 

 

 

Рисунок 1.3.3 – Двусторонняя критическая область

 

1.4 Построение критериев для проверки статистических гипотез

 

В статистике в настоящее время имеется большое число критериев для проверки практически любых гипотез. Притом основные принципы их построения и применения являются общими.

Обозначим значение статистики , вычисленное по выборочным данным. Критерий определяется следующим образом: гипотеза отклоняется в пользу гипотезы , если , так как попадание статистики в критическую область при гипотезе практически невозможно, а поэтому несовместимо с гипотезой . Гипотеза принимается, если , поскольку попадание статистики в эту область при гипотезе практически достоверно, а поэтому совместимо с гипотезой .  Множество  называется областью принятия гипотезы или доверительной областью значений статистики .

Виды статистических критериев

 

Статистические критерии подразделяются на следующие категории:

  • Критерии значимости

Проверка на значимость предполагает проверку гипотезы о численных значениях известного закона распределения:  : = - нулевая гипотеза.  ; ; - конкурирующая гипотеза.

  • Критерии согласия 

Проверка на согласие подразумевает проверку предположения о том, что исследуемая случайная величина подчиняется предполагаемому закону.

Критерии согласия можно также воспринимать, как критерии значимости. Критериями согласия являются:

  1. Критерий Пирсона
  2. Критерий Колмогорова – Смирнова
  • Критерии проверки на однородность

При проверке на однородность случайные величины исследуются на факт значимости различия их законов распределения (т.е. проверки того, подчиняются ли эти величины одному и тому же закону). Используются в факторном (дисперсионном) анализе для определения наличия зависимостей.

Непараметрические критерии

Группа статистических критериев, которые не включают в расчёт параметры вероятностного распределения и основаны на оперировании частотами или рангами.

  1. Критерий Пирсона
  2. Критерий Колмогорова – Смирнова

Параметрические критерии

Группа статистических критериев, которые включают в расчет параметры вероятностного распределения признака (средние и дисперсии).

1. t-критерий Стьюдента

2. Критерий Фишера

 

Характеристики качества критерия

 

Наиболее важной характеристикой качества критерия является мощность.

Одновременное уменьшение ошибок 1-го и 2-го рода возможно лишь при увеличении объема выборок. Поэтому обычно при заданном уровне значимости отыскивается критерий с наибольшей мощностью.

Критическая область должна быть расположена так, чтобы при заданном уровне значимости (вероятности ошибки первого рода) вероятность ошибки второго рода была бы минимальной. В этом случае критическая область называется наилучшей критической областью (НКО).

Критерий, использующий  НКО, имеет максимальную мощность. [5]

 

1.5 Уровень значимости и мощность критерия

 

Используя критерий  при проверке нулевой гипотезы  возможны ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что гипотеза отклоняется  тогда, как она верна. Вероятность этой ошибки равна . А сама ошибка называется уровнем значимости. Значение уровня значимости   обычно задается близким к нулю (например, 0.005; 0.01; 0.001 и т. д.), потому что, чем меньше значение уровня значимости, тем меньше вероятность совершить ошибку первого рода, состоящую в опровержении верной гипотезы  . = 1 – – вероятность принятия верной основной гипотезы.  Ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза принимается тогда, как она не верна. Вероятность этой ошибки равна . Отметим, что вероятность называется мощностью критерия . – вероятность принятия верной альтернативной гипотезы.

Таблица 1.5 – Зависимость принимаемой гипотезы

 от верной

 

Принимаемая гипотеза

Верная

гипотеза

 

 

 

 

 


 

Последствия ошибок 1-го, 2-го рода могут быть совершенно различными: в одних случаях надо минимизировать , в другом — . Так, применительно к радиолокации говорят, что — вероятность пропуска сигнала, — вероятность ложной тревоги. Применительно к производству, к торговле можно сказать, что α — риск поставщика (т.е. забраковка по выборке всей партии изделий, которые удовлетворяют стандарту), — риск потребителя (т.е. прием по выборке всей партии изделий, не удовлетворяющей стандарту). Применительно к судебной системе, ошибка 1-го рода приводит к оправданию виновного, ошибка 2-го рода — осуждению невиновного. [4]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. СТАТИсТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

  •     Таким образом, в результате выполнения курсовой работы

      1. Были изучены методы описательной статистики, интервальные оценки, статистические гипотезы;

      1. Вычислены числовые характеристики выборочного распределения, произведено интервальное оценивание неизвестных параметров нормальной генеральной совокупности, проверены статистические гипотезы, связанные с параметрами нормального распределения;

      1. Проверены гипотезы с помощью критерия Бартлетта и критерия согласия Пирсона;

      1. Закреплены знания, полученные на лекциях.

    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

     

    1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистик.– М.: Высшая школа, 2003. – 405 с.
    2. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 816 с.
    3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 543 с.
    4. Харин Ю.С., Степанова М.Д. Практикум на ЭВМ по математической статистике.– М.: Университетское, 1987. – 304с.
    5. Чернова Н.И. Лекции по математической статистике.

     


     



    Проверка статистических гипотез. 4