Расчёт статически неопределимых систем

 

 

Курсовая  работа

 

 

по дисциплине __Сопротивление материалов_________________

 

 

 Расчёт  статически неопределимых систем

 

1. Статически  неопределимая шарнирно-стержневая  система

Исходные данные:

 

Рис. 1.1 Статически неопределимая шарнирно-стержневая система

 

 

Fi=2,6F  - площади стержней    Li=2,5F – длины стержней

Нумерация стержней в  системе произвольная.

Стержни выполнены из одного материала. Балку считать абсолютно жёсткой.

 

Под действием силы Р  брус повернется вокруг точки К.

 

Шарниры А и В переходят в положение А2 и В2, см. рис. 1.2.  Из-за малости перемещений перемещения по дугам заменим на перемещения по вертикальным прямым.

 

Найдем усилия N₁ и N₂:

 

ΣМк=-N₁*h +-N₂*a +P*a = 0

 

P=N₁+N₂

 

Из подобия треугольников АА₂К и ВВ₂К рис. 1.2 находим:

 

ВВ₂/а=АА₂/2а

 

АА₁=ΔL1/cos60^o      ВВ₂ = ΔL2    ΔL₁ = ΔL₂* cos60^o

 

 

 

Из закона Гука:

 

ΔL₁= N₁L₁/E*F

 

ΔL₂ = N₂L₂/E*F

 

N₁L₁/EF= N₂L₂/EF * cos60^o      N₁=N₂* cos60^o        2* N₁=N₂

 

P=3N₂

 

Напряжение в стержне 2:

Допускаемое значение напряжения в стержне  δ = N2/F= 360/2=180 МПа, где F – площадь сечения стержня

 

Усилие в стержне 2 :  N2=180*А    где А – сечение стержня

Допускаемое значение силы Р

Р=3*180*2,6*1 = 140,4 кН

 

По закону Гука удлинение в стержне 2:

 

ΔL = NL/EF= 140,4*2,5*0,8*10³/200*10⁹*1*10^-4 = 0,0093 м

 

Угол поворота жесткой  балки: sin ΔL/L = 0,0093/0,5 = 0,0186

 

α = arcsin0,0186 = 1,06^o

 

 

 

Рис. 1.2 Статически неопределимая шарнирно-стержневая система

 

 

 

2. Статически  неопределимая балка

 

Исходные данные:

1. Построить эпюры  поперечных сил Q и изгибающих момен-

тов M.

2. Для балки стандартного  двутаврового профиля из расчёта

на прочность подобрать  сечение по сортаменту прокатной  стали

(см. приложение 3).

3. Определить прогиб  сечения К.

Рис. 2.1 Статически неопределимая балка

При расчётах принять: σ_т = 650 МПа; [n_т] = 2,5; Е = 200 ГПа.

L₁=0,3         P₁=8 kH     L₂=0,9    M₁=4,8 kHм   L₃=1,2 м     M₂ =18 кНм   

 

Обозначим реакции опор R в т. В,  реакции D, H и  момент Mo в т. С.

Задача статически неопределимая. Лишних неизвестных – одна.

Уравнения статики:

Н=0      R+P1=D

P₁(L₁+L₂+L₃) + R(L₂+L₃) – M₂ +Mo = 0

За лишнюю неизвестную примем реакцию  опор R

 

Рис. 2.2  Расчетная схема статически неопределимой балки

Добавим условие вертикального  перемещения в точке действия опоры R fr=0.

 

 

Раскрываем условие при помощи теоремы Кастильяно:

По теореме Кастильяно – перемещение  точки приложения обобщенной силы по направлению ее действия равно частной  производной от потенциальной энергии  этой силы.

 

                    L₁                            L₂                            L₃

 f_r = 1/ЕJ* [ ЅМ₁ * δ М₁/δR + ЅМ₁ * δ М₁/δR + ЅМ₁ * δ М₁/δR]=0

                    0                               L₁                          L₂  

 

 

 

Вычислим подынтегральные  выражения используя:

 

М₁=Р₁*L₁                                                                        δМ₁/δR=0

 

М₂=Р₁*(x2 +L₁) + R*x2                                                  δМ₂/δR= х2

 

М₃= Р₁*(x3 +L₁) + R*x3 – М₂                                       δМ₃/δR= х3 

 

L2                                           L2+L3

Ѕ[p₁(x+L₁) +Rx]dx + Ѕ[p₁(x+L₁) +Rx-M₂]dx

0                                               L2

 

L2                                           L2+L3                                        L2+L3 

Ѕ[p₁(x+L₁) +Rx] dx+ Ѕ[p₁(x+L₁ ) +Rx]dx + Ѕ[-M2]dx =

0                                                L2                                             L2

 

 

L2+L3                                    L2+L3 

Ѕ[p₁(x+L₁) +Rx] dx+ Ѕ[-M2]dx =

0                                                L2   

 

                                       

    2,1                                            2,1 

= Ѕ[p₁x+p₁L₁ +Rx] dx+ Ѕ[-M2]dx =

0. 0,9

 

                                               2,1       2,1

= P₁x² +p₁0,3x +Rx² |- m₂x|=  0   Находим R.      R= -0,45  

                                               0         0,9

 

D= P + R = 8-0,45=7,55 кН

 

Момент сил относительно т. С

 

Mo  = -P₁(L₁+L₂+L₃)-R(L₂+L₃) + M₂ = -8*2,4+0,45*2.1+18 = 0,245 кHм

Mo = 0,245 кHм

Эпюра моментов в т. В 8*0,3= 2,4 кнм  

В т. К  8*1,2 -0,45*0,9 = 9,19

В т. К  9,19-18 = -8,81 кнм

В т. D 8*2,4 – 0.45*2,1 – 18= 0,255 кнм

 

Рис. 2.3 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов балки

 

Максимальный изгибающий момент в т. К   Мк=9,19 кНм 

 

W= Мк/δ = 9,19*10³/[(650:2,5)*10⁶] = 35,34 см³

 

По таблице 1 приложения 3 выбираем стандартный двутавровый профиль №11 из горячекатаной стали.

 

Определение прогиба  в точке К.

Рис. 2.4  Эпюры моментов от действия единичной силы и в нагруженном состоянии

Используем табличные формулы для перемножения эпюр трапеции и треугольника

Рис. 2.5 Эпюры моментов сил

AМ = h3*L(2h₁-h)/6   

Из построения находим  параметры и площади трапеция, треугольников, центры их тяжести, ординаты единичной силы в положениях центров  тяжести  по Методу Верещагина. Подставим  в формулу для нахождения перемещений по методу Верещагина

 

Нагрузочную эпюру разобьем на 3 части.  Единичная эпюра представлена на рис. 2,5

 

Перемножив площади  нагрузочных эпюр на ординаты единичной  в центре тяжести нагрузочной  эпюры и используя табличные  формулы получим

Δ= AМ/EI = 0,51*0,9(2*2,4+9,19)/6 – 0,51*9,06*1,2/3 +0,51*0,255*1,2/2) /(200*10⁹*198*10^-8

 

Перемещение найдем по формуле, зная Jx=198 см⁴

Δ= AМ/EI = 0, 77*10³/(200*10⁹*198*10^-8) = 0,19*10^-2 м= 1,9 мм

 

 

3. Статически  неопределимая рама

 

Исходные данные:

Рис. 3.1 Статически неопределимая рама

 

При расчётах принять: [σ] = 180 МПа; Е = 200 ГПа.

 

L₁=0,3 м   P1=8 kH     L₂=0,9 м    M₁=4,8 kHм   L₃=1,2 м  M₂ =18 кНм  

 

Р₂=20 кН

 

Рама один раз  статически неопределима. Рама состоит  из участков различной жесткости. Горизонтальные участки выбраны из одинарного швеллера, вертикальные – из двойного швеллера.

 

За основную систему принимаем систему, показанную на рис.  , которая получилась из заданной путем удаления левой опоры. Удаленную  связь компенсирует неизвестная величина R.

 

Строим эпюры моментов сил в раме от действия сил , моментов сил, единичной силы, см. рис. 3.2.

Рис.  3.2 Статически неопределимая рама

 

Каноническое уравнение имеет вид:

 

δ₁₁ * X₁ + Δ₁₂ = 0

 

δ₁₁  - перемещение по направлению неизвестного от единичного значения этого же неизвестного;

Δ₁₂ – перемещение по направлению первого неизвестного от нагрузки.

 

Для определения перемещений используем метод Мора-Верещагина (перемножение эпюр).

Перемножаем эпюру 2 на саму себя. Получим  δ₁₁ .  Перемножаем эпюры 1 и 2.   Получим  Δ₁₂.

 

Рис. 3.3 Эпюры изгибающих моментов от нагрузок и от единичной силы

 

С учетом, того, что горизонтальные участки выбраны из одинарного швеллера, вертикальные – из двойного швеллера с двойным моментом сопротивления

Из рис. 3.3     L₃₁=0,24 м     L₃₂=0,96 м    

 

δ₁₁ = 1/EJ (1/2* L₁*L₁*2/3 +1/2 *(L₁+L₂)*L₁*L₁ =

 

= 1/EJ (1/2*0,3³* 2/3 +1/2 *(0,3+0,9)*0,3*0,3 = 0,112 /EJ

 

Δ₁₂ = 1/EJ[M₁*L₁*L₁/2 +1/2*M₁*L₂*L₁ +1/2*1/2M₁*L31*L₁-1/2*(P₂L₃-M₁)*L₃₂*L₁]=

 

= 1/EJ[4,8* 0,3² +1/2*4,8*0,9*0,3 +1/2*4,8*0,24*0,3-1/2*(20*1,2-4,8)*0,96*0,3]  = -1,593/EJ

 

Размеры L₃₁ и L₃₂ выбраны из построения изгибающих моментов от нагрузок на рис. 3.3

 

  X1= - Δ₁₂/ δ₁₁ = 1,593/0,112= 14,22 кНм

Ординаты эпюры от единичного момента  М1 умножим на 14,22 кНм и сложим с эпюрой M_f , получим окончательную эпюру

Рис. 3.4 Окончательная  эпюра изгибающих моментов рамы

 

Из условия прочности  δ_макс=М_макс/Wx < δ

Находим W_x = М_макс/ δ = 14940/180*10⁶= 82 см³

 

По таблицу для швеллеров  находим большие значение Wx , выбираем швеллер №16  с Wx = 93,4 см³

 

Момент инерции для  швеллера №16   Jx = 747 см⁴

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчет угла поворота сечения А:

 

 

Рис. 3.5 Эпюры от единичного момента  в сечении А

 

Для расчета угла поворота сечения  А перемножим по методу Мора-Верещагина эпюры от единичного момента в сечении А на эпюры с нагружением для 4 сечений стержня с учетом разного количества швеллеров в вертикальном и горизонтальном участках .

Рис. 3.6 Положения центров тяжести  эпюр для расчета углового перемещения  сечения А

 

Рис. 3.7 Расчет углового перемещения  в сечении А

Подставив значения моментов, сил  и длин рамы и использую табличные значения готовых формул произведений разного вида эпюр (Таблица 3.1)

 

 

 

На участке L₁ разделим эпюру от нагружения на прямоугольник и треугольник и раздельно перемножим на единичную эпюру.

 

По методу Мора-Верещагина перемножаем  площадь фигуры момента сил от нагруженной эпюры на ординату соответствующего единичного момента силы в центре тяжести нагруженной эпюры:

 

L₁*M₁*L₁/2 + 4,27*10³*L₁/2 * 2/3*L₁ + 9,06*10³*L₂*L₁ +

 

9,06*10³*L₃₁/2*L₁- 14,94*10³*L₃₂/2*L₁ = 0,3*4,8*10³*0,3/2 +

 

4,27*10³*0,3/2 * 2/3*0,3 + 9,06*10³*0,9*0,3 + 9,06*10³*0,24/2*0,3 +

 

14,94*10³*0,96/2*0,3 = 27,2*10³

 

Находим угол поворота сечения А 

 

Δφ = 27,2*10³/EJ = 27,2*10³/200*10⁹*747*10^-8 = 0,018 рад

 

Δφ = 0,018*180/3,14 = 1,04 град.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчёт упругих систем на изгиб с кручением

 

4. Расчёт пространственной рамы

 

Исходные данные:

 

При расчётах принять: Е = 200 ГПа; G =80 ГПа.

 

 

Рис. 4.1  Пространственная рама

 

 

L₁ = 1,1 м   P₁ = 1,3 кН  L₂ = 0,7 м   P₂ = 1,9 кН   L₃ = 0,9 м  P₃= 2,0 кН

 

d/D = 0,7   δp = 110 МПа    δс = 240 МПа  Перемещение т. В  по V

 

Участок АВ работает на изгибы в 2 плоскостях с моментом P₁L₁ и P₃L₁ и на сжатие Nab=P₂.

Участок ВС работает на растяжение с силой Nbc=P₃ , на изгиб с моментами

P₁L₂, P₂L₂, P₃L₁,  на кручение P₁L₁ .  Моменты P₂L₂ и P₃L₁ – в одной плоскости.

 

Участок CD работает на сжатие с силой Ncd = P₁, на изгиб с моментами P₁L₂, P₁L₁, P₃L₃, P₂L₃   и кручение P₃L₁, P₂L₂ . Моменты P₁L₁, P₃L₁, P₃L₃, P₂L₂- в одной плоскости.

 

 

              Эпюры на изгиб                                           Эпюры на кручение

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.2 Эпюры изгибающих и крутящих моментов от действия сил P₁, P₂, P₃

 

 

Рис. 4.3  Эпюры сил от действия сил P₁, P₂, P₃

 

Рассчитаем значения моментов сил:

P₁L₁ =  1,43 кНм          P₂L₁ = 2,09 кНм            P₃L₁ = 2,20 кНм                

P₁L₂ =  0,91 кНм          P₂L₂ = 1,33 кНм            P₃L₂ = 1,40 кНм              

P₁L₃ =  1,17 кНм      P₂L₃ =  1,71 кНм           P₃L₃ = 1,80 кНм  

 

Определим максимальные моменты сил в каждом сечении  рамы:

1. Сечение АВ   P₁L₁ = 1,43 кНм      P₃L₁ = 2,2 кНм  
2. Сечение ВС  P₁L₂ =  0,91 кНм    P₂L₁ = 2,09 кНм      P₃L₁ = 2,20 кНм

 

 P₁L₁ =  1,43 кНм   - кручение                   

 

3. Сечение СD  P₁L₂ =  0,91 кНм   P₂L₂ = 1,33 кНм     P₂L₃ =  1,71 кНм   

 

P₃L₁ = 2,20 кНм     P₂L₂ = 1,33 кНм  - кручение    P₃L₁ = 2,20 кНм  - кручение                                               

Сложим моменты сил в опасных точках кажого участка рамы:

1. Опасная точка В

           ____________   ___________

М_B= √P₁L₂²+P₃L₁² = √ 1,43² + 2,2²   = 2,62 кНм

2. Опасная точка С

           _________________       ___________

М_C= √P₁L₂²+(P₂L₂ + P₂L₁ )² = √ 0,91² + 3,53²   = 3,64 кНм

 

             _______________

М_Cкр= √ Mс +0,75P₁L₁² =  3,78 кНм

 

3. Опасная точка D

           ______________________________       ___________

М_D= √(P₁L₁-P₂L₂-P₂L₃-P₃L₁)²+(P₃L₃+P₁L₂)² = √ 3,81² + 2,71²   = 2,55 кНм

 

             ___________________

М_Dкр= √ M_D +0,75(P₃L₁+ P₂L₂) ² =  3,98 кНм

 

 

Вычисление из условий прочности  поперечных размеров участков пространственной рамы:

δp = 110 Мпа,  δc = 220 Мпа,      β = 0,7

 

 Участок 1 работает на сжатие, 2 -  растяжение, 3 – сжатие.

 

В расчете используем допускаемые напряжения на растяжение или на сжатие.

 

W_km = M_мах/ δ

 

W_1m = 2,62*10³/220*10⁶ = 1,19*10^-6  м³

 

W_2m = 3,64*10³/110*10⁶ = 33,1*10^-6 м³

 

W_3m = 3,98*10³/220*10⁶ = 1,8*10^-6 м³

 

1. Круглое сечение

       3 ________     3_______________

D= √ 32•W/3,14 = √32*1,19*10^-6/3,14 =  4,7 см 

Выбираем стандартный  размер 4,8 см

 

 

2. Кольцевое сечение

 

Отношение диаметров  d/D= 0,7

       3 ____________     3______________________

D= √ 32•W/3,14(1-β⁴) = √32*3,31*10^-6/3,14(1-0,7⁴)  =  7.5 см

Выбираем стандартный размер 7,5 см

d=0,7• 7,5= 5,25 см

Выбираем стандартный размер 5,3 см

 

3. Квадратное сечение

       3____   3__________

D= √ 6W = √6*1,8*10^-6 =  2,2 см 

Выбираем стандартный размер стороны  D = 2,2 см

 

Вычисление нормальных, касательных и эквивалентных  напряжений в опасных точках каждого  сечения рамы:

 

Площади сечений:

S_АВ = πd²/4= 3,14*4,8²/4= 18 см²

S_ВС = πd²/4= 3,14*(7,5² – 5,3²⁾/4= 22 см²

S_CD = a²= 2,2²= 4,84 см²

 

Нормальное напряжение при растяжении, сжаааатии δ = N/A

δ_AB= P₂/ S_АВ = 1,9*10³/18* 10^-4= 1,05*10⁶ па.

δ_BС = P₃/ S_ВС =0,91*10⁶ па

δ_CD = P₁/S_CD = 2,68*10⁶ па

 

Расчет полярных моментов сопротивления (моментов сопротивления  при кручении)

Для круга Wp = 0,2d³=0,2*4,83*10^-6=22,1*10^-6 м³.

Для кольца Wp = 0,2d³(1-0,7²)=64*10^-6 м³.

Для квадрата Wp = 6d³=63*10^-6 м³.

 

Касательные напряжения от  кручения в опасных точках

δ_B= Mk/Wk = 0

δ_С= Mk/Wk = 11,43*10³/64*10^-6= 22*10⁶ па

δ_D = = 34*10⁶ па

Касательные напряжения от  кручения в опасных  от изгиба

δ_B= M/W= 2,62*10³/22*10^-6= 119 мпа

δ_С=3,78*10³/64*10^-6= 59 мпа

δ_D=3,98*10³/63*10^-6= 63 мпа

 

Эквивалентное напряжение

                                _______   ____________

В 1 сечении δэ_B = √ δ²+3τ² = √1,09 + 3*119² = 120 Мпа

                                _______

В 2 сечении δэ_C = √ δ²+3τ² = 71 Мпа

                              _______    _______________

В 3 сечении δэ_D = √ δ²+3τ² =  √(2,68+63)² + 3*34²   = 88 Мпа.

 

Определение перемещения  сечения К рамы по V

 

Зададим единичное перемещение  в точке К по направлению перемещения V

и построим эпюры моментов от единичного перемещения.

 

По методу Мора-Верещагина перемножим эпюры моментов единичного и нагруженного состояния. Получим  перемещения сечения К.

 

Задан модуль Юнга Е=200 Гпа

 

Δ = (1/EJ₂) * (P₁L₂*L₁/2 * L₂*2/3) + (1/EJ₃) * P₁*L₂*L₃*L₂ + P₃*L₂*l₃/2 *L₂)

 

= 0,72*10³/200*10⁹*9,7*10^-6 + 0,13*10³/200*10⁹* 10,9*10-6  =  0,00037 + 0,00059 = 0,00043 м =  0,43 мм

 

Момент инерции квадрата J = a⁴/6 = 0,022⁴/6=2,3*10-6 м⁴

 

Момент инерции кольца J=(πD⁴/64)* (1-β⁴)=(π*0,075⁴/64)* (1-0,7⁴) =4,7*10^-6м⁴

Перемещение сечения  К  Δ = 0,43 мм

Рис. 4.4 Эпюры моментов от единичной силы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Расчёт вала  при статическом нагружении

 

Исходные данные:

 

Рис. 5.1  Вал при статическом нагружении

 

α = 0 град   R = 12 см    P₁= 7,5 кН   P₂= 5,0 кН

 

P₃= 4,5 кН  L₁ = 30 см  L₂ = 68 см  N_T = 3,5  Теория прочности  - 4  Сталь – 50

 

Найдем реакции опор  Ra=L₂•P₁/(L₁+L₂)=4,19 кНм

 

R_b=L₁*P₁/(L₁+L₂)=0,3*7,5/0,68=3,31 кНм

 

Моменты сил  при изгибе M₁= R_a•L₁= 4,19•0,3 = 1,257 кНм

 

M₂ = P₃•R = 4,5•0,12= 0,54 кНм

 

Момент от вращения  T=P₂•R=5,0•0,12= 0,6 кНм 

Из условия равновесия вала ƩМ=0   М₀=Т

 

Моменты М₁ и М₂ лежат в одной плоскости Х

М_х= М₁+М₂ = 1,257 + 0,54 = 1,797 кНм

              ________       __________

М_экв = √ М_х² + Т²  = √1,797²+0,6² = 1,89 кНм

 

Расчетный момент по четвертой  теории прочности для опасной  точки С:

              ___________       ____________

М_экв = √ М_х² + 0,7•Т²  = √1,797²+0,7•0,6² = 1,86 кНм

 

Для стали марки 50 из таблицы 1 приложения 4 находим δ_т= 380 Мпа

   τ_т   =  215  Мпа    

 

δ= δ_т/N= 380/3,5 = 108 Мпа 

                                                              _________

τ= τ_т/N=  215/3,5 = 61 Мпа     δ _экв = √ δ ² +3* τ ²    = 151 Мпа

 

                                                   3______________

Найдем диаметр вала D =√ М_экв /(0,1* δ _экв)   =                                          3_________________

=√ 1,86*10³ /(0,1* 151) = 0,049 м = 4,9 см

 

 

Рис. 5.2 Эпюры изгибающих и крутящих моментов

 

Рис. 5.3 Силовые факторы в опасном сечении С

 

Максимальные нормальные, касательные и эквивалентные напряжения в опасной точке вала.

 

δ_{норм макс} = М/0,1D³= 160 Мпа

 

δ_τ1 = М_к/0,2D³= 0,54*10³/0,2 *(4,9 * 10^-2 )³= 23,6 Мпа - кружение

 

δ_τ2 = М_к/0,2D³ = 0,6*10³/0,2 *(4,9 * 10^-2 )³ = 26,0 Мпа - сдвиг

              _________

δ_τмакс = √ δ_τ1²+ δ_τ2²   = 35 Мпа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Расчёт вала  при циклически изменяющихся  напряжениях

 

 

Исходные данные:

Вал с параметрами  из предыдущего задания.

Принять, что при вращении вала нормальные напряжения σ и касательные напряжения τ в опасном сечении изменяются по гармоническому закону

 

σ(t) = σ_m + σ_asin ωt,                 τ(t) = τ_m + τ_asin ωt

 

с коэффициентами асимметрии Rσ и Rτ соответственно.

 

При этом за максимальные напряжения циклов (σ_max и τ_max) принять соответствующие наибольшие напряжения в опасной точке, полученные при статическом расчете.

 

Значения коэффициентов  асимметрии циклов напряжений (Rσ, Rτ), вид обработки поверхности вала и тип концентратора выбрать из табл. 2.8, 2.9 по четвёртой и пятой цифре индивидуального шифра задания.

Допускаемое значение коэффициента запаса усталостной прочности принять равным [n] = 1,5−2,5.

Если полученные в п.2 или п.3 значения коэффициентов запаса n_σ ≤ 1,0 или

n_τ ≤ 1,0, то повторить их вычисление, используя дополнительно для вала какой-либо метод поверхностного упрочнения.

 

Расчет параметров циклов изменения нормальных и касательных  напряжений.

 

 

Рис.  6.1 График нормальных напряжений в опасном сечении вала.

 

δ_{норм макс} = 160 Мпа и   δ_τмакс = 35 Мпа.    – из предыдущей задачи

 

δ_min = R_δ* δ_max = 0,2*160=32 Mпа

 

δ_а = (δ_max – δ_min)/2 = (160 - 32)/2 = 64 Мпа

δ_m = δ_max – δ_a = 160-64= 96 Мпа

 

σ(t) = σ_m + σ_asin ωt = 96 + 64sin ωt    Мпа

         

Рис. 6.2 График касательных напряжений в опасном сечении вала.

 

τ_min = R_τ• τ _max = - 0,4*35= - 14 Mпа

 

τ_а = (τ _max – τ _min)/2 = (35+14)/2 = 24,5 Мпа

 

τ_m = τ _max – τ _a = 35-24,5= 10,5 Мпа

 

τ (t) = τ_m + τ_asin ωt =  10,5 + 24,5sin ωt  Мпа

       

Коэффициент запаса усталостной  прочности  вала при изгибе для  асимметричных циклов:

 

                                            (6.1)

где К – коэффициент  снижения предела выносливости,  при изгибе и растяжении (сжатии)  K=Kδ /(ε_δ •β)

δ_{а ,} δ_m - нормальные напряжения при изменении по гармоническому закону.

 φ_δ – коэффициент , отражающий влияние асимметрии цикла на величину предела выносливости.   φ_δ = (2δ_-1- σ₀) / σ₀

 

Коэффициент запаса усталостной  прочности вала при кручении для асимметричных циклов:

 

 

                                             (6.2)

где К – коэффициент  снижения предела выносливости,  при кручении

K=Kτ /(ε_τ •β)

τ_{а ,} τ_а  -  касательные напряжения при изменении по гармоническому закону.

 

Общий коэффициент запаса усталостной прочности n_R  определяется по формуле

 

Определим коэффициенты, входящие в формулы коэффициента запаса прочности вала для стали 50.

Таблица 1

 

Для заданных параметров концентратора t/r=3,0 и r/d=0,02 найдем диаметр концентратора d:

 

t = 3r = 3•0,02d = 0,06 d      D=d+2t = 1,12d

Диаметр вала, найденный  в предыдущем задании составляет  D = 49мм

Для галтели  диаметр d=D - 2t    d=D/1,12 = 43,75 мм

 

Из таблицы 2 приложения 4 по известному диаметру d для стали марки 50 (Класс: Сталь конструкционная углеродистая качественная) найдем коэффициенты влияния абсолютных размеров деталей:                                                                              

   ε_δ = 0,84     ε_τ =  0,78

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По графику зависимости коэффициента качества поверхности β от предела прочности материала σ_вр  и качества обработанной поверхности, см.  рис. 1 (кривая 5 - при наличии окалины) - Приложения 4 находим при заданном суммарном пределе прочности материала – сталь 50 в таблице 1 коэффициент   β=0,4

 

По таблице 1 для заданной марки стали 50 находим:

 

Таблица 1

 

Δ_-1изгиб = 290 Мпа           Δ_-1круч = 175 Мпа

 

По таблице 4 для заданного  предельных напряжений находим коэффициенты концентрации напряжений вблизи галтели:

K_δ = 2,1   -   при изгибе           K_τ = 1,72 -   при кручении

Из таблицы 6 приложения 4  для σ_в = 640 МПа находим коэффициенты

φ_δ = 0,1  и φ_τ  = 0,05

     

Тогда коэффициент снижения предела выносливости

 

К = K_δ/(ε_σ•β) = 2,1/0,84• 0,6 = 4,16 - при изгибе

 

K= K_τ/(ε_τ•β) = 1,72/0,78•0,6 = 3,67 - при кручении

По формулам 6.1 и 6.2 находим  коэффициенты запаса усталостной прочности  вала при изгибе и кручении для  асимметричных циклов:

 

n_δ = 290/(4,16•64 - 0,1•96) =1,13            n_τ = 175/(3,67•24 - 0,05•10) =2,1

 

Общий коэффициент запаса:

                  _________                     ____________

N = n_δ•n_τ/√( n_δ ² + n_τ²) = 1,13*2,1/√( 1,13 ² +2,1²)  = 0,98 < 1,0

 

Для увеличения коэффициента запаса используем метод поверхностного упрочнения – обкатка роликом.

 

Из таблицы 3,  при использовании технологических методов поверхностного упрочнения вала (обкатка роликом), находим коэффициент упрочнения

 β_упр = 1,3.

 

Пересчитаем коэффициенты запаса прочности:  

K= 1,92 – на изгиб,     К = 1,69 – кручение

 

Получим коэффициенты запаса усталостной прочности  вала при изгибе и кручении для асимметричных циклов с поверхностным упрочнением – обкаткой роликом.

 

n_δ = 290/(1,92•64-0,1•96) =2,56              n_τ = 290/(1,69•64-0,1•96) =5,00

                  _________                     ___________

N = n_δ n_τ/√( n_δ ² + n_τ²) = 2,56*5,0/√( 2,56 ² +5,0²)  = 2,2 - допустимое значение, в интервале 1,5 – 2,5

 

Вычисление коэффициентов  запаса графическим способом.

Построим диаграмму  предельных амплитуд для нормальных напряжений и диаграмму предельных амплитуд для касательных напряжений при изменении напряжений по асимметричному циклу для детали с поверхностным упрочнением - обкаткой роликом.

На диаграммах точки  σ_a – амплитуда асимметричного цикла,   σ_м – среднее напряжение асимметричного цикла. 

 

 

 

Рис. 6.3 Вычисление коэффициентов запаса графическим способом.

 

Область безопасных циклов ОA₁C₂B₁ ограничена прямыми А₁С₂ и прямой С₂В₁ , соответствующей предельным циклам статической прочности (при возникновении пластической деформации).

 

Прямая С₂В₁ описывается уравнением предельных циклов, характеризующихся появлением пластической деформации по линии С₂В₁

     σ_а = - σ_м +σ_Т и лежит под углом - 45^о_.

 

Прямая линия А₁С₂  описывается уравнением предельных циклов усталостного разрушения для детали:

σа = (−ψσσ_m + σ−1)/K

 

Угол наклона прямой для предельных циклов усталостного разрушения для детали при изгибе: