Министерство Образования  Республики Беларусь

Белорусский Государственный Технологический  Университет 
 

кафедра АПП и Э

курсовая  работа

ТЕМА 

РАЗРАБОТКА  МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

 ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ  ПРОЦЕССОВ

 
 
 
Выполнила:

студентка 5-го курса

заочного  ф-та

Салацкая Ю.М.

 
 
Проверил:

Барашко О.Г. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Минск 2008

Реферат

     Данная курсовая работа содержит 36 листов печатного текста, 5 рисунков, 57 формул. 

     МАТЕМАТИЧЕСКАЯ  МОДЕЛЬ, ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ, ВРЕМЯ, ОХЛАЖДЕНИЕ, НАГРЕВАНИЕ, ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ.   

     Курсовая  работа содержит расчет температурного поля нагрева  литьевой формы с полимерным материалом, теоретические сведения о процессах происходящих в химической технологии связанных с охлаждением и нагреванием материалов, построение математической модели описывающую теплообмен между прямоугольным телом и его поверхностью,  описание переменных входящих в модель. Разработана программа в математическом пакете MathCad, описывающая процесс нагрева полистирольной формы.

Содержание

Введение

     Промышленная  переработка полимерных материалов начала свое развитие свыше 150 лет назад, когда появились первые червячные и валковые машины, обеспечивающие производство прорезиненных тканей, покрытых гуттаперчей проводов и морских кабелей. Кроме природных полимеров, переработке на таких машинах подвергалась и искусственная термопластичная смола — нитроцеллюлоза с добавкой растворителя. В середине 20-х годов в связи с необходимостью выпуска изделий из аце-тилцеллюлозы, поливинилхлорида, полистирола, фено- и аминопластов появляются новые виды перерабатывающих машин: смесительные агрегаты, специализированные гидравлические прессы и др. Необходимость восполнить острый недостаток в природном полимерном сырье после второй мировой войны вызвала резкое увеличение производства изделии из материалов на основе синтетических каучуков, а также из пластических масс: поливинилхлорида, полиакрилатов и полиолефинов.

     В настоящее время мировое производство пластических масс и синтетических смол составляет около 45 млн. Т, причем особое внимание уделяется получению сложных сополимеров и новых типов конденсационных смол.

     Производство  полимерных изделий осуществляется не только на специализированных заводах, но и в цехах и на отдельных участках предприятий машиностроительной, приборостроительной, радиотехнической, судостроительной, пищевой и легкой промышленности.

     Существенное  увеличение выпуска изделий из полимерных материалов, расширение ассортимента и повышение качества продукции в нашей стране осуществляется за счет широкого внедрения новых процессов химической технологии, повышения единичной мощности агрегатов, создания и совершенствования непрерывных технологических процессов.

     Комплексное решение таких задач, требующее  больших капиталовложений, должно основываться на строго обоснованном научном подходе к проектированию и эксплуатации технологических линий.

     При конструировании первых перерабатывающих машин были использованы опытные данные, полученные при эксплуатации оборудования, а также результаты теоретических исследований технологических процессов, применяемых в смежных областях: производстве строительных материалов, прокатке металлов и т. п. Однако несоответствие расчетных и опытных данных потребовало в дальнейшем проведения широких экспериментальных исследований и обобщения результатов в виде критериальных зависимостей. При этом были сформулированы условия подобия протекающих процессов с точки зрения наиболее значимых технологических факторов.

     В этот же период для качественного  анализа непрерывных процессов  переработки полимеров были применены  математические модели, основанные на адекватности процессов с течением ньютоновских сред в рабочих органах  машин. Это позволило создать методы сравнительного анализа кинематических и силовых факторов течения расплавов в узких зазорах и каналах простой формы.

     К настоящему времени успехи физики и  механики полимеров позволили более обоснованно сформулировать уравнения состояния перерабатываемых материалов и для ряда процессов построить математические модели процессов, учитывающие совместное влияние теплового и механического полей. В результате их исследования установлены количественные соотношения между основными параметрами процессов, технологическими режимами, свойствами полимера и конструктивными размерами рабочих органов перерабатывающих машин.

     Дальнейшее  совершенствование теоретических  моделей, учитывающих дополнительные факторы состояния полимера, позволит разработать способы воздействия на формирование структуры с целью придания изделиям необходимого комплекса свойств, а также научно обосновать главные пути оптимизации и автоматизации технологических процессов.

     При таком подходе в каждом конкретном случае этапу физического эксперимента (будь то создание несложной установки, конструирование технологической линии или опробование нового технологического режима) всегда предшествует этап теоретического эксперимента. На этом этапе нет необходимости прибегать к реальным экспериментам, вместо этого исследуются количественные характеристики процесса, полученные расчетным методом.

     Такой подход позволяет существенно снизить  объем физического эксперимента, поскольку прибегать  к нему приходится на самой последней стадии — не в процессе поиска основных закономерностей, а для проверки и уточнения выданных рекомендаций. Разумеется, для того чтобы исследуемые теоретические модели процессов описывали эти процессы с достаточно хорошим приближением, они непременно должны учитывать основные особенности моделируемых явлении.

     При математическом описании реальных производственных процессов приходится прибегать к существенным упрощениям. При этом значительную помощь в создании математических моделей оказывает анализ простых случаев. Прием такого рода вполне допустим, он позволяет независимо устанавливать основные закономерности наиболее простых случаев выбранных в качестве математического аналога поведения полимерных расплавов.

     Термодинамические соотношения, описывающие разогрев и плавление полимеров, являются фундаментом, на базе которого строятся неизотермические модели реальных процессов переработки. Основные вопросы термодинамики и теплопередачи в полимерах рассмотрены в данной работе.

1. Разработка  математической модели процесса переработки полимерных материалов

1. Общие теоретические сведения о теплообмене

1. Теплообмен

     Различают три вида теплообмена: теплопроводность, теплопередача конвекцией и лучистый теплообмен.

     Передача  тепла за счет теплопроводности осуществляется в результате движения молекул, атомов и электронов; она играет значительную роль при теплообмене в твердых и расплавленных полимерах. При конвекции, которая возможна только в жидкостях и газах, тепло передается за счет относительного движения частиц нагретого тела. При лучистом теплообмене передача тепла между пространственно разделенными частями тела происходит за счет электромагнитного излучения.

2. Теплопроводность

     Основной  задачей теории теплопроводности является установление распределения температур внутри тела. Если распределение температур не зависит от времени, то задача теплопроводности является стационарной; если распределение температур зависит от времени, то задача становится нестационарной.

     Передача  тепла происходит во всех случаях, когда в теле существует температурный градиент. По закону Фурье, который лежит в основе всех расчетов теплопроводности, для изотропных материалов вектор теплового потока q пропорционален температурному градиенту:

       Полагая в уравнении энергетического баланса V = О, получим:

     Уравнение (1.2) представляет собой уравнение теплопроводности для изотропного твердого тела.

     Если  внутри изотропного тела имеется  источник тепла, то уравнение (1.2) необходимо дополнить членом, учитывающим тепловыделение 
 
 
 
 
 

     Примерами внутренних тепловыделений являются поглощения инфракрасного излучения в полупрозрачных средах, экзотермический эффект химических реакций и т. п.

3. Теплопередача в стационарном режиме.

     Теплопередачу в непрерывно действующих нагревательных системах перерабатывающего оборудования можно рассматривать как независящую от времени. Следовательно, распределение температур носит установившийся характер и определяется интегрированием дифференциального уравнения (4.5)

4. Нестационарная  теплопроводность.

       В большинстве случаев в реальных  процессах переработки приходится  иметь дело с нестационарным  режимом теплопроводности, когда  полимер подвергают нагреву или  охлаждению (например, охлаждение в форме отлитого изделия). Теоретические исследования процесса нестационарной теплопроводности представляют собой обширный раздел математической физики. Решения, получаемые в результате интегрирования уравнения (2.5), представляют собой функции времени и пространственных координат, удовлетворяющие начальным и граничным условиям. Различают четыре рода граничных условий Условия первого рода: задано распределение температур на поверхности, которое может либо быть постоянным, либо зависеть от времени; в простейшем случае, если положение границ определяется одним числом (например, расстоянием L), такие граничные условия математически определяются выражением вида (4.6):

     Условия второго рода: задана плотность теплового  потока для каждой точки поверхности тела как функция времени:

     Условия третьего рода: задан коэффициент  теплообмена, а на границе и температура  контактирующей с граничной поверхностью среды:

     Условия четвертого рода: соответствуют теплообмену тела с окружающей средой по закону теплопроводности или теплообмену системы тел, находящихся в тепловом контакте (температура соприкасающихся поверхностей одинакова):

     Аналитическая теория нестационарной теплопроводности располагает большим набором  решений одномерных задач, к которым  принято сводить все многообразие задач, встречающихся в инженерной практике. В настоящее время получены аналитические решения для теплопроводности в плоской стенке, в цилиндре, в корпусе и в сфере.

2. Составление математической модели теплообменного процесса в прямоугольных координатах

     Рассмотрим  симметричный процесс нагрева бруска полимера, в этом случае температура  будет функцией координаты х и времени t. 

Рис. 2.1 Процесс нагрева тела 

     Для вывода уравнения теплопроводности введем следующие предпосылки:

• количество тепла, которое необходимо сообщить однородному телу для нагрева на ΔТ, равно

где С – теплоемкость, γ – плотность, кг/м³, V – объем.

• Количество тепла, протекающее через поперечное сечение за момент времени Δt, пропорциональна площади сечения, скорости изменения температуры в направлении, перпендикулярном сечению и промежутку времени  Δt.

где λ – коэффициент теплопроводности, Вт/м²К

     Выделим (рис. 1.1) участок бруска сечением с  абсциссой x+Δx и составим для него уравнение теплового баланса. 
 
 
 
 

Поскольку , то при х=x+Δx значение частной производной

     Взяв  разность величин входящего Q и выходящего Q₁ тепловых потоков, получим количество тепла ΔQ, сообщенное выбранному участку за время Δt.

     С другой стороны, за этот же промежуток времени температура изменилась на величину , поэтому по формуле (2.3) сообщенное количество тепла равно

     Приравнивая выражения (2.4) и (2.3) получим , сократив общие множители, получим следующее уравнение

     Уравнение (2.5) является математической модель процесса нагрева тела в прессе в прямоугольных координатах.

     Для определения температуры в каждой точке необходимо дополнить уравнение 2.5 граничными и начальными условиями. Считаем, что Т_П – температура плит пресса, Т₀ – начальная температура материала, Т текущая температура в заданной точке сечения.

     Тогда получим следующие начальные  условия:

• При t=0 → T=T₀;
• При t=∞ → Т=Т_П;
• x=0 → T=T₀;
• x=S → T=T_П;

     Для  получения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимирующих уравнение (2.5), разобьем материал на ряд слоев одинаковой толщины h.

     Будем считать, что точки на оси Х расположены на небольшом расстоянии и температура для каждой из этих точек – функция времени. Частная производная приближенно может быть выражена через значения функции T_j(t) в точке x_j и в двух соседних точках T_j-1(t) и T_j+1(t) следующей формулой

если  рассматривать n точек (узлов) в материале, то получим систему их n дифференциальных уравнений. Примем n=5, тогда система будет выглядеть следующим образом:

     Моделирование процесса сводиться к решению  системы дифференциальных уравнений.

     Для достижения стабильности решения системы  дифференциальных уравнений, шаг интегрирования по времени dt должен удовлетворять условию , где k – температуропроводность материала.

1. Выбор и описание численного метода решения уравнения  модели

     Для решения дифференциального уравнения  теплопроводности бесконечного цилиндра  воспользуемся методом сеток, суть которого заключается в разбиении координатной плоскости на равные части и вычислении значения искомой функции в узлах образуемой сетки. Используя значения функции в крайних точках можно последовательно вычислить её значение в любой части координатной плоскости.

1. Метод сеток для уравнения  параболического типа

     В качестве уравнения параболического  типа остановимся на уравнении теплопроводности для однородного стержня  :

и(х, t) - температура и t - время . В дальнейшем для простоты будем полагать а = 1 (к такому случаю всегда можно прийти путем введения нового времени (τ=а²·t).

     Итак, рассмотрим уравнение . Пусть, кроме того, в начальный момент времени t = 0 задано распределение температуры u(x,0) =f(x) и законы изменения температуры в зависимости от времени (тепловые режимы) на концах стержня х = 0 и х = l:

     Требуется найти распределение температуры и=и(х, t) вдоль стержня в любой момент времени t. Решим эту смешанную задачу методом сеток [6], [7]. Для этого рассмотрим пространственно-временную систему координат (рис. 2.2). В полуполосе t≥0, 0≤x≤l построим прямоугольную сетку

Рис. 2.2 

     x = i·h (i = 0, 1, 2, ..., п), t=j·k (j=0, 1, 2, ...),

где - (n - целое) - шаг вдоль оси Ох и k=σ·h² (σ - постоянная)- шаг вдоль оси Ot, вообще говоря, различны. Величина σ будет выбрана ниже. Введя обозначения

x_i = i·h t_j=j·k  u_ij=u(x_i,t_j)

     и заменяя уравнение (2.8) конечно-разностным уравнением, будем иметь (2.9)

     Отсюда

     Из рассмотрения формулы (4) ясно, что, зная значения функции и(х, t) в точках j-го слоя t=j·k, с помощью этой формулы можно вычислить значения и(х, t) в точках следующего (j+1)-гo слоя t = (j+1)k (рис. 2.3). При вычислении пользуются четырьмя соседними узлами - явная схема вида (схема 1).

     Рис. 2.3

     Таким образом, исходя из начального слоя t = 0, значения и(х, t) для которого определяются из начального условия

u(x_i, 0) =f(x_i) (i = 0, 1, 2, ..., п),

и используя  значения функции и(х, t) в крайних узлах (0, t), (l, t,) (j = 0, 1, ...), определяемые граничными условиями

по формуле (2.10) последовательно вычисляем:

т. е. находим  значения искомой функции и (х, t) во всех узлах полуполосы.

     Остается разумно выбрать величину σ. При этом будем исходить из требования, чтобы ошибка при замене дифференциального уравнения (2) конечно-разностным уравнением (3) была наименьшей. 

     Будем считать, что точки (узлы в материале) расположены на небольшом расстоянии и температура для каждой из этих точек – функция времени. Частная производная приближенно может быть выражена через значения функции T_j(t) в точке x_j и в двух соседних точках T_j-1(t) и T_j+1(t) следующей формулой

     Если  задать интервал времени dt, тогда распределение температуры по длине материала значение температуры в материале в следующий момент времени t+dt получается:

Данная  рекуррентная формула вычисляется  для всех m интервалов времени. В результате получаем температурное поле – повременное изменение температуры в материале с расстоянием.

2. Составление программы и решение  её на ЭВМ

     Программа решения уравнения математической модели методом сеток составлена в математическом процессоре MathCad 13 с применением встроенных методов программирования.

1. Определение исходных данных относительно варианта задания

2. Исходя из критерия сходимости решения уравнения выбираем интервал отсчета времени dt

3. Задаем  начальные и граничные условия  в сетке

4. Используя формулу (2.11) производим рекуррентные вычисления в сетке для каждого момента времени с интервалом dt для всех точек в материале:

Полученные значения распределения температуры по толщине материала:

Более наглядно эту информацию можно изобразить на графике

где 1 – температура после 5-ти секунд, 2 – температура через ¼ всего  времени моделирования, 3 – температура после 5 отсчетов времени от начала моделирования.

Полученное  температурное поле для всего  времени моделирования – 5 сек  и m=2000 интервалов отсчета времени.

5. Анализируем полученное температурное поле. Необходимо найти значение времени, при котором материал полностью прогреется до температуры плиты пресса. Значение времени получим из матрицы заполненной сетки Т, искомым значением будет номер столбца, в котором значение элемента в последней строке больше или равно , где ΔТ - приближенное значение температуры.