Расчет металлического баллона давления с кольцом, подкрепленного кольцевыми слоями композиционного материала

министерство  ОБРАЗОВАНИЯ  и науки  российской федерации

 

ФГБОУ ВПО «АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И.И.ПОЛЗУНОВА»

 

Кафедра "Физики и технологии композиционных материалов"

 

 

УДК 519.24.001

Курсовая работа защищена с оценкой _____________________ Руководитель  работы                         д.т.н.,профессор В.Б. Маркин                                    подпись, должность, и.о. фамилия

 

 

Расчет металлического баллона  давления с кольцом, подкрепленного кольцевыми слоями композиционного  материала

тема проекта (работы)

 

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

по дисциплине «Строительная механика композитных конструкций»

КР 150502.01.000 ПЗ

обозначение документа

 

 

 

 

 

Проект выполнил                                         

студент гр. ПКМ-81                                                                    Я. А. Афанасьева

                                                                           подпись,       и.о. фамилия

 

 

 

Нормоконтролер                                                    к.т.н., доцент_А. А. Бердыченко

                                                             подпись,      должность,  и.о.  фамилия

 

 

 

 

 

 

 

2012

ЗАДАНИЕ

К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

по дисциплине «Строительная механика композитных конструкций»

 

для студента гр. ПКМ – 81   Я. А. Афанасьевой

                                                                                    ^{и.о. фамилия}

 

 

Вариант № 01

Расчет металлического баллона давления с кольцом, подкрепленного кольцевыми слоями композиционного материала

^{тема проекта (работы)}  

 

Разработать и представить работу к защите не позднее  _____________

                                                                                                                                                                        ^дата

 

Дата выдачи задания                                                           _____________

                                                                                                                                                                        ^дата

 

 

 

 

Руководитель проекта                                  д.т.н.,профессор В.Б. Маркин

                                                                                                            ^{должность,   и.о.  фамилия}

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ 4

1 Основные уравнения теории упругих оболочек 6

1.1 Некоторые сведения из теории поверхностей 6

1.2 Основные гипотезы теории оболочек 10

1.3 Уравнения равновесия 10

1.4 Геометрические уравнения теории оболочек 13

1.5 Физические уравнения общей теории оболочек 14

1.6 Граничные условия в общей теории оболочек 15

2. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК 17

2.1 Уравнения, описывающие оболочку 17

2.2 Осесимметричная деформация ортотропной слоистой цилиндрической оболочки 20

3 РАСЧЁТ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 23

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 30

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Композиционные  материалы по праву считаются  материалами ХХI века – они обладают высочайшими физико-механическими характеристиками при низкой плотности – они крепче стали и легче алюминиевых сплавов.

 Полимерные композиционные материалы на основе высокопрочных и высокомодульных волокон различной структуры нашли широкое применение в тех областях техники, где требуются высокие прочность и жесткость при малом весе конструкции. Без таких материалов невозможно развитие современной авиационной и ракетно-космической техники, создание совершенных конструкций, удовлетворяющих определенному сочетанию эксплуатационных свойств, воспринимающих механические и тепловые нагрузки самых сложных конфигураций.

Одним из распространенных типов конструкций  из композиционных материалов является баллон давления, представляющий в большинстве случаев цилиндрическую оболочку с днищами специальной геометрической и конструкционной формы. Такие изделия могут использоваться как корпуса ракетных двигателей твердого топлива, резервуары для хранения активных и криогенных жидкостей, т.е. как конструкции, работающие на высоких внутренних давлениях при осесимметричной внешней нагрузке.

Расчет  таких изделий базируется на безмоментной теории тонких оболочек и вытекающих из нее расчетных формулах, учитывающих специфические особенности данной конструкции и условия ее закрепления. С целью увеличения герметичности баллонов давления часто используются металлические тонкостенные оболочки, подкрепленные слоями композиционного материала, что позволяет существенно изменить распределение напряжений и жесткость конструкции. Наименьшее значение жесткости тонкостенных оболочечных конструкций приходится на цилиндрическую часть, поэтому конструктивно использовать подкрепление цилиндрической оболочки кольцом, выполненным из материала

 

 

внутреннего слоя, что позволяет также решать технологические задачи соединения двух половин конструкции в ее средней части.

Задачи  данной курсовой работы:

- рассчитать  металлический баллон давления  с кольцом, усиленный по цилиндрической части кольцевыми слоями однонаправленного композиционного материала ( рисунок 1);

- построить  распределение прогиба по координате  α;

- построить  распределение меридиональных и  кольцевых напряжений на внутренней  поверхности металлического слоя  по координате α;

- построить  распределение меридиональных и  кольцевых напряжений на наружной  поверхности композиционного слоя  по координате α.

Рисунок 1 –  Подкрепленный баллон давления

 

1 Основные уравнения  теории упругих оболочек

1.1 Некоторые сведения из теории поверхностей

Определения некоторых понятий, которые будут встречаться в теории упругих оболочек.

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя  криволинейными поверхностями, расстояние между которыми (толщина оболочки) мало по сравнению с прочими размерами тела.

Срединная поверхность – поверхность, равноотстоящая от наружной и внутренней поверхности  оболочки.

Граничный контур – линия пересечения срединной  поверхности с боковыми поверхностями  оболочки.

Нормальное  сечение. Проведем в некоторой точке М произвольной поверхности (рис. 1) нормаль n. Нормальным сечением в некоторой точке называется сечение плоскостью, содержащей нормаль к поверхности в данной точке. Сечение это есть некоторая кривая линия на срединной поверхности. В любой точке М существует два нормальных (ортогональных) направления, называемых главными (1, 2 на рис.2). Они дают линии главных кривизн. Если точка М₁ → М, то нормали к ним пересекутся в точке О₁, называемой центром кривизны главного нормального сечения поверхности в точке М. Расстояние О₁М дает R₁ – главный радиус кривизны поверхности в точке М вдоль линии 1. Величина, обратная этому радиусу, 1/R₁ определяет главную кривизну поверхности в этой точке. Аналогично для второй линии: R₂ и 1/ R₂.

 

 

Рисунок 2 –  Нормальные сечения поверхности

 

Положение точки на поверхности определяется двумя характерными параметрами (рис.3) α и β, в зависимости от которых будем иметь соответствующую систему координат.

Уравнение поверхности в декартовой системе  координат может быть записано или в параметрической форме

x=x(α,β), y=y(α,β), z=z(α,β),     (1.1)

или одним  векторным уравнением по положению  радиуса вектора:

   (1.2)

где - орты.

 

Рисунок 3 – Представление поверхности  в декартовой системе координат

Линейный  элемент dS – бесконечно малое расстояние между двумя точками M и N по поверхности (рис.4). где dS₁ и dS₂ – линейные приращения, соответствующие приращениям криволинейных координат α и β.

 

Рис.4 – Линейный элемент на поверхности

 

Так как dS₁ и dS₂ →0, то они пропорциональны дифференциалам независимых переменных, т.е.

где А и В – некоторые коэффициенты искажения, преобразующие приращения криволинейных координат в линейные отрезки. Тогда

    (1.3)

Уравнение (1.3) называется первой квадратичной формой поверхности в ортогональных координатах α и β. А и В – коэффициенты этой формы.

Линейный  элемент поверхности можно представить  как приращение вектора от точки М к точке N.

Возведем это уравнение в квадрат:

    (1.4)

Из выражений (1.3) и (1.4) видно, что  тогда получаем уравнения для их определения:

 (1.5)

Пусть срединная  поверхность образована вращением  произвольной кривой относительно оси (рис.5).

Рисунок 5 – Поверхность, образованная вращением  кривой r=f(z) вокруг оси OZ.

а и б – геометрические представления для поверхности вращения

В этом случае меридианы и параллели – главные линии кривизны поверхности, принимаемые за координаты. Основные параметры: α=z – расстояние по вертикали, β=θ – угол между двумя вертикальными плоскостями через OZ. Каждому z=const соответствует некоторая параллель, каждому θ=const – меридиан (рис.5.а). Их пересечение определит положение точки М. Система координат (z, θ,r) – цилиндрическая. В случае сферической системы (для той же оболочки) используются два параметра: угол φ, определяющий параллель, и угол θ, определяющий положение меридиана (рис.5.б). Определим значения коэффициентов А и В квадратичной формы для произвольной оболочки вращения. Рассмотрим элемент поверхности, выделенный двумя параллельными плоскостями, отстоящими на расстоянии dz друг от друга, и двумя меридиональными плоскостями, угол между которыми равен dθ. Из рис.5.а видно, что dS₂=rdθ, из рис.5.б следует, что но тогда

Угол φ определяет положение нормали в каждой точке поверхности, т.е.

 

Следовательно,

т.е.       (1.6)

В цилиндрической системе координат оболочку можно описать так:

x=r(z)Cosθ; y=r(z)Sinθ; z=z.

В сферической  системе координат коэффициенты квадратичной формы

     (1.7)

На рис.5.б О₁М₁=R₁ – радиус кривизны меридиана оболочки, О₂М=R₂ – радиус кривизны вдоль параллельного круга. Можно выразить А и В через эти величины: А=R₁, B=R₂Sinφ=r.

 

1.2 Основные гипотезы  теории оболочек

Для создание расчетных схем теории оболочек используются гипотезы Кирхгофа-Лява.

1. Прямолинейный элемент, перпендикулярный к срединной поверхности до деформации, остается прямым и перпендикулярным деформированной срединной поверхности и не изменяет своей длины.
2. Нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с прочими напряжениями.

 

1.3 Уравнения равновесия

Рассмотрим  равновесие элемента оболочки произвольной формы, заданной в системе координат α, β, z (рис.5). Внешняя нагрузка на оболочку будет произвольной, непрерывно распределенной по поверхности оболочки. Проекции нагрузки на направления x, y, z будут равны p₁, p₂ и p₃ (p₁ и p₂ совпадают с касательными к α и β линиям).

Обозначим через σ₁ нормальные напряжения на грани α=const, а через σ₂ – нор-

мальные напряжения на грани β=const, τ_αβ = τ_βα – касательные напряжения на гранях β=const и α=const, τ_zα и τ_zβ – нормальные напряжения по нормали к оболочке. На уровне срединной поверхности длины сторон элемента равны Adα и Вdβ.

 

Рисунок 6 –  Элемент нагруженной оболочки произвольной формы

Главные радиусы в окрестности точки О равны R₁ и R₂. Длину стороны се элемента, отстоящего на z от срединной поверхности можно получить (см.рис.6) в следующем виде:

Напряжения  на гранях сведутся к статическим  эквивалентным равнодействующим усилиям: силам и моментам (рис.6). Суммируя нормальные напряжения σ_α, σ_β и касательные напряжения τ_αβ = τ_βα по площадям соответствующих граней, получим соответствующие усилия:

 (1.8)

N_α – нормальное усилие на грани α=const на единицу длины сечения оболочки.

Аналогично  для другой грани элемента оболочки:

   (1.9)

Аналогично  найдем выражения для моментов. На базе линейного распределения напряжений σ_α, σ_β по высоте сечения оболочки и гипотезы о прямых нормалях имеем:

  (1.10)

Положительные направления моментов показаны на рис.7.

Рисунок 7 –  Положительные направления усилий, действующих в элементе нагруженной  оболочки

 

Суммируя  по высоте сечения соответствующие  касательные напряжения, определим  поперечные силы:

  (1.11)

Направления этих усилий совпадают с напряжениями.

Как следует  из уравнений (1.9) и (1.10) сдвигающие силы N_αβ и N_βα и крутящие моменты в двух взаимно перпендикулярных сечениях неодинаковы, так как R₁≠R₂. Только в случае сферической оболочки, когда R₁=R₂, условия равенства усилий имеют место. Однако влияние членов на величину усилий несущественно, так как зачастую z<<R, поэтому этими добавками можно пренебречь и получить, что

N_αβ = N_βα = N  и  M_αβ = M_βα = M.      (1.12)

Установленные в уравнениях (8)-(11) усилия являются компонентами полного моментного напряженного состояния.

Уравнения равновесия получаются из рассмотрения элемента (dα, dβ) оболочки с учетом условий равновесия, как это делалось ранее в теории тонких пластин:

 (1.13)

В эти  уравнения входят восемь неизвестных N_α, N_β, N, M_α, M_β, Q_α, Q_β и M.

 

1.4 Геометрические уравнения  теории оболочек

Необходимо  связать геометрические параметры: перемещения и деформации. Для этого рассматривается конечный элемент трехмерного тела, а затем (как и в случае тонких пластин) на базе гипотез проводится аналогия между U, V, W и ε_α  ε_β ε_γ

Полная  деформация:

ε=ε_αl² + ε_βm² + ε_γn² + γ_αβ lm + γ_βγmn +γ_γαnl,    (1.14)

 

где l=Cos(dS,x), m=Cos(dS,y), n=Cos(dS,z), а

Здесь А, В и С – коэффициенты искажения, преобразующие криволинейные отрезки координатных линий в линейные. Или в сокращенной форме:

ε_α = ε_α0 +zχ_α; ε_β = ε_β0 +zχ_β; γ_αβ = γ₀ χ,     (1.15)

где задействованы  линейные и угловые деформации срединной  поверхности оболочки, выражения  для которых приведены ниже:

Смысл полученных выражений: изменения размеров элемента срединной поверхности оболочки определяются системой уравнений (1.16), т.е. относительными удлинениями ε_α0 и ε_β0, а также относительным сдвигом γ₀. Но этих величин мало для определения деформации всего элемента, так как он может получить искривления. Эти искривления характеризуются изменением кривизны, как в направлении α (χ_α), так и в направлении β (χ_β), а также “кручением” (χ).

 

1.5 Физические уравнения  общей теории оболочек

В результате использования статической гипотезы, когда напряженное состояние оболочки определяется только нормальными напряжениями σ₁,σ₂ и сдвиговыми напряжениями τ₁₂, из объединенного закона Гука имеем:

(1.17)

Полученные  в (17) напряжения связаны с усилиями:

В результате физические соотношения, связывающие  усилия и деформации, будут иметь  вид:

    (1.18)

где ε – деформации, χ – кривизны и кручение, С – мембранные жесткости, К- смешанные жесткости, D – изгибные жесткости оболочки.

Система уравнений образует физические уравнения  общей теории упругих оболочек, а  полученные 19 уравнений включают 19 неизвестных, т.е. три усилия N, три момента M, две перерезывающие силы Q, три деформации ε, две кривизны и одно кручение χ, два угла поворота θ, три перемещения U, V, W.

 

1.6 Граничные условия  в общей теории оболочек

Для определения  произвольных постоянных, содержащихся в общем интеграле дифференциальных уравнений теории упругих оболочек, используются граничные условия, т.е. значения расчетных величин в зависимости от способа закрепления краев оболочки. Рассмотрим наиболее распространенные способы их закрепления:

- жестко заделанный край - напряженное состояние на крае α=const (аналогично на крае β=const) определяется четырьмя условиями: прогибы и перемещения отсутствуют (U=0, V=0, W=0), а также углы поворота плоскости сечения

- свободный край – напряженное состояние на крае α=const (аналогично на крае

 

β=const) определяется четырьмя условиями:

N_α=0,   M_α=0,   

Здесь и - погонные обобщенные перерезывающие и сдвигающие силы;

- шарнирно опертый край (например, по линии α=const) – W=0, U=0, M_α=0, V=0.

- свободное опирание (например, по линии β=const) – W=0, M_β=0, U=0, N_β=0;

- шарнирно опертый край, имеющий возможность свободно смещаться в касательной плоскости – W=0, M_β=0, N_β=0, N=0.

 

2 БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ  ОБОЛОЧЕК

2.1 Уравнения, описывающие  оболочку

Рассмотрим  цилиндрическую оболочку (рис.8) и элемент abcd ее поверхности, образованный пересечением двух меридианов (образующих цилиндра, определяемых центральным углом dθ) и двух параллельных окружностей, разделенных расстоянием dx. Используем цилиндрическую систему координат (x,θ). Квадрат линейного элемента dS поверхности равен:

DS²=dx²+R²dθ².        (2.1)

Следовательно, коэффициенты квадратичной формы A=1, B=R=const, а R₁=∞ и R₂=R.

Рисунок 8 – Цилиндрическая оболочка (а) и представление ее безмоментного состояния

Уравнения безмоментной теории для цилиндрической оболочки примут вид:

       (2.2)

Кольцевые усилия N_β зависят лишь от величины нормальной составляющей

 

 

 

 

нагрузки. Подставим  третье уравнение системы (2.2) во второе и определим сдвигающее усилие N.

. (2.3)

Определив N, находим интегрированием N_α из первого уравнения системы (2.2).

.     (2.4)

Геометрические  уравнения цилиндрической оболочки при уже отмеченных условиях, определяющих ее параметры и замене координат α на x и β на θ.

     (2.5)

Компоненты  произвольной внешней нагрузки могут  быть представлены в виде разложений в ряды Фурье:

  (2.6)

Здесь n принимает значения 0, 1, 2, 3…, p_1n, p_2n и p_3n – известные коэффициенты разложения функции, зависящие только от х. При n=0 нагрузка имеет осесимметричный характер.

В дальнейшем будем рассматривать лишь один какой-нибудь член ряда. Для n-го члена можно записать:

p₁=p_1nCosnθ,  p₂=p_2nSinnθ,  p₃=p_3nCosnθ.    (2.7)

Непосредственно из третьего уравнения системы (2.2) получаем:

N_β= p_3nCosnθ R.        (2.8)

Так как  , то из (2.2) определим сдвигающую нагрузку:

     (2.9)

 

Найдем  производную 

и подставим  ее в уравнение (2.4).

 (2.10)

В частном  случае, когда p_1n=0, p_2n=const и p_3n=const можно легко провести интегрирование уравнений (2.9) и (2.10), а задав C₁(θ)=D₁Sin θ и C₂(θ)=D₂Cos θ, где D₁ и D₂ – произвольные постоянные, можно получить выражение для усилий:

   (2.11)

В общем  случае N, N_α, функции C₁(θ) и С₂(θ), а в частном случае D₁ и D₂  (2.11) определяются из граничных условий.

Определим перемещения оболочки при нагрузке, заданной в частном случае (p_1n=0, p_2n=const, p_3n=const). Имеем:

      (2.12)

Для нахождения относительных деформаций в выбранной  системе координат при рассмотрении деформации выделенного элемента  получим выражение для продольной относительной деформации:

.     (2.13)

Если  в этом выражении ограничиться только первым линейным членом, то

.         (2.14)

 

Компонент деформации в окружном направлении  определится как

.      (2.15)

Из закона Гука для двухосного напряженного состояния следует, что

.

Тогда

.    (2.16)

2.2 Осесимметричная деформация  ортотропной слоистой цилиндрической оболочки

Для системы  относительных поверхностных координат  вдоль образующей и в кольцевом  направлении имеем α = x/R и β=y/R. Тогда выражение для первой квадратичной формы примет следующий вид:

,

где коэффициенты первой квадратичной формы являются постоянными и равны 

A=B=R , при этом R₁=∞,  а R₂=R.

Для осесимметричного нагружения имеем следующие перемещения  в оболочке:

U=U(α), W=W(α), V=0.

При компонентах  внешней нагрузки q_α=q_β=0 основные соотношения теории цилиндрической безмоментной оболочки имеют вид:

Геометрические  соотношения:

 

   (2.17)

Физические  соотношения:

     (2.18)

Уравнения равновесия:

 (2.19)

Итак, полученная система из шести уравнений имеет шесть неизвестных:

Решение полученной системы уравнений ведется  в перемещениях. Из первых двух уравнений равновесия (2.20) определяются N_α и Q_α и подставляются в третье. Далее в полученные уравнения подставляются в оставшиеся выражения,  в результате чего получаются уравнения равновесия в перемещениях:

Исключив  из них перемещение U, т.е. из (2.21) находим

.      (2.23)

Подставим (2.22) в (2.23)  и с учетом того, что С₁₂=С₂₁, а также смешанные жесткости К₁₂=К₂₁, получаем уравнение относительно прогибов W:

или    

,    (2.24)

где

Полученное  уравнение (2.24) представляет собой основное уравнение для осесимметрично нагруженной  ортотропной оболочки.

В случае однородной по толщине (однослойной) оболочки уравнение для прогибов будет  иметь вид:

 

,        (2.25)

где  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 РАСЧЁТ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

В данной работе рассматривается двухслойная  оболочка, усиленная по средней части  металлическим кольцом. Оболочка состоит из двух слоев: ортотропного (композитного) и изотропного (металлического) (рисунок 9).

Данные  для расчёта представлены в таблице 1.

Таблица 1 – Данные для выполнения расчетного задания

Вариант	R, мм	P, МПа.	Внутренний слой		Наружний слой		Fk, мм2
			h1, мм	материал	h2, мм	материал
01	100	5	1,0	Алюминиевый сплав Е=72000 ГПа. m=0,3	1,5	Стеклопластик, φ=90º Е1 =57 ГПа Е2 =9 ГПа. m21 =0,21	100

 

Рисунок 9 –  Двухслойная структура оболочки баллона давления

Определим характеристики материалов двухслойной оболочки – приведенные модули упругости металлического и композиционного материала.

Для металла: _m

Для композитаmm

mm

 

 

 

 

_mm

Определим все  жесткости, которые будут входить  в уравнение изгиба оболочки.

С₁₁ = Е∙h₁ + Е₂∙h₂ = 70993 МПа∙мм

С₁₂ = Е∙h₁∙m + Е₂∙h₂∙m₂₁ =26591 МПа∙мм

С₂₂ = Е∙h₁ + Е₁∙h₂ = 165217 МПа∙мм

К₁₁ =1/2∙[Е∙h₁²+E₂∙h₂(2∙h₁+h₂)] = 63350 МПа∙мм²

К₁₂ =1/2·(Е·h₁²·m+Е₂·h₂·m₂₁ (2∙h₁+h₂)) = 14009 МПа∙мм²