Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Расчет четырехполюсника. 2

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Северо-Казахстанский Государственный университет им. М. Козыбаева.

Факультет «Энергетики и машиностроения».

Кафедра «Радиоэлектроники и телекоммуникации».

Курсовая работа

По дисциплине: «Теория электрических цепей»

На тему: «Расчет четырехполюсника»

Выполнил: студент гр.

Проверил: ст. преподаватель

Крашевская Т. И.

Оценка_______________

Петропавловск 2011 г.

Аннотация

Задача анализа электрических цепей – это задача определения реакций цепей на заданное воздействие. В данной работе делается попытка решения этой задачи. Рассмотрены несколько способов анализа при нахождении основных характеристик, параметров и коэффициентов четырёхполюсника.

Содержание.

Введение 4

Техническое задание…………………………………………………………………………….5

Данные для расчета……………………………………………………………………………...6

1. Расчет комплексного коэффициента передачи по напряжению 7

2. Переходная характеристика 11

2.1 Расчёт переходной характеристики цепи классическим методом 12

2.2.Расчёт переходной характеристики цепи операторным методом 16

3.Расчет импульсной характеристики заданного четырехполюсника 18

4.Расчет А – параметров. 22

5.Расчет характеристической (собственной) постоянной передачи четырехполюсника 25

6.Заключение 30

Список литературы 31

Приложение:

П1 Графики АЧХ и ФЧХ.

П2 Графики и .

Введение

Четырёхполюсником называется любая электрическая цепь, имеющая два входных зажима (к которым присоединяется источник сигнала) и два выходных ( к которым присоединяется нагрузка).

Переходными электрическими процессами называется явление в электрических системах, возникающие в результате внешних воздействий на систему. Чаще всего эти явления сопровождают переход от одного установившегося процесса (состояние покоя или длительный колебательный процесс), к другому установившемуся процессу.

Для анализа переходных процессов обычно применяют два метода: классический и операторный. Классический метод анализа переходных процессов основан на классическом методе решения обычного дифференциального уравнения. Операторный метод относится к символьным методам, в котором операции над функциями времени замещаются их символами (изображениями)

Техническое задание

1. Для заданного четырёхполюсника рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению К(jw) при этом следует аналитически вывести выражение для данной функции, выделить из него выражение (АЧХ) и (ФЧХ) характеристик цепи. После получения аналитических выражений АЧХ и ФЧХ для ряда значений частоты ( 12-14 значений с общим включением ω=0 и ω=∞), вычисленных соответственно значениям АЧХ и ФЧХ. Свести данные расчета в таблицу и построить графики АЧХ и ФЧХ, приняв по оси частот должен быть одинаков. Графики АЧХ и ФЧХ строятся на одном листе , причем ФЧХ располагается под АЧХ .

2. Определить переходную характеристику h’(t) заданного четырёхполюсника, считая внешнее воздействие на цель напряжения на зажимах 1-1 U1 , а реакции цепи - напряжение на зажимах 2-2 U2 . После полученных аналитических выражений h’(t) для ряда значений времени (12-14 значений с общим включением t =0 и t =∞), вычислить значение переходной характеристики h’(t) результат свести в таблицу и построить график переходной характеристики цепи .

Расчет переходной характеристики цепи производиться двумя методами: классическим и операторным.

3. Определить импульсную характеристику h δ (t) заданного четырехполюсника операторным методом. Расчет произвести в том же порядке и что и для переходной характеристики цепи. График импульсной характеристики стоит строить под графиком переходной характеристики цепи, расположив их на одном листе и выбрав для обеих характеристик масштаб по оси времени t одинаковой величины.

4. Определить сопротивление холостого хода Z11Х и Z22Х , и короткого замыкания Z11K и Z22K и со стороны зажимов 1-1 и 2-2 при частоте ω=314 с-1 и по значениям этих сопротивлений определить А - параметры четырехполюсника. Проверить правильность расчета А - параметров следующим соотношением: А11*А22 – А12*А21=1

5. Определить характеристики сопротивления четырехполюсника Z1C и Z2C , а так же характеристическую (собственную) постоянную передачи четырехполюсника.

Данные 31-ого варианта:

R1=20 Ом

R2=110 Ом

C1=120 мкФ

C2=40 мкФ

1. Расчет комплексного коэффициента передачи по напряжению

Комплексные частотные характеристики цепи делятся на входные и передаточные. Передаточная функция представляет собой отклик цепи на синусоидальное воздействие с частотой (ω) и единичной амплитудой. Но физический смысл этой функции варьируется в зависимости от физического смысла воздействия x(t) и отклика y(t) (рисунок 1.1)

Рисунок 1.1. Четырёхполюсник.

Если и воздействие, и отклик являются напряжениями, то передаточная функция называется коэффициентом передачи по напряжению.

Рисунок 1.2. Заданный четырехполюсник.

Комплексная схема замещения этой цепи приведена на рисунке 1.3

Рисунок 1.3 Комплексная схема замещения цепи.

Входными зажимами буду считать зажимы 1-1', а выходными зажимами 2-2'

Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению K(jω) по формуле:

(1.1)

Рассчитаем входное сопротивление четырёхполюсника

(1.2)

Определим входной ток

_(1.3)

Определим ток, протекающий через конденсатор

Определим напряжение на зажимах 2-2'

Подставим числовые значения R₁, R₂, C₁, С₂:

(1.5)

Выражение для АЧХ и ФЧХ примет вид:

_(1.6)

(1.7)

Подставляя в получившиеся аналитические выражения АЧХ и ФЧХ ряд значений частот, с обязательным включением ω=0 и ω= ∞, и на основе этого составляем таблицу 1.1.

Табл. 1.1 Значения АЧХ и ФЧХ

ω , рад/с

100

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

К(ω)

0,007

0,119

0,272

0,478

0,693

0,864

0,967

0,029

1,019

1,042

φ(ω),град.

180

174,3

168,4

155,7

140,99

123,98

105,6

88,2

73,6

62,2

53,5

2000	4000	6000	8000	10000	15000	20000	25000	30000
1,049	1,024	1,011	1,006	1,004	1,002	1,001	1,001	1
46,8	20,8	13,5	10,1	8,02	5,3	3,98	3,18	2,7

2. Переходная характеристика.

Переходной характеристикой линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие неединичного скачка или напряжения к высоте этого скачка при нулевых начальных условиях:

(2.1)

Из выражения (2.1) видно, что, если х=1, следовательно, переходная характеристика цепи числено, равна отношение размерности отклика цепи к размерности внешнего воздействия.

Единичной ступенчатой функцией ( функцией Хевисайда) называется функция:

Функцию Хевисайда удобно использовать для аналитического представления различных воздействий на цепь, значения которых скачкообразно изменяются в момент коммутации.

2.1. Расчет переходной характеристики цепи классическим методом.

Производим анализ цепи до коммутации. В результате этого анализа определяю токи во всех ветвях электрической цепи и напряжение на ёмкости в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (t=0_).

Рисунок 2.1.1. Рассчитываемая цепь до коммутации.

По законам коммутации

(2.1.2)

Независимые начальные условия равны

(2.1.3)

Составляю систему дифференциальных уравнений на основании законов Кирхгофа, описывающую процесс в цепи после коммутации(t≥0):

Рисунок 2.1.2. Рассчитываемая цепь после коммутации.

Выбираю произвольно направление обхода контура (рис.2.1.2.):

Токи в цепи представим в виде суммы установившегося и свободного режима цепи , где - установившаяся составляющая третьего тока; - свободная составляющая третьего тока.

Нахожу частные решения системы неоднородных дифференциальных уравнений, т. е. определяю соответствующие установившемуся режиму:

Запишем определитель исходной системы уравнений и приравниваем его к нулю

(2.1.9)

Приравняв к нулю числитель выражения (2.1.9), получим:

(2.1.10)

Подставив числовые значения параметров цепи в характеристическое уравнение (2.1.10), вычислим его корни

(2.1.3)

(2.1.4)

Корни характеристического уравнения – вещественные числа, характер переходного процесса апериодический, выражение свободного тока будет иметь вид:

Для расчета постоянных интегрирования определим зависимые начальные условия. Запишем исходную систему уравнений (2.1.4) для

(2.1.5)

(2.1.6)

Решая данную систему уравнений (2.1.6), получаем:

Для определения продифференцируем исходную систему уравнений при t=0:

(2.1.7)

Решая данную систему уравнений (2.1.7), получаем:

Определим постоянные интегрирования:

(2.1.8)

Решая данную систему уравнений (2.1.8), получаем:

В результате:

Переходная характеристика заданного четырёхполюсника имеет вид:

2.2. Расчёт переходной характеристики цепи операторным методом.

Рисунок 2.2.1 Операторная эквивалентная схема цепи после коммутации

Поскольку на вход цепи подаётся внешнее воздействие, равное 1В, то в операторной форме этому оригиналу соответствует изображение равное . Соответственно переходная характеристика определится как:

(2.2.1)

(2.2.2)

(2.2.3)

(2.2.4)

(2.2.5)

(2.2.6)

Приравняем к нулю и найдем корни получившегося уравнения:

;

Далее нахожу производную функции (2.2.6), получаю:

(2.2.7)

Таким образом, переходная характеристика данного четырёхполюсника определится как:

Переходная характеристика заданного четырёхполюсника имеет вид:

Подставляю в аналитическое выражение ряд значений с обязательным включением t = 0 и t = ∞ , и на основе этого составляю таблицу 2.2.1.

Расчет классическим и операторным методами практически совпадают, с учетом допустимой погрешности, можно сделать вывод, что переходная характеристика найдена, верно.

3. Расчет импульсной характеристики заданного четырехполюсника.

Импульсной характеристикой линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие бесконечно большой высоты и конечной площади этого импульса:

(3.1)

Импульсная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса (), а размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.

Импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой высоты, площадь которого равна 1, называется единичным импульсом. Функция, определяющая единичный импульс, обозначается δ и называется δ – функцией или функцией Дирака:

(3.2)

Для :

(3.3)

Рисунок 3.1 Операторная схема цепи.

На вход рассчитываемой цепи подается напряжение , в операторном виде это напряжение, для расчета импульсной характеристики, будет равно .

Запишем операторное сопротивление цепи:

(3.4)

Запишем выражение для первого тока в операторном виде:

(3.5)

Запишем выражение тока третьего через в операторной форме:

(3.6)

Запишем выражение для выходного напряжения в операторном виде

(3.7)

Выполним обратное преобразование Лапласа с помощью теоремы разложения. Обозначим числитель и знаменатель дроби (3.4) соответственно и :

(3.8)

Приравниваем знаменатель выражения (3.8) к нулю - и находим корни заданного квадратного уравнения:

(3.9)

Корни заданного уравнения будут совпадать с корнями при расчете переходной характеристики.

;

Найдем производную от знаменателя дроби (3.5) то есть

(3.10)

В соответствии с теоремой разложения имеет вид

(3.11)

Найдём,

(3.12)

Найдём,

(3.13)

Найдём,

(3.14)

Найдём,

(3.15)

Найдём,

_(3.16)

Найдём,

(3.17)

Подставляем найденные значения (3.12), (3.13), (3.14), (3.15), (3.16) и (3.17) в выражение (3.11)

(3.18)

Получили выражение, представляющее собой импульсную характеристику заданного четырехполюсника (3.18).

Используя связь между переходной и импульсной характеристиками проверяю правильность расчетов по формуле:

(3.19)

Делаю вывод о правильности расчётов. Результаты расчёта для ряда значений времени, заношу в таблице 2.2.1. График приведён в приложении 2.

Таблица 2.2.1

t, с	0	5*10^-5	10^-4	1,5*10^-4	2*10^-4	2,5*10^-4	3,5*10^-4	0,005	0,02	∞
	1	0,405	-0,288	-0,837	-1,065	-0,918	0,108	-0,023	0,0004	0
	-9,3*10³	-1,4*10⁴	-1,3*10⁴	-8,2*10³	-770	6,4*10³	1,1*10⁴	29	-1,8*10^-4	0

4. Расчёт -параметров.

Определим сопротивление холостого входа Z_11x

(4.1)

где входное сопротивление со стороны зажимов 1-1`, в режиме холостого хода на зажимах 2-2`, Ом

Определим сопротивление холостого входа Z_22x

(4.2)

где входное сопротивление со стороны зажимов 2-2`, в режиме холостого хода на зажимах 1-1`, Ом

Определим сопротивление короткого замыкания Z_11к

(4.3)

где входное сопротивление со стороны зажимов 1-1`, в режиме короткого замыкания со стороны зажимов 2-2`, Ом

Определим сопротивление короткого замыкания Z_22k

(4.4)

гдевходное сопротивление со стороны зажимов 2-2`, в режиме короткого замыкания на зажимах 1-1`, Ом

По значениям Z_11x, Z_22x, Z_11к,Z_22k определяю А-параметры по формулам (4.5– 4.8)

(4.5)

где коэффициент передачи по напряжению

(4.6)

где передаточное сопротивление, Ом

(4.7)

где передаточная проводимость, См

(4.8)

гдеотношение токов при режиме короткого замыкания одних из зажимов