Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Разрывные функции

Разрывные функции

Основные понятия

Введем основные понятия, используемые в работе.

Дана функция определенная в окрестности точки .

Производной функции в точке называется предел в точке (конечный) отношения приращения функции к приращению аргумента, т.е.

Производная функции в точке обозначается символом

Если не существует, то функция не имеет производной в точке .

Если точка не является предельной для области определения , то не имеет смысла.

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т.е.

Так как (будучи значением функции) есть некоторое действительное число, то функция , непрерывная в точке , имеет конечный предел в этой точке, равный .

Если не имеет смысла, т.е. если не есть предельная точка множества значений аргумента, то говорят о непрерывности в точке не имеет смысла с точки зрения принятого определения.

Точки разрыва функции

Если точка является предельной для области определения функции и если условие непрерывности

не выполняется, то точка называется точкой разрыва функции , а функция называется разрывной в точке .

Условие непрерывности может не выполняться, если:

Не существует конечный предел в точке;
Точка не принадлежит области определения функции;
Существует конечный предел функции в точке , не равный значению функции в точке :

Отметим следующие типы точек разрыва:

Если существует правый и левый конечные пределы функции в точке и если эти пределы различны:

то точка называется точкой разрыва первого рода (рис. 1).

рис.1.

Так как

то функция в точке разрыва первого рода не имеет предела. Сама точка может принадлежать, а может и не принадлежать области определения функции.

Пример 1. Положим .

Имеем:

не существует.

Точка есть точка разрыва первого рода.

Пример 2.

Функция определена всюду, кроме точки . Исследуем поведение функции в окрестности точки .

Имеем:

Точка точка разрыва первого рода. (рис.2)

рис.2

Функция, имеющая бесконечный предел в точке ( - действительное число), является разрывной в этой точке.

Пример 1. Положим . Имеем: ; точка 0 есть точка разрыва. (рис. 3)

рис. 3

Пример 2. Положим Имеем . Тогда точка 5 есть точка разрыва функции. (рис.4)

рис.4

Функция в точке имеет различные односторонние пределы, причем хотя бы один из них бесконечен.

Пример 1. Положим . Имеем:

(рис. 5)

Точка есть точка разрыва функции второго рода.

рис.5

Пример 2. Положим Имеем:

Точка есть точка разрыва функции второго рода. (рис.6)

рис.6

Хотя бы один из односторонних пределов не существует. Такая точка разрыва называется обычно точкой разрыва второго рода. В этом случае не существует .

Пример 1. Функция

имеет точку 0 точкой разрыва второго рода, т.к. не существует ни конечного, ни бесконечного предела в точке 0.

Пример 2. Имеем: (рис.7)

Исследуем поведение функции в окрестности точки .

Имеем:

В точке функция имеет разрыв второго рода.

Исследуем поведение функции в окрестности точки

Имеем:

В точке функция имеет разрыв второго рода.

рис.7

Существует предел

в этом случае точка является точкой разрыва (рис. 8).

рис.8

Если существует конечный предел но точка не принадлежит области определения функции , то точка есть точка разрыва (рис. 9)

рис.9

Если существует правый и левый конечные пределы функции в точке и если эти пределы равны:

то точка называется точкой устранимого разрыва. Если доопределить такую функцию, положив то получится функция, непрерывная в точке .

Пример 1. Функция определена всюду, кроме точки . Исследуем поведение функции в окрестности точки (рис.10)

Имеем:

В точке функция имеет точку устранимого разрыва.

рис.10

Пример 2. функция определена всюду, кроме точки . (рис.11) Точка является двусторонней предельной точкой. Исследуем поведение функции в окрестности данной точки.

Имеем:

следовательно, ,следовательно, точка является точкой устранимого разрыва.

рис.11

Итак, мы рассмотрели разрывные функции и выдели семь типов точек разрыва, в которых функция не имеет производную.

Непрерывные функции

Функции, не имеющие производной. Правая и левая производные

Введем два новых определения. Если ∆ стремится к нулю, принимая т о л ь к о п о л о ж и т е л ь н ы е значения, то предел отношения

(если он существует) называется производной справа или правой производной от функции ƒ() в точке ₀, а если ∆ стремится к нулю, принимая т о л ь к о о т р и ц а т е л ь н ы е значения, то предел этого же отношения (если он существует) есть производная слева или левая производная. Производную справа обозначают символом , а производную слева – символом .

Если производная справа и производная слева равны между собой, то функция, очевидно, имеет производную в точке ₀ в обычном смысле слова.

Наиболее простые примеры функций, имеющих в некоторой точке правую и левую производные, не совпадающие между собой, дают нам функции, графики которых представляют собой ломаные линии.

В самом деле, пусть ₁, ₂, … , _к, … , _s – некоторое число различных точек на оси . Построим ломаную так, чтобы ее вершины имели абсциссы, равные х₁, ₂, … , _к, … , _s (рис. 12). Функция ƒ(), графиком которой является эта ломаная *), не имеет производной в точках ₁, ₂, … , _к, … , _s.

__________

*) Очевидно, каждая прямая, перпендикулярная к оси Ох, пересекает ломаную не более чем в одной точке, и ломаная представляет собой график некоторой однозначной функции.

Для того чтобы это доказать, рассмотрим какую-нибудь точку Q с абсциссой _к. График функции в окрестности этой точки имеет вид, изображенный на рис. 13.

рис.12 рис.13

Для всякой прямой линии секущая в некоторой ее точке, а, следовательно, и касательная (как предельное положение этой секущей), совпадают с самой прямой; значит, угол секущей, а, следовательно, и касательной к прямой с осью , есть тот же самый, что и угол самой прямой с осью х.

Обозначим угол прямой AQ с осью через α и угол прямой QB с осью через β. Проводим секущую через точку Q и точки М₁и М₂, находящиеся слева и справа от Q. Левая секущая совпадает с прямой AQ, а правая – с прямой QB.

Ясно, что если рассматривать Q как точку прикосновения, то у секущей будет два предельных положения, или, как иногда говорят, кривая в этой точке будет иметь правую касательную, совпадающую с прямой QB, и левую касательную, совпадающую с прямой AQ. Угол между осью и левой касательной, очевидно, равен α, а угол между осью и правой касательной равен β. Так как α и β различны, то и

tg α ≠ tg β.

Таким образом, в точке Q у нашей линии нет определенной касательной, а так как производная равна тангенсу угла касательной с осью , то производная слева не равна производной справа и не существует в точке Q.

Рассмотрим еще один пример функций с различными производными слева и справа. Пусть требуется найти производную от функции

y=ƒ()=².

Функция, очевидно, определена в промежутке -1≤≤+1. График ее изображен на рис. 14. Кривая заканчивается в точках М(-1, +1) и N(+1, +1), так как для ||>1 функция не определена.

рис. 14

Находим производную в точке х:

Полагая х=0, находим значение производной в точке О(0, 0):

Чтобы найти предел, мы умножаем и числитель, и знаменатель на ²:

Так как рассматривается арифметическое (положительное) значение квадратного корня, то ²=∆, если ∆х>0, но ²=-∆, если ∆<0.

Следовательно, если ∆>0, то

а если ∆<0, то

Мы видим, что производная слева не равна производной справа, а потому наша функция не имеет производной. Точка (0, 0) есть угловая точка, в которой кривая не имеет определенной касательной.

Возможны случаи, что отношение не имеет определенного предела ни тогда, когда ∆→0, принимая только положительные значения, ни тогда, когда ∆→0, принимая только отрицательные значения. В этом случае функция не будет иметь в данной точке производной ни в обычном смысле слова, ни в правой, ни в левой.

Как пример такого случая рассмотрим функцию =ƒ(), определенную двумя равенствами:

= sin при ≠0,

= ƒ()=0 при =0,

Вычислим производную этой функции при х=0. Составим приращение ∆:

∆= ƒ(+∆)- ƒ();

при =0 будем иметь:

[∆]_х=0= ƒ(∆)- ƒ(0).

Так как

ƒ()= sin , ƒ(∆) =∆ sin ,

и согласно принятому условию ƒ(0)=0, то

[∆]_х=0= [ƒ(∆)]_x=0=∆ sin ,

а потому,

_x₌₀= sin .

Итак, значение производной в точке (0, 0) должно быть равным

Но так как sin при ∆→0 не стремится ни к какому пределу, то при =0 не существует ни левой, ни правой касательной.

Функции, не имеющие производной ни в одной точке

До сих пор мы рассматривали примеры функций, которые не имеют производных лишь в отдельных точках; однако, существуют такие непрерывные функции, которые н е и м е ю т п р о и з в о д н ы х н и в о д н о й т о ч к е. Такие функции могут быть заданы аналитически, но для этого приходится использовать теорию бесконечных рядов.

Приведем пример функции подобного типа *), заданной с помощью последовательности функций: ƒ₀(), ƒ₁(), … , ƒ_n(), …

Рассмотрим сначала вспомогательную функцию ₀(), положив ее равной расстоянию точки х до ближайшей целочисленной точки. Функция ₀() имеет график, изображенный на рис. 15. Функция ₀() – периодическая с периодом 1, т.е. ₀(+1)= φ₀(). Кроме того, ₀() линейна на каждом отрезке вида , где s – некоторое целое число. Угловой коэффициент графика ₀() внутри каждого отрезка равен +1 или -1.

рис. 15

Рассмотрим теперь последовательность вспомогательных функций:

______________________

*) Этот пример принадлежит голландскому ученому Ван-дер-Вардену

График каждой функции _n() имеет вид, изображенный на рис. 16.

рис. 16

Функция имеет период , так как

и она линейна на каждом отрезке вида , причем угловой коэффициент графика будет снова +1 или -1.

Положим теперь

ƒ₀()=₀(),

ƒ₁()=₀()+₁(),

ƒ₂()=₀()+₁()+₂(),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ƒ_n()=₀()+₁()+ … +_n().

Рассмотрим бесконечную последовательность этих функций:

ƒ₀(), ƒ₁(), … , ƒ_n(), …

Покажем начала, что последовательность {ƒ_п()} – равномерно сходящаяся на всяком отрезке. В самом деле, рассмотрим разность

ƒ_n+р()- ƒ_n()=_n+1()+_n+2()+ … +_n+р().

Так как ₀() для любого меньше, чем 1, то _n() для любого меньше, чем , а тогда

В правой части этого неравенства находится убывающая прогрессия, сумма которой S меньше суммы бесконечно убывающей прогрессии такого же вида:

Следовательно, если n достаточно велико, то при произвольном p и любом x величина _{меньше любого наперед
заданного числа. А это
на основании критерия
Коши и значит, что последовательность
{ƒ}_п()} равномерно сходится к некоторой функции ƒ(). Так как ƒ₀()=₀() и функции ƒ₀(), ƒ₁(), … , ƒ_n() представляют собой суммы конечного числа непрерывных функций, то сами они тоже непрерывна, а, следовательно, и предельная функция непрерывна.

Покажем, что функция ƒ()=_{не имеет производной
ни в одной точке.} Рассмотрим произвольную точку . Всегда найдется последовательность вложенных друг в друга отрезков ∆_n вида

∆_n=

(где s_n – целые числа), заключающих точку . Длина отрезка ∆_n будет равна , и поэтому на каждом таком отрезке найдется некоторая точка на расстоянии от х, равном . Обозначим эту точку на отрезке ∆_n через х_n.

Рассмотрим теперь для вспомогательных функций _k отношение

Возможны два случая: k>n и kn.

Пусть k>n. Число будет представлять собой целое число периодов функций _n+1(), …,_n+р(), …; следовательно, для k>n имеем , а тогда

Пусть kn. Тогда на отрезке ∆_k= функция линейна, а, следовательно, она будет линейна и на части отрезка ∆_n, являющемся частью отрезка ∆_k. При этом угловой коэффициент графика, как мы знаем, равен +1 или -1. Следовательно, для kn

Перейдем теперь к вычислению такого же отношения для функции

ƒ_k()=₀()+₁()+ … +_k().

В этом случае мы имеем:

Предположим теперь, что kn; тогда

т.е. рассматриваемое отношение равно некоторому четному числу при нечетном n и нечетному числу при четном n, причем это число одно и то же для любых k>n и зависит только от n.

Из того, что не зависит от k, следует, что и соответствующее отношение для предельной функции

являющееся пределом при k→, также равно некоторому четному числу для нечетного n и равно нечетному числу для четного n.

Следовательно, это отношение не имеет предела при n→.

Но, с другой стороны, при n→, стремится к ; следовательно, если бы функция имела в точке производную, то существовал бы и предел отношения при n→, а мы видели, что его не существует.

Следовательно, в точке х не имеет производной, но так как – произвольная точка оси , то построенная функция не имеет производной ни в одной точке.

Первый пример функции, не имеющей производной ни в одной точке, был построен Вейерштрассом.

Функция Вейерштрасса задается рядом

где – произвольное нечетное число, а - положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется рядом поэтому функция определена и непрерывна при всех вещественных . Тем не менее, эта функция не имеет производной по крайней мере при

Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке , строят две последовательности и сходящиеся к точке , и доказывают, что отношения

имеют разные знаки, по крайней мере, при и

Более простой пример, основанный на той же идее, в котором периодические функции заменены периодическими ломаными, был построен Б. Л. Ван-дер-Варденом.

Пусть - функция, равная для каждого действительного числа х абсолютной величине разности между числом и ближайшим к нему целым числом.

рис. 17

Эта функция линейна на каждом отрезке вида где n-целое; она непрерывна и имеет период, равный единице.

Пусть тогда функция Ван-дер-Вардена задается равенством

Эта функция непрерывна на всей числовой оси и ни в одной точке не имеет конечной производной. Первые три частные суммы полученного ряда изображены на рис. 17.

Функции комплексного переменного

Определения производной и дифференциала функции комплексного переменного дословно совпадают с соответствующими определениями для функций действительного переменного. Поэтому почти все основные теоремы и формулы дифференциального исчисления без изменения распространяются и на функции комплексного переменного.

Однако дифференцируемые функции комплексного переменного обладают по сравнению с дифференцируемыми функциями действительного переменного многими дополнительными свойствами, причина появления которых заключается в том, что условие для существования производной функции комплексного переменного, как будет видно из дальнейшего, является несравненно более ограничительным, чем условие для существования производной функции действительного переменного.

Дадим независимому переменному приращение и вычислим вызванное этим приращением приращение однозначной функции

Если существует предел отношения при стремлении к нулю по любому закону, то этот предел называется производной функции в точке * и обозначается

Требование существования предела отношения и его независимость от закона стремления к нулю накладывает на функцию значительно более сильные ограничения, чем аналогичное требование для функции действительного переменного . Так, если функция имеет производную, то это значит, что существует предел отношения при приближении точки к точке по двум направлениям: слева (при ) и справа (при ), и что эти пределы совпадают. Требование же существования производной для функции комплексного переменного означает существование предела отношения при приближении точки к точке по любому пути, в частности, по любому из бесконечного множества различных лучей, и совпадение всех этих пределов.

Пусть тогда

где

В этих обозначениях

Пусть функция имеет производную в точке; тогда предел (1) существует и не зависит от закона стремления к нулю; в частности, при , т.е. при приближении точки по прямой, параллельной оси (рис.18), получим:

Выбрав т.е. устремляя точку по прямой, параллельной оси (рис. 19), получим:

Так как предел отношения не должен зависеть от закона стремления к нулю, то из (2) и (3) следует, что

или

Эти условия, называемые условиями Коши-Римана или условиями Даламбера-Эйлера, должны быть выполнены в каждой точке, в которой функция имеет производную.

рис. 18 рис.19

При некоторых добавочных ограничениях, например, если потребовать существование полных дифференциалов функций , можно доказать, что условие Коши-Римана не только необходимы, но и достаточны для дифференцируемости функции .

Действительно, если функции имеют полный дифференциал, то

где и Каково бы ни было , имеем

Заменив на основании условий Коши-Римана в числителе правой части , получим

Так как , то

Но величина стремится к нулю при , т.е. при .

Следовательно, по какому бы закону приращение ни стремилось к нулю, из (5) получим

и достаточность условий Коши-Римана для существования доказана. Мы снова пришли к формуле (2), которая показывает, что дифференцирование функции по комплексному переменному (если оно возможно) равносильно вычислению частной производной по .

Если функция дифференцируема не только в данной точке, но и в некоторой окрестности этой точки, то она называется аналитической в данной точке.

Функция, аналитическая во всех точках некоторой области, называется аналитической или голоморфной в этой области.

Пример 1. Выяснить, является ли аналитической функция

Решение. Если откуда

Следовательно, условие Коши-Римана не выполнено. Значит, функция не дифференцируема ни в одной точке плоскости.

Пример 2. Доказать, что функция является аналитической на .

откуда

следовательно, функция непрерывна на .

Условия Коши-Римана аналитичности функции выполнены, следовательно, функция является аналитической на .

Таким образом, мы рассмотрели непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке, правую и левую производные и функции комплексного переменного.

Заключение

В данной работе мы изучили и рассмотрели на примерах функции, не имеющие производной: разрывные и непрерывные. Раскрыли основные понятия функций.

Рассматривая разрывные функции, мы выдели семь типов точек разрыва, в которых функция не имеет производную:

Если существует правый и левый конечные пределы функции в точке и если эти пределы различны:

то точка называется точкой разрыва первого рода.

Функция, имеющая бесконечный предел в точке ( - действительное число), является разрывной в этой точке.

Функция в точке имеет различные односторонние пределы, причем хотя бы один из них бесконечен.

Хотя бы один из односторонних пределов не существует. Такая точка разрыва называется обычно точкой разрыва второго рода. В этом случае не существует .

Существует предел

в этом случае точка является точкой разрыва.

Если существует конечный предел но точка не принадлежит области определения функции , то точка есть точка разрыва.
Если существует правый и левый конечные пределы функции в точке и если эти пределы равны:

Также мы рассмотрели непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке на примере функции Ван-дер-Вардена, правую и левую производные и функции комплексного переменного (условие Коши-Римана).

Список литературы

Виленкин А. XIII конференция юных математиков в Батуми // Квант. – 1982. - №4
Виноградов И.В. Математическая энциклопедия. – М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.
Гребенча М.К., Новоселов С.И. Курс математического анализа. Часть 1. – М.: Высшая школа, 1960
Гусак Г.М., Капуцкая Д.А. Математика для подготовительных отделений вуза. – Минск.: Вышэйшая школа, 1989
Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного с элементами операционного исчисления. – С.-П.: Лань, 2002
Мартынов Б. О максимумах функции Ван-дер-Вардена // Квант. – 1982. - №6
Немыцкий В.В, Слудская М.И., Черкасов А.Н. Курс математического анализа. Том 1. – М.: ГИТТЛ, 1940
Немыцкий В.В, Слудская М.И., Черкасов А.Н. Курс математического анализа. Том 1. – М.: ГИТТЛ, 1957
Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. – М.: Физматлит, 2001
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. – М.: Физматлит, 2001