Расчёт электрических фильтров. 2
Федеральное агентство связи
Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики
Межрегиональный центр переподготовки специалистов
По дисциплине: теория электрических цепей
Расчёт электрических фильтров
Выполнил: ххххххх
Группа: ххххххх
Вариант:_24_____________
Проверил: ___________________
Содержание.
Введение......................
Техническое задание………………………………………………………….
Расчёт полосового LC-фильтра
1. Расчет амплитудного
спектра радиоимпульсов……………………
2. Формирование требований к полосовому фильтру………………......9
3. Формирование передаточной функции НЧ-прототипа……………...10
4. Реализация LC-прототипа…………………………………………….
5. Реализация пассивного полосового фильтра………………………....14
Расчёт активного полосового фильтра
6. Расчет полюсов ARC-фильтра…………………………………………16
7. Формирование передаточной функции………………………………..17
8. Расчет элементов схемы фильтра………………………………………18
9. Проверка результатов расчёта………...…………………………………….20
Заключение..………………………………………………
Литература...……………………………………………
Введение.
Электрические фильтры – это линейные четырехполюсники, обладающие избирательными свойствами: они предназначены для выделения из состава сложного электрического колебания частотных составляющих определенного спектра частот, лежащего в полосе пропускания (ПП), и подавления тех составляющих, частоты которых лежат за пределами ПП, т. е. в полосе непропускания (ПН) или полосе задерживания (ПЗ). Между этими полосами находится переходная область.
Обычно выделяют следующие четыре типа фильтра:
- фильтр нижних частот (ФНЧ), пропускающий все частоты ниже выбранного значения частоты и подавляющий высшие частоты
- фильтр верхних частот (ФВЧ), пропускающий все частоты выше выбранного значения и подавляющий нижние частоты
- режекторный или заграждающий фильтр, подавляющий выбранную полосу частот и пропускающий нижние и верхние частоты
- полосовой фильтр (ПФ), пропускающий выбранную полосу частот и подавляющий нижние и верхние частоты.
В соответствии с элементной базой можно выделить различные типы фильтров. Пассивные фильтры, содержащие элементы L и C. Они носят название LC-фильтры.
Требования
Данная курсовая работа посвящена расчёту полосового фильтра для выделения главного “лепестка спектра” периодических радиоимпульсов. Фильтр рассчитывается в двух вариантах: по схеме пассивного LC-фильтра и по схеме активного RC-фильтра.
Фильтр аппроксимируется полиномом Чебышева. В ходе работы осуществляется его реализация, рассчитывается ожидаемая характеристика ослабления, а также приводится его схема.
Техническое задание.
На входе полосового фильтра действуют периодические прямоугольные радиоимпульсы (рис. 1) с параметрами: =50мкс – длительность импульсов, = 150мкс – период следования; =10мкс – период несущей частоты;
= 10В – амплитуда несущего колебания, имеющего форму гармонического ;
Полное ослабление , максимально допустимое ослабление .
Сопротивления генератора радиоимпульсов Rг и сопротивление нагрузки Rн пассивного фильтра одинаковы:
Требуется рассчитать двусторонне
нагруженный пассивный
Рис.1
Расчёт полосового LC-фильтра.
1.Расчёт и построение графика амплитудного спектра радиоимпульсов.
Определим частотный состав сигнала, поступающего на вход фильтра, т. е. рассчитаем и построим график амплитудного спектра периодических радиоимпульсов.
Вначале находится несущая частота:
(1.1)
Затем рассчитывают частоты нулей огибающей спектра. Они зависят от длительности импульса:
Максимальное значение огибающей в виде напряжения, соответствующее частоте , находится по формуле:
(1.2)
Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, строим огибающую дискретного спектра периодических радиоимпульсов в виде пунктирной кривой в масштабе по оси частот.
Внутри огибающей находятся спектральные составляющие или гармоники спектра с частотами , где – номер гармоники. Они располагаются симметрично относительно несущей частоты, зависят от периода следования импульсов и находятся по формуле:
Учитывая, что
рассчитываем частоты гармоник, лежащих только справа от :
Частоты гармоник, лежащих слева от будут:
Амплитуды напряжения i-ых гармоник находятся по формуле:
где – количество периодов несущих колебаний косинусоидальной формы в импульсе.
Т.к. ,
Для
от величины угла вычитаем количество градусов, кратное периоду (360 )
, т.к. совпадает с нулём
, т.к. совпадает с нулём
Так как скважность, т.е. отношение периода следования импульсов Ти к длительности импульсов tи
равна целому числу, то в спектре отсутствуют гармоники с номерами, кратными скважности. Так как здесь q = 3, поэтому в спектре будут отсутствовать 3,6,9 и т.д. гармоники слева и справа от несущей частоты. Поэтому спектр имеет вид:
Рис. 2 График амплитудного спектра радиоимпульсов.
2.Формирование требований к полосовому фильтру.
Рис.3
Амплитуды спектральных составляющих на частотах 80 и 120 кГц равны нулю, примем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 86,67 кГц до 113,33 кГц. Следовательно, эти частоты будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра fп1 и fп2 соответственно. Граничную частоту полосы непропускания fз2 выбираем равной частоте первой гармоники спектра сигнала, находящейся после частоты (fн + 1/tи) = 120 кГц. Этой частотой является частота f4 = 126,67 кГц. Следовательно, fз2 = f4 = 126,67 кГц.
Найдем центральную частоту ПП:
(2.1)
Тогда граничная частота fз.1 полосы непропускания будет
Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН зависит от разницы амплитуд гармоник f2 и f4 спектра сигнала на выходе фильтра, выраженной в децибелах и заданной величиной Апол – полного ослабления: ,
где (2.3)
(2.4)
Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему:
, ;
, ;
, ;
Аппроксимация передаточной функции должна быть выполнена с помощью полинома Чебышева.
3. Формирование передаточной функции НЧ-прототипа
Находим граничные частоты ПП и ПН НЧ-прототипа.
(3.1)
(3.2)
Для унификации расчетов вместо угловой частоты w вводят понятие нормированной частоты W = w/w , где w – нормирующая частота. Обычно в качестве w выбирают граничную частоту ПП ФНЧ. Тогда
; (3.3)
Требования к НЧ-прототипу могут быть проиллюстрированы рисунком 4.
Рис.4
Находим коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ПП из формулы:
А(Ω)=10lg[1+ε2ψ2(Ω)] (3.5)
при A = ∆A и Ω = 1, когда ψ(1) = Тm(1) = 1:
0,349311 (3.6)
Порядок фильтра Чебышева находится также из формулы 3.5, но при A = Amin и Ω = Ωз, т. е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПП полином Чебышева Тm(Ω) = ch(m archΩ), поэтому
(3.7)
Расчетное значение m необходимо округлить в бóльшую сторону до целого числа. В данном примере принимает m = 3.
Пользуясь таблицей, находим полюсы нормированной передаточной функции НЧ-прототипа:
∆A, дБ |
Порядок m=3 |
0,2 0,5 1,0 3,0 |
-0,814634; -0,407317±j1,11701 -0,626457; -0,313228±j1,021928 -0,494171; -0,247085±j0,965999 -0,29862; -0,14931±j0,903813 |
Таблица 1. Полюсы нормированной передаточной функции НЧ-прототипа.
(3.8)
Полюсы расположены в левой полуплоскости комплексной переменной р.
Формируем нормированную передаточную функцию НЧ-прототипа в виде
, (3.9)
где (3.10)
v(р) – полином Гурвица,
=
Тогда подставляем 3.10 и 3.11 в 3.9
4. Реализация LC-прототипа
Для получения схемы
НЧ-прототипа воспользуемся
, (4.1)
где полином (4.2)
Рис. 5
Подставляем формулы 3.11 и 4.2 в 4.1
(4.3)
Формула 4.3 описывает входное сопротивление двухполюсника (согласно схеме на рис. 5 фильтр, нагруженный на сопротивление Rн, это действительно двухполюсник). А если известно выражение для входного сопротивления, то можно построить схему двухполюсника, воспользовавшись, например, методом Кауэра. По этому методу формула для Zвх(р) разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя. Исходя из последнего, (4.3) преобразуется к виду:
, (4.4)
после чего производится ряд последовательных делений. Вначале числитель делим на знаменатель:
Затем первый делитель делим на первый остаток:
В Второй делитель делим на второй остаток:
Третий делитель делим на третий остаток:
Получили четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей: pC, 1/pL, 1/R. Из анализа первого результата деления следует, что он отражает емкостную проводимость, поэтому все выражение (4.4) можно записать в виде цепной дроби:
(4.5)
По формуле 4.5 составляем схему (рис.6) согласно первой схеме Кауэра, где = 1,596; =1,097;
= 1,596; = =
Рис.6
Денормируем элементы схемы НЧ-прототипа, используя соотношения:
; ; , где (4.6)
нормирующая частота,
= 600Ом – нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.
Используя соотношения (4.6) и значения и получаем реальные значения элементов схемы НЧ-прототипа:
5. Реализация пассивного полосового фильтра.
Из теории фильтров известно, что между частотами НЧ-прототипа и частотами полосового фильтра существует соотношение:
где находится по формуле (2.1).
На основании (5.1) индуктивное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением последовательного контура с элементами
и
,
а емкостное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением параллельного контура с элементами
и
Тогда, на основании схемы ФНЧ, изображенной на рис. 6 может быть построена схема полосового фильтра так, как это показано на рис. 7. Элементы этой схемы рассчитываются по формулам (5.2) и (5.3).
;
;
Рис.6
Расчет активного полосового фильтра.
6. Расчет полюсов ARC-фильтра.
Требования к полосовому ARC-фильтру остаются теми же, что и к полосовому LC-фильтру. Поэтому на этапе аппроксимации синтеза ARC-фильтра можно воспользоваться результатами расчета LC-фильтра, полученными в разделах 1 3. Причем, не самой нормированной передаточной функцией (3.9), а только ее полюсами (3.8), и, согласно
формуле пересчета полюсов НЧ-прототипа в полюсы ПФ:
, (6.1)
где (6.2)
полюсы передаточной функции НЧ-прототипа:
найти полюсы денормированной передаточной функции ПФ.
Согласно (6.1) одной паре комплексно-сопряженных полюсов нормированной передаточной функции НЧ-прототипа соответствует две пары комплексно-сопряженных полюсов денормированной передаточной функции полосового фильтра. Одному вещественному полюсу нормированной H(р) соответствует одна пара комплексно-сопряженных полюсов денормированной H(р) полосового фильтра. В результате общий порядок ПФ удваивается по сравнению с порядком НЧ-прототипа.
Значения всех полюсов в таблице 2.
Таблица 2. Полюса нормированной передаточной функции НЧ-прототипа.
Номер полюса |
Значение полюса Н(р) |
1,2 |
-52442 j622411 |
3,6 |
-30614 j714847 |
4,5 |
-21828 j543751 |
7. Формирование передаточной функции.
Передаточную функцию
ПФ удобно представлять
Они имеют вид:
Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет:
(7.1)
Коэффициенты в числителе могут иметь одинаковую величину и рассчитываться по формуле:
, данные берём из (6.2), (3,6), (3.7)
Коэффициенты в знаменателе находятся по формулам:
где – значение полюсов (таблица 2).
Например,
Значения всех рассчитанных
коэффициентов сведены в
Номер сомножителя |
Значения коэффициентов | ||
ai1 |
bi1 |
bi0 | |
|
1 |
149760 |
104884 |
390145616285 |
2 |
149760 |
43656 |
296141611585 |
3 |
149760 |
61228 |
511943450405 |
Таблица 3. Значение коэффициентов
Подставляя найденные коэффициенты в формулу (7.1) получим для:
8. Расчет элементов схемы фильтра.
В качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ) (рис. 7).
Рис. 7 Простейшая схема ПФ на одном операционном усилителе.
Если составить эквивалентную схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей, можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рисунке 7, в виде:
(8.1)
Из формулы видно, что рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции Н(р) потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем R1; R2; С3; С4; R5 ведется путем сравнения идентичных коэффициентов в формулах Н(р).
Для первого звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножителя
формулы (7.2):
В системе пять неизвестных и только три уравнения. Система не решаема. Поэтому задаемся значениями С3 = С4 = 2 нФ.
R1 = 3338.7Ом = 3,34 кОм, R5 = 9534,3Ом = 9,534 кОм, R2 = 68,6Ом.
Составим аналогичную систему для второго звена при тех же С3 = С4 = 2 нФ
и получим:
R1 = 3338,7Ом = 3,34 кОм, R5 = 22906Ом = 22,9 кОм, R2 = 37,3Ом.
Аналогично для третьего звена:
R1 = 3338,7Ом = 3,34 кОм, R5 = 16332Ом = 16,332 кОм, R2 = 30,2 Ом.
Рассчитанные сопротивления
не соответствуют стандартным
9. Проверка результатов расчета.
Проверка расчетов может быть выполнена в двух вариантах. Первый вариант – проверяется только этап аппроксимации, когда определяется насколько точно созданная передаточная функция соответствует исходным требованиям к фильтру по ослаблению в ПП и в ПН. Второй вариант – проверяется точность уже всего расчета, когда по известной передаточной функции схемы фильтра (т. е. с учетом значений элементов схемы) рассчитывается и строится график H(f) или А(f) всей схемы фильтра и анализируется, насколько хорошо этот график соответствует исходных требованиям по ослаблению в ПП и в ПН.
При синтезе пассивного полосового фильтра получена передаточная функция только НЧ-прототипа (3.12) и в этом случае возможен только первый вариант проверки. При синтезе активного ПФ известна передаточная функция одного звена уже самой схемы фильтра (8.1). Очевидно, что Н(р) всего фильтра будет:
где значения каждого
сомножителя будут отличаться из-за
разницы в значениях
С этой целью в (8.1) производится замена переменной вида , в результате чего получают выражение:
Находится модуль в виде:
(9.2)
Зная , легко найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:
где
Выполним расчет первого звена фильтра.
Из раздела 4.3 берем значения элементов:
С3 = С4 = 2 нФ,
R1 = 3338,7Ом = 3,34 кОм, R5 = 9534,3Ом = 9,5 кОм, R2 = 68,6Ом.
Подставляем эти значения в (9.2)
На частоте границы ПП , находим :
= 0,77
На частоте границы ПН находим :
= 0,46
Кроме того находим и на частотах: и
,а также на частоте
= 0,74; = 0,45; = 1,42
Затем рассчитаем для всего фильтра
для каждой частоты.
Аналогичные расчеты выполняем для второго(С3 = С4 = 2 нФ, R1 = 3338,7Ом = 3,34 кОм, , R5 = 22906Ом = 22,9 кОм, R2 = 37,3Ом)
и третьего (С3 = С4 = 2 нФ, R1 = 3338,7Ом = 3,34 кОм, R5 = 16332Ом = 16,33 кОм, R2 = 30,1Ом) звеньев. Ослабления рассчитываются по формулам (9.3) и (9.4). Все результаты сводятся в таблицу 4
Полученные значения занесем в таблицу 4.
f, кГц |
fз1 |
fп1 |
f0 |
fп2 |
fз2 |
77,55 |
86,67 |
99,11 |
113,33 |
126,67 | |
H1(ω) |
0,45 |
0,74 |
1,42 |
0,77 |
0,46 |
H2(ω) |
1,16 |
3,43 |
0,98 |
0,5 |
0,35 |
H3(ω) |
0,26 |
0,37 |
0,72 |
2,44 |
0,9 |
H(ω) |
0,14 |
0,94 |
1,0 |
0,93 |
0,14 |
A1(ω) |
6,93 |
2,61 |
-3,05 |
2,26 |
6,74 |
A2(ω) |
-1,31 |
-10,71 |
0 |
6,02 |
9,12 |
A3(ω) |
11,7 |
8,6 |
2,85 |
-7,78 |
0,92 |
A(ω) |
17,32 |
0,5 |
-0,2 |
0,5 |
16,78 |
Таблица 4. Значения зависимости А(ω) и Н(ω)
Анализируя табличные данные, видим, что зависимость ослабления от частоты у разных звеньев фильтра носит разный характер.
Рассчитанное ослабление всей схемы фильтра на частотах границ ПП и ПН с заданным ослаблением на этих же частотах ( , ) совпадает.
При практическом изготовлении фильтров всегда предусматривается операция по их настройке, в ходе которой добиваются ослабления с требуемой точностью.
Значение наиболее сильно зависит от величины сопротивления R2, поэтому именно это сопротивление необходимо выбирать переменным.
На рис. 8 приведена примерная кривая зависимости ослабления фильтра от частоты.
На рис. 9 приведена принципиальная схема активного полосового фильтра.
сопротивления первого звена, сопротивления второго звена, сопротивления третьего звена.
Рис. 9
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В процессе выполнения курсовой работы была рассчитана ожидаемая характеристика ослабления фильтра, осуществлена его реализация и приведена принципиальная схема. Рассчитанный фильтр удовлетворяет поставленным условиям.
ЛИТЕРАТУРА
1) Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. Учебник – М.: Радио и связь, 2000. – 589с.
2) Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей. Учебник – М.: Радио и связь, 1998. – 444с.
3) Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. Учебник – М.: Радио и связь, 1986. – 544с.
4) Зааль Р. Справочник по расчёту фильтров.– М.: Радио и связь, 1983. – 752с.
