Расчёт на прочность и жесткость элементов конструкции

Федеральное агентство по образованию

Пензенский  государственный университет 

Кафедра техническая и прикладная механика 
 
 
 
 

Расчет  на прочность и жесткость элементов  конструкций

ПГУ 3. 151001.009-ПЗ 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

по дисциплине «Сопротивление материалов» 
 
 
 
 
 
 

Выполнил  студент

Группы 08ММ1       Лёмин А.С. 

Руководитель       Волчихина Н.И. 
 
 
 

Пенза 2009

Реферат

      Пояснительная записка содержит 30 листов, 7 рисунков, 2 таблицы.

      Ключевые  слова: растяжение, сжатие, кручение, изгиб, моменты инерции, устойчивость, внешняя  сила, внутренняя сила, напряжение, деформация, закон Гука.

      Рассматриваемый объект: технические системы, загруженные  внешними силами.

      Цель  работы: произвести расчет на прочность  и жесткость элементов конструкций.

      В процессе работы производился расчет на прочность и жесткость стержневых систем, работающих в условиях растяжения, сжатия, кручения, изгиба. 

 

Содержание

Реферат…………………………………………………………………………2

Содержание…………………………………………………………………….3

Введение………………………………………………………………………..4

1.Расчет статически неопределимого стержня переменного сечения……...5

2.Определение геометрических характеристик плоских сечений с горизонтальной осью симметрии…………………………………………….12

3.Расчет  балок на прочность и жесткость  при изгибе

     3.1 Расчет на прочность и жесткость  статически определимой балки  при изгибе……………………………………………………………………….16

     3.2 Расчет на прочность и жесткость  статически определимой балки  при изгибе………………………………………………………………………..25

Список  используемой литературы……………………………………………..30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

      Сопротивление материалов — инженерная наука о  методах расчета наиболее распространенных элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость при  одновременном удовлетворении требований надежности и экономичности. Сопротивление  материалов относится к фундаментальным  дисциплинам общеинженерной подготовки специалистов с высшим техническим  образованием.

      В теоретической части сопротивление  материалов базируется на математике и теоретической механике, в экспериментальной  части — на физике и материаловедении и применяется при проектировании машин, приборов и конструкций. Практически  все специальные дисциплины подготовки инженеров по разным специальностям содержат разделы курса сопротивления  материалов, так как создание работоспособной  новой техники невозможно без  анализа и оценки ее прочности, жёсткости  и надежности.

      Задачей сопротивления материалов, как одного из разделов механики сплошной среды, является определение деформаций и  напряжений в твёрдом упругом  теле, которое подвергается силовому или тепловому воздействию. 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.Расчет статически неопределимого стержня переменного сечения

      Расчет  на прочность и жесткость статически неопределимого стержня переменного  сечения при центральном растяжении и сжатии

Стержень  имеет жесткое защемление по концам.

      Цель: из условий прочности и жесткости подобрать безопасные диаметры жестко защемленного стального стержня переменного сечения, нагруженного сосредоточенными продольными силами (рисунок 1).

      1 2 3 4

Рисунок 1 – Схема стержня переменного  сечения, жестко защемлен по концам

Данные: 

 
 
 
 

1. Составляю уравнения статики. Определяем степень статической неопределимости (ССН) стержня.

    (1)

     Получено  одно уравнение с двумя неизвестными R_A и R_B. Лишнее неизвестное указывает на статическую неопределимость стержня.

     Степень статической неопределимости определяется как разность между количеством  неизвестных n_н и количеством возможных уравнений n_y. В моей задаче n_н=2, n_y=1.

     ССН=1, т.е. система один раз статически неопределима.

2. Записываю уравнения равновесия отсеченных частей стержня

Сечение:

на 1 участке 

на 2 участке 

на 3 участке   

на 3 участке   

   (2)

  (3)

  (4)

 (5) 

3. Составляю уравнение совместности деформаций.

 (6)

      Выразил деформации через внутренние усилия по закону Гука - , поэтому для стержня, изготовленного из одного материала, E_i можно обозначить через постоянную Е.

       (7)

     

     В данном уравнении делаю замену усилий N_i на соответствующие выражения:

       (8)

4. Раскрываю статическую неопределимость стержня, решая уравнения (1) и (8).

Подставляю  в (8) все известные величины, нахожу R_A.

R_A=21,545 кН

Подставив найденное значение в (1) нахожу R_B.

  -21,545+10+5-5-R_B=0

R_B=-11,545 кН

5. Вычисляю нормальные внутренние силы N_i.

N₁=21,545 кН

N₂=-11,545 кН

N₃=-6,545 кН

N₄=11,545 кН

Строю эпюру N_i (рисунок 2)

6. Делаю проверку вычислений.

     Результат проверки подтверждает правильность раскрытия  статической неопределимости.

7. Вычисляю приведенные нормальные напряжения .

     По  приведенным напряжениям видно, что опасный участок – второй, так как

     

8. Из условия  прочности и жесткости определяю  приведенный диаметр сечения

Где d₁ – приведенный диаметр.

     Сначала вычисляю допускаемое нормальное напряжение.

     Используя коэффициент запаса прочности по текучести, получаю:

     Так же получаю коэффициент запаса прочности  по временному сопротивлению:

     Из  двух данных допускаемых напряжений принимаю наименьшее

 
 
 
 
 
 

     Определяю диаметр d₁ из условия прочности.

     Условие прочности стержня

     

     Так как  , то

     

     Принимаю  d_прочн=31 мм

     Определяю диаметр d₁ из условия жесткости

     По  закону Гука , или .

     Условие жесткости  ; ,

     Тогда

     Из  найденных по условиям жесткости  и прочности диаметров я выбираю  наибольший d₁=65 мм

9. Далее определяю площади F_i сечений стержня по участкам.

10. Затем определяю  действительные напряжения на участках и строю их эпюры (рисунок 2).

11. Нахожу  величину продольной деформации на каждом участке

12. И в заключении нахожу перемещения сечений A, C, D, E, B:

, так как сечение А имеет  жесткую заделку;

     Строю эпюру перемещений сечений A, C, D, E, B (рисунок 2).

     Вывод: последовательность вычислений перемещений сечений A, C, D, E и равенство нулю перемещения точки B указывают на правильность раскрытия статической неопределимости и правильность решения задачи по определению напряжений, деформаций и безопасных размеров поперечных сечений стержня.

justify">     

     Принятые  в результате расчета размеры  диаметров поперечных сечений стержня  обеспечат его работоспособность, так как удовлетворяют условиям прочности и жесткости. 

2. Определение геометрических  характеристик плоских  сечений с горизонтальной  осью симметрии

Рисунок 3 –Расчетная схема поперечного  сечения стержня 

Данные:

k1=4

k2=7

b=4a

h=7a 
 
 
 
 
 
 

1. На Рис. 3 я изобразил заданное сечение  в масштабе
2. Разбил сечение на элементарные фигуры и пронумеровал их. По схеме видно, что сечение имеет ось симметрии.

Ось симметрии  Y_C является главной центральной осью инерции поперечного сечения.

3. Провел собственные центральные оси x_i и y_i через центр тяжести каждой элементарной фигуры.

Далее вычислил геометрические характеристики каждой элементарной фигуры: площади  F_i и собственные главные центральные моменты инерции элементарных фигур Iⁱ_xi 

      Площади элементарных фигур 

      Моменты инерции элементарных фигур Iⁱ_xi

4. Я провел вспомогательную ось X₀
5. Затем вычислил относительно оси X₀ расстояния x_i до центра тяжести каждой элементарной фигуры

Y₁=3,5a

Y₂=2,9a

Y₃=5,25a

6. Далее вычислил статические моменты элементарных фигур Sⁱ_X0 относительно вспомогательной оси X₀

      Определил положение главной центральной  оси X_C  

7. Вычислил  главные центральные моменты  инерции каждой элементарной фигуры относительно главных центральных  осей всего  сечения – относительно найденной главной центральной  оси X_C:

 

Относительно  второй главной центральной оси  Y_C

8)Вычислил наименьшие моменты сопротивления W_X и W_Y сечения.

Момент  сопротивления относительно оси  X_C

     Момент  сопротивления относительно оси  Y_C

Вывод: из двух найденных мною моментов сопротивления наименьшим обладают все точки лежащие на ребре BK, где . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Расчет балок на  прочность и жесткость  при изгибе

3.1 Расчет  на прочность и жесткость статически  определимой балки при изгибе

I часть Расчет на прочность стальной балки по нормальным напряжениям [ ]

Цель: для  балки, загруженной плоскими поперечными  силами

- построить  эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M;

- из  условия прочности по нормальным  напряжениям подобрать для балки  двутавровое, прямоугольное (h=2b), круглое, кольцевое ( =d/D=0,8) сечения. Сравнить веса балок с нормальными поперечными сечениями.

Данные:

P₁=40 кН

q₁=20 кН/м

a=2 м

 
 
 

Рисунок 4 

1. Я определил  реакции опор R_A и R_B. Составил моментные уравнения внешних сил относительно опорных концов балки A и B.

      Делаю проверку

2. Определяю внутренние усилия в балке  и построил эпюры Q_y и M_x. Поперечная сила Q_i, возникающая в сечении, уравновешивается внешними силами, действующими по одну сторону от сечения.

I участок

0

II участок

0

III участок

0

      Строю эпюру поперечных сил Q_i

      Составляю математические выражения функций  изгибающих моментов M_i для каждого участка балки, используя метод сечений.

      При наличии равномерно распределенной нагрузки выполняю исследование функции  изгибающего момента на максимум для определения величины M_max и его точного положения.

      Изгибающие  моменты

На I участке

На II участке

На III участке

Вывод: значение максимального изгибающего момента приму по построенной эпюре.

      Определяю из условия прочности момент сопротивления.

      

Выбираю двутавровое сечение:

      Двутавр №20а

W_x=203,0 см³, I_x=2030 см⁴,S_x=114 см³, d=5,2 мм, F=28,9 см²

 
 

 

Рисунок 5 
 
 

      Определяю безопасные размеры поперечных сечений  для круга, кольца и прямоугольника.

- Выбираю  круговое сечение:

- Кольцевое  сечение:

• Прямоугольное сечение с отношением сторон h=2b

 

      Вывод: Наименьший вес имеет двутавровая балка. Следовательно, по условию прочности балка с таким профилем поперечного сечения является наиболее экономичной. 
 
 

     II часть Расчет на жесткость балки по допускаемому прогибу [f] методами начальных параметров

     Цель: из условия жесткости определить необходимый момент сопротивления поперечного сечения балки и подобрать по нему двутавр. 
 

     

     Рисунок 6

     

     Допускаемый прогиб для заданной балки 

     [f]=0,0002L

     L=3a=6м

     [f]=12мм

     Составил  уравнение прогиба y_c, используя универсальное уравнение оси балки

     C_zc=2м

     

     

     z=3

     

     Условие жесткости 

     

     

     - Максимальный прогиб находится  в конце первого участка и  принадлежит сечению С.

     - Его величина больше допускаемого прогиба

     _maxy_c=-20,6мм>[f]=12мм

     - Принятый двутавр №20а удовлетворяет  поставленным условиям по прочности,  но не удовлетворяет условиям  по жесткости.

     Я выбрал новый номер двутавра

     №24а

     Его характеристики:

     - момент сопротивления W_x=317 см³

     - момент инерции I_x=3800 см⁴

     - площадь сечения F=37,5 см²

     - Вес 1 погонного метра q=29,4 кг/м

     

      Двутавр №24а, я выбрал из условия жесткости, проверяю по условию прочности.

     Вывод: применять двутавр №27а целесообразно. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.2 Расчет  на прочность и жесткость статически  определимой балки при изгибе

I часть Расчет на прочность стальной балки по нормальным напряжениям [ ]

Цель: для  балки, загруженной плоскими поперечными  силами

- построить  эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M;

- из  условия прочности по нормальным  напряжениям подобрать для балки  двутавровое, прямоугольное (h=2b), круглое, кольцевое ( =d/D=0,8) сечения. Сравнить веса балок с нормальными поперечными сечениями.

Данные:

М=60 кНм

P₁=40 кН

q₁=20 кН/м

a=2 м

 
 
 

 

Рисунок 7 
 
 
 
 
 
 

 

      Я определил  реакции опор R_A и R_B. Составил моментные уравнения внешних сил относительно опорных концов балки A и B.

Делаю проверку

      Определяю внутренние усилия в балке  и построил эпюры Q_y и M_x. Поперечная сила Q_i, возникающая в сечении, уравновешивается внешними силами, действующими по одну сторону от сечения.

I участок

0

II участок

0