Расчет аналоговых и цифровых фильтров
Содержание
Введение
Различают два общих класса сигналов: аналоговые и дискретные. Аналоговым сигналом называется сигнал, определенный для каждого момента времени, дискретным сигналом – сигнал, определенный только в дискретные моменты времени. Как дискретный, так и аналоговый сигналы могут быть однозначно представлены некоторыми функциями частоты, которые называются их частотными спектрами.
Фильтрацией называется процесс изменения частотного спектра сигнала в некотором желаемом направлении. Этот процесс может привести к усилению или ослаблению частотных составляющих в некотором диапазоне частот, к подавлению или выделению какой-нибудь конкретной составляющей и т. п.
Электронный фильтр – это частотно-избирательное устройство, которое служит для передачи (пропускания) сигналов в заданном диапазоне частот (полосе пропускания) и подавления сигналов в других диапазонах частот (полоса задерживания). Фильтры широко используются в системах связи, в схемах защиты электронных систем от помех.
Различают аналоговые фильтры, в которых обрабатываемый сигнал имеет аналоговую форму, и цифровые фильтры, предназначенные для обработки цифровых сигналов.
Целью работы разработка
цифрового и аналогово фильтра по заданным
параметрам.
1 Расчет аналогового фильтра
По форме АЧХ различают фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые фильтры (ПФ) и режекторные фильтры (РФ). Примеры АЧХ для приведенных типов фильтров показаны на рисунке 1.1.
Рисунок 1.1 - Примеры АЧХ различных фильтров
Рассмотрим постановку задачи расчета фильтра на примере ФНЧ. В идеале мы бы хотели получить фильтр, который пропускает без искажений все частоты ниже и полностью подавляет все частоты выше . Такой ФНЧ называют идеальным, и он не реализуем на практике. Реализуемые же ФНЧ всегда вносят какие-то искажения в полосе пропускания и не до конца подавляет в полосе заграждения. На рисунке 1.2 показаны идеальная и реальная АЧХ ФНЧ. Синим показана АЧХ идеального фильтра, красным - реального.
Рисунок 1.2 - Идеальная и реальная АЧХ ФНЧ
Полоса частот от 0 до называется полосой пропускания ФНЧ, полоса частот от и выше называется полосой подавления или полосой заграждения.
Полоса между и называется переходной полосой фильтра. Параметр
(1.1)
определяет максимальное искажение сигнала в полосе пропускания, а параметр
(1.2)
задает требуемое подавление в полосе заграждения. Таким образом, получили такой «изогнутый коридор» в который должна поместиться АЧХ нашего фильтра. При этом, чем «коридор уже», тем параметр меньше, а параметр больше. Принято искажение в полосе пропускания и требуемое подавление выражать в децибелах, тогда:
(1.3)
Откуда можно выразить:
(1.4)
Таким образом, для расчета
фильтра достаточно задать «
Часто при расчете фильтра используют еще два параметра, которые и мы тоже будем в дальнейшем использовать:
(1.5)
Параметр определяет селективные свойства фильтра. Если сужать переходную полосу, то будет стремиться к единице. С другой стороны параметр определяет степень подавления фильтра с учетом вносимых искажений. Так, если коэффициент подавления в полосе заграждения растет, то стремиться к нулю. Аналогично стремиться к нулю, если коэффициент неравномерности в полосе пропускания стремиться к нулю.
1.1 Сравнение порядков фильтров при различных способах аппроксимации АЧХ. Решение уравнения порядка фильтра
Классификация фильтров. Фильтры принято классифицировать по следующим признакам: по виду амплитудно-частотной характеристики (АЧХ): фильтры нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосно-пропускающие или полосовые (ПП), полосно-задерживающие (ПЗ). Из всех фильтров были выбраны два фильтра Баттерворта и Чебышева. Их основные плюсы по сравнению с другими фильтрами заключаются в том что:
а) фильтры Баттерворта нижних частот
характеризуются тем, что имеют максимально
гладкую амплитудную характеристику
в начале координат в
s-плоскости.
б) отличительной чертой фильтров Чебышева является наименьшая величина максимальной ошибки аппроксимации в заданной полосе частот
Порядок фильтра Баттерворта рассчитывается из уравнения:
(1.6)
Прологарифмируем правую и
левую части уравнения и
(1.7)
Порядок фильтра Чебышева как первого рода, так и второго рассчитывается из уравнения:
(1.8)
Откуда можно выразить:
(1.9)
Теперь нам известны параметры , , , , и рассчитанные с помощью формул 1-5, а также мы рассчитали требуемый минимальный порядок фильтра согласно выражениям 7-9 для всех видов аппроксимации Баттерворта, Чебышева первого рода и Чебышева второго рода и занесли результаты расчета в таблицу 1.
Таблица 1 – Параметры коридора АЧХ и фильтров
Параметры коридора АЧХ |
Требуемый порядок фильтра | ||||||
|
|
|
|
Баттерворта |
Чебышева | ||
0,4843 |
4,8990 |
13,9794 |
0,9151 |
0.7143 |
0.0989 |
7 |
4 |
Сделаем общие выводы: Фильтр Баттерворта обладает самой широкой переходной полосой среди всех фильтров, но у него максимально-гладкая АЧХ. Фильтры Чебышева имеют переходную полосу уже чем у фильтра Баттерворта. Волновые колебания в полосе пропускания приводят к фильтрам Чебышева. Внесение равно волновых колебаний как в полосу пропускания, так и в полосу заграждения АЧХ приводит к эллиптическому фильтру с минимальной переходной полосой. При этом, как мы заметили, для разной аппроксимации задаются различные исходные данные для расчета. Это видно из таблицы 2:
Таблица 2 – Сравнение разных фильтров
Тип фильтра |
Порядок фильтра |
Неравномерность в полосе пропускания |
Уровень подавления в полосе заграждения |
Баттерворта |
Да |
Нет |
Нет |
Чебышева первого рода |
Да |
Да |
Нет |
Чебышева второго рода |
Да |
Нет |
Да |
Эллиптический |
Да |
Да |
Да |
Для построения графика, по форме АЧХ выбран фильтр Чебышева, по условиям в задание, максимальный порядок фильтра равен 5. Были проведены расчеты из уравнений порядка фильтра, где получены результаты со значениями порядка Баттерворта равного 7 и порядка фильтра Чебышева равного 4. Из чего следует, что для расчета необходимо использовать фильтр Чебышева.
Рисунок 1.3 – График АЧХ
Анализ результатов приведенных на рисунке 1.3 по форме АЧХ показано, что данная характеристика относится к фильтрам нижних частот (ФНЧ), так как амплитуда сигнала убывает постепенно, внося небольшие искажения в полосу пропускания, и не до конца подавляется в полосе заграждения. Получить «идеальный» фильтр нельзя, так как пропускать без искажений все частоты ниже и полностью подавлять все частоты выше , на практике реализовать нельзя. Полосы фильтра ограничена на оси абсцисс от =1 рад/сек до =1,4 рад/сек, и по оси ординат =0,9 дБ до =0,2 дБ.
1.2 Анализ полученных результатов
Согласно проведенным всем расчетам и дополнительным требованиям можно сделать вывод, что график фильтра нижних частот приближен к графику идеального АЧХ и соответствует фильтру Чебышева, что удовлетворяет условиям задания.
2 Расчет цифрового фильтра методом частотной выборки с использованием окон.
Для КИХ фильтров – количество коэффициентов импульсной характеристики на единицу больше чем порядок фильтра . Порядок фильтра равен количеству линий задержки структурной схемы КИХ фильтра, показанной на рисунке 2.1.
Рисунок 2.1 - Структурная схема КИХ фильтра
Коэффициенты КИХ фильтра равны значениям отсчетов импульсной характеристики . Таким образом, фильтры четного порядка содержат нечетное количество коэффициентов, а фильтры нечетного порядка — четное.
Обозначим 4 типа импульсных характеристик КИХ фильтра, обладающих линейной ФЧХ как это показано на рисунке 5.
Рисунок 2.2 - Типы импульсных характеристик КИХ фильтров с линейной ФЧХ
Фильтр 1-го типа. Фильтр четного порядка с нечетным количеством коэффициентов . Импульсная характеристика симметрична относительно отсчета , т. е. , , при этом ось симметрии попадает на данный отсчет.
Фильтр 2-го типа. Фильтр нечетного порядка с четным количеством коэффициентов . Импульсная характеристика симметрична относительно оси симметрии , т. е. , .
Фильтр 3-го типа. Фильтр четного порядка с нечетным количеством коэффициентов . Импульсная характеристика антисимметрична относительно отсчета , т. е. , при этом ось симметрии попадает на центральный отсчет, который должен быть равен нулю .
Фильтр 4-го типа. Фильтр нечетного порядка с четным количеством коэффициентов . Импульсная характеристика антисимметрична относительно оси симметрии , т. е. .
Пусть задана АЧХ КИХ фильтра аналитически, или предварительно измеренная каким-либо способом. АЧХ КИХ фильтра — периодическая, четная функция с периодом рад/c, как это показано на рисунке 6.
Рисунок 2.3 - Периодическая симметричная АЧХ КИХ фильтра
Частота цифрового фильтра всегда нормирована к частоте дискретизации, поэтому все частотные характеристики фильтров задаются на интервале от 0 до рад/c.
Если бы у нас был комплексный коэффициент передачи фильтра (без модуля), то мы могли бы произвести расчет импульсной характеристики как разложение в ряд Фурье периодической функции :
(2.1)
Но у нас задана только АЧХ, т.е. модуль комплексного коэффициента передачи , поэтому добавить ФЧХ , тогда:
. (2.2)
Таким образом, требуемой АЧХ задать линейную ФЧХ и рассчитать КИХ согласно (11). Для того чтобы правильно задать линейную ФЧХ мы должны потребовать, чтобы фильтр вносил постоянную групповую задержку для любого из четырех типов фильтров. Тогда
. (2.3)
При расчете неопределенного интеграла постоянная интегрирования приравнена к нулю.
Окончательно выражение для импульсной характеристики КИХ фильтра с линейной ФЧХ принимает вид:
(2.4)
Данное выражение позволяет произвести аналитический расчет импульсной характеристики КИХ фильтра с линейной ФЧХ. Однако, на практике АЧХ может не быть задана аналитически, а даже если и задана, то аналитическое интегрирование не всегда возможно.
Численный расчет КИХ фильтра производится на основе обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ).
Для этой цели мы можем продискретизировать комплексный коэффициент передачи КИХ фильтра как это показано на рисунке 2.4 и рисунке 2.5 для четного и нечетного количества коэффициентов КИХ фильтра соответственно.
Рисунок 2.4 - Дискретизация периодической АЧХ и ФЧХ КИХ фильтра при четном N
Рисунок 2.5 - Дискретизация периодической АЧХ и ФЧХ КИХ фильтра при нечетном N
Дискретизацию будем осуществлять на равноотстоящей сетке:
(2.5)
Тогда АЧХ и ФЧХ дискретизируются на данной сетке частот и комплексный коэффициент передачи представляется дискретными отсчетами:
(2.6)
где – дельта-функция:
(2.7)
Подставив выражение (2.6) в (2.4) получим:
(2.8)
В выражении (2.8) операции интегрирования и суммирования поменяны местами и применено фильтрующее свойство дельта-функции.
Учтем (14) и окончательно можно записать:
(2.9)
Выражение (2.9) ничто иное, как обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) комплексного коэффициента передачи
(2.10)
Это позволяет производить численный расчет КИХ фильтра с произвольной АЧХ с применением алгоритмов быстрого преобразования Фурье, что существенно увеличивает эффективность данного метода.
При расчете необходимо правильно дискретизировать ФЧХ комплексного коэффициента передачи, так как это показано на рисунках 2.3 и 2.5. Так для фильтра с четным количеством коэффициентов ФЧХ дискретизируется согласно выражению (рисунок 6):
(2.11)
В случае нечетного количества коэффициентов КИХ фильтра , ФЧХ дискредитируется согласно выражению (рисунок 8):
(2.12)
В случае четного мы получим КИХ фильтр 2-го или 4-го типа, а при нечетном – первого или третьего типа.
Такая дискретизация ФЧХ необходима, чтобы обеспечить свойства симметрии комплексного коэффициента передачи фильтра, который по сути – дискретное преобразование Фурье от импульсной характеристики КИХ фильтра. Поскольку импульсная характеристика должна быть чисто вещественной, то необходимо выдерживать симметрию АЧХ и ФЧХ, иначе при расчете импульсной характеристики при помощи ОДПФ появится мнимая часть.
Основное достоинство метода частотной выборки заключается в том, что он позволяет довольно просто рассчитать КИХ фильтр с линейной ФЧХ и произвольной АЧХ, заданной на сетке частот . Для этого требуется построить комплексный коэффициент передачи фильтра на заданной сетке частот, и взять от него обратное дискретное преобразование Фурье. Однако при всей простоте данного метода, он хранит в себе недостатки.
При усечении импульсной характеристики наблюдается сильная неравномерность АЧХ в полосе пропускания фильтра, и высокий уровень боковых лепестков в полосе заграждения.
Данный эффект носит название эффекта Гиббса и возникает ввиду ограничения количества отсчетов импульсной характеристики.
Физический смысл эффекта Гиббса заключается в следующем: при дискретизации АЧХ задаем точки через которые должна пройти АЧХ рассчитанного фильтра, однако не задано ограничений на поведение АЧХ в других точках. При расчете получем набор коэффициентов КИХ фильтра как разложение в ряд Фурье комплексного коэффициента передачи. Эти коэффициенты разложения рассчитываются через обратное дискретное преобразование Фурье. Поскольку ограничено количество коэффициентов разложения (количество коэффициентов КИХ фильтра), то получен усеченный ряд, который лишь аппроксимирует идеальную АЧХ. Аппроксимация будет тем лучше, чем больше коэффициентов импульсной характеристики, т. е. чем чаще мы будем дискретизировать идеальную АЧХ. Эффект Гиббса – негативный эффект, который не позволяет получить КИХ фильтр высокой избирательности. Поэтому было предложено использовать для расчета КИХ фильтров аппарат весовых окон, которые были рассмотрены при спектральном анализе ограниченных во времени сигналов. Использование весовых окно позволяет улучшить частотные характеристики КИХ фильтров.
С целью уменьшения эффекта Гиббса необходимо умножить полученную импульсную характеристику на оконную весовую функцию :
(2.13)
2.1 Порядок расчет второго задания
1. Провести дискретизацию
Рисунок 2.6 – График ФЧХ
Анализ результатов на рисунке 2.6 показал что происходит резкий линейный скачок на 25 отчете, от -79 до +79.
Рисунок 2.7 – График АЧХ
На данном графике происходит периодическое колебание с резким линейным спадом амплитуды, стремящейся к нулю.
2. Определим отсчеты комплексного коэффициента передачи использую выражение (2.14). Значения реальной и мнимой частей комплексного коэффициента передачи представлены в таблице 3 для первых десяти значений.
(2.14)
Таблица 3 - Значения реальной и мнимой частей комплексного коэффициента передачи
1 |
0,8100 |
0,0000i |
2 |
-0,8850 |
-0.0560i |
3 |
0,9906 |
0.1258i |
4 |
-0,8951 |
-0.1717i |
5 |
0,7847 |
0.2026i |
6 |
-0,8602 |
-0.2811i |
7 |
0,9132 |
0.3636i |
8 |
-0,7325 |
0.3467i |
9 |
0,8250 |
0.4564i |
10 |
-0,0528 |
-0.0337i |
3. Вычислены отчеты импульсной характеристики цифрового КИХ фильтра используя выражение (18) ОДПФ от комплексного коэффициента передачи для первых десяти значений. Результат расчета импульсной характеристики КИХ фильтра с линейной ФЧХ приведены в таблице 4.
Таблица 4 - Результат расчета импульсной характеристики КИХ фильтра с линейной ФЧХ
1 |
0.3813 |
0.5747i |
2 |
-0.0999 |
0.2568i |
3 |
0.0050 |
0.2978i |
4 |
0.5781 |
-0.4241i |
5 |
0.9670 |
0.0611i |
6 |
0.7230 |
0.6480i |
7 |
0.1114 |
0.7119i |
8 |
-0.1927 |
0.2252i |
9 |
0.1170 |
-0.2171i |
10 |
0.6257 |
-0.0991i |
В общем случае результат при обратном дискретном преобразовании Фурье является комплексным, поэтому в таблице приведена как реальная, так и мнимая части импульсной характеристики. Однако, поскольку воспользовались свойствами симметрии дискретного преобразования Фурье при дискретизации комплексного коэффициента передачи фильтра, в частности его линейной ФЧХ, то мнимая часть в нашем случае равна нулю (на практике она отличается от нуля ввиду ошибок округления при расчете, но имеет очень маленькие значения и меньше) и импульсная характеристика чисто вещественная.
4. Построен график импульсной характеристики рассчитанного фильтра.
Рисунок 2.8 – график импульсной характеристики рассчитанного фильтра
5. С целью уменьшения эффекта
Гиббса необходимо получить
(2.15)
Необходимо выбрать количество коэффициентов КИХ фильтра для обеспечения заданной переходной полосы и оконную функцию для обеспечения заданного подавления в полосе заграждения .
Первый шаг – выбор оконной функции для обеспечения заданного подавления в полосе заграждения. У оконной функции есть параметр задающий уровень боковых лепестков спектрального окна. Необходимо выбрать оконную функцию у которой
дБ (2.16)
-23 < -13.98
Теперь надо рассчитать требуемое количество коэффициентов импульсной характеристики фильтра по формуле:
(2.17)
N≥1.5*2*3.14/0.4=23.55
где – параметр оконной функции, задающий расширение переходный полосы (приведен в таблице 5).
Таблица 5 - Свойства оконной функции
Наименование окна |
|
|
|
|
|
Синус-окно |
3 |
1,23 |
1,5 |
-23 |
-3,93 |
На рисунке 2.9 проведен график синус окна функции имеющий на 25 отчете максимальное значение равное 1.
Рисунок 2.9 – График оконной функции
При рассмотрении графика оконной функции наблюдается та же зависимость, как и на графике импульсной характеристики, а именно, на 25-ом периоде, достигнуто максимальное значение, после чего следует плавное затухание.
6. Расчет значений измененной импульсной характеристики рассчитанного фильтра с использованием оконных функций.
Рисунок 2.10 – График импульсной характеристики
Анализ результатов проведённых на рисунке 2.10, показал, что при применении оконной функции наблюдается уменьшение эффекта Гиббса.
2.2 Анализ полученных результатов
В ходе выполнения второго задания был рассмотрен порядок расчета КИХ фильтра по заданным амплитудно-частотным характеристикам (АЧХ) с линейной ФЧХ методом частотной выборки с использованием окон.
При усечении импульсной характеристики наблюдалась сильная неравномерность АЧХ в полосе пропускания фильтра, и высокий уровень боковых лепестков в полосе заграждения, но при применении оконной функции удалось достичь уменьшения эффекта Гиббса.
Заключение
При расчёте первой части курсовой работы, были получены параметры коридора АЧХ = 0,4843; = 4,8990; = 0,9151; = 13,9794; = 0,7143;
= 0,0989; и фильтров Баттерворта и Чебышева. Исходя из полученных параметров, был построен график АЧХ с применением фильтра нижних частот указанного в задании курсовой работы. При анализе полученных результатов был выбран фильтр Чебышева соответствующий максимальному, порядку указанному в задании к курсовой работе.
В второй части курсовой работы был рассмотрен порядок расчета КИХ фильтра по заданным амплитудно-частотным характеристикам (АЧХ) полученным при расчёте первой части работы. Полученный график имел сильную неравномерность АЧХ в полосе пропускания фильтра и высоким уровнем искажения амплитуды боковых лепестков в полосе заграждения. Для уменьшения эффекта Гиббса была использована оконная функция «Синус окно», при применении которой, наблюдалась уменьшение искажения амплитуды боковых лепестков.
Библиографический список
1. Рабинер Л., Гоулд Р. Теория
и применение цифровой
2. Опенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Связь, 1979.
3. Голденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сигналов: Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1990.
4. Куприянов М. С., Матюшкин Б. Д. Цифровая обработка сигналов. Процессоры, алгоритмы, средства проектирования. СПб.: Политехника, 1998.
5. Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. МATLAB 5.0/5.3. Система символьной математики. М.: Нолидж, 1999.
6. Потемкин В. Г. MATLAB 5 для студентов. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1998.
7. Рудаков П. И., Сафонов В. И. Обработка
сигналов и изображений.
М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2000.
