Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Разработка программы, вычисляющей интеграл

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Кубанский государственный технологический университет

(КубГТУ)

Кафедра ________________________________________

^{(наименование кафедры)}

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовому проекту (работе)

по ____________________________________________________________

^{наименование дисциплины)}

на тему _______________________________________________________

^{(тема курсового
проекта (работы))}

Выполнил (а) студент (ка) группы ________________________________

_____________________________________________________________

^(ф.и.о.)

Допущен к защите______________________________________________

Руководитель проекта___________________________________________

Нормоконтролер _______________________________________________

Защищен _____________________ Оценка _______________________

^(дата)

Члены комиссии __________________________________________________

^{(подпись, дата, расшифровка
подписи)}

Краснодар

2010

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Кубанский государственный технологический университет

(КубГТУ)

Кафедра ________________________________________

^{(наименование кафедры)}

УТВЕРЖДАЮ

Зав. кафедрой ___________________

_______________________________

З А Д А Н И Е

на курсовое проектирование

Студенту:_________________________ группы__________________ курса

^{(Ф.И.О.) (№
группы и курса)}

факультета ______________________________________________________

специальности __________________________________________________

________________________________________________________________

^{(шифр
и наименование)}

Тема проекта:____________________________________________________

Содержание задания:______________________________________________

________________________________________________________________

Объем работы:

а) пояснительная записка к проекту _____________ с.

б) программы.

Рекомендуемая литература:_________________________________________

Срок выполнения проекта: с "___" ______по"___"____20__г.

Срок защиты: "___"____20__г.

Дата выдачи задания: "___"____20__г.

Дата сдачи проекта на кафедру: "___"____20__г.

Руководитель проекта _________________________________

^{(подпись,
ф.и.о., звание, степень)}

Задание принял студент _______________________________

^{(подпись,
дата)}

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Кубанский государственный технологический университет

(КубГТУ)

Реферат

Пояснительная записка курсового проекта (работы) 33 с., 16 рис., 4 источника.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ, МЕТОД КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРАПЕЦИЙ, МЕТОД СИМПСОНА (ПАРАБОЛ), ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА.

Объектом исследования является численное интегрирование с применением языка C# и применение принципов объектно-ориентированного программирования.

Цель работы состоит в разработке программы на языке C# демонстрирующей интегрирование различными методами и получении результатов.

К полученным результатам относятся построенный график функции с отображенными пределами интегрирования, численные значения интеграла, вычисленного разными способами, определенные погрешности вычислений.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Нормативные ссылки

Список используемой литературы

ВВЕДЕНИЕ

Цель курсовой работы является приобретение и углубление знаний в области высокоуровневых методов информатики и программирования, получения дополнительных практических навыков в использовании основных приёмов обработки экспериментальных данных, численного решения определенных интегралов.

Численное интегральное исчисление – часто используемая тема в математике. При решении ряда актуальных физических и технических задач встречаются определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определенными интегралами, сами подынтегральные функции которых не являются элементарными. Это приводит к необходимости использования приближенных методов вычисления определенных интегралов.

Спецификации задачи

Разрабатываемая программа должна обладать следующими качествами:

Производить интегрирование заданной функции методом прямоугольников, трапеций, парабол на основе входных данных и выводить результат;
Иметь графический интерфейс, позволяющий вводить исходные данные, а также визуализировать результаты вычислений, выводя на экран график подынтегральной функции, значения вычисленных интегралов и погрешности их вычислений.
При написании исходных текстов программы необходимым условием является использование основных принципов объектно-ориентированного программирования, обработки исключительных ситуаций, потоков выполнения, наличие подключаемых библиотек.

Формулировка задачи

Данная курсовая работа посвящена разработке программы на языке C#, которая вычисляет определенный интеграл от функции, имеющей первообразную, которую можно вычислить с помощью той или иной приближенной формулы. Для решения этой задачи применяются методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона).

Задача курсового проекта – разработать программу на языке C#, такую, чтобы при работе с этой программой пользователь имел возможность:

a) Найти определенный интеграл выше упомянутыми методами от следующей функции:

б) ввести с клавиатуры пределы интегрирования и количество интервалов разбиения (a, b и n);

в) увидеть результаты вычислений на экране в удобном для восприятия виде с отображением графика функции, на введенном с клавиатуры отрезке.

При помощи данной программы нетрудно будет сравнить результаты вычислений одного и того же определенного интеграла найденные разными методами.

Программа должна отвечать следующим требованиям:

a) иметь простой интерфейс;

б) иметь защиту от некорректно введенных данных.

Актуальность реализации программы на компьютере заключается в простом использовании и возможности доработки дизайна и программного кода.

Описание методов вычислительной математики, используемых при решении

Численное интегрирование

Определенный интеграл

(1)

с пределами интегрирования a и b можно трактовать как площадь фигуры, ограниченной ординатами a и b, осью абсцисс x и графиком подынтегральной функции . Обыкновенный определенный интеграл, у которого известна его первообразная , вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница . Поэтому для вычисления простых определенных интегралов достаточно вычислить значение .

На практике часто встречаются интегралы, которые не выражаются через элементарные функции или выражаются очень сложно. Нередко подынтегральная функция задается таблицей или графиком. В этих случаях интегралы находятся приближенными методами, которые заключаются в интерполяции на отрезке подходящим полиномом, для которого интеграл вычисляется по формулам численного интегрирования. Обычно отрезок разбивается на частей, к каждой из которых применяется соответствующая простая формула. Таким образом, получают составные (или сложные) формулы численного интегрирования. Для данной курсовой работы предусмотрено рассмотреть три способа численного интегрирования с помощью метода прямоугольников, криволинейных трапеций и метода Симпсона (параболических трапеций).

Метод прямоугольников

Промежуток интегрирования делится точками на n равных частей; длина каждой

Для единообразия полагаем , . Через обозначаем середины участков Полагаем

Формулой прямоугольников называются следующие приближенные равенства:

– формула левых прямоугольников.	(2)
– формула правых прямоугольников.	(3)
– формула средних прямоугольников.	(4)

Выражения (2), (3), (4) дают площади ступенчатых фигур, изображенных на рисунках 1, 2, 3 соответственно. В большинстве случаев при данном n формула (4) точнее, чем (2) и (3). С увеличением n точность формул (2), (3), (4) неограниченно возрастает.

Предельная погрешность формулы (4) составляет: ,

где – наибольшее значение в промежутке .

Рисунок 1 – Ступенчатая фигура, полученная по методу левых прямоугольников

Рисунок 2 – Ступенчатая фигура, полученная по методу правых прямоугольников

Рисунок 3 – Ступенчатая фигура, полученная по методу средних прямоугольников

Формула (4) наиболее точная, и погрешность по сравнению с формулами (2) и (3) уменьшается в приблизительно 50 раз. Отметим, что для линейной функции формула (4) дает точный ответ, поскольку в этом случае .

Математический вывод формулы метода прямоугольников

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Требуется вычислить интеграл , численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции.

Рисунок 4 – Ступенчатая фигура, состоящая из элементарных прямоугольников

Разобьем основание этой трапеции, т.е. отрезок , на n равных частей (отрезков) длины (что равняется шагу разбиения) с помощью точек . Можно записать, что , где .

В середине каждого такого отрезка поставим ординату графика функции . Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью .

Тогда сумма площадей всех n прямоугольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла

(5)

Рисунок 5 – Блок-схема к алгоритму решения определенных интегралов по методу прямоугольников

Метод криволинейных трапеций

Формула трапеций выводится аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Рисунок 6 – Криволинейная фигура, полученная по методу криволинейных трапеций

Разобьем промежуток на n равных частей длины . Абсциссы точек деления . Пусть соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений примут вид: , , где .

Заменим кривую ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат и , где . Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями , и высотой :

или	(6)
– формула трапеций.	(7)

Абсолютная погрешность приближения, полученного по формуле трапеций (7), оценивается с помощью формулы , где – наибольшее значение в промежутке . Так же, как и формула (4), формула трапеций (7) дает точный результат для линейной функции , поскольку .

Метод Симпсона (парабол)

Если заменить график функции на каждом отрезке разбиения не отрезками прямых, как в методах прямоугольников и трапеций, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления определенного интеграла .

Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы , сбоку – прямыми , и снизу – отрезком (см. рисунок 7).

Рисунок 7 – Криволинейная фигура, ограниченная по сторонам прямыми и , а сверху графиком параболы

Пусть парабола проходит через три точки , , , где – ордината параболы в точке ; – ордината параболы в точке ; – ордината параболы в точке .

Площадь криволинейной фигуры, показанной на рисунке 7 равна

(8)

Выразим эту площадь через . Из равенств для ординат находим, что , .

Подставляя эти значения c и a в равенство (8), получаем

(9)

Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла .

Для этого отрезок разобьем на 2n равных частей (отрезков) длиной точками , где . В точках деления вычисляем значения подынтегральной функции , где (рисунок 8).

Рисунок 8 – Криволинейная фигура, полученная по методу Симпсона (парабол)

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равным h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2h. На отрезке парабола проходит через три точки , , . Используя формулу (9), находим .

Аналогично находим

Сложив полученные равенства, имеем

или

(10)

Формула (10) называется формулой Симпсона (парабол). Абсолютная погрешность вычисления по формуле (10) оценивается соотношением

, где .

Отметим, что формула (9) дает точное значение интеграла во всех случаях, когда – многочлен, степень которого меньше или равна трем (тогда ).

Рисунок 9 – Блок-схема к алгоритму решения определенных интегралов по методу Симпсона (парабол)

Описание методов программирования, примененных в работе

Среда разработки и организация решения

Курсовая работа выполнена в интегрированной среде программирования MS Visual Studio 2008.

Решение состоит из 2-х проектов:

IntegralClassLibrary;
Курсовая работа по ООП.

Проект библиотеки классов «IntegralClassLibrary»

Проект включает в себя файл «Integrals.cs», в котором определены классы, содержащие методы для осуществления вычислений и свойства для получения результатов расчетов и погрешностей. Этот проект представляет собой библиотеку классов, после компиляции, которой образуется файл «IntegralClassLibrary.dll». Данный файл должен находиться в одной папке с запускаемым файлом программы.

В рамках библиотеки разработана иерархия классов с наследованием.

Базовым классом определен абстрактный класс Integral, в котором объявлены и реализованы все поля, свойства и методы общие для всех классов-наследников.

Рисунок 10 – Схема класса Integral

Accuracy – Свойство для получения погрешности интегрирования;

Square – Свойство для получения вычисленного значения интеграла;

Exact_value( ) – статический метод вычисления точного значения интеграла на основе аналитической формулы;

F( ) – статический метод для вычисления значения функции;

Integral(double a, double b, int n) – конструктор класса, в котором инициализируются поля и вызывается метод Solve( );

Solve( ) – абстрактный метод определяющий общий интерфейс для всех потомков класса, определяется в наследниках содержит алгоритм вычисления уникальный для каждого метода вычисляющего интеграл;

ToString( ) – возвращает текстовую строку, с результатами.

Базовый класс Integral порождает наследников, в которых реализуется абстрактный метод Solve( ), и передаются параметры вычислений конструктору базового класса.

Рисунок 11 – Схема реализации наследования от класса Integral

Каждый класс-наследник содержит конструктор, совпадающий с именем своего класса, а также реализует уже описанный метод Solve( ).

Таким образом, весь код логически общий для всех классов-наследников помещен в базовый класс Integral при помощи механизма наследования.

Реализация вычислений скрыта от пользователей классов Trapezoids, Rectangles, Simpsons, благодаря механизму инкапсуляции.

Полиморфизм проявляется при вызове метода Solve( ) имеющего разные реализации в каждом классе-наследнике. Данный метод не вызывается напрямую пользователем класса, вызов происходит в конструкторе каждого класса. Все три класса имеют одинаковый интерфейс для получения результатов вычисления.

Проект «Курсовая работа по ООП»

Второй проект состоит из файлов:

«MainForm.cs», в котором определен класс главного окна приложения, а также методы и события, отвечающие за взаимодействие разных частей программы;

«SettingsForm.cs» – в файле определен класс окна настроек отображения графики;

«AboutBox.cs» – файл содержит класс окна «О программе».

Обязательным условием успешного построения проекта является соблюдение зависимостей, а именно наличие ссылок на библиотеки DLL: IntegralClassLibrary.dll и ZedGraph.dll. Первая, из которых разрабатывается в рамках первого рассмотренного проекта библиотеки «IntegralClassLibrary». Вторая представляет собой сторонний элемент управления не входящий в комплект поставки MS VS 2008, содержит классы позволяющие выводить графику в пространство указанного компонента, который в свою очередь располагается на главной форме приложения. Файл ZedGraph.dll должен находиться в папке с программой.

Листинги программы

Листинг файла «Integrals.cs»

using System;

namespace Patsev.Integrals

{

public abstract class Integral //базовый класс

{

public Integral(double a, double b, int n)

{

this.a = a; this.b = b; this.n = n;

//вычисление интеграла

Solve();

//вычисление погрешности

accuracy = Math.Abs(Exact_value(a, b) - square);

}

public static double F(double x) //возвращает значение подинтегральной функции

{

return 1 / Math.Sqrt(1 + x * x);

}

protected static double Exact_value(double a, double b) //точное значение определенного интеграла

Разработка программы, вычисляющей интеграл