Расчёт параметров измерительной системы

1 Задание

 

 

Произвести  расчет погрешностей заданной измерительной  системы (ИС), структурная схема которой  представлена на рисунке 1.

 

 

       Рисунок 1 – Структурная схема измерительной системы

 

ИС состоит  из следующих звеньев: измерительный  преобразователь (ИП); усилитель 1 (Ус1); усилитель 2 (Ус2); линия связи (ЛС); цифровой вольтметр (ЦВ); стабилизатор напряжения (СН); блок питания (БП).

 В  результате расчета необходимо  определить:

1. Среднеквадратическое  отклонение суммарной погрешности  измерительной системы.

2. Класс  точности измерительной системы.

3. Вид,  закон распределения суммарной  погрешности измерительной системы.

4. Доверительный  интервал суммарной погрешности  при выбранной доверительной  вероятности. 

 

2 Краткое описание измерительной системы

 

Входной величиной, воздействующей на ИП, является линейное перемещение чувствительного  элемента. Такой вид входного воздействия  может применяться при измерении  линейных разделов, механических усилий, давлении и расхода газа или жидкости, а так же в системах управления и контроля технологических процессов  и качества продукции, параметры  которых функционально связаны  с приведенными физическими величинами. Конструктивно ИП и Ус1 размещены в одном корпусе и находятся в условиях заводского цеха. Ус2 и ЦВ конструктивно так же размещены в одном корпусе, находящемся в условиях лаборатории контроля качества продукции. Оба здания соединены ЛС, проложенной в кабельных каналах. ИП питается от СН, остальные блоки питаются от БП, на который подается сетевое напряжение. В качестве чувствительного элемента измерительной системы используется реостатный ИП.

 

3. Исходные данные для расчета

 

1. Основная приведенная погрешность ИП  γ_и.п.= 0,05%.
2. Коэффициент влияния температуры окружающей среды ИП

Ө_и.п.= 0,05 %/град.

3. Диапазон колебания температуры в заводском цехе ΔТ_ц= 10˚С.
4. Основные приведенные погрешности усилителей γ_{ус 1,2}= 0,4 %.
5. Коэффициент влияния сетевого напряжения усилителей β_{ус 1,2}= 0,09 %.
6. Коэффициент влияния температуры окружающей среды усилителей

Ө_{ус 1,2}= 0,045 %/град.

7. Основная приведенная погрешность ЛС γ_л.с.= 0,05%.
8. Погрешность ЛС из- за влияния сетевых наводок γ_нав= 0,15 %.
9. Класс точности ЦВ c/d= 0,15/0,1.
10. Коэффициент влияния сетевого напряжения ЦВ β_ц.в.= 0,02 %.
11. Коэффициент влияния температуры окружающей среды ЦВ

Ө_ц.в.= -0,01 %/град.

12. Диапазон колебания сетевого напряжения ΔU_c= 10 %.
13. Коэффициент стабилизации СН k_ст.= 100
14. Диапазон колебания температуры в лаборатории контроля качества продукции ΔT_л= 5˚С.
 

4. Расчет составляющих погрешностей ИС

 

4.1 Общие  положения

 

Все составляющие погрешности рассматриваемой измерительной  системы необходимо разделить на аддитивные и мультипликативные, определить для каждой из них соответствующий  закон распределения и СКО.

Аддитивная  погрешность измерительной системы  обусловлена погрешностями ИП, Ус₁, ЛС, Ус₂, и ЦВ, а мультипликативная – колебаниями напряжений питания ИП, Ус₁, Ус₂, и ЦВ.

 

2. Расчет составляющих погрешностей ИП

 

4.2.1 Расчет основной погрешности ИП

В соответствии с заданием основная погрешность  ИП нормирована основной приведенной  погрешностью γ_ИП. Определяющей составляющей погрешности реостатного ИП является погрешность дискретности, обусловленная конечным числом витков обмотки, по которым скользит подвижный контакт. Известно, что подобная погрешность имеет равномерное распределение, поэтому общее распределение основной погрешности можно также считать равномерным.

,

σ_ип ^%=0,029%

К – коэффициент, зависящий от вида закона распределения. Для равномерного закона К=√3.

Данная  погрешность относится к классу аддитивных. Она независима от других погрешностей (некоррелирована с ними).

4.2.2 Расчет  дополнительной температурной погрешности ИП

Так как  диапазон изменения температуры  в цехе превышает диапазон нормальных температур, то возникает дополнительная погрешность ИП из-за влияния температуры  окружающей среды. Максимальное значение данной погрешности равно:

γ _Т.ИП = θ_ИП ∙ ΔТ_Ц

γ _Т.ИП = 0,05∙10˚С = 0,5 %

Так как  температура в цехе определяется температурой наружной среды, то в соответствии с ГОСТ 16350 – 80 закон распределения  должен иметь вид ассиметричной  кривой с двумя максимумами. Для  упрощения расчетов примем, что искомое  распределение температурной погрешности  можно описать равномерным законом. Поэтому:

σ_т.ип ^%= 0,29 %

к= .

Данная  погрешность также относится  к классу аддитивных.

4.2.3 Расчет  сетевой погрешности ИП

Дополнительная  погрешность ИП, вызванная колебанием сетевого питающего напряжения, относится  к классу мультипликативных погрешностей и распределена по тому же закону, что  отклонение напряжения сети от номинального значения. Оно может быть принято  треугольным.

СН уменьшает  колебания в сети в К_СТ раз, поэтому максимальное значение данной погрешности равно:

γ_С.ИП

γ_С.ИП= ^%=0,1%

_,

σ_с.ип ^%=0,04 %

К= .

 

4.3 Расчет составляющих погрешности Ус₁

 

4.3.1 Расчет  основной погрешности Ус₁

Основная  погрешность Ус₁, определяемая заданной основной приведенной погрешностью  γ_Ус1, может быть отнесена к аддитивным погрешностям, имеющим нормальный закон распределения.

к = 3,

σ_Ус.1 ^%=0,13%

4.3.2 Расчет  дополнительной температурной погрешности  Ус₁

В соответствии с пунктом 4.2.2 дополнительная температурная  погрешность Ус₁:

γ_{т.ус 1} = Ө_ус1 ∙ ∆Т_{ц ,}

γ_т.ус1 = 0,045 %/град ∙ 10˚С= 0,45 %.

Данная  погрешность аддитивна и имеет  равномерный закон распределения:

,

к = ,

σ_тУс.1 ^%=0,26 %

Так как ИП и Ус₁ конструктивно размещены в одном корпусе, то их дополнительные температурные погрешности сильно коррелированны, поэтому принимаем значение коэффициента взаимной корреляции ρ=1.

4.3.3 Расчет  дополнительной сетевой погрешности  Ус₁

Аналогично  пункту 4.2.3 принимаем, что данная погрешность  имеет треугольное распределение.

γ_с.ус1 = β_ус1 ∙ ∆U_{с ,}

γ_с.ус1 = 0,09% ∙ 10%= 0,9 %.

,

к = ,

σ _с.ус1 ^%=0,36%

Так как  все звенья измерительной системы  питаются от одной сети, то принимаем, что их дополнительные сетевые погрешности  сильно коррелированны, поэтому ρ=1. Данная погрешность является мультипликативной.

 

4.  Расчет составляющих погрешности ЛС

 

4.4.1 Расчет  основной погрешности ЛС

Основная  погрешность ЛС определяется шумовым  воздействием, распределение которого принимаем нормальным.

,

к = 3,

σ_ЛС ^%=0,017%

Данная  погрешность является аддитивной и  не коррелированна с другими составляющими  погрешности.

 

 

4.4.2 Расчет  дополнительной сетевой погрешности ЛС

Известно, что влияние наводок сетевого напряжения приводит к появлению  аддитивной погрешности с арксинусоидальным законом распределения. Поэтому, величина СКО:

,

к = ,

σ _нав.ЛС ^%=0,106%

4.4.3 Дополнительная температурная погрешность ЛС

Так как  ЛС проложена в кабельных каналах, где температура меняется незначительно  при изменениях окружающей температуры, то принимаем, что данная погрешность  равна нулю.

 

5.   Расчет составляющих погрешности Ус₂

 

4.5.1 Расчет  основной погрешности Ус₂

В соответствии с заданием основные погрешности  Ус1 и Ус2 равны. Данная погрешность аддитивна, имеет нормальный закон распределения и не коррелированна с другими составляющими погрешностями.

      σ_Ус1= σ_Ус2=0,13%

         4.5.2 Расчет дополнительной температурной погрешности Ус2

Данная  погрешность аддитивна и имеет  равномерный закон распределения.

γ_Т.Ус2 = Ө_Ус1 ∙ ∆Т_{ц ,}

γ_Т.Ус2 = 0,045 %/град ∙ 5˚С= 0,225 % .

      ,

к = ,

σ _ТУс.2 ^%=0,13%

4.5.3 Расчет  дополнительной сетевой погрешности Ус2

Производится в соответствии с рекомендациями пункта 4.3.3.

 

γ_с.ус2 = γ_с.ус1 = 0,9 %,

σ_с.ус2 = σ_с.ус1 = 0,36%.

 

6.   Расчет составляющих погрешности ЦВ

 

4.6.1 Расчет основной погрешности ЦВ

Поскольку известно, что класс точности c/d=0,15/0,1, то принимаем, что аддитивная погрешность – определяющая погрешность в начале диапазона измерений, равна d.

γ_а.ЦВ = 0,1 %

Так как  аддитивная погрешность ЦВ главным  образом определяется погрешностью дискретности, то принимаем, что данная погрешность имеет равномерный  закон распределения. Поэтому

σ_а.ЦВ = σ_ЦВ.н

к =

σ_а.ЦВ

Аддитивная  составляющая погрешности не коррелированна с другими составляющими погрешностями.

Мультипликативная составляющая погрешности ЦВ (при  независимости ее от аддитивной составляющей) может быть определена выражением:

,

γ_м.ЦВ= =0,11%

Мультипликативная составляющая погрешности ЦВ определяется погрешностями сравнивающих устройств  аналоговых узлов и АЦП, и разбросом  отдельных ступеней квантующей сетки. Данная погрешность может быть описана  экспоненциальным распределением степени 0,5

p(x)=0.25∙exp[-√׀х׀]

Поэтому:

к = 25,2 ,  σ _ЦВмул ^%=0,004%

4.6.2 Расчет  дополнительной температурной погрешности ЦВ

Данная  погрешность аддитивна и имеет  равномерный закон распределения. Поэтому:

γ_т.цв = Ө_цв ∙ ∆Т_{л ,}

γ_т.цв = - 0,01 %/град ∙ 5˚С= - 0,05%.

σ_т.цв

к=

σ_т.цв

Поскольку Ус2 и ЦВ расположены в одном корпусе, то их дополнительные сетевые погрешности сильно коррелированны (ρ=1).

4.6.3 Расчет  дополнительной сетевой погрешности ЦВ

Данная  погрешность мультипликативна и имеет треугольный закон распределения. Поэтому

γ_с.цв = β_цв ∙ ∆U_с

γ_с.цв = 0,02∙ 10= 0,2 %

σ_с.цв

 

 

к =

σ_с.цв

 

7.  Результаты расчета составляющих погрешностей отдельных звеньев измерительной системы

 

Результаты  расчета составляющих погрешностей отдельных звеньев приведены  в таблице 1, а степень их взаимной корреляции (корреляционная матрица) в  таблице 2. Корреляционная матрица составлена в укороченном виде. Степень связи  составляющих погрешностей, не вошедших в таблицу, принята равной нулю.

Таблица 1 –  Составляющие погрешностей отдельных звеньев

звено	погрешности звеньев измерительной  системы
	наименование	максимальное значение γ, %	СКО σ, %	степень аддитивности (мультипликативности)	вид закона распределения
ИП	основная	0,05	0,029	аддитивная	равномерный
ИП	доп. температурная	0,5	0,29	аддитивная	равномерный
ИП	доп. сетевая	0,1	0,041	мультипликативная	треугольный
Ус1	основная	0,4	0,13	аддитивная	нормальный
Ус1	доп. температурная	0,45	0,26	аддитивная	равномерный
Ус1	доп. сетевая	0,9	0,36	мультипликативная	треугольный
ЛС	основная	0,05	0,017	аддитивная	нормальный
ЛС	доп. температурная	0	0	-	-
ЛС	доп. сетевая	0,15	0,106	аддитивная	арксинусоидальный
Ус2	основная	0,3	0,1	аддитивная	нормальный
Ус2	доп. температурная	0,225	0,13	аддитивная	равномерный
Ус2	доп. сетевая	0,8	0,327	мультипликативная	треугольный
ЦВ	основная	0,1	0,06	аддитивная	равномерный
ЦВ	основная	0,11	0,004	мультипликативная	экспоненциальный
ЦВ	доп. температурная	-0,05	-0,03	аддитивная	равномерный
ЦВ	доп. сетевая	0,2	0,08	мультипликативная	треугольный

 

 

 

 

Таблица 2 –  Корреляционная матрица погрешностей отдельных звеньев измерительной системы

погрешности	ИП доп. темп	ИП доп. сет.	Ус1 доп. сет.	Ус1 доп. темп.	Ус2 доп. темп.	Ус2 доп. сет.	ЦВ доп. темп.	ЦВ доп. сет.
ИП доп.темп.	1	0	0	1	0	0	0	0
ИП доп. сет.	0	1	1	0	0	1	0	1
Ус1 доп. сет.	0	1	1	0	0	1	0	1
Ус1 доп. темп.	1	0	0	1	0	0	0	0
Ус2 доп. темп.	0	0	0	0	1	0	1	0
Ус2 доп. сет.	0	1	1	0	0	1	0	1
ЦВ доп. темп.	0	0	0	0	1	0	1	0
ЦВ доп. сет.	0	1	1	0	0	1	0	1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 Расчет суммарной погрешности

 

5.1 Определение  аддитивной погрешности измерительного  канала для коррелированных составляющих

 

Суммирование  погрешностей σ₁ и σ₂ производится по формуле:

где ρ  – коэффициент корреляции.

 ρ  = 0, если погрешности некоррелированны,

 ρ  = 1, если погрешности коррелированны,

 ρ  = 0   σ_Σ    – геометрическое сложение,

 ρ  = 1   σ_Σ =   σ₁ + σ₂  – алгебраическое сложение.

 

5.2 Определение аддитивной погрешности измерительного канала для коррелированных составляющих

 

Из таблиц 1 и 2 видно, что данная погрешность  определяется двумя составляющими:

σ_{ад.кор.1} = σ_т.ип + σ_т.ус1 ,

 

σ_{ад.кор.1} = 0,29% + 0,26%= 0,55%,

 

σ_{ад.кор.2} = σ_тюус2 + σ_т.ив ,

 

σ_{ад.кор.2} = 0,13% - 0,03%= 0,1%.

 

 

 

 

 

 

 

 

5.3 Определение аддитивной погрешности измерительного канала для некоррелированных составляющих

 

Так как  ρ=0, то суммирование производится геометрически:

,

σ_{ад.некор}=

 

 

 

5.4 Определение суммарной аддитивной погрешности измерительного канала

 

Аналогично  пункту 5.3 сложение производится геометрически:

,

σ_∑ад.= %.

 

5.5 Определение мультипликативной погрешности измерительного

канала для коррелированных составляющих

 

Из таблиц 1 и 2 видно, что данная погрешность  определяется следующими составляющими:

σ_{мул.кор.} =  σ_с.ип + σ_с.ус1 + σ_с.ус2 + σ_с.цв

σ_{мул.кор.} =  0,04+0,36+0,36+0,08=0,84%

 

5.6 Определение мультипликативной погрешности измерительного канала для некоррелированной составляющей

 

Из таблицы 1 и таблицы 2 видно, что данная погрешность:

σ_{мул.некор.} = σ_цв.мул = 0,004%

5.7 Определение суммарной мультипликативной погрешности измерительного канала

 

Сложение  составляющих погрешности производится геометрически:

σ_Σмул.

σ_Σмул.

 

5.8 Определение погрешности измерительного канала в начале диапазона измерения

 

σ_н = σ_∑а = 0,6%

 

5.9 Определение погрешности измерительного канала в конце

 диапазона  измерений

 

σ_к

σ_к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6  Расчет доверительного интервала суммарной погрешности ИС

 

При доверительной  вероятности Р_дов=0,9 доверительный интервал можно определить из выражения:

Δ_дов = 1,6·σ

Доверительный интервал в начале диапазона измерений:

Δ_дов.н. = 1,6·σ_н

Δ_дов.н. = 1,6∙0,6=0,96%

Доверительный интервал в конце диапазона измерений:

Δ_дов.к. = 1,6·σ_к

Δ_дов.к. = 1,6∙1,03=1,65%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 Расчет параметров закона распределения суммарной погрешности

7.1 Выбор принципа  расчета

 

Для решения  поставленной задачи предварительно определим  один из параметров суммарного закона распределения, а по нему определим  форму самого закона. В качестве такого параметра удобно использовать контрэксцесс.

,

где - четвертый центральный момент закона распределения.

Известно, что если складывается n независимых законов, то величина контрэксцесса суммарного распределения может быть определена из выражения:

,

,

где - вес i- ой дисперсии в суммарной,

      - контрэксцесс i- го распределения.

7.2 Определение  контрэксцесса суммарного распределения в начале диапазона измерения

 

 

Значение  контрэксцесса для различных законов распределения:

равномерное распределение- 0,745

нормальное  распределение- 0,577

арксинусоидальное распределение- 0,816

Подставляя  значения α_i и χ_i  в выражение для суммарного контрэксцесса получаем:

 

 

7.3 Определение  формы и ширины основания суммарного  закона распределения

 

Если  рассмотреть ограниченные по основанию  законы распределения, то основание  суммарного закона может быть определено из выражения:

где k_i- коэффициент пропорциональности.

Так как  величина СКО суммарной погрешности  определяется:

, то k для суммарного закона равен:

Протяженность основания суммарного закона в начале диапазона измерений составляет:

   =3,876∙0,6=2,3256

 

По значению контрэксцесса = 0,5 можно сделать вывод о том, что суммарный закон в начале диапазона измерений подчиняется нормальному  закону распределения и имеет следующий вид (Рисунок 3):

                    

                  Рисунок 3 – Нормальный закон  распредения

 

 

7.4 Определение  класса точности измерительной  системы в начале диапазона измерения

 

Согласно  полученным значениям принимаем, что  фактический класс точности измерительной  системы в начале диапазона измерения  составляет:

=3,389∙0,689=2,3256

Округляем до ближайшего стандартного и получаем класс точности в начале диапазона  измерения, равный 2,5.

7.5 Определение  формы и ширины основания суммарного закона распределения в конце диапазона измерения

 

Контрэксцесс суммарного распределения в конце диапазона измерения можно определить аналогично тому, как это производилось для начала диапазона. Решаемую задачу можно упростить, определяя контрэксцесс в конце диапазона измерения при сложении двух независимых составляющих, а именно суммарной аддитивной и суммарной мультипликативной погрешности.

Таким образом, закон распределения суммарной  погрешности в конце диапазона  измерения характеризуется композицией  двух законов, а именно сложного, определяемого восьмью аддитивными составляющими, и треугольного (мультипликативная составляющая).

Контрэксцесс такого распределения равен:

где

     

     

     

По значению контрэксцесса = 0,565 можно сделать вывод о том, что суммарный закон в конце диапазона измерений подчиняется нормальному закону распределения (Рисунок 3).

Основание суммарного закона в конце диапазона  измерения:

,

Х_к=0,6·3,876+ ·0,84=4,3856

7.6 Определение  класса точности измерительной  системы в конце диапазона измерений