Рациональные дроби в 8 классе

Введение

Актуальность. Программа по математике 8 класса общеобразовательной школы достаточно обширна и строится в основном на базе материала, изученного в предшествующие периоды обучения. Поэтому пробелы в знаниях, умениях и навыках учащихся ведут к тому, что их успешное обучение в старших классах становится затруднительным. Это касается и темы «Рациональные дроби». Умение работать с алгебраическими дробями помогает учащимся осваивать такие темы, как «Дробные рациональные уравнения», «Уравнения и системы уравнений». А, следовательно, вырабатывает навык решения текстовых задач, которые несут большие воспитательные функции. В ходе их решения четко прослеживается схема применения математики к изучению действительности. Текстовые задачи позволяют подчеркнуть роль математики в практической деятельности людей.

Тема «Рациональные дроби» по структуре схожа с уже изученной  темой «Обыкновенные дроби» - то же основное свойство дроби, те же правила  арифметических действий. Поэтому ученикам изучение рациональных дробей дается относительно несложно. Хотя некоторые затруднения могут вызвать операции над алгебраическими дробями. Преодолевать эти затруднения помогает наглядность учебного материала. Если учебная информация сопровождается схемами, чертежами, оригинальными рисунками, то ее смысл становится видимым, понятным, к тому же лучше запоминается. Именно поэтому в данной курсовой работе мы постарались привести некоторые примеры использования наглядных материалов при изучении темы «Рациональные дроби».

Цель: проанализировать методику изучения рациональных дробей в курсе алгебры основной школы и разработать урок-практикум по теме «Рациональные дроби».                                                                                                                                                                                                                                                                                                              Задачи: определить роль и место темы в курсе алгебры основной школы;                                                                      провести методический анализ темы в учебнике алгебры 8 кл. под ред. С.А.Теляковского; провести сравнительный анализ изложения темы в других учебниках алгебры; проанализировать методику изучения основного свойства рациональных дробей и формирования основных алгоритмов действий над ними.

Глава 1. Методический анализ темы «Рациональные  дроби» в различных 

учебниках алгебры основной школы

1. Роль и место темы в курсе алгебры основной школы

Роль данной темы нельзя недооценить. Потому что она  фактически является началом функциональной линии в 8 классе. Знания, полученные учащимися при изучении рациональных дробей, помогают им в изучении дробно-рациональной функции и ее графика. Также умение работы с рациональными дробями подводит учащихся к формированию навыков решения дробных рациональных уравнений и неравенств, а также решению текстовых задач, где ученикам необходимо не просто решить уже готовое уравнение или неравенство, а самостоятельно его составить. Развитие техники решения уравнений позволяет перейти к рассмотрению новых, более сложных типов задач на концентрацию, на денежные расчеты с процентами. Знания, полученные учениками в ходе изучения темы «Рациональные дроби», закладывают прочный фундамент для изучения трансцендентных выражений. Т.к. схема действий с трансцендентными выражениями аналогична схеме действий с рациональными дробями, учащиеся легко переносят знания на новую тему.

Перед изучением  рациональных дробей учащиеся знакомятся с обыкновенными дробями и  операциями над ними, что в большинстве  своем облегчает восприятие материала  темы «Рациональные дроби». Также  ученики уже умеют пользоваться различными преобразованиями многочленов  и легко переносят эти знания на преобразования рациональных выражений. Еще одним важным моментом является то, что учащиеся уже знакомы с линейными функциями, изученными в 7 классе.

В свою очередь, знания, полученные при изучении рациональных дробей, используются в дальнейшем при рассмотрении таких важных тем, как «Дробные рациональные уравнения и неравенства», «Системы уравнений с двумя переменными».

Таким образом, можно  говорить о том, что материал темы, как правило, распределяется между двумя концентрами: первый связан с изучением обыкновенных дробей и многочленов, а второй относится к дробно-рациональным уравнениям, системам уравнений.

2. Методический анализ темы «Рациональные дроби» в учебнике

алгебры 8 кл. под ред. С.А. Теляковского

1. Обучение теме можно  начать с создания положительных  мотивов ее изучения. Широким познавательным мотивом здесь могут выступать изучение различных математических действий над рациональными дробями, решение текстовых задач путем составления дробно-рациональных уравнений и неравенств. Учебно-познавательным мотивом может быть интерес к анализу доказываемых свойств рациональных дробей, получению выводов.

Примером мотивации может  служить разбор задачи «из жизни»: «Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч?» [4] В этой задачи явно указана межпредметная связь математики и физики. Т.е. для ее решения ученикам придется вспомнить некоторые формулы механики. Также здесь понадобятся навыки составления и решения уравнений, приведение рациональных дробей к общему знаменателю для сложения дробей.

2. В главе вводятся понятия «дробное выражение», «рациональные выражения», «рациональная дробь», «допустимые значения переменных» (что особенно необходимо при изучении функциональной линии), «тождество», «обратная пропорциональность». Стоит заметить, что Теляковский С.А. единственный автор, в учебнике которого в изучении главы «Рациональные дроби» прослеживается функциональная линия. Явно определены только 2 понятия – «рациональная дробь» и «обратная пропорциональность». Оба этих определения имеют конъюктивную структуру.

3. Перед учащимися ставится учебная задача: раскрыть смысл основных операций над рациональными дробями, дать обоснование выполняемых при этом математических действий.

Эту задачу можно считать  решенной, если будут решены такие  учебные подзадачи:

- сформировать навыки  использования основного свойства  дроби при сокращении дробей;

- определить алгоритм  сложения и вычитания дробей  с одинаковыми знаменателями;

- выявить схему сложения  и вычитания дробей с разными  знаменателями;

- сформулировать алгоритм  возведения дроби в степень;

- определить способ умножения и деления дробей;

- раскрыть суть преобразования  рациональных выражений.

4. Решение названных подзадач будет осуществляться в ходе выполнения учащимися соответствующих учебных действий, общих и специфических. Такими специфическими действиями, характерными для сформулированных задач, будут:

- разложение числителя  и/или знаменателя на множители;

- приведение дробей к  общему знаменателю;

- выполнение тождественных  преобразований.

Также при решении подзадач будут использоваться и такие  учебно-познавательные действия, как, например, распознавание, выведение  следствий, сравнение и сопоставление, конкретизация общего способа решения  для данной задачи.

5. Логический анализ темы «Рациональные дроби» дает основание сделать вывод, что материал в учебнике организован дедуктивно – каждая операция над рациональными дробями доказывается. Это, в свою очередь, усиливает роль теоретической части главы. Структура вводимых операций аналогична действиям с обыкновенными дробями, а, следовательно, это позволяет осуществить перенос знаний.

6. «Ядерным» материалом темы являются основные операции над рациональными дробями – сумма и разность дробей, произведение и частное, сокращение дробей. Изложение материала опирается на алгебраические операции, тождественные преобразования, знание основного свойства дроби, законы арифметических действий.

Основными методами обучения данной теме являются: дедуктивный  по логике, по источникам – беседа и упражнения, по степени самостоятельности - репродуктивный, по управлению – показ образцов учителем и работа с учебником.

7. К средствам обучения математике можно отнести все, что будет способствовать реализации целей обучения данной теме, в первую очередь серии задач (вопросов). В этом случае задачи будут выступать и как средство обучения, и как цель изучения. Так учебная подзадача «Раскрыть суть преобразования рациональных выражений» может быть решена обобщением решения типичной конкретно-практической задачи. Учащимся предлагается типичная задача:

«Упростите выражение: ».

Учащиеся знают, что для  того, чтобы преобразовать выражение  в дробь, нужно   1) если есть целое  выражение, то представить его как  дробь со знаменателем, равным единице;

2) если знаменатели двух  дробей – противоположные по  знаку выражения, то следует умножить числитель и знаменатель одной из дробей на – 1;

3) разложить знаменатель  каждой дроби на множители;

4) найти наименьший общий  знаменатель;

5) найти дополнительные  множители для каждой дроби;

6) сложить дроби с одинаковыми  знаменателями и упростить выражение;

7) если можно, разложить  числитель на множители;

8) если можно, сократить  дробь. [17]

Следуя алгоритму, разложим знаменатель каждой дроби на множители, найдем наименьший общий знаменатель и дополнительные множители для каждой дроби: =. Затем нужно сложить дроби с одинаковыми знаменателями и упростить выражение: . В нашем случае ни числитель, ни знаменатель на множители не раскладываются, поэтому остается привести подобные слагаемые: . Пример решен.

Решение одной задачи не позволяет говорить о сформированности умения преобразовывать рациональные выражения. Поэтому учащимся предлагается

серия задач, которая может  быть например такой:

а) ;

б) ;

в) ;

г) . [4, с.37]

Предложенный набор задач  охватывает все возможные случаи, а следовательно можно утверждать, что позволяет сформировать учебное действие «преобразовывать рациональные выражения».

Также при решении этой учебной подзадачи для наглядности  могут быть использованы карточки (Приложение №1). Яркий зрительный образ позволяет повысить активность и внимательность.

Смена средств обучения способствует активизации деятельности учащихся, что в свою очередь позволяет  улучшить усвоение материала.

При решении учебных подзадач «Сформировать навыки использования  основного свойства дроби при сокращении дробей» и «Определить способ умножения и деления дробей» целесообразно также использовать карточки (Приложение № 2 и Приложение № 3 соответственно).

8. Приемы работы при  изучении темы «Рациональные  дроби» - показ учителем на доске образцов решения, самостоятельная работа.

9. Контроль знаний учащихся  проводится в различных формах  – устная контрольная работа, самостоятельные работы, контрольная работа.

1.3. Сравнительный  анализ изложения темы в других  учебниках алгебры 

Приступая к сравнительному анализу изложения темы в учебниках  разных авторов, в первую очередь  следует отметить, что не все авторы относят тему «Рациональные дроби» к 8 классу.

Так, например, Алимов Ш.А. считает  нужным начать изучение рациональных дробей еще в 7 классе. Причем здесь речь идет об алгебраических дробях. Главное отличие изложения материала в учебнике Алимова Ш.А. [2] от способа изучения той же темы, например, в учебнике под ред. Теляковского С.А. [4] является метод организации учебного материала. Если в учебнике под ред. Теляковского С.А. [4] материал организован дедуктивно (т.е. каждое новое вводимое свойство доказывается [12]), то в учебнике под ред. Алимова Ш.А. [2] тема излагается индуктивно (т.е. перед вводимым свойством рассматривается конкретный пример). Также стоит отметить, что изучаемые операции над алгебраическими дробями вводятся алгоритмически, что значительно упрощает процесс усвоения материала главы. Отдельным параграфом вынесена тема «Приведение дробей к общему знаменателю». Это очень важный момент, т.к. далее учащимся предстоит изучение основных операций над алгебраическими дробями – сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Последней темой в главе является «Совместные действия над алгебраическими дробями» («Преобразование рациональных выражений» в учебнике под ред. Теляковского С.А. [4]). Здесь автор приводит пример решения текстовой задачи. Для сравнения: Теляковский С.А. ограничивается числовыми выражениями.

Вообще текстовые задачи несут большие воспитательные функции. Действительно, в ходе их решения четко прослеживается схема применения математики к изучению действительности, а именно перевод реальной ситуации на математический язык (составление уравнения, неравенства, системы), внутриматематическое исследование (решение уравнения, неравенства, системы), интерпретация результата (сопоставление полученных решений с условием задачи). Кроме того, решая текстовые задачи, учащиеся могут постепенно подойти к пониманию того, что математические модели лишь приближенно отражают реальный мир. Наконец, текстовые задачи позволяют привлечь внимание учащихся к фактам окружающей жизни, подчеркнуть роль математики в практической деятельности людей.

Продолжая анализ изложения  материала в учебнике под ред. Алимова Ш.А. [2], отметим, что в главе вводятся такие понятия, как «алгебраическая дробь», «допустимые значения», «приведение дробей к общему знаменателю», «основное свойство дроби». Причем явно определены два понятия – «алгебраическая дробь» (которое имеет конъюктивную структуру) и «допустимые значения».

Глава «Алгебраические дроби» в учебниках [3], [4], [14] структурирована практически одинаково. С этой темы начинается курс алгебры 8 класса. Во всех этих учебниках первые параграфы главы посвящены основным понятиям, рассмотрению основного свойства дроби, арифметическим операциям над рациональными дробями.

На этом сходства содержания учебников заканчиваются. После  изучения основных операций над рациональными дробями каждый автор предлагает свою линию дальнейшего изучения алгебраических дробей.

В учебнике под ред. Мордковича А.Г.[3] после преобразования рациональных выражений, автор формирует у учащихся первые представления о решении рациональных уравнений, а затем переходит к изучению степеней с отрицательным целым показателем. В учебнике под ред. Дорофеева Г.В. [14] автор предлагает фактически то же самое, но в обратной последовательности: сначала предлагает изучить степени с целым показателем (в том числе рассмотреть свойства степеней с целым показателем), а затем приступить к решению уравнений. Мотивом для введения понятия степени с целым показателем служит целесообразность представления больших и малых чисел в так называемом стандартном виде. С этим способом записи чисел учащиеся уже встречались на уроках физики. Также стоит отметить, что в учебнике под ред. Дорофеева Г.В. [14] автор не выделяет преобразования рациональных выражений в отдельный параграф (как это сделано у других авторов). Т.е. эти преобразования учащиеся производят на интуитивном уровне. Мы считаем, что это очень рационально. Потому что это относительно несложная тема, тем более, что ученики уже умеют работать с рациональными выражениями и легко переносят свои знания на дроби. Следовательно, время, потраченное на изучение этой темы, можно отвести на закрепление других, более сложных тем.

Проводя сравнительный анализ изложения материала темы в различных  учебниках алгебры, приходим к выводу, что все авторы, за исключением  Теляковского С.А., организуют материал индуктивно. Отметим также, что все авторы главным материалом выделяют изучение основного свойства дроби и арифметические операции над алгебраическими дробями.

В учебнике под ред. Мордковича А.Г.[3] вводятся понятия «алгебраическая дробь», «основное свойство алгебраической дроби», «приведение нескольких алгебраических дробей к общему знаменателю», «рациональное выражение», «целое выражение», «дробное выражение», «рациональное уравнение», «степень с отрицательным целым показателем». Автором формулируется основное свойство степеней, а также следующие алгоритмы: алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей, алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей, алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю. Вообще говоря, программа предполагает, что в процессе изучения алгебры у учащихся должны быть сформированы прочные навыки в решении стандартных типов задач. В решении подобных задач учащимся помогают алгоритмы, вооружающие их общим методом решения однородных задач. Способность действовать по формальным правилам является важным умением, поэтому наличие в учебнике под ред. Мордковича А.Г.[3] четко определенных алгоритмов учит этому умению.

Однако обучение применению правил для решения стандартных  типов задач должно проводиться очень осторожно. Дело в том, что решение однообразных задач снижает уровень внимания учащегося. Ученик зачастую начинает применять известный ему алгоритм в тех случаях, где он неприменим. Также это ведет к исключению возможности применения рациональных приемов при решении задач. Например, при сложении алгебраических дробей полезно (вопреки алгоритму) посмотреть, нельзя ли каждую дробь предварительно сократить. Включение в систему упражнений таких примеров, как , покажет учащимся, что предварительное сокращение дробей значительно упрощает решение поставленной задачи.

В учебнике под ред. Дорофеева Г.В. [14] сформулированы практически все те же понятия, то и в учебнике под ред. Мордковича А.Г.[3], за исключением явного определения допустимых значений переменной. Еще одно отличие изложения материала в учебнике под ред. Дорофеева Г.В. [14] от учебника под ред. Мордковича А.Г.[3] – отсутствие строго сформулированных алгоритмов.

1.4. Типичные ошибки  и затруднения учащихся при  изучении рациональных дробей  и действий над ними

Стоит заметить, что в  ходе выполнения упражнений по теме «Рациональные  дроби» учащимся потребуется довольно широкий круг опорных знаний и  умений. Это, прежде всего, умение выполнять  числовые подстановки в буквенные  выражения, выполнять действия с положительными и отрицательными числами, решать линейные уравнения, использовать для решения уравнения условие равенства произведения нулю, преобразовывать выражение в многочлен, в том числе с применением формул сокращенного умножения, раскладывать многочлен на множители.

При изучении рациональных дробей учащиеся наиболее часто делают следующие ошибки: 1) – довольно распространенная ошибка – «сокращение множителей отдельных слагаемых». Учитель должен обратить внимание на то, что при сокращении дробей используется основное свойство дроби. Следовательно, на 2 надо было делить весь числитель, а не только 2a. Для того чтобы ученик понял свою ошибку можно предложить ему решить этот же пример другим способом: записать дробное выражение не с помощью дробной черты, а при помощи знака «:» и, пользуясь распределительным законом, вычислить:

(2а + b) : 2c = (2a : 2c) + (b : 2c) = . Показать ученику, что полученный им результат, отличается от правильного.

2) . Учителю нужно обратить внимание учеников на то, что при замене знака перед дробью надо менять знаки у всех членов знаменателя или числителя на противоположные. Эта ошибка возникает, как правило, из-за того, что пропущен один шаг вычисления: . Для того чтобы не допускать подобные ошибки решение необходимо записывать подробно.

3) . Если ученики допускают подобную ошибку, необходимо обратить их внимание на то, что (a - b)² = (-1 · (b - a))² = (-1)²(b - a)² = (b - a)² .

4) = 0. Иногда ученики говорят, что «ничего не осталось». Им нужно объяснить, что здесь числитель и знаменатель разделен на (a – b) и в числители осталась 1.

Из действий с алгебраическими  дробями наиболее трудными являются сложение и вычитание. Поэтому на эти действия нужно уделять как можно больше времени и даже при изучении умножения и деления задавать на дом хотя бы по одному примеру на сложение. Основная трудность, с которой встречаются учащиеся, выполняя действия с дробями с разными знаменателями, - это приведение дробей к общему знаменателю. Учащиеся уже понимают, что преобразование окажется легче, если общий знаменатель будет простейшим. Упражнением, направленным на формирование умения находить общий знаменатель дробей, может служить пример вида: «Запишите общий знаменатель дробей: ». Еще одна формулировка задания, формирующего навык отыскания общего знаменателя, может звучать так: «Укажите простейший общий знаменатель дробей, входящих в выражение, а также дополнительный множитель для каждой дроби». Одним из затруднений в решении заданий данной темы также является нерациональное нахождение общего знаменателя дробей. Поэтому наряду с примерами, когда общий знаменатель является произведением знаменателей каждой дроби, целесообразно привести пример вида: . Заявить, что если общий знаменатель записать в виде произведения знаменателей, то получится довольно громоздкое выражение. Легко заметить, что общий знаменатель для этих дробей можно принять равный 12abc.

Также для устранения затруднений при изучении темы целесообразно во время изложения теоретического материала пользоваться различными средствами наглядности – таблицы, карточки, рисунки (см. Приложения).

Глава 2. Методика изучения рациональных дробей в курсе  алгебры 

основной школы

2.1. Методика изучения  основного свойства рациональной  дроби

Основное свойство дроби  должно быть хорошо усвоено учащимися. Нечеткое понимание этого свойства приводит к ошибкам типа «сокращение слагаемых».

Можно основное свойство алгебраической дроби не доказывать, а только сослаться на аналогичное свойство арифметических дробей и дать таблицу:

Доказать основное свойство алгебраической дроби можно так, как показано ниже:

                                                     Рис. 1

Следует подчеркнуть, что  равенство  - тождество.

При таком доказательстве сначала дается числовой пример (запись слева), потом — доказательство в общем виде на буквах (запись справа).

При этом следует требовать  от учеников говорить, что числитель и знаменатель надо умножить (разделить), а не увеличить, так как с введением отрицательных чисел умножение не всегда ведет к увеличению.

Изменение знака в числителе  или в знаменателе встретится при вычислении    значений дробей по данным значениям входящих в них букв.

Пример 1. Найти значение дроби при x = - 4.

Решение.

Следующим видом упражнений будет сокращение дробей. Ученики должны понимать, что здесь используется основное свойство дроби, записанное в обратном порядке: .

До упражнений на сокращение дробей это тождество проверяют, например, при 1) а = 4; b = 5; т = 7; 2) а = —3; b = 2; т = 10; 3) а = 5; b = —20; т = — 8.

Можно просто сослаться на свойство арифметических дробей.

Упражнения на сокращение даются в следующей последовательности:

1) сокращение на число  (записано цифрами); 2) сокращение на одночлен; 3) сокращение на многочлен (числитель и знаменатель даны в виде произведения; 4) смена знака в числителе (знаменателе дроби); 5) смена знака и сокращение дроби; 6) сокращение, связанное с разложением членов дроби на множители.

Особенно обращают внимание на случай смены знаков в скобках.

Часть упражнений на сокращение дробей можно задать функционально.

Пример 2. Доказать, что дробь при всех допустимых значениях x и y имеет положительное значение.

Доказательство. = x² + y²  > 0, т.к. xy и потому одновременно не могут равняться нулю, кроме того, .

2.2. Формирование  основных алгоритмов действий  над 

рациональными   дробями

СЛОЖЕНИЕ  И   ВЫЧИТАНИЕ  АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ

Сложение алгебраических дробей начинают со случая сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Надо добиваться, чтобы  ученики понимали, что сложение таких дробей делается на основании распределительного закона деления:

.

Его можно напомнить или  повторить, пользуясь параллелью с арифметикой:

Чтобы получить правило сложения дробей, ученикам предлагают написать первое тождество в обратном порядке, то есть:

,

после чего можно предложить правило сложения таких дробей. Но можно начать со сложения и вычитания  дробей в арифметике и дать таблицу:

Аналогично дается правило  вычитания дробей с одинаковыми  знаменателями.

Первые упражнения на сложение дробей берут с одночленными знаменателями и числителями, причем все действия делают подробно.

Пример 1. .

Затем переходят к сложению дробей с одинаковыми одночленными знаменателями  и многочленными числителями.   Вначале в таких примерах лучше числители писать в скобках.

Пример 2. .

Когда переходят к сложению дробей с разными одночленными знаменателями и числителями, то первые 3—5 примеров делают подробно, объясняя, что сложение таких дробей сводится к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Сперва делают знаменатели дробей одинаковыми (приводят к общему знаменателю) и потом складывают их как дроби с одинаковыми знаменателями.

Пример 3. .

После двух-трех примеров  пишут  сразу  .

Приступая к сложению и  вычитанию дробей, у которых одночленные знаменатели, но многочленные числители, можно первые примеры брать только со сложением, чтобы не отвлекать внимание сменой знака.

Пример 4.

.

В дальнейшем, когда ученики  привыкнут к операции сложения дробей, можно будет, найдя общий знаменатель, надписать над данными дробями дополнительные множители и сразу выполнять умножение, то есть получить предпоследнюю запись, минуя запись со скобками.

В более сложных примерах на сложение дробей слабые и даже средние  ученики обычно испытывают затруднение при самостоятельном решении. Чтобы облегчить их работу, можно дать после анализа план решения следующим образом: дают пример, анализируют его, затем по требованию учителя ученик с места говорит, что надо сделать в первом шаге, а учитель записывает этот шаг и оставляет «чистый бланк» (или «пропуск») для заполнения, потом выясняют второй шаг и т. д., после чего на доске появится примерно такая запись:

= .

Некоторые упражнения на сложение и вычитание дробей могут дополнить  вопрос, связанный с исследованием. Например, после того как ученики  получили, что  , можно задать вопросы:

Что можно сказать о  значениях, которые принимает алгебраическая сумма данных дробей при а < 2; при а > 2? (При а < 2 — положительная.)

Может ли алгебраическая сумма  данных дробей равняться нулю? (Нет.)