Распространение волн в прямоугольном металлическом волноводе

Теоретическая часть

Прямоугольный волновод представляет собой полую металлическую трубу  прямоугольного сечения (рис.1). Предположим, что стенки волновода обладают бесконечной  проводимостью, а заполняющая его  среда - идеальный диэлектрик с параметрами  ε и μ. В такой направляющей системе могут существовать волны Е и H и не могут существовать ТЕМ-волны. На рис. 1 показаны используемая система координат и размеры а и b поперечного сечения волновода. Для определенности будем считать, что а≥b, а источники, создающие поле, расположены со стороны отрицательных значений переменной z за пределами рассматриваемой части линии передачи (созданная ими волна распространяется в положительном направлении оси Z). При а>Ь стенки с поперечными размерами а и b будем называть соответственно широкой и узкой стенками прямоугольного волновода.

Так как поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные, то для вычисления поля волн Е и Н достаточно определить составляющую E_mz или Н_тz соответственно. Составляющие Е_тz и H_mz удовлетворяют уравнению Гельмгольца

Рис.1

где функция w равна E_mz для E-волн и Н_тz- для Н-волн, ^{, а} β - коэффициент фазы рассматриваемой волны. Правая часть уравнения (1) равна нулю, так как по предположению сторонние источники расположены за пределами рассматриваемой части волновода. Фактически задача состоит в нахождении так называемых собственных волн прямоугольного волновода.

Для решения уравнения (1) применим метод разделения переменных. Запишем функцию w в виде . Очевидно, что функция ^{также удовлетворяет уравнению (1). Представим ее в виде произве}дения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

Перейдем в (1) к функции  ^{и подставим (2). После деления обеих частей уравнения на произведение} получаем

Так как переменные x и у являются независимыми, то левая часть уравнения (3) представляет собой сумму двух независимых функций, а правая равна постоянной. Это возможно только при выполнении соотношений d²X/dx² + γ_x²Χ = 0 и d²Y/dy² + γ_y²Y = 0, где γ_x и γ_y - некоторые, пока неизвестные постоянные, удовлетворяющие равенству

Решая полученные уравнения, находим

где А, В, C и D - некоторые, пока также неизвестные, постоянные.

В случае Е-волн (_{) функция} w=E_mz. Составляющая E_тz является касательной ко всем стенкам волновода. Поэтому должны выполняться следующие краевые условия:

где 0≤х≤а, 0≤у≤b. Равенства (6) эквивалентны условиям X(0) = 0 и Y(0) = 0 из которых следует, что B = 0 и D= 0. Из условий (7) вытекают равенства A sin (γ_x) = 0 и C sin (γ_y b) = 0. Постоянные А и С должны быть отличны от нуля, иначе E_тz ≡ 0, что в случае Ε-волн невозможно. Поэтому имеют место соотношения

Из (8) находим значения постоянных γ_x и γ_y:

Отметим, что  в случае Ε-волн значения m = 0иn= 0 не годятся, так как при этом случае E_тz = 0 во всех точках внутри волновода.

Введем обозначение  A×C = E_0z и выпишем окончательные выражения для составляющих векторов поля Ε-волн в прямоугольном волноводе:

где

Индекс m в формулах (10а) и (10б) имеет совершенно разный смысл. В (10а) он указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в (10б) индекс т - натуральное число, определяющее значение постоянной γ_x1 как это следует из формулы (10.9).

Значение постоянной находится из формул (4) и (9):

Зная , определяем критическую длину волны:

Коэффициент фазы β вычисляется по известной формуле.

Перейдем к анализу  свойств поля E-волн, описываемого выражениями (10), выведем формулы для поля H-волн в прямоугольном волноводе. Волны E и H имеют много общих черт, и их свойства удобно анализировать совместно.

В случае H-волн функция w=H_mz. Решение уравнения (1) строится так же, как для Ε-волн. Изменяются только краевые условия. Требуя, чтобы касательные составляющие вектора E на стенках волновода обращались в нуль, имеем

Но искомой является функция w, поэтому выписанные краевые условия  следует преобразовать в условия  для функции w. Поперечные составляющие вектора Eт выражаются через Hmz. Из этого соотношения и краевых условий (13) после перехода к функции w⁰(x, у) получаем

Равенства (14) эквивалентны условиям и , из которых следует, что, , т.е. _{и   . Так как} и (в противном случае Hz ≡ 0), то из соотношений (15) вытекают уравнения (8). Следовательно,

В отличие от (9) в случае H-волн индексы m и n могут принимать нулевые значения. Однако они не могут равняться нулю одновременно: при этом составляющая Hz  не зависит от переменных x и у и вектор E будет тождественно равен нулю, что невозможно. Выпишем окончательные выражения для комплексных амплитуд составляющих векторов поля Н- волн в прямоугольном волноводе:

Аналогично случаю Ε-волн в формулах (17а) индекс m указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в формулах (17б) n связано с постоянной γ_x соотношением (16).

Составляющие векторов поля Η-волн найдены с точностью до произвольного постоянного множителя H₀z, определение которого в рамках выбранной электродинамической модели невозможно (см. аналогичное замечание, сделанное при анализе Е-волн).

Легко показать, что поперечное волновое число γ_x и критическая длина волны λκр в случае Η-волн также определяются формулами (11) и (12) соответственно.

Перейдем к анализу  свойств E- и Η-волн в прямоугольном волноводе. Как видно из формул (10) и (17), в прямоугольном волноводе возможно существование различных E- и Н-волн, структура поля которых зависит от значений индексов тип. Каждая пара значений индексов тип определяет свои волны, которые обозначают Еmn (в случае Ε-волн) или Нmn (в случае Н-волн). При этом у Ε-волн m ≥ 1 и n ≥ 1, а у Η-волн один из индексов может равняться нулю. Структура поля в поперечном сечении (при фиксированном значении координаты z) аналогична структуре стоячей волны, и ее можно характеризовать длинами волн и       в направлениях осей X и У соответственно. Индекс m, таким образом, равен числу полуволн (λ_x/2), укладывающихся на поперечном размере а стенки, параллельной оси X. Аналогично индекс n равен числу полуволн (λ_y/2), укладывающихся на поперечном размере b стенки, параллельной оси Y. Равенство нулю одного из индексов означает, что поле рассматриваемой волны не зависит от соответствующей координаты (при m = 0 - от координаты х, а при n = 0 - от координаты у).

Рис.2 Волна Е₁₁ в прямоугольном волноводе

Изменение всех составляющих комплексных амплитуд векторов E и  Η вдоль оси Ζ описывается  множителем . Распространение волны происходит только при (предполагается. что в волноводе отсутствуют потери энергии). Критическая длина волны вычисляется по формуле (12). Она зависит от размеров а и b и от индексов m и n. При увеличении значений индексов m и n и фиксированных размерах а и b значение λкр уменьшается. Наибольшую λκρ среди всех возможных волн при а > b имеет волна Н10. Соответствующая ей λκρ равна 2а. При         а = b наибольшую λкр имеют две волны Н10 и Н01. Волну, имеющую наибольшую λкр, называют основной волной рассматриваемой линии передачи (или волной низшего типа). Таким образом, при а>Ь основной волной прямоугольного волновода является волна Н10.

Рис.3 Основная волна прямоугольного волновода 

Ос

  Рис.4 Волна Е21

Ос

В рамках данного курсового  проекта мы будем рассматривать  волну E11. Отметим, что, зная структуру поля волны E11, легко построить структуру поля волны Еmn при любых значениях индексов m и n. Например, структура поля волны Ε21 представляет собой объединение структур двух волн Е11 (рис. 8). Для построения структуры волны Еmn нужно мысленно разделить волновод на mn "волноводных секций". Структура поля в каждой секции будет соответствовать структуре поля волны Е11 а линии векторов будут непрерывно переходить из одной "секции" в другую. Аналогично волну Н20 можно представить как бы состоящей из двух волн Н10.

Структура поля волны Н20 в поперечном сечении показана на рис.5.

При волна не распространяется: образуется стоячая волна, амплитуды составляющих векторов Ε и Η которой экспоненциально убывают вдоль оси Z (в этом случае и . Напомним, что анализ проводится в предположении отсутствия потерь.

  Рис 5 Волна H₂₀

Чтобы подробнее узнать свойств  волны в прямоугольном металлическом  волноводе, рассмотрим основную волну. Как уже отмечалось, при а > b основной волной прямоугольного волновода является волна Н10. Она имеет наибольшую критическую длину волны, равную 2а. На заданной частоте размеры поперечного сечения волновода, при которых возможна передача энергии по прямоугольному волноводу, для этой волны можно выбрать наименьшими. При этом волновод будет иметь наименьшие массу, габариты и стоимость.

Полагая в (17) m = 1 и n = 0 и учитывая формулы (16), получаем следующие выражения  для составляющих комплексных амплитуд векторов  Ε и Η в случае волны Н10.

где

Рис. 6

Структура поля волны Н10, построенная в соответствии с  формулами (18), показана на рис.3 и 6. Остановимся на картине распределения поля волны Н10 в плоскостях, параллельных широким стенкам волновода.

Согласно уравнениям Максвелла  замкнутые линии магнитного поля должны охватывать токи проводимости или токи смещения. В волноводе  замкнутые линии магнитного поля пронизываются токами смещения. В  случае волны Н10 (см. рис.12) линии  магнитного поля охватывают токи смещения, текущие между широкими стенками параллельно оси У. В распространяющейся волне максимальная плотность тока смещения получается в центре замкнутых магнитных силовых линий, где напряженность электрического поля равна нулю. Это следует из того, что вектор плотности тока смещения и, следовательно, сдвинут по фазе относительно вектора напряженности электрического поля на угол , т.е. расстояние между максимумом плотности тока смещения и максимумом напряженности электрического поля вдоль оси Ζ в фиксированный момент времени равно .

Фазовая скорость , скорость распространения энергии , длина волны в волноводе Λ и характеристическое сопротивление Zc в случае волны Н10 вычисляются по формулам:

Рис 8

Рис 7

Можно представить волну  Н10 в виде суперпозиции парциальных  ТЕМ-волн.

Поле волны Н10 не зависит  от переменной у. Следовательно, поля парциальных  волн также не должны зависеть от у, т.е. парциальные ТЕМ-волны должны распространяться, отражаясь от боковых (х = 0 и x = а) стенок волновода.

Пусть парциальная волна  распространяется под углом φ  к оси Ζ (волна 1 на рис.7). Комплексная  амплитуда вектора напряженности  электрического поля этой волны E_m1 определяется выражением:

где А - некоторая (в общем случае комплексная) постоянная. Электрическое поле волны Н10 имеет пучность на плоскости и симметрично относительно этой плоскости. Поэтому должна существовать еще одна парциальная ТЕМ-волна распространяющаяся, как показано на рис.7. Комплексная амплитуда напряженности электрического поля этой волны равна E_m2, причем . Для образования пучности электрического поля в плоскости x = a/2 необходимо, чтобы векторы и при   складывались синфазно. Для этого достаточно, например, чтобы фаза вектора в точке (а, 0, 0) совпадала с фазой вектора в точке (0, 0, 0). С учетом данного условия вектор

Для определения угла φ учтем, что на поперечном размере а широкой стенки волновода должна укладываться половина длины волны, а на отрезке ОА - половина длины волны ТЕМ (λ/2). Из треугольника ОАВ (см. рис.8) следует равенство

При этом , , и полное электрическое поле определяется выражением

Полученный результат  отличается от выражения для  в формуле (17) лишь постоянным коэффициентом, что несущественно, так как формулы (17) были найдены с точностью до произвольного постоянного множителя. Аналогично вычисляются составляющие Н_mx и Н_mz. Они отличаются от соответствующих выражений в (17) лишь тем же постоянным множителем.

По мере повышения частоты (уменьшения λ) уменьшается угол φ  и, следовательно, тем меньше по абсолютной величине становится продольная составляющая  Н_mz по сравнению с поперечной составляющей Н_mx , т.е. структура волны Н10 начинает приближаться к структуре волны ТЕМ. Одновременно, как следует из (19), уменьшается разница между и с. Аналогично можно интерпретировать и другие типы волн в прямоугольном волноводе.

Каждому типу волны, распространяющейся в волноводе, соответствует определенная структура токов проводимости на его стенках. В случае идеально проводящих стенок токи проводимости являются поверхностными, а комплексная амплитуда их плотности

Jsm вычисляется по формуле

где Г- контур поперечного сечения волновода, проходящий по внутренней стороне стенок, а орт нормали n₀ равен x₀ при x = 0, равен x₀ при x = а, у₀ при у = 0 и равен у₀ при у= b. Например, в случае волны Н10 на нижней (у = 0) стенке текут и продольные, и поперечные токи с плотностями

j_smz(x, z) = -iß_l0 (a/π)H₀z sin (πx/a) exp (-iß_l0z)l

j_smx (х, z) = Н_0z cos (π x/а) exp (-iß_l0z),

соответственно, а на боковой (х = 0) стенке имеются только поперечные токи с плотностью

      j_smy (z) = Н_0z exp (-iß_l0z)

Рис 10

Рис 9

Структура линий вектора j_s на стенках волновода для волны Н10 показаны на рис. 9. В случае волны Е11 по стенкам волновода текут только продольные токи (рис. 10).

Рассмотрим правила  выбора размеров поперечного сечения  прямоугольного волновода из условия  одноволновой передачи Как было показано выше, в прямоугольном волноводе возможно существование бесконечного числа типов волн, отличающихся друг от друга структурой электрического и магнитного полей, критическими частотами, фазовой скоростью и другими параметрами. Однако при конструировании линий передачи обычно принимают все меры к тому, чтобы энергия переносилась каким-либо одним типом волны. Объясняется это тем, что различным типам волн соответствуют различные групповые скорости. Поэтому при передаче сигнала несколькими типами волн один и тот же сигнал приходит в точку приема в виде нескольких смещенных во времени сигналов, что приводит к его искажению и увеличению уровня шумов. Характер искажений зависит от способа модуляции, вида и скорости передаваемой информации

Передачу энергии одним  типом волны наиболее просто обеспечить, если в качестве этого типа использовать основную волну, имеющую наибольшую . Для этого достаточно так выбрать поперечные размеры линии, чтобы на любой частоте рабочего диапазона длина волны электромагнитных колебаний не превышала критической длины основной волны (λκρ(1)), но была больше критической длины волны первого высшего типа1 (λκρ(2))-Такой режим называют одноволновым. Полосу частот, в пределах которой сохраняется одноволновый режим, обычно характеризуют коэффициентом широкополосности

Основная волна прямоугольного волновода - Н10, ее λκρ = λκρ_H10 = 2a. Распространение этой волны возможно при λ<2а или а>λ/2. Чтобы другие типы волн не могли распространяться, достаточно потребовать, чтобы не могли распространяться волны Н10 и H01. Для этого должны выполняться неравенства λ > λκρ_Η20 и λ > λκρ_Η01 или λ>а и λ>2b. Таким образом, одноволновый режим в прямоугольном волноводе выполняется при

. 

Обычно принимают а 0,75 λ0 и b 0,5a, где λ₀ - средняя длина волны рабочего диапазона. Для такого волновода коэффициент широкополосности 

Для обеспечения одноволнового  режима во всем используемом диапазоне  длин волн λmin<λ<λ необходимо, чтобы выполнялись неравенства λmax/2<a<λmin и b< λmin /2.

Частотный диапазон использования  прямоугольных волноводов, охватывающий частоты от 400 МГц до 140 ГГц, в соответствии с рекомендацией Международной  электротехнической комиссии разбит на 28 поддиапазонов, частично перекрывающих  друг друга, и для каждого поддиапазона рекомендованы стандартные размеры  волновода. На частотах порядка 500 МГц  и ниже прямоугольные волноводы  применяются редко из-за значительных габаритов и массы. Например, отрезок  волновода из алюминия длиной 1 м при размерах поперечного сечения 457x228,5 мм (λ0 = 60см) и с толщиной стенок 3 мм имеет массу около 11 кг, а медный того же сечения и с той же толщиной стенок - около 36 кг.

Рассмотрим передачу энергии по прямоугольному волноводу

В случае волны Н10 получаем

где - амплитудное значение напряженности электрического поля волны Н10. При выводе формулы (26) учтено, что . При стандартных размерах волновода (a 0,75λ, b 0,5а), подставляя предельное значение E₀=30 kB/см, находим, что предельная мощность волны Н10 равна P_{пред Η10}= 125λ² кВт, где длина волны выражена в сантиметрах. Например, при λ = 30 см предельная мощность P_{пред Η10}=112 МВт. Соответственно допустимая мощность P_{доп Η10} = 28 МВт. Как видно, в дециметровом диапазоне по прямоугольному волноводу стандартного сечения можно передавать весьма значительную мощность. Однако по мере повышения частоты допустимая мощность быстро уменьшается и при λ = 1 см не превышает 30...45 кВт.

Если размеры волновода  увеличены настолько, что в части  или во всем рабочем диапазоне  волновод оказывается в многоволновом  режиме, то необходимо принять специальные  меры для предотвращения распространения  всех типов волн, кроме Н10 (см. выше).

Ограничимся вычислением  α_m для волны Н10 имеем

Рис 11

Аналогично выводятся  формулы  для коэффициентов ослабления, соответствующих другим типам волн. Расчеты показывают, что наименьшие потери в пр. волноводе имеют место  при передаче энергии волной Н10. На рис. 11 показаны графики зависимости  коэффициента ослабления α_m (в дБ/км) от частоты для волн Н10, E11 и Н20 в случае медного волновода при а = 51 мм и b = 25 мм. Как видно из приведенных графиков, потери энергии в волноводе резко возрастают при приближении частоты к критической. Это свойство, характерное для всех металлических волноводов, легко объясняется на основе концепции парциальных волн. Действительно, у Е- и H-волн парциальные волны распространяются по ломаным линиям, многократно отражаясь от поверхности металлических стенок. На частотах, близких к критической, угол падения парциальных волн на металлическую поверхность мало отличается от нулевого . Но чем ближе угол падения к нулю, тем большее число отражений испытывают парциальные волны при своем движении на некотором отрезке линии. При каждом отражении часть энергии электромагнитной волны теряется из-за неидеальной проводимости металла (появляется преломленная волна). Поэтому потери в проводниках, линии, перенос энергии по которым осуществляется Е- и Η-волнами, растут по мере приближения к критической частоте. Вслед за резким падением затухания при удалении от критической частоты снова начинается его монотонное возрастание, вызванное увеличением поверхностного сопротивления металла R_s с ростом частоты.

Отметим, что, как следует  из формулы (27), в коротковолновой  части сантиметрового диапазона  потери в стандартных волноводах весьма велики. Например, при λ = λ₀=0,01 м в стандартном волноводе с медными стенками   дБ/м,  т.е. при длине линии всего 10 м потери энергии будут составлять 5,5 дБ (более 70 % входящей мощности). Объясняется это тем, что при заданной мощности уменьшение поперечных размеров волновода сопровождается возрастанием плотности поверхностного тока проводимости в его стенках и соответственно возрастают потери. Поэтому на волнах порядка 1 см и короче применение прямоугольных волноводов целесообразно только в виде коротких отрезков. В некоторых случаях, чтобы уменьшить потери, размеры поперечного сечения волновода увеличивают по сравнению со стандартным.