Прямоугольный резонатор

Теоретическая часть

Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы

     В радиотехнических  устройствах, работающих на умеренно  высоких частотах (до нескольких сотен мегагерц), повсеместно используются колебательные контуры, образованные сосредоточенными конденсаторами и индуктивными катушками. Общей чертой подобных контуров является то, что их геометрические размеры значительно меньше рабочей длины волны.     Электродинамические системы, для которых выполняется это условие, в физике принято называть квазистационарными цепями.

Рис. 1. Переход  от колебательного контура с сосредоточеными

элементами  к тороидальному резонатору

     На опыте  было отмечено, что добротность  колебательных систем с резонансными частотами в сотни мегагерц заметно снижается по сравнению с добротностью более низкочастотных цепей. Причина этого явления состоит в следующем. Как известно, для повышения резонансной частоты приходится уменьшать индуктивность и емкость элементов колебательного контура. В пределе обычный контур превращается в систему, у которой конденсатор имеет лишь две пластины, а роль индуктивной катушки играет одиночный виток (рис.1, а, б). При этом существенно уменьшается энергия, которая может быть запасена в контуре. Кроме того, возрастает относительная доля активных потерь, что связано, например, с увеличением омического сопротивления проводников на высоких частотах из-за поверхностного эффекта. Дополнительным фактором, снижающим добротность колебательной системы, является неизбежное излучение электромагнитной энергии открытыми проводниками.

     Мера, позволяющая  отчасти избежать снижения добротности,  а значит, и расширения полосы  пропускания контура, состоит  в том, что индуктивный виток  заменяют сплошной металлической  поверхностью (рис. 1, в), которую можно рассматривать как предельный случай параллельного включения большого числа отдельных витков. При этом, с одной стороны, уменьшается индуктивность системы, что благоприятно для продвижения в высокочастотные области спектра электромагнитных колебаний. С другой стороны, энергия поля внутри такой тороидальной полости значительно больше энергии в одиночном витке.

     Электромагнитные    колебательные системы, представляющие собой полностью или частично замкнутые объемы с проводящими стенками, называют объемными резонаторами. К ним относится, в частности,   рассмотренный   здесь   тороидальный резонатор, который часто используют в качестве колебательной системы для электровакуумных приборов СВЧ, например для отражательных клистронов.

     Однако даже  переход к замкнутым конструкциям  тороидального типа не позволяет успешно разрешить все трудности. Дело в том, что тороидальный объемный резонатор является прямым аналогом обычного колебательного контура, в котором электрическое и магнитное поля четко локализованы в пространстве. С повышением резонансной частоты приходится уменьшать размеры тороидальной полости, а это неизбежно сопровождается уменьшением запасаемой энергии и сокращением добротности.

     Принципиально  другой, более многообещающий путь  создания колебательных систем  СВЧ состоит в использовании  резонансных свойств отрезков  распределенных линий передачи  с малыми потерями.

     Рассмотрим  полубесконечную двухпроводную  линию передачи, короткозамкнутую  на конце (рис. 2), в которой тем  или иным способом возбуждены  гармонические колебания.

Рис. 2.  Распределение напряжения и тока в  короткозамкнутой линии передачи

     Как известно, в такой линии устанавливается  стоячая волна, представляющая  собой сумму падающей и отраженной  волн. Комплексная амплитуда напряжений  стоячей волны  должна удовлетворять граничному условию в точке короткого замыкания:

= + = 0  при z=0                                      (1)

     Если λ₀ — длина волны в линии, то комплексная амплитуда напряжения зависит от продольной координаты z следующим образом:

(z) = U_msin(2πz/λ₀)                                                       (2)

     Отсюда видно, что граничное условие (1) выполняется в множестве точек оси z, удовлетворяющих соотношению:   z = pλ₀/2                                 (3)

где p=1,2,3,…  - положительное целое число.

     Таким образом,  если взять замкнутый с обоих  концов отрезок линии ДЛИНОЙ  l = pλ₀/2, то получим электромагнитную систему, колебания в которой при отсутствии потерь могут существовать неограниченно долго без какого-либо воздействия со стороны внешних источников энергии.

     В курсе  теории цепей характеристика  такой системы вблизи резонансной  частоты в точности соответствует  частотной характеристике обычного колебательного контура с сосредоточенными элементами. Эскиз конструкции распределенной колебательной системы и се эквивалентная схема представлены на рис.3.

Рис. 3. Колебательная  система, образованная отрезком   линии   передачи

(а), и её эквивалентная  схема (б): 1 - отрезов линии, замкнутый  с обеих сторон;  2 – элемент индуктивной связи.

     Из формулы  (3) следует, что замкнутый с  двух сторон отрезок линии передачи в отличие от обычного колебательного контура имеет бесконечное множество резонансных длин волн, определяемых по формуле:  λ_0рез=2p/l                                  (4)

     Физически  такая множественность резонансов  соответствует тому, что вдоль  линии могут укладываться одна, две, три и т.д. стоячие полуволны.

     Пользуясь  описанным принципом, можно создавать  объемные резонаторы в виде  отрезков прямоугольного или  круглого металлического волновода с короткозамыкающими стенками с обоих концов. Явления в таких резонаторах несколько сложнее, чем в короткозамкнутом отрезке двухпроводной линии, поскольку стоячие волны могут устанавливаться по всем трем координатным осям.

Прямоугольный объемный резонатор

     Рассмотрим  отрезок прямоугольного волновода  сечением , ограниченный двумя металлическими торцевыми поверхностями, которые располагаются в сечениях z=0 и z=l (рис. 4).

Рис.4. Прямоугольный объемный резонатор

     Подобная замкнутая металлическая полость представляет собой прямоугольный объемный резонатор. Исследуем один из частных видов собственных колебаний данного резонатора, руководствуясь следующими  соображениями. Пусть по неограниченно протяженному прямоугольному волноводу распространяется основная волна типа Н₁₀, которую условно будем называть падающей. Эта волна движется в сторону возрастания координаты z и характеризуется единственной y-й составляющей вектора напряженности электрического поля с комплексной амплитудой:  _{у пад} = Е_maxsin(πx/a)e^-јhz                           (5)

     Наличие торцевых  плоскостей приводит к возникновению  отраженной волны, для которой:

_{у отр} = AЕ_maxsin(πx/a)e^јhz                                                 (6)

где A — не известный пока амплитудный коэффициент.

     Если учесть, что при z=0 суммарное электрическое поле с проекцией _у = _{у пад} + _{у отр} должно обратиться в нуль из-за граничного условия на идеальном проводнике, то, как нетрудно видеть, A=-1. Отсюда, используя формулу Эйлера для суммы двух экспоненциальных функций с мнимыми показателями, получим

_у= -ј2Е_max sin(πx/a) sin hz                                               (7)

     Согласно данному равенству, рассматриваемый электромагнитный процесс является двумерной стоячей волной, которая существует как по оси x, так и по оси z; вдоль координаты y напряженность электрического поля постоянна. Однако длина стоячей волны по оси z пока не определена, поскольку никаких требований по отношению к продольному волновому числу h пока не предъявлено.

     Эти требования  естественным образом вытекают из граничных условий на другой торцевой плоскости:  _у=0 при z=l                                                  (8)

откуда   hl=pπ                                                                     (9)

где по-прежнему р - любое  целое положительное число, исключая нуль.

     Значение продольного  волнового числа, удовлетворяющее  равенству (9), будем называть резонансным значением:  h_рез=pπ/l                                  (10)  

Отсюда легко перейти  к резонансному значению длины волны  в волноводе:

λ_{в рез} = 2π/h_рез                                                                       (11)

а затем, воспользовавшись дисперсионным  соотношением для волны типа Н₁₀ в прямоугольном волноводе:  1/λ_в²= 1/λ₀² - 1/ (4a²)

вычислить резонансное значение длины волны генератора:

λ_{0 рез} = 2 / ((1/a)² + (p/l)²  ) ^1/2                                               (12)

     Подведем некоторые  предварительные итоги:

1) Для прямоугольной полости  с идеально проводящими стенками решения уравнения Гельмгольца вида (7) существуют не при любом значении длины волны возбуждающего источника, а лишь при таких длинах волн, которые удовлетворяют резонансному условию (12).

2) Каждому допустимому  значению целочисленного индекса  р соответствуют своя резонансная длина волны и своя характерная структура пространственного распределения векторов электромагнитного поля, представляющая собой тип колебаний в прямоугольном объемном резонаторе. В физике типы колебаний в резонаторах, как, впрочем, и типы волн в волноводах часто называют модами соответствующих распределенных систем (от латин. modus — образ).

3) Типы колебаний в  прямоугольном объемном резонаторе  можно классифицировать.

Структура электромагнитного  поля. Удобнее всего проследить структуру поля в резонаторе на примере простейшей моды H₁₀₁. Здесь, очевидно, пространственное распределение напряженности электрического поля описывается формулой:

_у = Е₀ sin(πx/a) sin(πz/l)                                                (13)

где E₀ —произвольный амплитудный множитель. Магнитное поле в резонаторе находим непосредственно на основании второго уравнения Максвелла:

rot = -јωμ_{0, из которого после подстановки (13) вытекают формулы для всех трех проекций:}

_x = (-јE₀π/ωμ₀l) sin(πx/a) cos(πz/l),

_y = 0,                                                                               (14)

_x = (јE₀π/ωμ₀a) cos(πx/a) sin(πz/l)

     Необходимо обратить внимание на следующее важное обстоятельство: комплексные амплитуды обеих проекций магнитного вектора содержат мнимые единицы, в то время как комплексная амплитуда единственной отличной от нуля проекции электрического вектора чисто действительна. Это говорит о том, что между мгновенными значениями напряженностей электрического к магнитного полей в резонаторе существует сдвиг фаз по времени на угол 90^o. Поэтому в объемном резонаторе, как и в любой другой электромагнитной колебательной системе, происходит непрерывный обмен энергией между электрическим и магнитным полями. Дважды за период собственных колебаний вся энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля и наоборот. Сказанное иллюстрируется мгновенными картинами распределения силовых линий электромагнитного поля в объемном резонаторе с типом колебаний H₁₀₁ (рис.5). Картины построены для различных моментов времени в пределах половины периода.     

Рис. 125. Структура электромагнитного  поля для колебаний типа Н₁₀₁

 в последовательные  моменты времени

     Отметим также,  что среднее значение вектора  Пойнтинга, образованного полями вида (13) и (14), тождественно равно нулю. Отсутствие усредненного потока энергии через идеальный резонатор говорит об автономном, не зависящем от параметров внешних устройств характере собственных колебаний в такой электродинамической системе. На языке теории электрических цепей энергию, запасенную в резонаторе, можно назвать реактивной энергией.

Общая задача о собственных колебаниях

в прямоугольном объемном резонаторе.

     Рассмотрим  всю совокупность собственных  колебаний различных типов в замкнутой полости прямоугольной формы с идеально проводящими стенками. Для этого обратимся к рис.4

положим, что ось z является осью стоячей волны, а в поперечной плоскости XOY устанавливается распределение поля, отвечающее волне типа E_mn прямоугольного волновода. Как уже говорилось, резонансное значение длины волны в волноводе зависит от целочисленного параметра р - числа стоячих полуволн вдоль продольной оси резонатора: λ_{в рез} = 2l/p. С другой стороны, величины λ_{в рез}  и λ_{0 рез} связаны общим дисперсионным соотношением:

1/λ_{0 рез}²= 1/ λ_{в рез}² + 1/ λ_кр²                                                                              (15)

Поскольку волна типа Е_mn имеет критическую длину

λ_кр = 2 / ((m/a)² + (n/b)²  ) ^1/2                                             (16)

из равенства (15) получаем формулу для расчета резонансной  длины волны колебания типа Е_mn в прямоугольном объемном резонаторе:

λ_{0 рез} =   2 / ((m/a)² + (n/b)² + (p/l)²  ) ^1/2                            (17)                                              

     В практических расчетах часто используют также соответствующую резонансную частоту:

f_рез = c/ λ_{0 рез} = (c /2) ((m/a)² + (n/b)² + (p/l)²  ) ^1/2             (18)          

     Если допустить, что по прямоугольному волноводу распространяется волна типа Н_mn, то аналогичным образом в замкнутой полости возникают колебания типа Н_mn. Совершенно очевидно, что их резонансные длины волн и резонансные частоты определяются выражениями (17) и (18).  

Следует отметить, что в  выражения (17) и (18) размеры a, b и l, относящиеся к осям х, у и z соответственно, входят совершенно равноправно. Поскольку известно, что некоторые индексы типов волн в волноводе могут быть равны нулю, возникает вопрос о том, существуют ли резонаторные моды с индексом р =0.

     Если р =0, то поле в резонаторе не меняется вдоль оси z. Обратимся к волноводной волне типа Е_mn. Здесь силовые линии электрического вектора в продольном разрезе имеют конфигурацию, показанную на рис. 6,а для случая n=1.

Рис.   6.  К вопросу  о существовании   колебаний  типа Е_mn0

     Данный рисунок отвечает случаю, когда рассматриваемый тип волны является распространяющимся, т. е. λ₀< λ_кр. Если же значение λ₀стремится к λ_кр, то длина волны в волноводе стремится к бесконечности и силовые линии вектора напряженности электрического поля приобретают вид «нитей», параллельных оси z (рис.6,б). В пределе при λ = λ_кр электрический вектор имеет лишь z-ю составляющую и граничные условия на двух идеально проводящих торцевых стенках резонатора выполняются автоматически независимо от расстояния l между ними. Таким образом, моды типа E_mn0 в прямоугольном объемном резонаторе возможны.

     Обратимся  теперь к колебаниям Н-типа. Здесь  исходная волна типа H_mn в волноводе, по определению, имеет электрические векторы, лежащие лишь в поперечном плоскости. Если все составляющие векторов поля не будут меняться вдоль оси z, как это должно быть в случае резонаторной моды типа H_mn0, то поле в любой точке резонатора должно обратиться в нуль, поскольку граничные условия на стенках с координатами z=0 и z=l выполняться не могут. Таким образом, в прямоугольном объемном резонаторе колебания типа H_mno физически не существуют.

     Итак, классификация  типов колебаний в прямоугольном  объемном резонаторе включает в себя следующие этапы:

• одна из осей резонатора принимается за продольную ось регулярного прямоугольного волновода;

• устанавливается, какой  тип волны, Е_mn или Н_mn, существует в таком волноводе;

• определяется значение индекса  р — число стоячих полуволн, которые укладываются между торцевыми стенками.

     Следует заметить, что такой принцип классификации  в значительной степени условен, так как связан с произвольным выбором продольной оси регулярного прямоугольного волновода. Чтобы уяснить это, обратимся к рис.7,а, на котором изображена картина силовых линий векторов электромагнитного поля для колебания типа H₁₀₁. Если теперь резонатор повернуть в пространстве таким образом, чтобы ребро с размером l было ориентировано вдоль оси у (рис. 7, б), то этот же самый электромагнитный процесс должен быть назван колебанием типа Е₁₁₀. Легко проверить, что резонансные длины волн для обоих названных типов колебаний одинаковы.

Рис. 7. К вопросу об условном характере классификации

типов колебаний в прямоугольном  объемном резонаторе

Понятие основного  типа колебаний. На практике обычно стремятся к тому, чтобы при заданной резонансной частоте геометрические размеры колебательной системы были минимальными. Этого удается достичь, возбудив в резонаторе колебание основного (низшего) типа. Так принято называть моду с наибольшей резонансной длиной волны при фиксированных размерах резонансной полости.

     Индексы m, n, р для основного типа колебаний, очевидно, должны подбираться так, чтобы предельно уменьшить знаменатель в формуле (7). Ясно, что один из индексов при этом должен быть равен нулю, а два оставшихся — единице. Нулевой индекс соответствует той декартовой оси, вдоль которой ориентировано ребро с наименьшей длиной.

     Следует отметить, что в объемных резонаторах  могут существовать вырожденные моды, у которых резонансные длины волн совпадают, несмотря на то, что структуры поля совершенно различны. Примером могут служить колебания типов E₃₅₁ и H₁₃₅ в резонаторе кубической формы.

Структура электромагнитного  поля в прямоугольном резонаторе. Строгий подход к проблеме собственных колебаний электромагнитного поля в замкнутой полости прямоугольной формы с идеально проводящими стенками основан на поиске комплексно-значной функции (x, у, z), которая удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца

² + β₀² = 0                                                                    (19)

во всех внутренних точках резонатора. Это векторное уравнение  есть сокращенная форма записи трех скалярных уравнений относительно декартовых проекций _α (символом α обозначены х, у или z):    ²_α/x² + ²_α/y² + ²_α/z² + β₀² _α = 0      (20)

     Проведенное  ранее исследование наводит на  мысль о том, что среди всевозможных  решений таких уравнений должны  быть особо выделены функции вида трехмерных стоячих волн

со всевозможными комбинациями трех гармонических сомножителей. Прямая подстановка выражения (21) в уравнение (20) приводит к следующему выводу: уравнение Гельмгольца для резонатора имеет решение не при любом значении коэффициента фазы β₀, а лишь в том случае, когда этот параметр принадлежит дискретной совокупности, определяемой выражением

β₀² = (2π/ λ_{0 рез})² =  (mπ/ a)² + (nπ/ b)² + (pπ/ l)²                        (22)

где m, n, р — положительные целые числа, не равные нулю одновременно. Отсюда естественным образом вытекает полученное ранее соотношение для расчета резонансных длин волн вида (17).

     Теперь учтем,  что на идеально проводящих  стенках резонатора касательные  составляющие электрического вектора  должны обратиться в нуль. В развернутой форме это требование означает, что:

_x = 0   при y=0, y=b, z=0, z=l

_y = 0   при x=0, x=a, z=0, z=l                                                  (23)

_z = 0   при x=0, x=a, y=0, y=b

     Равенства (23) позволяют конкретизировать допустимые решения и записать их так:

_x = A cos(mπx/a) sin(nπy/b) cos(pπz/l)

_y = B sin(mπx/a) cos(nπy/b) sin(pπz/l)                                     (24)

_z = C sin(mπx/a) sin(nπy/b) cos(pπz/l)

где A, В, С - неизвестные пока коэффициенты.

     Далее следует  принять во внимание то, что  проекции электрического вектора внутри резонатора обязаны не только удовлетворять уравнению Гельмгольца (20), но и соответствовать векторному полю без источников, для которого

div = _x/x + _y/y + _z/z                                                                     (25)

     Подставив выражения (24) в формулу (25), приходим к выводу о том, что между амплитудными коэффициентами должна существовать линейная связь

A + B +C = 0                                                                           (26)

     Будем рассматривать  поле колебания типа Е_mnp, для которого _z=0 или в соответствии со вторым уравнением Максвелла _y/x - _x/y = 0. Отсюда получаем ещё одно уравнение связи:

B +A = 0                                                                                     (27)

Решая систему алгебраических уравнений (26) и (27) относительно неизвестных А и В, получаем

A = -C pm/(al((m/a)² + (n/b)²))

B = -C pn/(bl((m/a)² + (n/b)²))                                                          (28)

     Итак, комплексные амплитуды проекций вектора напряженности электрического поля для колебания типа Е_mnp в прямоугольном объемном резонаторе имеют вид

_x =  -C pm/(al((m/a)² + (n/b)²)) cos(mπx/a) sin(nπy/b) cos(pπz/l)

_y =  -C pn/(bl((m/a)² + (n/b)²))  sin(mπx/a) cos(nπy/b) sin(pπz/l)             (29)

_z = C sin(mπx/a) sin(nπy/b) cos(pπz/l)

где С – произвольный амплитудный коэффициент.

_x = јC  ω_резε₀/π sin(mπx/a) cos(nπy/b) cos(pπz/l)

_x = -јC  ω_резε₀/π cos(mπx/a) sin(nπy/b) cos(pπz/l)

_z = 0.

     Проекции векторов  электромагнитного поля для резонаторных  мод типа H_mnp находят аналогичным способом.

Практическая часть

Расчёт  прямоугольного резонатора с длинной  волны λ = 1 см

Дано:  длина волны λ = 1 см; удельная проводимость серебра σ = 62,5 МСм/м (стенки               резонатора покрыты серебром); низшая мода Н₁₀₁; тангенс угла потерь для воздуха (заполнение резонатора – воздух) tgδ = 10^-4; диэлектрическая постоянная ε_a = 8,8510^-12 ; магнитная постоянная μ₀ = 4π10^-7 ; напряжённость электрического поля Е_max = 300 .

Расчёт:     1. Размеры резонатора

                    λ =   2 / ((m/a)² + (n/b)² + (p/l)²) ^½ ,

 где  a = 0,7λ – длина резонатора, b = 0,3λ – ширина резонатора, l – высота резонатора;

m=1 – число вариаций поля по оси х, n=0 - число вариаций поля по оси y, p=1 - число вариаций поля по оси z.

a = 0,7λ = 0,7 (см)

b = 0,3λ = 0,3 (см)

l = p/((2/λ)² - (m/a)² - (n/b)² )^½ = 1/((2/10^-2)² - (1/0,007)² - (0/0,003)² )^½ = 0,71 (см)

Размер резонатора 0,70,30,71.

                  2. Добротность резонатора

                  Q = abl (a²+l²)/(a³(l+2b)+l³(a+2b))

где R_s – активное сопротивление на стенках резонатора.

R_s = _{= = 3,14}310⁸⁴3,1410^-7/(262,510^610-2) = 0,0435 (Ом), где с=310⁸ – скорость света в вакууме; ω= = 18,8410¹⁰ - циклическая частота.

Q = 0,04350,710^-20,310^-20,7110^-2((0,710^-2)²+(0,7110^-2)²)/((0,710^-2)³(0,7110^-2+20,310^-2)+ +(0,7110^-2)³(0,710^-2+20,310^-2)) = 4403

Добротность резонатора Q = 4403.

                   3. Энергия, запасённая в резонаторе

                   W_з = ε_aE²_max abl/8

W_з = 8,8510^-12(300¹⁰³)^20,710^-20,310^-20,7110^-2/8 = 1,4810^-7 (Дж)

Энергия, запасённая в резонаторе W_з = 1,4810^-7 (Дж)                 

                       4. Мощность потерь в резонаторе

                     P= W_з/Q_п

где Q_п – полная добротность.

Q_п = 1/(1/Q + tgδ) = 1/(1/4403 + 10^-4) = 3057

P = 1,4810^-718,8410¹⁰/3057 = 9,12 (Вт)

Мощность потерь в резонаторе P = 9,12 (Вт)