Расчёт сигнала на выходе линейной цепи



Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники (ТУСУР)

 

 

 

 

 

 

Кафедра электронных систем

Автоматизации и управления (ЭСАУ)

Расчёт сигнала на выходе линейной цепи

Пояснительная записка к курсовому проекту  по дисциплине 
“Электротехника и электроника”

 

 

 

Студент группы 588-2 
_________А. А. Березников 
«____»_________2010г.

 

Руководитель

Доцент  кафедры ЭСАУ 
_________А.А.Шибаев

«____»_________2010г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                              Томск, 2010

 

ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ ЧЕТВЕРТОГО СЕМЕСТРА

 по дисциплине "ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА"

 

Выдано студенту гр. 588-2 Березникову Алексею Алексеевичу

 

Тема: "Расчет сигнала на выходе линейной цепи"

 

Исходные  данные:

1. Схема линейной цепи, вариант - 1          2.  Воздействие sвх (t) , вариант - 4

 

 Ход  выполнения курсовой работы:

1. Исследовать частотные и временные  свойства линейной цепи, при этом

1.1. Определить и построить АЧХ — K (ω) и ФЧХ — φ (ω) для заданной цепи.

1.2. Определить и построить  переходную характеристику линейной  цепи h(t), проверить выполнение предельных соотношений между K(ω) и h(t).

1.3. Определить и построить,  используя известное соотношение  импульсную реакцию линейной цепи.

1.4. Привести объяснение  полученных результатов на основе  физических представлений о свойствах  данной цепи.

 

2. Исследовать частотные свойства  заданного сигнала, при этом

2.1. Записать математические  модели заданного сигнала для  двух случаев: непериодический  сигнал и периодический сигнал, приняв за период интервал времени Т. Сделать описание временных свойств сигналов.

2.2. Выполнить спектральный  анализ непериодического сигнала  sвх(t), воспользовавшись методикой “экспресс – спектрального анализа”.

2.3. Определить ширину  спектра непериодического сигнала  sвх (t), задавшись η = 0.9.

2.4. Построить графики  спектральной плотности S(ω) и фазового спектра φ(ω)

2.5. Выполнить спектральный  анализ периодического сигнала  sвх(t), при этом амплитуды спектральных составляющих допустимо определить на основе известного соотношения, связывающего спектры непериодического и периодического сигналов.

2.6. Определить ширину  спектра периодического сигнала  sвх(t), приняв η = 0.9.

 

3. Определить сигнал на выходе  линейной цепи на основе принципа  суперпозиции 

(одним из двух методов — по выбору)

3.1. Определить сигнал на выходе линейной цепи на основе принципа суперпозиции операторным методом или одним из методов временного интегрирования для случая непериодического воздействия sвх(t). По результатам расчёта построить в едином масштабе времени графики непериодического воздействия sвх(t) и отклика sвых(t) на выходе линейной цепи.

3.2. Исследовать влияние соотношения между ωo=1/τ и Т, характеризующих инерционные свойства цепи и временные свойства сигнала на форму отклика (расчеты выполнить для ωo·Т = 0,1; 1; 10). Привести объяснение полученных результатов, основываясь на физических представлениях о свойствах данной цепи.

 

4. Компьютерное моделирование.

4.1. С помощью одного из пакетов прикладных программ выполнить моделирование частотных и временных свойств заданной цепи. Промоделировать отклик заданной цепи на заданное воздействие во временной области при различных соотношениях между ωo и Т: ωoТ=0,1;1;10.

 

 

5. Сделать обобщающие выводы:

5.1. По временным и  спектральным свойствам линейной  цепи.

5.2. По временным и  спектральным свойствам воздействия.

5.3. По сопоставлению результатов  расчета на основе временных  (спектральных) методов, сравнивая полученные аналитические результаты и физические представления о работе цепи, а также результаты компьютерного моделирования.

 

 

Срок сдачи выполненной работы на проверку………………………………_____________ 2010г.

 

 

Задание выдал доцент кафедры ЭСАУ A.А.Шибаев........................................15 февраля 2010г.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1 Введение 5

2 Данные для работы 5

2.1 Схема линейной цепи 5

3 Исследование частотных и временных свойств линейной цепи 6

3.1 Определение АЧХ — K(w) и ФЧХ — j (w) 6

3.2 Определение переходной характеристики линейной цепи 7

3.3 Определение импульсной реакции линейной цепи 8

3.4 Объяснение полученных результатов 9

4 Исследование частотных свойств заданного сигнала 11

4.1 Математические модели непериодического и периодического сигналов 11

4.2 Спектральный анализ непериодического сигнала 12

4.3 Ширина спектра непериодического сигнала 13

4.4 Спектральный анализ периодического сигнала……………………………………14

4.5 Ширина спектра периодического сигнала 16

5 Определение сигнала на выходе цепи. 18

5.1 Определение отклика 18

5.2 Исследование влияния соотношения между w0 и T 18

6      Моделирование в пакете MicroCap 8.0 19

6.1. Определение АЧХ и ФЧХ 19

6.2. Определение сигнала на выходе линейной цепи 21

7 Обобщающие выводы 22

7.1 Выводы по временным и частотным свойствам линейной цепи 22

7.2 Выводы по временным и частотным свойствам воздействия 22

7.3 Выводы по результатам расчета сигнала на выходе цепи 22

7.4 Обобщающий вывод по проделанной работе 22

 

Введение

Основной целью работы является исследование временных и  частотных свойств заданной цепи, исследование частотных свойств  заданных сигналов, а так же определение  отклика цепи на воздействие (непериодический  сигнал), применяя один из методов временного интегрирования. Исходные данные приведены  ниже.

Исходная цепь

                                        Входной непериодический сигнал

                              

                       

Входной периодический  сигнал

w0=1/CR=1/t; w=2p/T; 
3. Исследование частотных и временных свойств линейной цепи.

    1. Определение АЧХ и ФЧХ

Найдём передаточную функцию  K (w):



 

 

Приняв wτ=x получим:

 

Модуль K комплексной передаточной функции является амплитудно-частотной функцией цепи (АЧХ). Выделим её из предыдущего выражения:



Аргумент комплексного числа  является фазовой частотной функцией цепи (ФЧХ). Выделим эту функцию из выражения, определяющего (х) для данной цепи при помощи встроенной функции MathCad, которая вычисляет аргумент комплексного числа (функции).

Ниже  приведены графики АЧХ и ФЧХ  для исследуемой цепи.



 



 

    1. Определение переходной характеристики

Переходная характеристика цепи h(t) есть отклик этой цепи на воздействие на неё единичного скачка напряжения или тока i(t). Для определения переходной характеристики можно воспользоваться операторным методом. По известному изображению комплексной передаточной функции K(р) можно определить изображение отклика, т.е. переходной характеристики:

,

где 1/р – изображение по Лапласу единичной функции (функции Хевисайда) .

p=wi;  x=



 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полюсами  в данном выражении являются :



 



 

 



 

 

Полученные вычеты:



 

 



 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходная характеристика равна сумме полученных вычетов:



     

 

 

 

 

Если приблизительно вычислить значения простых дробей:



 

      

 

Для удобства построения графика и  увеличения наглядности пронормируем h(t) – введем

переменную 



 

 



 

Рис 1.2.1 Переходная характеристика h(x)

Переходная характеристика и передаточная функция связаны  между собой предельными соотношениями:

 

Предыдущие выражения  подтверждают выполнение этих соотношений  для проведённых исследований данной цепи.

 

    1.   Определение импульсной реакции

Важной характеристикой  линейной цепи является её импульсная характеристика g(t). Импульсная характеристика есть реакция цепи на импульс очень малой длительности и с достаточно большой амплитудой, которые определяют его энергию. Фактически этот импульс математическая абстракция, обозначаемая как дельта-импульс d(t). Определяется импульсная реакция цепи исходя из соотношения:

;

Воспользуемся этим соотношением для вычисления g(t), подставив в него пронормированное h(t):



 



 

Рис 1.3.1  Импульсная реакция цепи g(t)

3.4. Объяснение полученных результатов на основе физических                                       представлений о свойствах цепи.

 

В основе объяснения полученных результатов  лежит представление о том, что  идеальный конденсатор при воздействии на него напряжением с представляет собой разрыв, с ростом частоты сопротивление конденсатора уменьшается, и на бесконечно высокой частоте конденсатор представляет собой короткое замыкание.

Пусть, модуль комплексного сопротивления обоих конденсаторов равен нулю, эквивалентная схема цепи для данного случая:

 

                                


Т.к . на выходе присутствует короткое замыкание, то всё приложенное напряжение падает на параллельно соединённых  резисторах и сигнал на выходе равен  нулю.

При уменьшении частоты входного сигнала возрастает модуль комплексного сопротивления конденсаторов и увеличивается падение напряжения на них. Т.к. один из конденсаторов подключен параллельно выходу, то соответственно увеличивается и выходное напряжение.  При дальнейшем уменьшении частоты сопротивление конденсаторов становится больше сопротивления резисторов и при эквивалентная схема имеет вид

 

 

 

                :  

Т.е. при  коэффициент передачи цепи стремится к 1.

Из фазочастотной характеристики цепи видно, что выходной  сигнал по фазе отстает от входного. Максимальный сдвиг фаз между выходным и входным сигналами -900 при. Это объясняется тем, что в этом случае весь ток цепи протекает через емкостные элементы, как имеющие нулевое сопротивление. А так как напряжение на емкости отстает от тока на 900, то и выходное напряжение будет отставать от входного напряжения на 900 . При уменьшении частоты входного сигнала доля емкостной составляющей в токе, протекающем в цепи, уменьшается и цепь приобретает всё более резистивный характер, соответственно и сдвиг фаз между входным и выходным сигналами уменьшается и при стремится к 0.

            Таким образом, данная цепь  является простым фильтром низких частот, с коэффициентом передачи, стремящимся к 1.  

На поведение h(t) и g(t) основное влияние оказывает конденсатор, подключенный параллельно выходу цепи,  т.к. второй конденсатор подключен последовательно одному из резисторов и параллельно второму.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Исследование частотных свойств сигнала

 

4.1. Математические модели и временные свойства сигналов

 

Для непериодического сигнала:



 


 

   Где функция Хэвисайда


Входной непериодический  сигнал

                              

                                 

                                  Входной периодический сигнал

 

 

Для периодического сигнала:

 

 

Временные свойства: представляет собой периодически повторяющуюся последовательность состоящую из линейного понижения амплитуды с 2E на времени 0 до Е на времени Т/2, резкого падения до -E и затем линейного увеличения амплитуды до 0 длительностью на времени T.

 

    1. Спектральный анализ непериодического сигнала

Спектральный анализ непериодического сигнала основывается на интегральных преобразованиях Лапласа, а также равенстве Парсеваля. Применим преобразование Лапласа для нахождения комплексной спектральной функции сигнала, а затем её модуля и аргумента.




 

 

 

 

 

Откуда получим комплексную  спектральную функцию:




 

 

 

 

График спектральной плотности  сигнала:

 




 

 

График  фазового спектра сигнала:

 




 

 

    1. Ширина спектра непериодического сигнала

Для нахождения практической ширины спектра  непериодического сигнала воспользуемся  равенством Парсеваля и тем, что  практическая ширина спектра несет h=0.9) всей энергии сигнала:

 

где Э – энергия;

h - коэффициент, определяющий длительность сигнала, h=0.9;

Dw - верхний предел полосы пропускания, Dw=2pDF.

ΔF=Δx/Δw

Получаем интегральное уравнение:                       

 

Решая данное интегральное уравнение, получаем: . Практическая ширина спектра непериодического сигнала:

                             

 

 

 

 

 

 

    1.  Спектральный анализ периодического сигнала

Периодический сигнал, разложенный в ряд Фурье, имеет вид:


 

где


 

Найдем коэффициенты ряда.

 

 



 

 



 

 

 



 

 

 

 

 

Итак, разложение в ряд  Фурье данного сигнала имеет  вид:



 

 

 

 

Чётные гармоники у  данного сигнала отсутствуют.

 

 

 

 

 

 

 

 



  Построим график этой функции для n=50:

 

 

Построим  график амплитудного спектра:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим график фазового спектра:

    1. Ширина спектра периодического сигнала

 

  Энергия n-го гармонического колебания на периоде T равна:

  Средняя мощность n-го гармонического сигнала определяется как  

Ширину  спектра для периодического сигнала  можно найти из соотношения:

,

где   PT – средняя мощность сигнала

        - коэффициент, определяющий длительность сигнала равный 0,9

        – мощность постоянной составляющей

        – мощность отдельной гармонической составляющей

     Найдем энергию n-го колебания:

 



 

Находим 90% энергии сигнала:

 

 

Рассчитаем величины спектральных составляющих и их мощностей:

 

 

n

0

1

2

3

An

0.5

1.336

0

0.427

Pn

0.25

0.893

0

0.091

åPn

0.25

1.143

1.143

1.234


 

Из таблицы видно, что уже  при n=3 энергия сигнала превышает

 

Найдем практическую ширину спектра  сигнала, учитывая, что  :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.Определение сигнала на выходе линейной цепи

    1. Определение сигнала на выходе линейной цепи операторным методом

Для определения отклика цепи на воздействие можно воспользоваться  операторным методом. Для этого  необходимо провести обратное преобразование по Лапласу. Воспользуемся формулой:

,   где



                                                         

 

 

 




 

 

 

 

Проведя обратное преобразование по Лапласу, которое ввиду громоздкости не приводится, получаем аналитическое выражение для сигнала на выходе линейной цепи.

         

 




 




 

 

    1. Исследование влияния соотношения между w0 и T

Произведение w0T характеризует инерционность заданной цепи по отношению к заданному сигналу. На рисунке приведены нормированные графики входного и выходного сигналов для трех значений соотношения w0T: 0,1; 1; 10 в одинаковом масштабе.




 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Графики входного и выходного  сигналов для трех значений 

 

Из графиков видно, что зависимость формы выходного сигнала от соотношения такова: чем больше w0T, тем форма выходного сигнала ближе к форме входного сигнала. Этого можно добиться либо увеличением длительности сигнала, либо уменьшением постоянной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Моделирование в пакете MicroCap 8.0

6.1   Определение АЧХ и ФЧХ

Пакет MicroCap 8.0 предназначен для анализа и симуляции электрических цепей, различной сложности. В связи с тем, что в этом пакете необходимо чтобы все параметры цепи были определены, присвоим значения: R=1kОм; L=1мГн. Для анализа частотных свойств заданной цепи составим в  MC цепь представленную на рисунке.

 

Рис. 4.1.1 – Цепь, построенная  в MicroCap 7.0

 

АЧХ и ФЧХ цепи, полученные MC:

 

Как видно, частотные свойства цепи найденные с помощью MC, совпадают с теми, что были найдены в пункте 3.1, свидетельствуя о правильности полученных результатов.

 

    1. Определение сигнала на выходе линейной цепи

Для определения отклика  цепи на непериодический сигнал, зададим  этот сигнал при помощи координат.

 В нашем случае  сопротивление 1 кОм, емкость - 1 нФ , поэтому постоянная времени цепи будет равна τ =1 мкс. w0T=1.

            

Найдем отклик цепи для  трех случаев w0T=0,1; w0T=1; w0T=10, изменяя параметры входного сигнала. Полученные отклики изображены на рисунках:

 

 

Рис. 4.1.4 – Отклик цепи в  случае w0T=0,1

 

 

Рис. 4.1.5 – Отклик цепи в  случае w0T=1

 

 

Рис. 4.1.6 – Отклик цепи в  случае w0T=10

 

Как видно результаты моделирования  полностью совпадают с результатами расчетов выполненных в пункте 5.1.

7.Обобщающие выводы

7.1   Выводы по временным и спектральным свойствам линейной цепи

В ходе данной работы был  проведен полный анализ свойств заданной линейной цепи. Были определены АЧХ  и ФЧХ, а также отклик сигнала  на единичный скачок (h(t)), и единичный импульс (g(t)).

Из анализа АЧХ, видно, что данная цепь может выступать  в роли простейшего фильтра низких частот. Цепь не пропускает сигнал, имеющий высокую частоту, т.е. АЧХ на этих частотах приближается к нулю. На частотах, близких к нулю, коэффициент передачи равен единице.

Отклик на единичный  скачок значение ноль  в начальный  момент времени, что обусловлено  наличием в цепи емкостей, напряжение на которых не может меняться мгновенно, и соответственно емкость на малых частотах будет представлять собой разрыв цепи. Т.е. сигнал проходит через резистор и не изменяется. Затем, емкости не пропускают сигнал, и он проходит без искажений. Через некоторое время емкости полностью, без искажений пропускают сигнал.

7.2     Выводы по временным и спектральным свойствам воздействия 

Исследование сигнала было разбито на две части. Вначале были исследованы свойства непериодического сигнала. Были найдены спектральная плотность и фазовый спектр непериодического сигнала. Периодический сигнал может быть получен из непериодического, если принять период равным T(длительность непериодического сигнала) и продолжить его на всей оси.

Для обоих сигналов была определена практическая ширина спектра. Было показано, что ширина спектра  непериодического сигнала близка к  ширине периодического сигнала.

 7.3    Выводы по результатам расчета сигнала на выходе цепи

Расчет выходного сигнала  был произведен операторным методом. Полученные отклики полностью совпадают с откликами, полученными при помощи пакета Micro-Cap 8.0. Таким образом, аналитическое выражение для отклика было получено верно.

 7.4    Обобщающий вывод по проделанной работе

В результате работы было проведено  комплексное исследование заданной цепи, заданного сигнала, и их взаимодействие. Был получен отклик линейной цепи на заданное воздействие. Таким образом, задание данной курсовой работы было полностью выполнено.


Расчёт сигнала на выходе линейной цепи