Проверка статистических гипотез

С о д е р ж а н и е

 

Введение

Глава I    Теоретическая часть

1. Общие понятия проверки  статистических гипотез

1.1 Сущность и виды проверки  статистических гипотез

1.2 Алгоритм проверки статистических  гипотез

2. Проверка различных типов статистических гипотез

2.1 Сравнение двух генеральных средних согласно критерию Стьюдента

2.2 Сравнение двух дисперсий нормальных совокупностей с использованием критерия Фишера-Снедекора

2.3 Проверка гипотезы об однородности двух выборок. Критерий Вилкоксона

2.4 Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона

Глава II Практическая часть

Заключение

Список  литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Статистическая  гипотеза представляет собой некоторое  предположение о законе распределения  случайной величины или о параметрах этого закона, формулируемое на основе выборки. Статистическая проверка гипотез проводится с помощью некоторого статистического критерия по общей логической схеме, включающей нахождение конкретного вида функции от результатов наблюдения (критической статистики), на основании которой принимается окончательное решение. Например, могут рассматриваться гипотезы об общем законе распределения исследуемой случайной величины, об однородности двух или нескольких обрабатываемых выборок, о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности и др.

Последние годы отмечены стремительным  расширением области применения теоретико-вероятностных и статистических методов. Они применяются в различных  науках: физике, техники, геологии, биологии, лингвистике, медицине, социологии, управлении и т. д. Поэтому теория проверки статистических гипотез является актуальной в наше время.

Основная цель написания  данной курсовой работы - ознакомиться с процессом проверки статистических гипотез.

Для этого необходимо решить следующие задачи:

Определить сущность, понятие  проверки статистических гипотез;

 Рассмотреть этапы  проверки статистических гипотез;

 Рассмотреть критерии  проверки статистических гипотез;

Ознакомиться с различными типами статистических гипотез.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Во введении изложен ход предстоящей работы. Первая глава содержит теоретическое описание общих понятий проверки статистических гипотез, а также расчеты проверок различных типов статистических гипотез. Во второй главе представлена расчётная часть данной курсовой, состоящая из двух задач. В заключении подведены итоги работы, сделаны выводы. Список литературы включает литературные источники, используемые в ходе работы.

 

1.1 Сущность и  виды проверки статистических  гипотез

В процессе статистического  анализа иногда бывает необходимо сформулировать и проверить предположения (гипотезы) относительно величины независимых  параметров или закона распределения изучаемой генеральной  совокупности  (совокупностей).  
        Статистической гипотезой называют предположение относительно параметра известного распределения или о виде неизвестного распределения. Обозначается гипотеза буквой Н. Так, может быть выдвинута гипотеза о том, что средняя в генеральной совокупности равна некоторой величине.

Смысл проверки статистической гипотезы состоит в том, чтобы  по имеющимся статистическим данным принять или отклонить статистическую гипотезу с минимальным риском ошибки. Эта проверка осуществляется по определенным правилам.  Следует иметь в виду, что статистическая проверка гипотез имеет вероятностный характер. С помощью статистической проверки гипотез можно определить вероятность принятия ложного решения по тем или иным результатам статистического изучения данного явления. Если вероятность ошибки невелика, то статистические показатели исчисленные при изучении явления, могут быть использованы для практических целей при малом риске ошибки.

Выдвинутая гипотеза называется нулевой (основной). Ее принято обозначать Н0. По отношению к высказанной (основной) гипотезе всегда можно сформулировать альтернативную (конкурирующую), противоречащую ей. Альтернативную (конкурирующую) гипотезу принято обозначать Н1.

Также различают гипотезы, которые содержат только одно и более одного предположений: простые и сложные статистические  гипотезы. Гипотезу называют простой, если она однозначно характеризует параметр распределения случайной величины. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного множества простых гипотез.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость  её проверки. Поскольку проверку производят статистическими методами, её называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т. е. могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том что будет принята неправильная нулевая гипотеза. Следовательно, при проверке гипотезы возможны четыре варианта исходов, табл. 1.1

Таблица 1.1

Гипотеза Н0

Гипотеза принимается

Гипотеза отвергается

Верна

Правильное решение

Ошибка 1 рода

Неверна

Ошибка 2 рода

Правильное решение


 

Вероятность совершить  ошибку первого рода принято обозначать через  ; её называют уровнем значимости. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01.

Проверка гипотезы осуществляется на основе выявления согласованности  эмпирических данных с  теоретическими.  Если расхождение между сравниваемыми  величинами не выходит за пределы  случайных ошибок, гипотезу принимают.

Особенно часто процедура  проверки статистических гипотез проводится для оценки существенности расхождений  сводных характеристик отдельных  совокупностей (групп): средних, относительных  величин.

 

1.2 Алгоритм проверки  статистических гипотез

Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью  статистического критерия (критерия К), являющегося функцией от результатов  наблюдения.

Статистический критерий1 – это правило (формула), по которому определяется мера расхождения результатов выборочного наблюдения с высказанной гипотезой Н0.

Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин и  таким образом получают частное (наблюдаемое) значение критерия.

Наблюдаемым значением критерия (Кнабл.) называют значение критерия, рассчитываемое по специальным правилам на основании  выборочных данных.

Значения критерия, разделяющие  совокупность значений критерия на область  допустимых значений (наиболее правдоподобных в отношении нулевой гипотезы Н0) и критическую область (область  значений, менее правдоподобных в  отношении нулевой гипотезы Н0), определяемые на заданном уровне значимости а по таблицам распределения случайной  величины К, выбранной в качестве критерия, называются критическими точками (Ккр).

Таким образом, принять решение  относительно нулевой гипотезы Н0  осуществляется  путем сравнения  наблюдаемого (Кнабл) и критического значений критерия (Ккр).

Алгоритм проверки статистических гипотез сводится к следующему:

1) сформулировать нулевую  Н0 и альтернативную Н1 гипотезы;

2) выбрать уровень значимости;

3) в соответствии с  видом выдвигаемой нулевой гипотезы  Н0 выбрать статистический критерий  для ее проверки, т.е. - специально  подобранную случайную величину  К точное или приближенное  распределение которой заранее  известно;

4) на основании выборочных  данных по специальному алгоритму  вычислить наблюдаемое значение  критерия Кнабл;

5) расчётное значение  сравнить с табличным(критическим);

6) сделать выводы.

 

2.1 Сравнение двух генеральных средних согласно критерию Стьюдента

Пусть генеральные совокупности Х и У  распределены нормально  и их дисперсии известны и равны  и  . Из этих совокупностей извлечены выборки объёмом n и m. По ним найдены выборочные средние и . Требуется при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Н0: М(Х)=М(У). Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются выборочные средние и , найденные по независимым малым выборкам объёмов n и m. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается случайная величина T, которая рассчитывается по формуле2:

 

Доказано, что величина Т  при справедливости нулевой гипотезы имеет t-распределение Стьюдента с к=n+m-2 степенями свободы. Т. е. tкр с параметром определяется по таблице Стьюдента (tкр(; к))

Тогда:

1. Если >tкр принимаем гипотезу о том, что М(Х)=М(У) по сравнению с альтернативной гипотезой М(Х)М(У). И отвергаем эту гипотезу, если неравенство не выполнено.

2. Если оказалось, что  < ., можно проверять гипотезу о том что, М(Х)=М(У), когда альтернативной гипотезой является М(Х)<М(У). Если выполняется неравенство Т<tкр, то основная гипотеза (М(Х)=М(У)) неверна и принимается гипотеза, что М(Х)<М(У).

 

 

3. Можно проверять гипотезу о том что, М(Х)=М(У), когда альтернативной гипотезой является гипотеза М(Х)>М(У). Если выполняется неравенство Т.>tкр, то принимается гипотеза М(Х)>М(У).

Пример:

По двум выборкам объёмов  n и m (n=30, m=20), извлечённым из генеральных совокупностей, найдены выборочные средние =97 и =94. Генеральные дисперсии известны =120 и =100. При уровне значимости =0.05 проверить нулевую гипотезу о том, что М(Х)=М(У) при конкурирующей гипотезе М(Х)М(У).

  Найдём чему равна случайная величина Т по формуле.

 

Затем по таблице Стьюдента  определим tкр(; к).

tкр(;n+m-2)= tкр(;48)=2.02

Так как <2.02  (<tкр), отвергаем гипотезу о том, что М(Х)=М(У), т.е выборочные средние различаются значимо.

 

2. 2 Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

Гипотезы о  дисперсиях возникают довольно часто. На практике задача сравнения дисперсий применяется, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерений и т.д. Очевидно, предпочтительнее тот прибор, инструмент и метод, которые обеспечивают наименьшее рассеяние измерений, т.е. наименьшую дисперсию.

Пусть генеральные  совокупности X и Y распределены нормально. По независимым выборкам объемов n1 и n2, извлеченным из этих совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии и . Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой: Н0: D(X) = D(Y).

Учитывая, что  исправленные дисперсии являются несмещенными оценками генеральных дисперсий, т. е. M( )=D(X), M( )=D(Y), нулевую гипотезу можно записать так: H0: M( )= M( ).

Таким образом, требуется  проверить, что математические ожидания исправленных выборочных дисперсий  равны между собой. Такая задача ставится потому, что обычно исправленные дисперсии оказываются различными. Возникает вопрос: значимо (существенно) или незначимо различаются исправленные дисперсии?

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. генеральные дисперсии одинаковы, то различие исправленных дисперсий  незначимо и объясняется случайными причинами, в частности, случайным  отбором объектов выборки. Например, если различие исправленных выборочных дисперсий результатов измерений, выполненных двумя приборами, оказалось  незначимым, то приборы имеют одинаковую точность.

Если нулевая  гипотеза будет отвергнута, т.е. генеральные  дисперсии неодинаковы, то различие исправленных дисперсий значимо  и не может быть объяснено случайными причинами, а является следствием того, что сами генеральные дисперсии  различны. Например, если различие исправленных выборочных дисперсий результатов  измерений, произведенных двумя  приборами, оказалось значимым, то точность приборов различна.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве  генеральных дисперсий, причем отношение  большей исправленной дисперсии  к меньшей, т. е. случайную величину Fнабл, которая рассчитывается по формуле:

 

Величина F при  условии справедливости нулевой  гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора  со степенями свободы k1= n1-1 и k2= n2-1, где n1 – объем выборки, по которой вычислена большая исправленная дисперсия.

Существует  два  правила проверки гипотезы о равенстве  дисперсий двух нормально распределённых совокупностей.

Правило 1:

Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H0:D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе  H1:D(X)>D(Y), нужно вычислить наблюдаемое значение критерия Fнабл. как отношение большей исправленной дисперсии к меньшей. Затем по таблице критических точек распределения Фишера- Снедекора, по заданному уровню значимости и числам степеней свободы k1 и k2 (k1 – число степеней свободы большей исправленной дисперсии) найти критическую точку Fкр (, k1, k2).

Тогда:

1.Если Fнабл < Fкр  – нет оснований отвергнуть  нулевую гипотезу.

2.Если Fнабл > Fкр  – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2:

Для того, чтобы  при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H0:D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе  H1: D(X)D(Y), также как и в первом случае нужно вычислить наблюдаемое значение критерия Fнабл. как отношение большей исправленной дисперсии к меньшей. А затем по таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора найти критическую точку Fкр (, k1, k2).

В этом случае:

1. Если Fнабл< Fкр  – нет оснований отвергать  нулевую гипотезу.

2. Если Fнабл > Fкр  – нулевую гипотезу отвергают.

Пример:

Даны две независимые  выборки объемов n1=13 и n2=12, извлеченные из генеральных совокупностей Х и Y, распределенных по нормальному закону. Найдены исправленные выборочные дисперсии =4.06 и =20.25. Проверим при уровне значимости α = 0,01 нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий H0:D(X)=D(Y) при конкурирующей гипотезе H1: D (X) > D (Y).

Вычислим наблюдаемое  значение критерия:

 

Критическую точку  находим в приложении для уровня значимости α = 0,01 и числам степеней свободы к1=12-1=11, к2=13-1=12

Fкр (0.01, 11, 12)=4.22

Получили, что 4.99>4.22, т. е. > Fкр. Следовательно нулевая гипотеза на уровне значимости 0,01 отвергается.

 

2.3 Проверка гипотезы об однородности двух выборок. Критерий Вилкоксона

Критерий Вилкоксона–Манна–Уитни3 является ранговым и применяется для проверки однородности двух выборок независимых случайных величин, распределения которых неизвестны.

 Критерий находит применение  при объеме выборки меньше 60, т.к.  при больших n возрастает трудоемкость  метода. Статистические данные должны  быть представлены в не группированном виде.

Нулевая гипотеза звучит так: при всех значениях аргумента  функции распределения равны  между собой, т. е. Н0: F(x) = F(y).

Конкурирующими являются следующие гипотезы: H1: F(x)F(y), H2: F(x) <F(y), H3: F(x) >F(y).

 Здесь возможны два  случая. Рассмотрим их последовательно.

Случай А.

Проверка нулевой гипотезы, когда объём обеих выборок не превосходит 25

Правило 1:

1-й шаг. Сформулировать  основную и альтернативную гипотезу

Н0: F(x) = F(y),

H1: F(x) F(y),

 где F(x) и F(y) – неизвестные непрерывные функции распределения случайных величин X и Y.

2-й шаг. Расположить варианты обеих выборок в возрастающем порядке (в виде одного вариационного ряда) и найти в этом ряду наблюдаемое значение критерия Wнабл – сумму порядковых номеров вариант первой выборки.

3-й шаг. По статистическим таблицам критических точек распределения Вилкоксона–Манна–Уитни  для уровня значимости найти нижнюю критическую точку Wн. кр(q;n1;n2), где q=,

4-й шаг. Найти верхнюю  критическую точку по формуле:  Wв. кр= (n1+n2+1)n1- Wн. кр

Тогда если выполняется условие  Wн. кр < Wнабл < Wв. кр, то гипотеза Н0 принимается. В противном случае Н0 отвергается.

Правило 2:

1-й шаг. Сформулировать  основную и альтернативную гипотезу

Н0: F(x) = F(y),

H1: F(x) > F(y)

2-й шаг.  Найти в этом  ряду наблюдаемое значение критерия  Wнабл.

3-й шаг. Найти нижнюю  критическую точку  Wн. кр(q;n1;n2), где q=

4-й шаг. Найти верхнюю  критическую точку по формуле:  Wв. кр= (n1+n2+1)n1- Wн. кр

Тогда если выполняется условие  Wнабл >Wн. кр,  то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если же Wнабл <Wн. кр , нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3:

1-й шаг. Сформулировать  основную и альтернативную гипотезу

Н0: F(x) = F(y),

H1: F(x) <F(y)

2-й шаг.  Найти в этом  ряду наблюдаемое значение критерия  Wнабл.

3-й шаг. Найти нижнюю  критическую точку  Wн. кр(q;n1;n2), где q=

4-й шаг. Найти верхнюю  критическую точку по формуле:  Wв. кр= (n1+n2+1)n1- Wн. кр(;n1;n2)

Тогда если выполняется условие  Wнабл < Wв. кр,  то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если же Wнабл > Wв. кр , нулевую гипотезу отвергают.

Замечание 1

Если несколько вариант  только одной выборки одинаковы, то в общем вариационном ряду им присваивают обычные порядковые номера.

Замечание 2

Если совпадают варианты различных выборок, то им приписывают  один и тот же порядковый номер, равный среднему арифметическому порядковых номеров, которые имели бы эти  варианты до совпадения.

Случай Б.

Проверка нулевой гипотезы, когда объем хотя бы одной из выборок превосходит 25.

Правило 1:

  Основная и альтернативная  гипотезы звучат так:

Н0: F(x) = F(y),

H1: F(x) F(y),

Wн. кр(q;n1;n2), где q=, находят по формуле:

 

Zкр находят по таблице функции Лапласа из равенства:

 

В остальном сохраняются  условия правила 1 из пункта А.

Правило 2:

Основная и альтернативная гипотезы звучат так:

Н0: F(x) = F(y),

H1: F(x) >F(y) или H1: F(x) <F(y)

В этом случае q= и Zкр находят из равенства:

 

В остальном сохраняются  правила 2-3, приведённые в пункте А.

 

Пример:

При уровне значимости =0.05 проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок объёмов n1=6, n2=8

Xi   15  23  25  26  28  29

Yi   12  14  18  20  22  24  27  30

Сформулируем  основную и конкурирующую гипотезу:

Н0: F(x) = F(y),

H1: F(x) F(y)

 

Расположим варианты обеих  выборок в возрастающем порядке, и присвоим каждому значению порядковый номер.

варианты

12

14

15

18

20

22

23

24

25

26

27

28

29

30

порядковый  номер

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14


 

Wнабл=3+7+9+10+12+13=54

Найдём нижнюю критическую  точку  Wн. кр(q;n1;n2), где q=,

q==0.05/2=0.025; n1=6, n2=8

Wн. кр(0.025;6;8)

Wв. кр= (n1+n2+1)n1- Wн. кр= (6+8+1)6-29=61

Таким образом,  29<54<61 (Wн. кр < Wнабл < Wв. кр). Следовательно гипотеза Н0 принимается, т.е. выборки однородны.

 

 

 

2.4 Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона

Если закон распределения  неизвестен, то есть основания предполагать, что он имеет определенный вид, то проверяют нулевую гипотезу H0, состоящую  в том, что генеральные совокупности распределяются по такому же закону. Проверка начальной гипотезы о предполагаемом законе осуществляется на основе критерия согласия. Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Имеется несколько критериев согласия:

критерий Смирнова

критерий Колмогорова 

критерий χ2-Пирсона 

другие 

Более подробно рассмотрим  критерий согласия Пирсона, поскольку он применяется для проверки гипотезы о принадлежности генеральной совокупности не только нормальному закону распределения, но и любому другому.

χ2 – критерий Пирсона4 заключается в сравнении эмпирических частот mi (найденных экспериментальным путем) и теоретических частот mi* (найденных исходя из закона распределения).

Для начала рассмотрим методику вычисления теоретических частот нормального  распределения.

1) Весь интервал наблюдаемых  значений делится на интервалы  одинаковой длины. Подсчитывается  число вариант, которые попали  в каждый интервал.

2) Вычисляют выборочную  среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение .

3) Вычисляют теоретические  вероятности рi попадания в интервал (хi; хi+1) по формуле:  

pi=Ф(zi+1)-Ф(zi)

 

Где Ф(х) – функция Лапласа , 

4) Находят искомые теоретические  частоты по формуле m*=np, где n – объём выборки.

После нахождения теоретических  частот сформулируем основную и альтернативную гипотезу.

Н0: генеральная совокупность распределена по нормальному закону;

H1: генеральная совокупность не имеет нормального распределения.

В качестве проверки нулевой  гипотезы применяется случайная  величина χ2, которая вычисляется  по формуле:

 

Затем по таблице χ2-Пирсона  находят критическое значение χ2кр, которое зависит от двух параметров α и k, где α - заданный уровень значимости (обычно 0,05 0,01 0,1); k - число степеней свободы. Оно находится по формуле:  k = s − r − 1, где s - число интервалов в вариационном ряду, r - число параметров распределения (для нормального распределения r = 2, для показательного распределения r = 1,  для равномерного r = 2).

После этого необходимо сравнить χ2 критическое и χ2 наблюдаемое.

Если χ2кр  >  χ2набл, то гипотеза принимается.

Если χ2кр <  χ2 набл, то гипотеза отвергается.

Замечание 1

Объём выборки должен быть не менее 50. Каждая группа (интервал) должна содержать не менее 5 вариантов

Замечание 2

Для контроля вычислений применяют  формулу: 

 

Пример:

 

На уровне значимости α = 0.05 проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические  частоты 

 

mi  6   13   38   74   106   85   30   14

mi*   3   14   42   82   99   76   37   13

 

1) H0: генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

 Н1: генеральная совокупность  не имеет нормального распределения.

2)  Для вычисления  χ2 построим расчетную таблицу

mi

mi*

    

6

3

9

3

13

14

1

0.07

30

42

144

0.38

74

82

64

0.78

106

99

49

0.49

85

76

81

1.07

30

37

49

1.32

14

13

1

0.08




 

 

 

3) 

= 0.05

k = 8 − 2 − 1 = 5

 

4) Сравним  и

>    , следовательно гипотеза Н0 применима.

Генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическая часть

Задача 1

На основании выборочных данных требуется:

1.Разбить полученные значения на равные промежутки, составив статистическое распределение выборки;

2.Построить графики (полигон, гистограмму, кумуляту);

3.Найти выборочные характеристики;

4.Оценить асимметрию и эксцесс;

5.Найти доверительные интервалы для М(х) и (х);

6.С помощью критерия  Пирсона при уроне значимости =0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины х.

Вычисления проводить  с точностью до 0.001

 

n=80

k=1+3,332lg80=6,341+1=7,341 7

 

№

1

2

3

4

5

6

7

8

Интервал Хi

(-26,312)- 

(-22,609)

(-22,609)-

(-18,906)

(-18,906)-

(-15,203)

(-15,203)-

(-11,5)

(-11,5)-

(-7,797)

(-7,797)-

(-4,094)

(-4,094)-

(-0,391)

(-0,391)-

(-3,312)

Ср. зн.

-24,461

-20,758

-17,055

-13,352

-9,649

-5,946

-2,243

-1,852

mi

7

9

12

9

9

14

16

4

0,088

0,113

0,15

0,113

0,113

0,175

0,2

0,05

7

16

28

37

46

60

76

80