Расчет линейной АRC-цепи

ЗАДАНИЕ 

на курсовую работу по дисциплине «Основы теории цепей» 

Тема  «Расчет линейной АRC-цепи» 

Вариант №53 

      1. Вывести уравнение операторной  передаточной функции по напряжению активного RC-фильтра второго порядка. Тип фильтра - ФВЧ. Принципиальная схема фильтра приведена на рис.1. При расчетах операционный усилитель считать идеальным.

      2. Рассчитать параметры резистивных  и емкостных элементов фильтра  заданной схемы. Фильтр должен  иметь коэффициент передачи в  полосе пропускания =5, характеристическую частоту (частоту режекции ) =0,1 кГц, добротность =1.  Определить нули  и полюсы операторной передаточной функции фильтра, построить полюсно-нулевую карту.

      3. Рассчитать и построить графики  амплитудно-частотной  и фазочастотной характеристик фильтра с заданными параметрами, построить его частотный годограф (график амплитудно-фазовой характеристики). Определить частоту (частоты) среза ( , ), полосу пропускания , крутизну спада амплитудно-частотной характеристики ( , ).

      4. Рассчитать и построить график  переходной передаточной характеристики по напряжению фильтра с заданными параметрами.

      5. Провести анализ полученных результатов, дав качественное объяснение поведения амплитудно-частотной, фазочастотной и переходной характеристик фильтра.

      Рис.1

Содержание.

Введение…………………………………………………………………..4

Расчет  операторной передаточной функции

активного четырехполюсника…………………………………………...8

Параметрический синтез фильтра……………………………………….12

Расчет  частотных характеристик фильтра………………………………14

Расчет  переходной характеристики фильтра……………………………21

Анализ  полученных результатов…………………………………………23

 Список  использованной литературы…………………………………….24 

Введение 

      Активные  RC-фильтры 

      Электрические фильтры, то есть устройства, пропускающие электрические колебания одних частот и задерживающие колебания других, широко применяются в современной промышленной электронике. Область частот пропускаемых колебаний, для которых модуль передаточной функции с заданной точностью равен некоторому определенному значению, называется полосой пропускания фильтра. Граничные частоты полосы пропускания принято называть частотами среза. Область частот задерживаемых колебаний, для которых модуль передаточной функции не превосходит некоторого установленного уровня, называется полосой задерживания. В связи с тем, что идеального разделения полос пропускания и задерживания добиться невозможно, говорят об области спада амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) фильтра. В зависимости от взаимного расположения полос пропускания и задерживания (рис.2) различают фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые фильтры (ПФ), режекторные (заграждающие) фильтры (РФ).

      В общем случае передаточную функцию фильтра с сосредоточенными параметрами можно записать в виде отношения двух рациональных выражений (полиномов): 

       = , 
 

      где , – вещественные числа; – комплексная частота. Наибольшая степень переменной в знаменателе соответствует порядку фильтра.

      Особый  интерес представляют фильтры первого и второго порядка, так как фильтры более высоких порядков строятся, как правило, на их основе. Для различного типа  фильтров  первого  и второго порядков передаточные функции в дробно-рациональной форме приведены в табл. 1 (форма 1). 
 
 

      Таблица 1

      На  практике при описании передаточных функций фильтров первого и второго порядков  принято  пользоваться  такими  параметрами,  как коэффициент передачи фильтра в полосе пропускания ,  характеристическая (собственная) частота = , добротность (для фильтров второго порядка), частота режекции = (для РФ). Выражения для передаточных функций, получаемые при использовании названных параметров, также приведены в табл. 1 (форма 2). Сравнение двух форм записи передаточных функций позволяет легко проследить связь параметров фильтров , , , с коэффициентами , ,  ,  , , .

      Анализ  установившегося режима при воздействии  синусоидальных сигналов проводят, полагая  = ( , – циклическая и угловая частоты синусоидального колебания; = ). Имеющая при этом место зависимость модуля передаточной функции от частоты является уравнением АЧХ фильтра. Обычно значение модуля передаточной функции выражается в децибелах:

      Коэффициент передачи в полосе пропускания  в этой формуле соответствует частоте =0 для ФНЧ ( = ), ∞ для ФВЧ ( = ), = для ПФ ( = ).

      Для РФ характерными являются коэффициенты передачи на частотах =0 ( = ) и ∞ ( = ). Причем  выполняется соотношение = . В случае симметричной АЧХ характеристическая частота РФ совпадает с частотой максимального затухания колебаний – частотой режекции ( = ), а коэффициенты передачи для нижнего и верхнего участков полосы пропускания равны ( = ).

      За  полосу пропускания фильтра  обычно принимают интервал частот, на границах которого модуль передаточной функции падает до уровня ≈ , то есть на –3 дБ.

      При таком задании полосы пропускания  частота среза ФНЧ и ФВЧ  первого порядка совпадает с  их характеристической частотой ( = ). Близки к характеристическим и частоты среза ФНЧ и ФВЧ второго порядка, хотя в общем случае они различаются ( ≠ ). При > на графиках АЧХ этих фильтров в области частоты наблюдается «всплеск», а > . Полное совпадение = имеет место лишь при = .

      У ПФ характеристическая частота  соответствует частоте, на которую приходится максимум передаточной функции (для наименования такой частоты употребляются термины резонансная или квазирезонансная). Справедливы соотношения: 

где , – нижняя и верхняя частоты среза ПФ.

      Избирательные свойства фильтров в значительной мере зависят от крутизны их АЧХ в области спада. Крутизна спада является характерным параметром фильтра и рассчитывается в децибелах на декаду 

      где , – выборочные частоты в области спада.

      Декада  – практическая единица измерения  частотного интервала; соответствует интервалу между частотами и , различающимися в 10 раз ( =10; =1).

      Возможны  реализации фильтров с использованием лишь одних пассивных элементов (пассивные фильтры). Однако в настоящее время построение фильтров часто проводится с применением активных элементов (активные фильтры), в частности, операционных усилителей (ОУ). Если подобный активный фильтр из пассивных элементов содержит только емкостные и резистивные элементы, то его называют активным RC–фильтром.

      Активные  RC–фильтры не содержат катушек индуктивности. Индуктивные катушки – это громоздкие элементы (особенно предназначенные для работы при низких частотах). Их микроэлектронное исполнение весьма затруднительно. Кроме того, в низкочастотном диапазоне катушки индуктивности имеют невысокую добротность.

        Активные фильтры выгодно отличаются  от пассивных еще и тем, что  имеется возможность обеспечения  их высокого входного и малого  выходного сопротивлений. Это  облегчает согласование фильтров  при их соединениях между собой  (имеет место независимость АЧХ промежуточных звеньев).

      При проектировании сложных фильтров на основе фильтров первого и второго  порядков используются различные комбинации последних. Например, применяется каскадное соединение – выход предыдущего фильтра соединяется со входом последующего. Каскадное соединение звеньев первого и второго порядков позволяет создать фильтр любого порядка. В этом случае передаточная функция фильтра равна произведению передаточных функций входящих в его состав элементарных звеньев: 

      Расчет  операторной передаточной функции

      активного четырехполюсника 

      Выпускаемые промышленностью в виде отдельных  микросхем ОУ широко применяются  в качестве активных элементов электрических  цепей. Условное обозначение ОУ приведено на рис. 3. Входные напряжения , подаются относительно общей шины, относительно нее снимается и выходное напряжение . Один из входов ОУ называется инвертирующим, другой – неинвертирующим. Если при нулевом напряжении на одном из входов ОУ подавать напряжение на другой его вход, то полярность напряжения инвертирующего входа будет обратна полярности выходного напряжения , а полярность напряжения  неинвертирующего входа будет одинакова с ним: 

       = ,

      где – коэффициент усиления ОУ.

      Параметры современных ОУ во многих случаях  допускают их идеализацию. Идеальный ОУ представляет собой источник напряжения, управляемый    напряжением,   с   бесконечно    большим    коэффициентом   усиления

      ( ), бесконечными входными ( , ) и нулевым выходным ( ) сопротивлениями.

      Анализ  цепей, содержащих идеальные ОУ, можно  проводить различными методами. Для  этого следует воспользоваться  схемой замещения ОУ (рис. 4). Ниже рассмотрен пример, в котором расчет цепи четырехполюсника с идеальным ОУ осуществлен методом узловых напряжений.

      В примере рассчитывается операторная  передаточная функция активного RC-четырехполюсника. Операторная передаточная функция цепи представляет собой отношение операторного изображения реакции (выходного сигнала) к операторному изображению воздействия (входного сигнала). При этом в соответствии с определением цепь должна находиться при нулевых независимых начальных условиях (в данном случае – при нулевых начальных значениях напряжений на емкостных элементах).

      На  основании исходной схемы четырехполюсника составим операторную схему замещения (рис. 6). Для этого пассивные элементы  в исходной схеме заменим пассивными двухполюсниками с соответствующими операторными сопротивлениями (резистивному элементу с сопротивлением соответствует двухполюсник с операторным сопротивлением  , емкостному с емкостью – двухполюсник с операторным сопротивлением ).

      Схема четырехполюсника содержит также два  идеальных ОУ (DA1, DA2). Воспользовавшись схемой замещения идеального ОУ (см. рис. 4) представим тот и другой ОУ в виде управляемых идеальных источников напряжения с операторными ЭДС , .

      Рис. 5 

      Рис. 6 

      К входу четырехполюсника подключим  идеальный источник тока, операторное  изображение тока которого обозначим  . Мгновенным значениям входного и выходного напряжений , будут отвечать их операторные изображения , .

      Осуществим  расчет методом узловых напряжений. Проведем топологический анализ схемы, в ходе которого выявим и пронумеруем узлы. Узел, помеченный знаком общей шины, обозначим как нулевой (узел 0) и примем его за базисный узел. Для операторных изображений узловых напряжений узлов 1–6 введем обозначения – . При этом отметим, что = , = .

      К узлам 4, 6 подсоединены выходы ОУ. Узловые  напряжения этих узлов являются зависимыми, так как определяются узловыми напряжениями на входах ОУ: 

      При конечных значениях  , и имеем = , =0. Действительно, инвертирующий вход каждого идеального ОУ виртуально замкнут с его неинвертирующим входом, а напряжения на неинвертирующих входах ОУ в данной схеме, в свою очередь, равен нулю (эти входы соединены с общей шиной).

      Таким образом, узловые напряжения узлов, к которым подсоединены инвертирующие  входы ОУ известны. Неизвестными являются узловые напряжения , , , .Для нахождения этих четырех неизвестных составляем четыре уравнения по методу узловых напряжений. При этом исходные уравнения по первому закону Кирхгофа записываем для узлов 1, 2, 3, 5. Узловые напряжения этих узлов являются независимыми, а не определяются, как в случае узлов 4, 6, управляемыми источниками , .

      В матричной форме система узловых  уравнений примет вид 

      Из  этой системы линейных уравнений  по правилу Крамера могут быть определены операторные изображения  узловых напряжений входа и выхода четырехполюсника: 

где – определитель матрицы узловых операторных проводимостей; 
 
 

      Операторная функция передачи рассматриваемого активного четырехполюсника будет равна 

      После вычисления определителей  , и подстановки полученных для них выражений получим в виде дробно-рациональной функции: 

где

Параметрический синтез фильтра 

      Из  дробно-рационального выражения  для передаточной функции    фильтра верхних частот второго порядка (см. табл. 1, форма 1) заключаем, что для него =0, а₀=0. Сравнивая между собой две употребляемые формы записи передаточной функции  фильтра верхних частот второго порядка (см. табл. 1, формы 1, 2), можем видеть, что = ; = = ; = .

      Таким образом, для определения параметров (параметрического синтеза) шести пассивных  элементов ( , , R₁–R₄) заданной цепи, удовлетворяющей заданным электрическим свойствам, имеем три уравнения. Недостающие уравнения получим, наложив следующие дополнительные условия. Исходя из сокращения номенклатуры номиналов элементов и в целях обеспечения относительно большого входного сопротивления  каскадов положим = = , = = =10 кОм.

      Воспользуемся выражениями для коэффициентов , дробно-рационального представления передаточной функции через параметры элементов схемы , , R₁–R₄. В результате подстановки получим 
 

      Отсюда  находим

      Параметры всех элементов фильтра определены. Их конкретные значения выбраны в соответствии с рядами номинальных значений сопротивлений резисторов и емкостей конденсаторов.

      Численные значения коэффициентов дробно-рационального  представления передаточной функции = рассчитанного фильтра верхних частот  равны:

      Нули  и полюсы фильтра определим из уравнений:

      Получаем, что фильтр имеет по два комплексно-сопряженных  нуля и полюса:

     Полюсно–нулевая карта, построенная по этим данным, представлена на рис.7.

      Рис. 7. Полюсно-нулевая карта. 

Расчет  частотных характеристик  фильтра 

      При гармоническом воздействии (гармоническом входном сигнале) для линейной цепи в установившемся режиме вводятся понятия комплексных параметров. Передаточным комплексным параметром цепи называется отношение комплексной амплитуды отклика (выходного сигнала) к комплексной амплитуде воздействия (входного сигнала). Одним из таких параметров является рассматриваемый при проектировании комплексный коэффициент передачи по напряжению – отношение комплексной амплитуды выходного напряжения к комплексной амплитуде входного напряжения : 

      Зависимость комплексного коэффициента передачи по напряжению от частоты носит название комплексной передаточной функции цепи по напряжению и обозначается . В общем случае функция принимает комплексные значения и может быть представлена в показательной форме: 

      Модуль  комплексной передаточной функции 

является  зависимостью от частоты коэффициента передачи по напряжению (отношения  амплитуд выходного и входного напряжений); зависимость называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) цепи.

      Аргумент  комплексной передаточной функции 

представляет собой зависимость от частоты сдвига фаз между выходным и входным напряжениями; зависимость называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ) цепи.

      Уравнение комплексной передаточной функции  может быть получено из уравнения операторной передаточной функции при замене операторной переменной на мнимую частоту :

      В свою очередь, после выделения действительных , и мнимых , составляющих числителя и знаменателя дробного выражения комплексной передаточной функции 

легко находятся уравнения АЧХ и  ФЧХ цепи: 

      При построении графиков частотных характеристик, когда частота изменяется в широких пределах (две декады и более), по оси абсцисс обычно откладывают не саму частоту (линейный, абсолютный масштаб), а ее десятичный логарифм (логарифмический масштаб), указывая при этом на оси значения самой частоты .

      Значения  коэффициента передачи по оси ординат могут быть отложены как в абсолютных единицах (линейный, абсолютный масштаб), так и в децибелах (логарифмический масштаб). Если логарифмический масштаб использован для обеих осей, то говорят, что график АЧХ построен в логарифмическом масштабе. При этом зависимость, отображаемую на графике, называют логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ). Если логарифмический масштаб применен только для оси частот, то говорят, что график АЧХ построен в полулогарифмическом масштабе.

      Фазовый угол по оси ординат всегда откладывают в радианах или градусах. Если при этом используется логарифмический масштаб по оси частот, то отображаемую зависимость называют логарифмической фазочастотной характеристикой (ЛФЧХ).

      Широкое распространение получил еще  один способ графического представления  частотных свойств цепей –  построение диаграммы амплитудно-фазовой характеристики (АФХ). Диаграмма АФХ представляет собой годограф (геометрическое место точек, траекторию) конца вектора на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечно большого значения. Для построения годографа находят частотные зависимости действительной и мнимой частей комплексной передаточной функции = + : 

      На  комплексную плоскость  = + наносят точки, соответствующие этим зависимостям (частота задается с определенным шагом в пределах от 0 до ∞). Получаемая в результате кривая АФХ несет информацию одновременно об амплитудно- и фазочастотных свойствах цепи.

      Уравнения АЧХ и ФЧХ фильтра получим  из дробно-рационального выражения  его операторной функции передачи: 

      Положив = , получим выражение для комплексной передаточной функции: 

      Определив модуль этого комплексного выражения, найдем уравнение АЧХ фильтра: 

      Для нахождения уравнения ФЧХ нужно  найти аргумент функции  :